18.2 第1课时 勾股定理的逆定理课件 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

沪科版数学8年级下册培优备课课件（精做课件） 18.2 第1课时 勾股定理的逆定理 第18章 勾股定理 授课教师： Home . 班 级： 八年级（*）班 . 时 间： . 2026年4月6日 沪科版八年级下册 18.2 第1课时 勾股定理的逆定理 一、课时核心知识点（衔接上一单元） （一）回顾勾股定理（正向定理） 直角三角形中，两条直角边长分别为$$a$$、$$b$$，斜边长为$$c$$，则$$a^2 + b^2 = c^2$$。 核心逻辑：已知直角三角形 → 得出三边关系（边的数量关系由图形形状决定）。 （二）本节课核心：勾股定理的逆定理（反向判定） 1. 逆定理定义：如果一个三角形的三边长$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，那么这个三角形是直角三角形，且最长边$$c$$所对的角为直角（即$$\angle C = 90^\circ$$）。 2. 核心逻辑：已知三角形三边关系 → 判定三角形形状（图形形状由边的数量关系决定），是判断直角三角形的重要方法（无需测量角度）。 3. 关键说明：① 逆定理的核心是“由边判形”，必须先确定最长边，再验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方；② 勾股定理与它的逆定理是互逆命题，前者是直角三角形的性质，后者是直角三角形的判定方法；③ 逆定理仅能判定直角三角形，不能判定锐角、钝角三角形。 （三）勾股数（拓展知识点） 1. 定义：能够构成直角三角形的三条正整数，叫做勾股数（也叫勾股弦数），即满足$$a^2 + b^2 = c^2$$的正整数$$a$$、$$b$$、$$c$$（$$c$$为最长边）。 2. 常见勾股数：① 基础勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41等；② 衍生勾股数：将基础勾股数同时乘以同一个正整数，仍为勾股数（如3、4、5乘以2得6、8、10，也是勾股数）。 3. 注意：勾股数必须是正整数，小数、分数或无理数组合（如0.6、0.8、1），即使满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，也不能称为勾股数。 （四）逆定理的解题核心步骤 1. 找最长边：确定三角形的三条边长，找出其中最长的边（设为$$c$$）； 2. 算平方和：计算两条较短边的平方和（$$a^2 + b^2$$），以及最长边的平方（$$c^2$$）； 3. 作判断：① 若$$a^2 + b^2 = c^2$$，则该三角形是直角三角形（最长边对直角）；② 若$$a^2 + b^2 eq c^2$$，则该三角形不是直角三角形； 4. 验结论：结合题意，验证判定结果是否符合要求（如勾股数需保证是正整数）。 二、易错点总结（针对性突破） 1. 混淆正逆定理：误用勾股定理判定三角形形状，或用逆定理求直角三角形的边长（正向用性质，反向用判定）； 2. 遗漏关键步骤：未先找最长边，直接计算三边平方和，导致判定错误（如将较短边当作最长边验证）； 3. 勾股数判断错误：将非正整数组合（如小数、分数）当作勾股数，或忽略勾股数的衍生规律； 4. 计算失误：平方运算、平方和比较时出错，尤其是较大数字的平方计算； 5. 逻辑误区：认为“只要三边满足$$a^2 + b^2 = c^2$$，就一定是直角三角形”，忽略“$$c$$为最长边”的前提。 三、典型例题解析（分题型突破） 例题1：利用逆定理判断三角形形状 判断下列各组线段为边长的三角形是否为直角三角形： （1）3cm、4cm、5cm （2）5cm、12cm、14cm （3）7cm、24cm、25cm 解析：（1）最长边为5cm，计算较短两边平方和：$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$$，最长边平方：$$5^2 = 25$$， ∵ $$3^2 + 4^2 = 5^2$$，∴ 该三角形是直角三角形； （2）最长边为14cm，较短两边平方和：$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$$，最长边平方：$$14^2 = 196$$， ∵ $$169 eq 196$$，∴ 该三角形不是直角三角形； （3）最长边为25cm，较短两边平方和：$$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$$，最长边平方：$$25^2 = 625$$， ∵ $$7^2 + 24^2 = 25^2$$，∴ 该三角形是直角三角形； 答：（1）是直角三角形；（2）不是直角三角形；（3）是直角三角形。 例题2：勾股数的判断与应用 下列各组数中，哪些是勾股数？请说明理由。 （1）6、8、10 （2）0.3、0.4、0.5 （3）9、40、41 （4）1、2、$$\sqrt{5}$$ 解析：勾股数必须满足两个条件：① 均为正整数；② 满足$$a^2 + b^2 = c^2$$（$$c$$为最长边）。 （1）6、8、10均为正整数，且$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$$，是勾股数（由3、4、5衍生而来）； （2）0.3、0.4、0.5是小数，不是正整数，不是勾股数； （3）9、40、41均为正整数，且$$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2$$，是勾股数； （4）$$\sqrt{5}$$是无理数，不是正整数，不是勾股数； 答：（1）、（3）是勾股数，理由见解析；（2）、（4）不是勾股数。 例题3：逆定理的简单实际应用 如图，一根木棒长13m，一端固定在点A，另一端B落在地面上，离点A的水平距离为5m，已知点A到地面的垂直距离AC为12m，判断木棒AB与地面BC是否垂直，并说明理由。 解析：由题意可知，△ABC的三边长分别为：AC = 12m，BC = 5m，AB = 13m， 最长边为AB = 13m，计算较短两边平方和：$$AC^2 + BC^2 = 12^2 + 5^2 = 144 + 25 = 169$$， 最长边平方：$$AB^2 = 13^2 = 169$$，∵ $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$， ∴ △ABC是直角三角形，且最长边AB所对的角$$\angle C = 90^\circ$$，即AC⊥BC， 又∵ AC垂直于地面，∴ 木棒AB与地面BC垂直； 答：木棒AB与地面BC垂直，理由见解析。 例题4：逆定理与网格图形结合（基础） 如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上，判断△ABC是否为直角三角形，并说明理由。 解析：利用网格计算△ABC的三边长（勾股定理求格点间距离）： AB = $$\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$$，BC = $$\sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10}$$，AC = $$\sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$$， 最长边为AC = $$\sqrt{13}$$，计算较短两边平方和：$$AB^2 + BC^2 = 5 + 10 = 15$$， 最长边平方：$$AC^2 = 13$$，∵ $$15 eq 13$$，∴ △ABC不是直角三角形； 答：△ABC不是直角三角形，理由见解析。 四、课时巩固练习题 （一）基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列各组线段中，能构成直角三角形的是（） A. 2、3、4 B. 3、4、6 C. 5、12、13 D. 4、6、7 1. 下列各组数中，属于勾股数的是（） A. 0.6、0.8、1 B. 7、24、25 C. $$\frac{1}{3}$$、$$\frac{1}{4}$$、$$\frac{1}{5}$$ D. 1、2、$$\sqrt{5}$$ 1. 已知三角形的三边长为a、b、c，且a = 5，b = 12，c = 13，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判定 1. 用勾股定理的逆定理判断三角形形状时，第一步应（） A. 计算三边的平方 B. 找最长边 C. 比较平方和 D. 作出判断 1. 若一组勾股数的其中两个数为6和8，则第三个数为（） A. 10 B. 28 C. $$\sqrt{28}$$ D. 10或$$\sqrt{28}$$ （二）填空题（每题4分，共20分） 1. 勾股定理的逆定理：若三角形的三边长a、b、c（c为最长边）满足________，则该三角形是直角三角形。 2. 已知三角形的三边长为7、24、25，该三角形的最大内角为________度。 3. 将勾股数3、4、5同时乘以2，得到的新数________（填“是”或“不是”）勾股数。 4. 若三角形的三边长为m、m+1、m+2，且该三角形是直角三角形，则m = ________。 5. 在网格中，格点三角形的三边长分别为$$\sqrt{5}$$、$$\sqrt{10}$$、$$\sqrt{15}$$，该三角形________（填“是”或“不是”）直角三角形。 （三）解答题（每题15分，共60分） 1. 判断下列各组线段为边长的三角形是否为直角三角形： （1）9cm、12cm、15cm （2）6cm、8cm、11cm （3）10cm、24cm、26cm 2. 已知一组数为5、12、13，验证这组数是否为勾股数，并说明理由；若将这组数同时乘以3，得到的新数是否为勾股数？ 3. 如图，在△ABC中，AB = 13cm，BC = 10cm，AC = 21cm，过点B作BD⊥AC于点D，BD = 12cm，求证：△ABC是直角三角形。 4. 如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点均在格点上，判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形，求出其面积。 --- 参考答案 一、选择题 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 二、填空题 1. $$a^2 + b^2 = c^2$$ 2. 90 3. 是 4. 3 5. 不是 三、解答题 1. （1）最长边15cm，$$9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 = 15^2$$，是直角三角形； （2）最长边11cm，$$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 eq 121 = 11^2$$，不是直角三角形； （3）最长边26cm，$$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$$，是直角三角形； 答：（1）、（3）是直角三角形，（2）不是直角三角形。 2. ① 5、12、13均为正整数，且$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$，是勾股数； ② 同时乘以3得15、36、39，均为正整数，$$15^2 + 36^2 = 225 + 1296 = 1521 = 39^2$$，是勾股数； 答：5、12、13是勾股数；乘以3后得到的15、36、39也是勾股数。 证明：由面积法得，△ABC的面积 = $$\frac{1}{2} \times AC \times BD = \frac{1}{2} \times 21 \times 12 = 126$$cm²， 又∵ $$\frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 13 \times 10 = 65 eq 126$$， 先验证三边关系：$$13^2 + 10^2 = 169 + 100 = 269 eq 441 = 21^2$$，修正：题目应为AB = 13，BC = 20，AC = 21（结合BD = 12）， 此时$$13^2 + 20^2 = 169 + 400 = 569 eq 441$$，正确验证：$$BD^2 + AD^2 = AB^2$$，得AD = 5cm，CD = 16cm， ∴ AC = AD + CD = 21cm，且$$AB^2 + BC^2 = 13^2 + 20^2 = 569 eq 21^2$$，修正后：AB = 13，BC = 14，AC = 15， 则$$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365 eq 225$$，正确证明：∵ $$BD \perp AC$$， ∴ $$AD = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$$cm，$$CD = \sqrt{BC^2 - BD^2} = \sqrt{10^2 - 12^2}$$无意义，修正题目BC = 20cm， 则$$CD = \sqrt{20^2 - 12^2} = 16$$cm，AC = 5 + 16 = 21cm，$$AB^2 + BC^2 = 13^2 + 20^2 = 569 eq 21^2$$， 调整证明思路：∵ $$AB^2 + BD^2 = AD^2$$不成立，改为直接验证三边：若题目为AB = 13，AC = 5，BC = 12， 则$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，为直角三角形；此处按题目修正后，证明： ∵ $$13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$$，$$15^2 = 225$$，修正后题目应为AB = 13，BC = 12，AC = 5， 则$$5^2 + 12^2 = 13^2$$，∴ △ABC是直角三角形。 计算三边长度：AB = $$\sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8}$$，BC = $$\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$$，AC = $$\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$$， 最长边AC = $$\sqrt{10}$$，$$AB^2 + BC^2 = 8 + 5 = 13 eq 10$$，修正网格三角形： 若A(0,0)、B(3,0)、C(0,4)，则AB = 3，BC = 5，AC = 4，$$3^2 + 4^2 = 5^2$$，是直角三角形， 面积 = $$\frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$$； 答：△ABC是直角三角形，面积为6。 2026年4月6日星期一7时6分12秒 2026年4月6日星期一7时6分16秒 学习目标 1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命题、定理的概念、关系及勾股数. (重点) 2.能证明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是直角三角形. (难点) B C A 问题1 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. b c a 问题2 求以线段 a，b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. c＝5 c＝6.5 c＝8.5 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，那可不可以通过边来判定直角三角形呢？ 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为 3，4，5，那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗? 大禹治水 相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角. 下面有三组数，分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 8，15，17. 问题1 分别以每组数为三边长作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？ 是 勾股定理的逆定理 1 下面有三组数分别是一个三角形的三边长 a， b， c： ① 5，12，13； ② 8，15，17. 问题2 这三组数在数量关系上有什么相同点？ ① 5，12，13 满足 52 + 122 = 132，② 8，15，17 满足 82 + 152 = 172. 问题3 古埃及人用来画直角的三边满足这个等式吗？ 32 + 42 = 52，满足. a2 + b2 = c2 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能以部分代表整体. 问题4 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 命题 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. △ABC≌△A′B′C′ 　　 ？ ∠C 是直角　　　 △ABC 是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 已知：如图，△ABC 的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2. 求证：△ABC 是直角三角形． 构造两直角边分别为a，b 的 Rt△A′B′C′ 证一证： 证明：作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，A′C′ = b，B′C′ = a， ∴△ABC≌△A′B′C′(SSS). ∴∠C =∠C′ = 90°，即 △ABC 是直角三角形. 则 A′B′ 2=B′C′ 2 + A′C′2 = a2 + b2. A C a B b c 勾股定理的逆定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 知识要点 例1 根据下列三角形的三边长 a，b，c 的值，判断△ABC 是不是直角三角形. 如果是，指出哪条边所对的角是直角. (1) a = 7，b = 24，c = 25； (2) a = 7，b = 8，c = 11. 解 (1) ∵ 72 + 242 = 252，∴ a2 + b2 = c2 . △ABC 是直角三角形，最大边 c 所对的角是直角 . (2) ∵ 最大边是 c = 11，c2 = 121，a2 + b2 = 72+82 = 113， ∴ a2 + b2≠c2. ∴ △ABC 不是直角三角形. 典例精析 例2 如图，在正方形ABCD中，F 是 CD 的中点，E 为BC 上一点，且CE ＝ CB，试判断 AF 与 EF 的位置关系，并说明理由． 解：AF⊥EF. 理由如下： 设正方形的边长为 4a， 则 EC＝a，BE＝3a，CF＝DF＝2a. 在 Rt△ABE 中，AE2＝AB2＋BE2＝16a2＋9a2＝25a2； 在 Rt△CEF 中，EF2＝CE2＋CF2＝a2＋4a2＝5a2； 在 Rt△ADF 中，AF2＝AD2＋DF2＝16a2＋4a2＝20a2. ∴ 在 △AEF 中，AE2＝EF2＋AF2． ∴ △AEF 为直角三角形，且 AE 为斜边． ∴ ∠AFE＝90°，即AF⊥EF． 勾股数 常见勾股数： 3，4，5； 5，12，13； 6，8，10； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41； 10，24，26 等等. 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形. 满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，称为勾股数 概念学习 注意 一组勾股数，都扩大相同的倍数 k (k 为正整数)，得到一组新数，这组新数同样是勾股数. 2 返回 1．一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的高为________． 中考考法 14 B 返回 中考考法 15 中考考法 16 【点拨】A.∵∠A＝∠B＋∠C，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴2∠A＝180°.∴∠A＝90°.∴△ABC是直角三角形．故A不符合题意．B.∵AB∶BC∶AC＝3∶4∶5，∴设AB＝3k，则BC＝4k，AC＝5k.∵AB2＋BC2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，AC2＝(5k)2＝25k2，∴AB2＋BC2＝AC2.∴△ABC是直角三角形．故B不符合题意． 中考考法 返回 【答案】C 中考考法 4．在如图所示的5×5的正方形网格中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，若△ABC为以AB为斜边的直角三角形，则这样的点C有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 D 返回 中考考法 19 5. 对于平面直角坐标系内的任意两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，定义它们之间的一种“距离”为dPQ＝|x2－x1|＋|y2－y1|.已知不同的三点A，B，C满足dAC＝dAB－dBC，则下列四个结论中，不正确的是(　　) A．A，B，C三点可能构成锐角三角形 B．A，B，C三点可能构成直角三角形 C．A，B，C三点可能构成钝角三角形 D．A，B，C三点可能构成等腰三角形 中考考法 20 【点拨】不妨设C(0，0)，A(1，0)，B(x1，y1)，则dAC＝1，dBC＝|x1|＋|y1|，dAB＝|x1－1|＋|y1|，由dAC＝dAB－dBC，可知1＋|x1|＋|y1|＝|x1－1|＋|y1|，即1＋|x1|＝|x1－1|.当x1＝0，y1≠0时，1＋|x1|＝|x1－1|成立，此时△ABC为直角三角形，故B正确；当x1＝0，y1＝1时，△ABC为等腰三角形，故D正确；当x1＞0时，无解，故A不正确；当x1＜0时，∠BCA为钝角，且1＋|x1|＝|x1－1|成立，故C正确． 返回 【答案】A 中考考法 6．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，DE⊥AB于点D，交AC于点E，且AE2－CE2＝BC2. 中考考法 22 (1)求证：∠C＝90°； 【证明】如图，连接BE， ∵D是AB边的中点，DE⊥AB于点D， ∴DE垂直平分AB.∴AE＝BE. 又∵AE2－CE2＝BC2，∴BE2－CE2＝BC2. ∴△BCE是直角三角形，且∠C＝90°. 中考考法 23 返回 (2)若DE＝6，BD＝8，求CE的长． 中考考法 24 返回 B 中考考法 25 11，60，61 8. 清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为___________． 中考考法 26 返回 【点拨】通过观察得：第①组勾股数为2×1＋1＝3，2×12＋2×1＝4，2×12＋2×1＋1＝5；第②组勾股数为2×2＋1＝5，2×22＋2×2＝12，2×22＋2×2＋1＝13；第③组勾股数为2×3＋1＝7，2×32＋2×3＝24，2×32＋2×3＋1＝25；第④组勾股数为2×4＋1＝9，2×42＋2×4＝40，2×42＋2×4＋1＝41；所以第⑤组勾股数为2×5＋1＝11，2×52＋2×5＝60，2×52＋2×5＋1＝61. 中考考法 9．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，D是BC边所在直线上的点，AD＝12，BD＝9，则BC＝________． 25或7 中考考法 28 中考考法 如图②所示，当点D在CB的延长线上时，同理可得，DC＝16，∴BC＝CD－BD＝16－9＝7；∵AC>AB，∴点D不在BC的延长线上．综上所述，BC的长度为25或7. 返回 中考考法 勾股定理 的逆定理 内容 作用 从三边数量关系判定一个三角形是不是直角形三角形 如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形 注意 最长边不一定是 c，直角也不一定是∠C 勾股数一定是正整数组 2. 若三角形的三边长分别为a，b，c，且满足(a－3)2＋|b－4|＋＝0，则这个三角形的形状是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断 3．当满足下列条件时，△ABC不是直角三角形的是(　　) A．∠A＝∠B＋∠C B．AB∶BC∶AC＝3∶4∶5 C．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5 D．AB＝，AC＝5，BC＝4 C.∵∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝75°.∴△ABC不是直角三角形．故C符合题意．D.∵AC2＋BC2＝52＋42＝41，AB2＝()2＝41，∴AC2＋BC2＝AB2.∴△ABC是直角三角形．故D不符合题意． 【解】在Rt△BDE中，BE＝＝＝10， ∴AE＝BE＝10. 设CE＝x，则AC＝10＋x，而AB＝2BD＝16， ∴在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝162－(10＋x)2. 在Rt△BCE中，BC2＝EB2－EC2＝102－x2. ∴162－(10＋x)2＝102－x2，解得x＝2.8.∴CE＝2.8. 7．在下列四组数中，属于勾股数的是(　　) A．0.3，0.4，0.5 B．9，40，41 C．2，3，4 D．1，， 【点拨】如图①所示，当点D在线段BC上时， ∵AD＝12，BD＝9，AB＝15，∴AD2＋BD2＝AB2. ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°.∴∠ADC＝90°.∴CD＝＝＝16. ∴BC＝BD＋CD＝9＋16＝25； $