18.1 第1课时 勾股定理（课件）--2025--2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 18.1 第1课时 勾股定理 第18章 勾股定理 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版八年级下册 18.1 第1课时 勾股定理 一、课时核心知识点 （一）勾股定理的定义 在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若直角三角形的两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，则可表示为：$$a^2 + b^2 = c^2$$。 补充说明：① 勾股定理仅适用于$$直角三角形$$，非直角三角形不适用；② 其中，较短的两条直角边称为“勾”和“股”，斜边称为“弦”；③ 几何意义：直角三角形两条直角边对应的正方形面积和，等于斜边对应的正方形面积。 （二）勾股定理的证明（核心思路） 常见证明方法：割补法（最基础、最易理解），核心是通过分割、拼接，将直角三角形的面积与正方形面积关联，验证$$a^2 + b^2 = c^2$$。 简单推导：以直角三角形$$ABC$$（$$\angle C = 90^\circ$$）的三条边为边长，分别向外作正方形，通过割补可得：两个直角边对应的正方形面积和 = 斜边对应的正方形面积，即$$a^2 + b^2 = c^2$$。 （三）勾股定理的初步应用 核心用途：已知直角三角形的任意两条边长，求第三条边长（“知二求一”）。 1. 已知两条直角边$$a$$、$$b$$，求斜边$$c$$：$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$； 2. 已知斜边$$c$$和一条直角边$$a$$，求另一条直角边$$b$$：$$b = \sqrt{c^2 - a^2}$$（同理，已知$$c$$和$$b$$，求$$a$$：$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$）。 注意：计算时需先判断哪条边是斜边（直角三角形中，斜边是最长的边），避免代入错误。 二、易错点总结 1. 混淆适用范围：将勾股定理用于非直角三角形，导致计算错误； 2. 边长代入错误：把斜边当作直角边代入公式，或混淆两条直角边的对应关系； 3. 计算失误：平方根运算出错（如$$\sqrt{25} = \pm 5$$，忽略边长为正数，舍去负根）； 4. 单位不统一：计算前未将各边长的单位统一（如一边为cm，一边为m），导致结果错误。 三、典型例题解析 例题1：已知直角边求斜边 在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，两条直角边AC = 6cm，BC = 8cm，求斜边AB的长。 解析：由勾股定理得，$$AB^2 = AC^2 + BC^2$$， 代入数据：$$AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$$， ∵ 边长为正数，∴ $$AB = \sqrt{100} = 10$$cm， 答：斜边AB的长为10cm。 例题2：已知斜边和一条直角边求另一条直角边 在Rt△DEF中，$$\angle D = 90^\circ$$，斜边EF = 13cm，直角边DE = 5cm，求另一条直角边DF的长。 解析：由勾股定理得，$$EF^2 = DE^2 + DF^2$$，变形得$$DF^2 = EF^2 - DE^2$$， 代入数据：$$DF^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$， ∵ 边长为正数，∴ $$DF = \sqrt{144} = 12$$cm， 答：另一条直角边DF的长为12cm。 例题3：勾股定理的简单实际应用 一架梯子靠在墙上，梯子底部距离墙壁4m，梯子顶端到地面的高度为3m，求梯子的长度。 解析：梯子、墙壁和地面构成直角三角形，其中梯子为斜边，底部到墙壁的距离和顶端到地面的高度为两条直角边， 设梯子长度为$$c$$m，由勾股定理得：$$c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$$， 解得$$c = 5$$m， 答：梯子的长度为5m。 四、课时巩固练习题 （一）基础选择题（每题4分，共20分） 1. 勾股定理的适用范围是（） A. 所有三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 1. 在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，$$a = 3$$，$$b = 4$$，则斜边$$c$$的值为（） A. 5 B. 7 C. 25 D. $$\sqrt{7}$$ 1. 在Rt△XYZ中，$$\angle Y = 90^\circ$$，斜边XZ = 10，直角边XY = 6，则YZ的长为（） A. 4 B. 8 C. 16 D. $$\sqrt{136}$$ 1. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（） A. 2，3，4 B. 3，4，6 C. 5，12，13 D. 4，6，7 1. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则斜边的长为（） A. 13 B. 17 C. 7 D. $$\sqrt{119}$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，若$$a = 5$$，$$c = 13$$，则$$b =$$________。 2. 勾股定理的表达式为（用$$a$$、$$b$$、$$c$$分别表示直角边和斜边）：________。 3. 一个直角三角形的两条直角边分别为6和8，则这个直角三角形的斜边长为________。 4. 若直角三角形的斜边为10，一条直角边为6，则另一条直角边的平方为________。 5. 小明量得家里的门框的宽为3m，高为4m，则门框的对角线长为________m。 （三）解答题（每题15分，共60分） 1. 在Rt△ABC中，$$\angle C = 90^\circ$$，已知AC = 9cm，BC = 12cm，求斜边AB的长及AB边上的高（提示：利用三角形面积公式）。 2. 在Rt△DEF中，$$\angle E = 90^\circ$$，斜边DF = 15cm，直角边DE = 9cm，求另一条直角边EF的长。 3. 一根电线杆垂直于地面，从电线杆底部到地面上一点的距离为6m，从该点到电线杆顶端的距离为10m，求电线杆的高度。 4. 判断线段a = 7，b = 24，c = 25能否构成直角三角形，并说明理由。 --- 参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.C 5.A 二、填空题 1. 12 2. $$a^2 + b^2 = c^2$$ 3. 10 4. 64 5. 5 三、解答题 1. 由勾股定理得：$$AB^2 = AC^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$$，∴ $$AB = 15$$cm； 设AB边上的高为$$h$$，由三角形面积公式：$$\frac{1}{2} \times AC \times BC = \frac{1}{2} \times AB \times h$$， 即$$\frac{1}{2} \times 9 \times 12 = \frac{1}{2} \times 15 \times h$$，解得$$h = 7.2$$cm； 答：斜边AB的长为15cm，AB边上的高为7.2cm。 2. 由勾股定理得：$$EF^2 = DF^2 - DE^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$$， ∵ 边长为正数，∴ $$EF = 12$$cm； 答：另一条直角边EF的长为12cm。 3. 电线杆、地面和从该点到电线杆顶端的线段构成直角三角形，电线杆为一条直角边， 设电线杆高度为$$h$$m，由勾股定理得：$$h^2 + 6^2 = 10^2$$， 即$$h^2 = 100 - 36 = 64$$，解得$$h = 8$$m； 答：电线杆的高度为8m。 4. 能构成直角三角形，理由如下： 计算得：$$a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$，$$c^2 = 25^2 = 625$$， ∴ $$a^2 + b^2 = c^2$$，根据勾股定理的逆用（后续课时学习），可知该三条线段能构成直角三角形； 答：能构成直角三角形，因为两条较短边的平方和等于最长边的平方。 2026年4月6日星期一7时6分22秒 2026年4月6日星期一7时6分24秒 1. 经历勾股定理的探究过程，了解关于勾股定理的一些文化历史背景，会用面积法来证明勾股定理，体会数形结合的思想. (重点) 2. 会用勾股定理进行简单的计算. (难点) 学习目标 勾股定理 如图，在行距、列距都是 1 个单位长度的方格网中， Rt△ABC 的顶点都是格点，∠ACB = 90°. 分别以 △ ABC 的各边为正方形的一边，向形外作正方形，并用 S1 ，S2 与 S3 表示这三个正方形的面积. C S3 a A B A C B S1 S2 S3 S2 S1 b c b a c (1) (2) 勾股定理的认识及验证 1 C S3 a A B A C B S1 S2 S3 S2 S1 b c b a c (1) (2) 1.观察图 (1) ，并填写： S1 = _____ 个单位面积； S2 = _____ 个单位面积； S3 = _____ 个单位面积。 2.观察图 (2) ，并填写： S1 = _____ 个单位面积； S2 = _____ 个单位面积； S3 = _____ 个单位面积。 9 9 18 9 16 25 C S3 a A B A C B S1 S2 S3 S2 S1 b c b a c (1) (2) 3. 图 (1) ， (2) 中三个正方形面积之间有怎样的关系 ? 用它们的边长 a ，b，c 表示： a2 + b2 = c2 4. 如图，在几何绘图软件中任意画一个 Rt△ABC，其中∠C = 90°，AB = c，BC = a，AC = b. 度量△ABC 的三边长 a ，b，c，猜想 a ，b ，c 有怎样的关系。 GGB 验证猜想 猜想 a2 + b2 = c2 猜想 如图，在 Rt ABC 中，∠C = 90°，AB = c，BC = a ，AC = b ，则 a2 + b2 = c2. a b c A B C a b H G E F a b c c c c b b a a C1 A1 B1 D1 证明 取 4 个与 Rt △ABC 全等的直角三角形，把它们拼成如上图所示的边长为 a + b 的正方形 EFGH . 由题意得 A1B1 = B1C1 = C1D1 = A1D1 = c . 因为∠B1A1E +∠A1B1E = 90°， ∠A1B1E = ∠D1A1H， 所以∠B1A1E +∠D1A1H = 90°， ∠D1A1B1 = 90°. 同理：∠A1B1C1 =∠B1C1D1 =∠C1D1A1 = 90°. 则四边形 A1B1C1D1，是边长为 c 的正方形. 分别记正方形 EFGH 和正方形 A1B1C1D1，的面积为 S正方形EFGH 和 ， 化简，得 a2 +b2 = c2. 则 S正方形EFGH - 4S△ABC = 即 ( a +b )2 - 4× ab = c2. 在我国又称商高定理，在国外则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理。 （a、b、c 为正数） 勾股定理 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2. 公式变形： a b c 知识要点 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。 我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。 勾 股 勾2 + 股2 = 弦2 数学小历史 上面的动图形象地验证了勾股定理，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想吧！ 定理验证 a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧。 a b c ∵ S大正方形＝c2， S小正方形＝(b - a)2， ∴ S大正方形＝4S三角形＋S小正方形。 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲。 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽。 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧。 a a a a b b b b c c c c ∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab. ∴ a2 + b2 = c2. 证明： ∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab， S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形 = 4× ab + c2 = c2 + 2ab, a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”。 如图，图中的三个三角形都是直角三角形， 求证：a2 + b2 = c2. 如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得： 欧几里得证明勾股定理 a b c 青入 青方 青 出 青出 青入 朱入 朱方 朱出 青朱出入图 拓展知识 利用勾股定理进行计算 例1 如图，在 Rt△ ABC 中，两直角边 AC = 5， BC = 12.求：(1) AB 的长； (2) 斜边上的高 CD 的长。 解 (1) 在Rt△ ABC 中， AB 2 = AC2 + BC2 = 52 + 122 = 169 . 则 AB = 13. (2) ∵ S△ABC = AC×BC = AB×CD , ∴ 2 返回 D 1. 直角三角形两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为(　　) A．10 B．5 C．9.6 D．4.8 中考考法 22 C 返回 2．如图，在长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为(　　) A．3 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．12 cm2 中考考法 23 返回 B 中考考法 24 4．[2025成都]如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2.以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长为半径作弧，两弧在AC上方交于点D，连接BD，则BD的长为________． 中考考法 25 返回 中考考法 返回 5．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，△ABC各顶点均在网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为________． 1 中考考法 27 6．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是(　　) 中考考法 28 中考考法 返回 【答案】A 中考考法 7．如图，火柴盒的侧面为长方形ABCD，其中CD＝a，AD＝b，AC＝c.把直立的火柴盒放倒，侧面ABCD旋转至长方形AB′C′D′处(如图)． (1)S△ADC＝_________，S△AB′C′＝_________， S△ACC′＝____________，S四边形CDB′C′＝ _______________________________ (用与a，b，c有关的代数式表示)； 中考考法 31 (2)由(1)的结论证明勾股定理：a2＋b2＝c2； 中考考法 32 返回 (3)若a＋b＝7，c＝5，求△ADC的面积． 中考考法 33 2或18 8. 在△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC边上的高线，若BD＝6，则CD＝________． 中考考法 34 返回 中考考法 9. 为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图①，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)， PQ2为y(单位：km2)．如图②， y关于x的函数图象与y轴交于 点C，最低点D(m，81)，且经 过E(1，225)和F(n，225)两点． 中考考法 36 下列选项正确的是(　　) A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点(15，85)在该函数图象上 中考考法 37 【点拨】如图，作PG⊥AB于点G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，连接PH，则由题意和图象可知PH2＝225.当点Q运动到点G时，PQ2最小，即PG2＝81，AG＝m，∴HG＝m－1. 在Rt△PGH中，由勾股定理， 得225＝81＋(m－1)2，解得m＝ 13(负值已舍去)，故选项A错误； 中考考法 当x＝n时，点Q运动到点B，连接PB，则PB2＝225＝PH2，∴PB＝PH.∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝m－1＝12.∴AB＝n＝13＋12＝25，故选项B错误；当x＝0，即点Q在A点时，连接PA，∴PQ2＝AP2＝AG2＋PG2＝132＋81＝250，∴点C的纵坐标为250，故选项C错误； 中考考法 当x＝15时，点Q运动到点K，连接PK，则AK＝15，∴GK＝AK－AG＝2.∴PK2＝KG2＋PG2＝4＋81＝85.∴点(15，85)在该函数图象上，故选项D正确．故选D. 返回 【答案】D 中考考法 勾股定理 内容 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a，b 为直角边，c 为斜边，则有 a2 + b2 = c2. 注意 在直角三角形中 看清哪个角是直角 已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论 Lavf54.6.100 3．[2025安徽]如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，边AC的中点为D，边BC上的点E满足ED⊥AC.若DE＝，则AC的长是(　　) A．4 B．6 C．2 D．3 【点拨】如图，连接AD，CD，设AC与BD相交于O，根据作图过程，得AD＝AB，CD＝CB，∴AC垂直平分BD，则AC⊥BD，OB＝OD.∵在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，∴AC＝＝＝.由S△ABC＝AB·BC＝AC·OB，得BO＝＝ ＝，∴BD＝2OB＝. 【点拨】A.大正方形的面积等于两个小正方形的面积与两个长方形的面积和，∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，以上公式为完全平方公式，故A选项不能证明勾股定理．B.三个直角三角形的面积的和等于梯形的面积，∴ab＋ab＋c2＝(a＋b)(a＋b)，整理可得a2＋b2＝c2，故B选项可以证明勾股定理． C.大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加小正方形的面积，∴4×ab＋c2＝(a＋b)2，整理得a2＋b2＝c2，故C选项可以证明勾股定理．D.整个图形的面积等于两个直角三角形的面积加上一个大正方形的面积，也等于两个小正方形的面积加上两个直角三角形的面积，∴c2＋2×ab＝a2＋b2＋2×ab，整理得a2＋b2＝c2，故D选项可以证明勾股定理．故选A. ab c2或(a2＋b2) (a2＋b2)＋ab或c2＋ab或(a＋b)2 ab 【证明】由图形可知S四边形CDB′C′＝S△ACC′＋S△ADC＋S△AB′C′， 即(a＋b)(a＋b)＝c2＋2×ab， ∴(a2＋b2)＋ab＝c2＋ab.∴a2＋b2＝c2. 【解】∵a2＋b2＝c2，∴(a＋b)2＝c2＋2ab. 又∵a＋b＝7，c＝5，∴ab＝12.∴S△ADC＝ab＝6. 【点拨】△ABC的形状分两种情况，①当△ABC是锐角三角形时，如图①，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8，∴CD＝AC－AD＝10－8＝2；②当△ABC是钝角三角形时，如图②，在Rt△ABD中，AD＝＝＝8， ∴CD＝AC＋AD＝10＋8＝18. 综上可知，CD的长为2或18. $