18.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理课件-2025-2026学年沪科版八年级数学下册

大约在公元前2700年，古埃及人建成了世界闻名的七十多座大大小小的金字塔，这些金字塔的塔基都是正方形的，每个角都是直角。然而我们知道当时的生产工具很落后，测量技术也不高明，那时并没有直角三角板，更没有任何先进的测量工具。那么他们是怎样确定直角的呢？其实古埃及人很早就在建筑中应用直角的知识，他们就是用如下方法确定直角的，把一根长绳打上等距离的13个结，然后以三个节、四个节、五个节的长度为边长，用木桩打成一个三角形，其中最大的一个角就是直角。 第18章 勾股定理及其逆定理 18.2 勾股定理的逆定理 第1课时 勾股定理的逆定理 沪科版·八年级下册 学习目标 1 2 理解并掌握勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形. 探究勾股定理的逆定理的证明方法，感悟数形结合思想的应用. 3 会认识并判断勾股数. 2 新课导入 前面我们学习了勾股定理，同学们能说一说它的条件和结论吗？ 如果一个三角形是直角三角形， 那么这个直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 条件 结论 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这么三角形是直角三角形. 条件和结论交换，还成立吗？ 条件 结论 探究新知 据说，古埃及人曾用如图所示的方法画直角. 在一根绳子上连续打上等距离的 13 个结，然后，用钉子将第 1 个与第 13 个结钉在一起，拉紧绳子，再在第 4 个和第 8 个结处各钉上一个钉子，如图. 这样围成的三角形中，最长边所对的角就是直角. 你知道为什么吗？ 点击播放 思考 用圆规、直尺作△ABC，使 AB = 5，AC = 4，BC = 3. 思考 量一量∠C，它是 90°吗？ A B C 这个三角形三边有什么关系吗？ 32 + 42 = 52 直角三角形 满足两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形吗？ 画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试. 2.5 6 6.5 4 7.5 8.5 42 + 7.52 = 8.52 △ABC 的三边长满足 AC2 + BC2 = AB2，则∠C 为多少度？ 思考 已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a2 + b2 = c2 . 求证 △ABC 是直角三角形. 证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°． 根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 . 因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c. 所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）. 因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形. 在△ABC 和△A'B'C'中， BC = a = B'C' ， AC = b = A'C' ， AB = c = A'B' ， A C B b a c A′ C′ B′ b a 在 △ABC 中， a2 + b2 = c2， ∴ ∠C = 90°. 几何语言： B C b c a A 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理 练一练 给你一根带有刻度的皮尺，你如何用它来说明方桌面的角是直角？ 【教材P59练习 T2】 量出方桌面两条邻边（长和宽）和相对顶点间的距离（对角线的长度），计算其两邻边长的平方和与对角线长度的平方，若相等，则桌面的角是直角，否则不是. 例 1 根据下列三角形的三边长 a，b，c 的值，判断△ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角. （1）a = 7，b = 24，c = 25； （2）a = 7，b = 8，c = 11. 分析：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方即可. 解 （1） ∵ 72 + 242 = 252， ∴ a2 + b2 = c2. ∴△ABC 是直角三角形，最长边 c 所对的角是直角. （1）a = 7，b = 24，c = 25； （2）a = 7，b = 8，c = 11. 能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数. 比如: 3，4，5；5，12，13. 勾股数 （2） ∵ 最长边是 c = 11，c2 = 121， a2 + b2 = 72 + 82 = 113， ∴ a2 + b2 ≠ c2. ∴△ABC 不是直角三角形. 练一练 1. 判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形. 【教材P59练习 T1】 （1）a = 2，b = 3，c = 4. （2）a = 9，b = 7，c = 12. （3）a = 25，b = 20，c = 15. （ ） （ ） （ ） 22 + 32 = 13 ≠ 42 不是 72 + 92 = 130 ≠ 122 不是 152 + 202 = 625 = 252 是 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形的步骤： 找：找三角形的最长边. 1 3 判：若两者相等，则是直角三角形，否则不是. 2 算：计算最长边的平方与另两边的平方和. 方法 练一练 2. 大家知道 3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41 等都是勾股数. 你发现以上几组勾股数有什么规律？请再写出两组勾股数. 【教材P59练习 T3】 解：最小数是大于1的奇数，中间数比最大的数小1. 类似地可以写出：11，60，61；13，84，85 等. 进一步归纳可以发现，这些勾股数可以写成 的形式. 随堂练习 1. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形： （1）a = 4，b = 5，c = 6； （2）a = 2.5，b = 0.7，c = 2.4； 解:（1）∵最长边是 c = 6，c2 = 36， a2 + b2 = 42 + 52 = 41， ∴ a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形. （2）∵2.42 + 0.72 = 6.25 = 2.52 ， ∴c2 + b2 = a2，∴这个三角形是直角三角形. （4） （3） （3）∵最长边 ∴ a2 + b2 ≠ c2，∴这个三角形不是直角三角形. ∴ a2 + b2 = c2，∴这个三角形是直角三角形. （4）∵ 2. 如图，以 △ABC 的三边为直径，分别画三个半圆， 三个半圆的面积分别为 S1，S2，S3. 若 S1 + S2 = S3，判断△ABC 是不是直角三角形，并说明理由. 解：△ABC 是直角三角形. 理由如下： ∵ S1 + S2 = S3， ∴ AB2 + BC2 = AC2. ∴△ABC 是直角三角形. 3. 四边形 ABCD 的各边长如图所示，对角线 BD = 10，求四边形 ABCD 的面积． 解：∵AD = 8，AB = 6，BD = 10，CD = 26，BC = 24， ∴ AB2 + AD2 = BD2，BD2 + BC2 = CD2 . ∴△ABD 和△BDC 都是直角三角形， 且∠A =∠DBC = 90°. ∴ S四边形ABCD = S△ABD + S△BDC 答: 四边形 ABCD 的面积是 144． 课堂小结 勾股定理 勾股定理的逆定理 直角三角形的判定 证明 内容 $