精品解析：宁夏育才中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

宁夏育才中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数 学 试 卷 （试卷满分 150分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C. 有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，则实数的取值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，已知，，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 只有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 7. 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A. 80 B. 120 C. D. 8. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. B. 复数的模为 C. 复数的共轭复数 D. 已知复数满足， 则的最小值为 10. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 与的夹角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的坐标为 11. 如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 四边形的周长为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为单位向量，且，则_________． 13. 已知（，为虚数单位），则_______． 14. 已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中． （1）若为实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围． 16. 已知向量与的夹角为，． （1）求； （2）若向量与共线，求实数的值； （3）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 17. 为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． （1）求古塔的高度； （2）求的面积； （3）若从观测点向后（沿的延长线）退至点，要使在处测得塔顶的仰角为，求后退距离． 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． （3）若，求面积的取值范围． 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，当且，求的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏育才中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试 数 学 试 卷 （试卷满分 150分，考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将信息填写在答题卡上，并将条形码贴在答题卡指定位置． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回，试卷保留． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 下列说法正确的是（ ） A. 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B. 用任意一个平面去截球，得到的截面一定是一个圆面 C. 有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 【答案】B 【解析】 【详解】对于A项，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，故A错误； 对于B项，用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，故B正确； 对于C项，例如将两个棱柱底面错开拼接，满足有两个平面平行，其他各个面都是平行四边形， 但是形成的多面体不是棱柱，如图， 故C错误； 对于D项，直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体，故D错误； 2. 在复平面内，对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以对应的点为，位于第一象限. 3. 已知向量满足，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与的夹角为， 则 ，所以. 4. 已知向量，则实数的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， ，解得. 5. 已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：两个力的夹角为，合力与的夹角为， 合力与的夹角为， 那么的大小为． 6. 在中，已知，，，则此三角形（ ） A. 无解 B. 只有一解 C. 有两解 D. 解的个数不确定 【答案】B 【解析】 【详解】在中，，，， 由正弦定理，得， 由，得，则是锐角，所以此三角形只有一解. 7. 为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（ ）米． A. 80 B. 120 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 8. 圆是中华民族传统文化的形态象征，象征着“圆满”和“饱满”，是自古以和为贵的中国人所崇拜的图腾．如图，是圆的一条直径，且．，是圆上的任意两点，，点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据数量积的运算律得到，根据点在线段上，即可求出的取值范围，即可得解 【详解】如图，连接, 则 因为点在线段上且，则圆心 到直线的距离， 所以，所以， 所以的取值范围是． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求． 全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的有（ ） A. B. 复数的模为 C. 复数的共轭复数 D. 已知复数满足， 则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A项，，故A正确； 对于B项，，故B正确； 对于C项，，则，故C错误； 对于D项，由复数模的三角不等式得到 ， 当时等号成立，故D正确. 10. 已知平面向量，满足，，，则（ ） A. B. 与的夹角的余弦值为 C. D. 在上的投影向量的坐标为 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A项，，因为，所以， 即，得到，故A正确； 对于B项，设与的夹角为，则，故B错误； 对于C项，因为，所以，故C正确； 对于D项，在上的投影向量为 ，故D错误. 11. 如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 四边形的面积为 C. D. 四边形的周长为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A 项，在中，由余弦定理得, 即， 在中, 由余弦定理得, 即 所以, 则，故,则，故A正确； 对于B项，因为， ， 所以，故B正确； 对于C项，因为，所以，故C错误； 对于D项，四边形的周长为，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，为单位向量，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数量积的运算律求出，再由及数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，为单位向量， 所以，即， . 13. 已知（，为虚数单位），则_______． 【答案】 【解析】 【分析】先将等式左边的复数进行化简，再根据复数相等的条件求出的值，最后计算即可. 【详解】因为 所以 ，即 ，， 所以. 14. 已知锐角三个内角所对的边分别为，且，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用余弦定理得到，由于为锐角三角形得到，利用三角恒等变换化简得到，最后利用三角函数求解即可. 【详解】因为， ，所以； 由于为锐角三角形且，因此， 又因为 所以， 因为，所以，所以， 则. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中． （1）若为实数，求的值； （2）若是纯虚数，求的值； （3）若对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由虚部为0列式求值. （2）由实部为0，虚部不为0列式求值. （3）由实部大于0，虚部小于0列式求的取值范围. 【小问1详解】 由为实数，所以虚部为0， 即或. 【小问2详解】 由是纯虚数，所以， 所以. 【小问3详解】 由对应的点位于第四象限，所以， 所以. 所以的取值范围为. 16. 已知向量与的夹角为，． （1）求； （2）若向量与共线，求实数的值； （3）若向量与夹角为锐角，求实数的取值范围． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算直接求解即可； （2）利用向量共线定理直接列方程求解即可； （3）向量与夹角为锐角，则向量与数量积大于0且不同向，再列不等式求解即可. 【小问1详解】 由； 【小问2详解】 若向量与共线，则存在实数 ，使得, 整理得到， 因为与不共线， 所以，解得； 【小问3详解】 若向量与夹角为锐角， 则， 因为 ， 所以，即； 由（2）知时，向量与共线， 因为向量与夹角为锐角，故 综上所述，实数的取值范围是. 17. 为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行米到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． （1）求古塔的高度； （2）求的面积； （3）若从观测点向后（沿的延长线）退至点，要使在处测得塔顶的仰角为，求后退距离． 【答案】（1）10 （2） （3）（米） 【解析】 【分析】（1）设，则，再利用余弦定理求解； （2）先利用余弦定理求出，得到，再由面积公式求解； （3）先求，再由进行计算． 【小问1详解】 设， 在直角三角形中，因为，故， 同理， 在中，，由余弦定理有， 所以，故（负解舍去）， 所以古塔的高度为米； 【小问2详解】 由（1）的分析可得，同理，而， 故， 而为三角形内角，故， 故（平方米）； 【小问3详解】 由题设有，由（1）可得， 故，故后退距离为米. 18. 在中，角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． （3）若，求面积的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用三角形内角和定理，即可求解； （2）利用余弦定理和三角形的面积公式，即可求解，从而求出周长； （3）利用余弦定理得到，再结合不等式，得到，最后利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得到, 即； 即， 整理得到， 又因为，所以，得， 又因为，所以. 【小问2详解】 由，即，得到 ， 由余弦定理， 得到，即， 所以的周长为. 【小问3详解】 由余弦定理，得； 又因为，所以， 得到，当且仅当时取等， 因为，所以， 故面积的取值范围是. 19. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数． （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，当且，求的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得．若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可得特征向量； （2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果 （3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点 坐标即可. 【小问1详解】 因为， 所以的相伴特征向量 【小问2详解】 由题可得向量的相伴函数为， 因为，即， 则， 因为，所以，则， 所以 【小问3详解】 由为的相伴特征向量， 得到， 所以， 设，则， 又因为， 所以 即 即 ① 因为，所以， 所以， 又因为， 所以当且仅当时，和同时等于，这时①式成立， 所以在的图象上是否存在一点，使得成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $