专题03 勾股定理（考点串讲，3考点+2专项突破+4易错）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（沪科版）

八年级数学下学期·期末复习大串讲 专题03 勾股定理 （3考点+2专项突破+4易错） 沪科版 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 三大常考点：知识梳理+针对训练 二大专项突破(利用勾股定理解决折叠+最短路径问题） 四大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 直角 正整 知识结构 3 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2. A C B b a c 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 几何语言： 在Rt△ABC中，∠C=90°， ∴a2+b2=c2. 知识梳理 知识点一：勾股定理 赵爽弦图 S大正方形=c2 =(b-a)2+4× ab 化简结果，得c2=a2+b2. 数学思想： 数形结合思想 特殊到一般的思想 转化思想 分类讨论思想 知识点二：勾股定理的证明 重新组合 S左=a2+b2+4× ab S右=c2+4× ab ∵S左=S右 ∴a2+b2=c2 知识点三：毕达哥拉斯：利用拼接图形的面积法 题设：Rt△ABC≌Rt△CDE 易证：△ACE为直角三角形，四边形ABDE为梯形 S梯形ABDE=S△ABC+S△CDE+S△ACE 即 (a+b)(a+b)= ×2×ab+ c2 化简得：a2+b2=c2 知识点四：加菲尔德：梯形面积法 知识点五：达芬奇证明方法： 勾股定理 题设：一个三角形是直角三角形. 结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方. (a2+b2=c2) 勾股定理 的逆定理 题设：一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2. 结论：这个三角形是直角三角形. 若两个命题的题设、结论正好相反，则这两个命题叫做互逆命题. 知识点六：互逆命题 题设：一个三角形是直角三角形. 结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方. (a2+b2=c2) 题设：一个三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2. 结论：这个三角形是直角三角形. 如果把其中一个叫原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 考点1 勾股定理 1.在中， ,,,则 的长为( ) B A.5 B. C.3 D. 针对训练 2. 如图，的顶点 的坐标为，顶点,分 别在第一、四象限，且 轴，若, ，则点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 11 3.[2024· 北京西城区期中] 如图，两个边长为1的正方形排列在数轴上 形成一个长方形，以表示3的点为圆心，以长方形的对角线长为半径作 圆与数轴有两个交点，其中点 表示的数是( ) C A.5.2 B. C. D. 12 4.[2024· 浙江] 如图，正方形 由四个全等的直角 三角形 和中间一个小 正方形组成，连接.若， ，则 的长为( ) C A.5 B. C. D.4 13 5. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，所 有的四边形都是正方形，已知，， ，，则 的值是( ) B A.18 B.10 C.36 D.40 14 6.[2024· 北京朝阳区期中] 如图，在中， ， ， ，，则 的长为 ( ) B A.1.5 B.2 C.3 D.4 [解析] 点拨： ， ， ， . ， ， 解得（负值已舍去）， . ， ， ， ， . 15 考点2 勾股定理的逆定理 7.[2024· 重庆铜梁区期中] 下列各组数中是勾股数的是( ) D A.，， B.1，2， C.4，5，7 D.5，12，13 8.在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是 ( ) C A. B. C. D. 16 9.下面三个定理中，存在逆定理的有( ) ①角平分线上的点到角的两边的距离相等； ②全等三角形的对应角相等；③内错角相等，两直线平行. C A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 10.如图，在中，，，，以 为直径的 半圆过点，再分别以， 为直径向外作半圆，则阴影部分的面积 为____. 30 17 11.如图，已知等腰三角形 的底边长 ，是 上的一点，且 ， . （1）求证： ； 证明：,,， ， . 是直角三角形，且 . 18 （2）求 的面积. 解：设，则 . , . 在中， ， ， 即，解得 . . 的面积为 . 19 考点3 勾股定理及其逆定理的实际应用 12. “今有方池一丈，葭生其中央，出水 一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国 数学史上的“葭生池中”问题.如图，即 ， ，，则 ( ) C A.8 B.10 C.12 D.13 20 13. 《勾股》中记载了这样一个问题：“今有开门去阃 一尺不合2寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门 和，门边沿，两点到门槛的距离是1尺（1尺寸），两扇门的间隙为2寸，则门槛 长为_____寸. 101 21 14. 如图为某品牌婴儿车简化结构示意图.根据安全标 准需满足，现测得，， ， ，其中与之间由一个固定为 的零件连接 （即 ），通过计算说明该婴儿车是否符合安全标准. 22 解：在中， ，， ， 由勾股定理得 ， 在中，，， ， ， ， ， 是直角三角形， ，即 ， 该婴儿车符合安全标准. 23 利用勾股定理解决折叠问题 专项突破一 24 题型一 一次折叠问题 （第1题） 1.如图，在中，， ， ，将折叠，使点落在边上的点 处，是折痕，则 的周长为( ) C A.6 B.8 C.12 D.14 25 （第2题） 2.[2024·莆田期中] 如图，， ， 将沿着直线折叠，点落在点 处， 与轴交于点，与交于点，则点 的坐 标是( ) B A. B. C. D. 26 3.如图，把一张长方形纸片沿折叠，点 与点 重合，点落在点处,连接.若长方形的长 为8， 宽 为4，求： （1）和 的长； 解： 四边形 为长方形， ,, . 由折叠得，， , 设，则 ， 在中， ， ，解得，， . 27 （2）阴影部分的面积. 解：过点作于点 ， ，， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 . 28 题型二 两次折叠问题 4.如图，在三角形纸片中， ，， .沿过 点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点 处；再折叠纸片，使 点与点重合，第二条折痕与的交点为，求 的长. 29 解：由折叠得， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ，解得，即 . 30 5.如图,正方形纸片的边长为3,点，分别在边,上,将, 分别沿，折叠，点,恰好都落在点处.已知,求 的长. 31 解：设，由折叠的性质，得, 正方 形 的边长为3， ,, . 由题意得，点，，三点共线. . 在中， , ，解得 . . 32 利用勾股定理解决最短路径问题 专项突破二 33 图例 基本策略 模型一 ________________ 确定动点 所在的直线；利用对称性，将同侧的, 两点转化为异侧的两点，，则最短路径即为线段 ；常构造直角三角形 ，利用勾股定理求解 图例 基本策略 模型二 利用“垂线段最短”确定最短路径； 构造直角三角形，利用勾股定理求解 类型一 平面图形中的最短路径问题 34 1.如图，在中， ,， 的平分线交于点,且，是边 上一动 点，则 的最小值为( ) C A.2 B. C.1 D. 2.[2024·天津和平区月考] 如图，在 中， ，，，为 边上一动 点，连接，与关于直线 对称，连 接，则 的最小值为( ) B A. B.1 C. D. 35 3.[2024·佛山禅城区期中] 如图，在等边三角形 中，是高，点,分别在,上，点是边 上的 动点，连接,,若，，则 的 最小值为( ) B A.4 B.5 C.6 D.7 36 [解析] 点拨：如图，作点关于直线的对称点 ， 连接交于点，连接 ， 易知此时 的值最小，最小值为 ， 是等边三角形， 是高， , 由对称可知，, ， ， , 的最小值为5. 37 4.如图，在中，，，且，若点 在 边上（不含端点）运动，则线段 的最小值为___. [解析] 点拨：根据垂线段最短知， 当时， 的值最小， ,,, ， 当时， ， 即, , 此时 , 点在边上， 线段的最小值为 . 38 5.[2024·成都] 如图，在平面直角坐标系中，已知， ， 过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则 的最小值为___. 5 39 [解析] 点拨：如图，作点关于直线的对称点 ， 连接交直线于点，连接， ， 则，， ， ， 当,,三点共线，即点与点 重合时， 的值最小，为线段 的长， 直线轴， 轴. ，，,， ， 在 中， . 的最小值为5. 40 类型二 几何体中的最短路径问题 图例 基本策略 圆柱 __________________________________________ 将立体图形展开成平面图形， 利用“两点之间，线段最短”确 定最短路径；构造直角三角 形，利用勾股定理求解 注意：长方体不同的展开方法 构造的直角三角形的各边长不 同，因此要先分类讨论再计算 比较 41 图例 基本策略 长方体 ___________________________________________________ 将立体图形展开成平面图形， 利用“两点之间，线段最短”确 定最短路径；构造直角三角 形，利用勾股定理求解 注意：长方体不同的展开方法 构造的直角三角形的各边长不 同，因此要先分类讨论再计算 比较 阶梯 ____________________________________________________________________________ 续表 42 6.小南同学报名参加了攀岩选修课，攀岩墙近似一个 长方体的两个侧面，如图所示.他根据学过的数学知 识准确地判断出，从点攀爬到点 的最短路径长为 ( ) D A. B. C. D. 7.如图，圆柱的轴截面 是边长为4的正方形，动点 从点出发，沿着圆柱的侧面移动到的中点 的最短 距离的平方为( ) A A. B. C. D. 43 8.[2024·武汉经开区期末] 如图，长方体的长、宽、高分别为 ， ，，一只蚂蚁沿着长方体的表面从点爬到点 ，则蚂蚁爬行 的最短路径的长是______ . 44 [解析] 点拨：如图①，展开前面和上面，连接 , ；如图 ②，展开前面和右面，连接 ， ；如图③，展 开左面和上面，连接 ， . ， 最短路径的长为 . 45 9.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、 宽、高分别为，和，和 是这个台阶的两个相对的端点， 点处有一 只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，则这只 蚂蚁从点出发沿着台阶爬到 点的最短距离 是____ . 73 46 [解析] 点拨：将台阶展开成平面图形，连接 , 如图所示. 因为每级台阶长、宽、高分别为， 和 ， 所以 ， , 在中， , 所以最短距离是 . 47 10.如图，长方体的长和宽分别为和，高为 . 如果用一根细线从点开始经过四个侧面缠绕一圈达到点 ，那么所用 细线最短需要______ . 48 类型三 利用数形结合解决最短路径问题 11.[2024·莆田涵江区期中] 【问题背景】 在中，，，三边的长分别为，， ，求这个三 角形的面积.小蔡同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格 （每个小正方形的边长均为1），然后在网格中画出格点 （即三个顶点都在小正方形的顶点处， , , ），如图①.这样不需求 的高，借用网格就能计算出它的面积.这种求 面积的方法 叫做构图法. 49 【问题解决】 （1）借用网格计算出图①中 的面积为_ _. 50 【思维拓展】 （2）请运用构图法比较与 的大小，在图②的正方形网格 （每个小正方形的边长均为1）中画出相应的图形. 解：如图①，由图可得, , ， 由三角形的三边关系可知 ， . 51 【探索创新】 （3）已知是正数，请运用构图法求出 的最小 值.（画出相应的图形） 解：如图②， 的最小值可转 化为平面直角坐标系中轴正半轴上一点 到 , 两点的距离的和的最小值， 作关于轴的对称点，连接， ， 52 则， ， 当,,三点共线时，的值最小，最小值为 的长度. ， ， ， 的最小值为 . 53 易错点1.审题不到位，受思维定式的干扰 【例1】在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且(a＋b) (a－b)＝c2，则 (　　) A. ∠A为直角 B. ∠B为直角 C. ∠C为直角 D. △ABC不是直角三角形 易混易错 错解：C. 错解分析：常见的直角三角形表示中，一般将直角标注为∠C，因此容易思维定式选择∠C为直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为a2－b2＝c2，即a2＝b2＋c2，再根据勾股定理进行判断，较长边对应的角是直角. 正解：A. 【针对训练】填空： (1)在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，则斜边BC长为　 　；  (2)在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，则第三边长为　 　.  10或2 10　 易错点2.概念不明确，混淆勾股定理及其逆定理 【例2】下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 (　　) A.1，2，3 B.62，82，102 C. D. 错解：B. 错解分析：未能彻底区分勾股定理及其逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方，看是否满足a2＋b2＝c2的形式. 正解：因为，故选C. 【针对训练】(1)以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是( ) A. ，2 B. 1，2， C. D. 4，5，6 (2)已知∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( ) A. ∠A＋∠C＝∠B B. ＝3，＝4，＝5 C.(a＋b)2－c2＝2ab D. ∠A∶∠B∶∠C＝5∶3∶2 B C 易错点3.方向角问题中方向不明确时，结果没有进行分类 【例3】如图D17－1－1，某港口O位于东西海岸线上，甲、乙两艘渔船同时离开港口O，各自沿一固定方向航行，甲船沿北偏东30°方向以每小时16 n mile的速度航行，乙船沿某方向以每小时12 n mile的速度航行，2 h后，甲船到达点A处，两艘船相距40 n mile，问乙船沿哪个方向航行？ 图D17－1－1 错解：如图D17－1－2，假设2 h后乙船到达点B处. 由题意，得OA＝16×2＝32(n mile)，OB＝12×2＝24(n mile). ∵OA2＋OB2＝322＋242＝1 600，AB2＝402＝1 600， ∴OA2＋OB2＝AB2. ∴△OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°. ∵甲船沿北偏东30°方向航行， ∴90°－30°＝60°. ∴乙船沿北偏西60°方向航行. 图D17－1－2 错解分析：该解题过程错在只讨论了其中一种情况，导致漏解，这题没有给出航行方向，乙船可能沿北偏西的某个方向航行，也可能沿南偏东的某个方向航行，需要自己画图分类讨论. 由题意，得OA＝16×2＝32(n mile)， OB＝12×2＝24(n mile). ∵OA2＋OB2＝322＋242＝1 600，AB2＝402＝1 600， ∴OA2＋OB2＝AB2. ∴△OAB是直角三角形，且∠AOB＝90°. ∵甲船沿北偏东30°方向航行， ∴90°－30°＝60°. ∴乙船沿北偏西60°或南偏东60°方向航行. 正解：如图D17－1－3，假设2 h后乙船到达点B处. 图D17－1－3 【针对训练】某港口A位于东西海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行45 n mile，乙船每小时航行60 n mile，它们离开港口1.2 h后分别位于点B，C处，且相距90 n mile.若甲船沿南偏西25°方向航行，问乙船沿哪个方向航行？ 解：如答图D17－1－1. 由题意，得AB＝45×1.2＝54(n mile)，AC＝60×1.2＝72(n mile). ∵AB2＋AC2＝542＋722＝8 100，BC2＝902＝8 100. ∴AB2＋AC2＝BC2. ∴△ABC是直角三角形，且∠BAC＝90°. ∵甲船沿南偏西25°方向航行，∴90°－25°＝65°. ∴乙船沿南偏东65°或北偏西65°方向航行. 答图D17－1－1 易错点4.分析不深入，以偏概全而造成漏解 【例4】在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，求△ABC的周长. 错解：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12， ∴AD＝＝9，BD＝＝5. ∴AB＝AD＋BD＝9＋5＝14. ∴△ABC的周长为14＋13＋15＝42. 错解分析：本题求解时，容易分析不深入，以偏概全而造成漏解，只考虑了三角形的高在形内的情况，遗漏了三角形的高可能在形外这一情况，因而导致出现漏解，造成解题答案不完整. 正解：∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12， ∴AD＝＝9， BD＝＝5. 如图D17－1－4①，CD在△ABC内部时， AB＝AD＋BD＝9＋5＝14. 此时△ABC的周长为14＋13＋15＝42； 如图D17－1－4②，CD在△ABC外部时， AB＝AD－BD＝9－5＝4. 此时△ABC的周长为4＋13＋15＝32. 综上所述，△ABC的周长为42或32. 图D17－1－4 【针对训练】在△ABC中，AD为BC边上的高，AC＝5，BC＝6，△ABC的面积为12，求AB的长. 解：∵AC＝5，BC＝6，AD为BC边上的高， ∴S△ABC＝BC·AD＝×6×AD＝12. 解得AD＝4. 由勾股定理，得CD＝＝3. 如答图D17－1－2①，当AD在△ABC内部时，BD＝BC－CD＝6－3＝3. 此时AB＝＝5； 答图D17－1－2 如答图D17－1－2②，当AD在△ABC外部时，BD＝BC＋CD＝6＋3＝9. 此时AB＝. 综上所述，AB的长为5或. 1.[2024·聊城期末] 如图，数轴上的点， 分别对 应的数是1，2，过点作，以点 为圆 心，长为半径画弧，交于点 ；以数轴原点 （点）为圆心， 长为半径画弧，交数轴于点 ，则点 对应的数是( ) D A. B. C. D. 押题预测 67 2. 如图，这是一个供滑板 爱好者使用的型池示意图，该 型池可以看成是 长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部 分的截面是直径为 的半圆，其边缘 ，点在上， ，一 C A. B. C. D. 名滑板爱好者从点滑到 点，则他滑行的最短距离约为（边缘部分的 厚度忽略不计， 取3，结果精确到 ）( ) 68 3. 如图， 是等腰直角 三角形，，点在 的斜边上.求证： . 证明：如图，作，垂足为， . 在中， . , 易得 . ， ， , . 69 $$