精品解析：宁夏银川市永宁县上游高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期期中 高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的选项中，只有一个是符合题意的. 1. 设平面向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标运算求解. 【详解】因为，， 所以，所以. 故选：D 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的四则运算化简，再利用复数的几何意义即可得解. 【详解】因为，则 则其对应的点为，所以在第四象限. 故选：D. 3. 一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得原图形三角形的底与高的值，进而求得原图形的面积 【详解】因为在直观图中，，所以， 所以如下图，原图形是一个底边长为，高为的直角三角形， 故原图形的面积为. 故选：B 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，结合模长的坐标运算求解即可. 【详解】由题意，解得，故. 故选：A 5. 对于直线和平面，下列命题中正确的是（ ） A. 如果，，是异面直线，那么 B. 如果，，是异面直线，那么与相交 C. 如果，，共面，那么 D. 如果，，共面，那么 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对选项进行一一判断，从而进行求解. 【详解】对于A，如图①所示，，，是异面直线，此时n与α相交，则A不正确； 对于B，如图②所示，，，是异面直线，此时n与α平行，故B不正确； 对于C，，，则没有公共点，若共面，那么，故C正确； 对于D，如图③所示，，，共面，此时m与n相交，故D不正确． 故选：C. 6. 一圆台的上、下底面半径分别为1,3,体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆台的上、下底面半径，可以求得该圆台的上、下底面面积，根据圆台的体积公式可列得关于圆台的高的方程，求出圆台的高.根据圆台的侧面积公式，可求得圆台的侧面积. 【详解】因为一圆台的上、下底面半径分别为1，3，所以该圆台上底面面积为，下底面面积为； 设圆台的高为，由圆台的体积公式可得:，解得. 所以圆台母线长为. 所以圆台的侧面积为. 故选：D. 7. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆柱的高，由圆柱和球的体积相等即可得出球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果. 【详解】设实心圆柱的高为， 因为实心圆柱的底面半径为，侧面积为，解得， 则圆柱的体积为， 设球的半径为，则，解得， 因此，该铁球的表面积为. 故选：A. 8. 如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个杯子形状相同可得底面积之比为高之比的平方，因此容积之比为高之比的立方即可求解. 【详解】因为，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的， 所以底面半径比也是， 所以两个杯子的底面积之比为， 所以杯容积与杯容积之比， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再结合三角形面积公式逐项判断即可. 【详解】因为，，，所以 由正弦定理可得：，即， 则，得，则， 所以， 所以的周长， 所以 的面积为, 由上可知AC错误，BD正确， 故选：BD 10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 C. 已知点G为三条边的中线的交点，则 D. 已知，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量共线的性质，结合平面向量夹角坐标公式、三角形重心的性质、投影向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为点是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且， 所以有，A正确； B：，当与共线且同向时，， 此时与的夹角为零，而，B不正确； C：设边上的中线为， 于是， 因为点G为三条边的中线的交点， 所以点G是三角形的重心，因此有， 于是有，C正确；    D：因为， 所以在上的投影向量的坐标为： ，D正确， 故选：ACD. 11. 如图所示，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与，分别交于点，，且，则（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 圆台的高为 C. 圆锥的体积为 D. 从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由轴截面面积求出底面半径，再由圆锥表面积公式得解判断A，根据平行线分线段成比例可得判断B，由圆锥的体积公式求解判断C，利用侧面展开图转化为线段求解判断D. 【详解】对于A，设的边长为，由已知得，解得， 所以圆锥的表面积为，故A正确； 对于B，因为，所以，又， 所以，故B正确； 对于C，圆锥的体积为，故C错误； 对于D，由已知得圆锥的侧面展开图的圆心角，设的中点为，连接，如图， 可得，，，则，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分 12. 下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为______个． 【答案】1 【解析】 【分析】根据空间位置关系可直接判断各命题. 【详解】命题①：空间中不共线三个点可以确定一个平面，错误； 命题②：直线和直线外的一点，可以确定一个平面，正确； 命题③：三条直线两两相交，若三条直线相交于一点，则无法确定一个平面，所以命题③错误； 命题④：如果三条直线两两平行，那么这三条直线不能确定一个平面，所以命题④错误； 命题⑤：两个平面有无数个公共点，则两平面可能相交，所以命题⑤错误； 故答案为：1 13. 作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为，两个底面内棱长分别为和，则估计该米斗的容积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先画出正四棱台的直观图，再利用台体的体积公式即可求解. 【详解】根据题意，正四棱台的直观图如下： 由题意可知，高， 下底面正方形的变长，其面积， 上底面正方形的变长，其面积， 由台体的体积公式可得，该正四面体的体积: . 故该米斗的容积为. 故答案为：. 14. 如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出，结合二次函数的单调性即可求解. 【详解】如图：过作于点，以为原点，以所在直线分别为轴建立直角坐标系，则，直线的方程为. 设,,，，即， 当或时取得最大值； 当时取得最小值.所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤. 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求向量与的夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的数量积、模的求法求得正确答案. （2）根据向量的夹角公式求得正确答案. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 设向量与的夹角为， 则. 16. 如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求证：点在直线上； （3）求证：、、、四点共面． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由已知得出是异面直线与所成的角或其补角，再得出是等腰直角三角形，即可求解； （2）由点线面的关系，结合面面交线的性质即可证明； （3）由三角形中位线证明即可证明． 【小问1详解】 根据正方体的性质可知， 是异面直线与所成的角或其补角， ，分别是，的中点， ∴是等腰直角三角形， ，即异面直线与所成角的大小为． 【小问2详解】 ，平面， 平面， ，平面， 平面， 平面平面，即， 点在直线上． 【小问3详解】 连接，，，，因为，分别为，的中点，所以， 又因为正方体，，所以，所以、、、四点共面． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角的值及周长的最大值； （2）若角的角平分线交于，满足，求的长. 【答案】（1），周长的最大值为6； （2） 【解析】 【分析】（1）正弦定理化边，结合余弦定理求角C，最后用正弦函数的性质或基本不等式求最值 （2）利用角平分线定理定边的比例，再用余弦定理求三边，最后用向量模长公式计算CD长度 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得，整理可得， 由余弦定理得，所以，所以. 又因为，所以. （方法一）因为，由正弦定理得， 可得，，因为， 所以， 则， 又，则， 当，即时，取得最大值为4，所以周长的最大值为6； （方法二）余弦定理和基本不等式法， 由余弦定理得 得，即， ；得 ，即当且仅当时成立， 所以周长的最大值为6. 【小问2详解】 因为，由角平分线性质定理得，即， 在三角形ABC中，，由余弦定理得，； 因为，所以 ，得， 所以. 18. 如图所示，已知点P是所在平面外一点，M，N，K分别AB，PC，PA的中点，平面平面． （1）求证：平面PAD； （2）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD，并加以证明； （3）求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）利用面面平行的判定定理证明即可； （3）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. 【详解】（1）取中点为，连接 在中， 在中， 所以，即四边形为平行四边形 所以，平面，平面 所以平面 （2）当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接 在中，，平面，平面 所以平面，同理可证，平面 又平面， 所以平面平面 （3），平面，平面，平面 又平面平面，平面， 【点睛】本题主要考查了利用判定定理证明线面平行，面面平行，以及利用线面平行的性质定理证明线线平行，属于中档题. 19. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用正弦定理把边的关系转化为角的关系，再利用三角形内角和与辅助角公式，结合角的范围即可求得结果； （2）先通过余弦定理得到与的关系，再用向量表示出，结合正弦定理转化为角的三角函数，最后根据锐角三角形角的范围即可求出取值范围. 【小问1详解】 根据题意可知，， 由正弦定理得：， 即， 所以， 即． 又，则， 故，即，所以 ． 又，所以 ， 即，故． 【小问2详解】 根据余弦定理得：， 即． 又因为，两边平方得． 根据正弦定理可知，，故，， 所以 ． 又由于是锐角三角形，因此可得，解得． 因此，所以，即， 所以，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永宁上游高级中学2025-2026学年第二学期期中 高一数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，满分40分.每小题给出的选项中，只有一个是符合题意的. 1. 设平面向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 4 D. 2. 已知复数，则复数在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 一个水平放置的平面图形用斜二测画法作出的直观图是如图所示的等腰直角，其中，则平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 对于直线和平面，下列命题中正确的是（ ） A. 如果，，是异面直线，那么 B. 如果，，是异面直线，那么与相交 C. 如果，，共面，那么 D. 如果，，共面，那么 6. 一圆台的上、下底面半径分别为1,3,体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 把一个铁制的底面半径为，侧面积为的实心圆柱熔化后铸成一个球，则这个铁球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是两个形状相同的杯子，且杯高度是杯高度的，则杯容积与杯容积之比最接近的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，满分18分.每小题给出的选项中，有多个选项是符合题意的.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的面积为 10. 下列关于平面向量的说法正确的是（ ） A. 已知点A，B，C是直线l上三个不同的点，O为直线l外一点，且，则 B. 已知向量，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 C. 已知点G为三条边的中线的交点，则 D. 已知，则在上的投影向量的坐标为 11. 如图所示，圆锥的轴截面是面积为的正三角形，用平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截面圆与，分别交于点，，且，则（ ） A. 圆锥的表面积为 B. 圆台的高为 C. 圆锥的体积为 D. 从点出发沿着该圆锥侧面到达中点的最短路程为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分 12. 下列命题中：①空间中三个点可以确定一个平面；②直线和直线外的一点，可以确定一个平面；③如果三条直线两两相交，那么这三条直线可以确定一个平面；④如果三条直线两两平行，那么这三条直线可以确定一个平面；⑤如果两个平面有无数个公点，那么这两个平面重合．真命题的个数为______个． 13. 作为我国古代称量粮食的量器，米斗有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．右图是一件清代老木米斗，可以近似看作正四棱台，测量得其内高为，两个底面内棱长分别为和，则估计该米斗的容积为__________． 14. 如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要的文字说明、计算过程、演算步骤. 15. 已知向量与的夹角，且，． （1）求，； （2）求向量与的夹角的余弦值． 16. 如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点． （1）求异面直线与所成角的大小； （2）求证：点在直线上； （3）求证：、、、四点共面． 17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，. （1）求角的值及周长的最大值； （2）若角的角平分线交于，满足，求的长. 18. 如图所示，已知点P是所在平面外一点，M，N，K分别AB，PC，PA的中点，平面平面． （1）求证：平面PAD； （2）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD，并加以证明； （3）求证：． 19. 已知分别为三个内角的对边，且． （1）求角； （2）若为锐角三角形，，求边上的中线的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $