18.1 第2课时 勾股定理的应用-课件--2025--2026学年 沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 18.1 第2课时 勾股定理的应用 第18章 勾股定理 沪科版数学八下18.1第2课时 勾股定理的应用练习题 本套练习题围绕沪科版八年级下册18.1第2课时“勾股定理的应用”核心知识点设计，侧重勾股定理在实际场景中的应用、立体图形表面最短路径、折叠问题及航海问题等，贴合课堂所学，帮助同学们熟练运用勾股定理解决实际问题（核心：直角三角形中，a²+b²=c²，a、b为直角边，c为斜边），题型涵盖选择题、填空题、解答题，总字数控制在1000字左右，适合课后即时练习、巩固提升。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 一艘轮船从港口A出发，向正东方向行驶12海里，再向正北方向行驶9海里，到达港口B，则港口A与港口B之间的距离为（ ） A. 15海里 B. 21海里 C. 3海里 D. √63海里 2. 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE的长为（ ） A. 3.125cm B. 3.5cm C. 4cm D. 2.5cm 3. 一个长方体礼盒，长8cm、宽6cm、高10cm，一只蚂蚁从礼盒底面的顶点A出发，沿礼盒表面爬行到上底面相对的顶点B，蚂蚁爬行的最短路径长为（ ） A. 24cm B. √260cm C. √280cm D. 18cm 4. 如图，一根长13m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距离墙根5m，若梯子顶端下滑x m后，梯子底端向右滑动x m，此时梯子仍斜靠在墙上，则x的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1m，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2m，则湖水的深度为（ ） A. 1.5m B. 2m C. 2.5m D. 3m 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 如图，在高为3m，宽为4m的长方形大门上，有一个固定的矩形装饰框，装饰框的底边距离地面1m，右边距离门的右边1m，装饰框的对角线长为______m。 2. 一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，则梯子顶端到地面的高度为______m；若梯子顶端下滑4m，梯子底端将向外滑动______m。 3. 将一根长20cm的铁丝围成一个直角三角形，若其中一条直角边的长为6cm，则另一条直角边的长为______cm。 4. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，点A、B、C在网格顶点上，连接AB、BC、AC，△ABC的面积为______。 5. 一艘渔船在海上航行，测得灯塔在渔船的北偏东45°方向，距离渔船10√2海里，则灯塔到渔船正东方向的水平距离为______海里。 三、解答题（每题12分，共60分） 1. 如图，在长方形ABCD中，AB=5cm，AD=12cm，点P在AD上，且AP=3cm，点Q在BC上，连接PQ、QC，若QC=10cm，求PQ的长。 2. 如图，某小区有一块长方形绿地，长16m，宽12m，绿地的四个角各有一个正方形花坛，边长均为2m，现要在绿地中间修建一条宽1m的十字形小路，小路的两条边分别平行于绿地的长和宽，求小路的总面积。 3. 一个圆柱形水桶，底面半径为3cm，高为10cm，桶内水深8cm，现将一根长15cm的木棒放入水桶中，木棒的一端接触水桶底面，另一端露出水面，求露出水面的木棒长度（结果保留根号）。 4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，将△ABC沿直线DE折叠，使点B与点A重合，求DE的长（提示：DE垂直平分AB）。 5. 如图，某港口O有两艘渔船，渔船A在港口O的北偏西30°方向，距离港口12海里，渔船B在港口O的南偏东45°方向，距离港口16海里，求两艘渔船之间的距离（结果保留根号）。 四、易错辨析（附加10分） 判断下列说法是否正确，并说明理由： 1. 在立体图形表面求最短路径时，只需将立体图形展开成平面图形，再利用勾股定理计算即可，无需考虑展开方式。 2. 利用勾股定理解决实际问题时，只需找出直角三角形的两边，即可求出第三边，无需判断直角边和斜边。 参考答案与提示 一、选择题：1.A 2.A 3.B 4.B 5.A（提示：第5题设湖水深度为x m，红莲总长为(x+1)m，由勾股定理得x²+2²=(x+1)²） 二、填空题：14.√5 15.24，8 16.8 17.5 18.10 三、解答题： 22. PQ=13cm（提示：过P作PE⊥BC于E，PE=AB=5cm，EC=AD-AP=9cm，QC=10cm，得QE=1cm，由勾股定理得PQ²=5²+1²=26？修正：EC=12-3=9cm，QC=10cm，故QE=QC-EC=1cm，PQ=√(5²+1²)=√26？此处修正，正确PQ=√26cm，此前笔误）。 23. 27m²（提示：小路总面积=16×1+12×1-1×1=27，减去重叠部分1×1）。 露出长度为(15-√73)cm（提示：木棒在水中部分为直角三角形斜边，直角边为底面直径6cm和水深8cm，长度=√(6²+8²)=10cm，露出长度=15-10=5？修正：底面半径3cm，直径6cm，水深8cm，木棒在水中长度=√(6²+8²)=10cm，露出15-10=5cm，此前根号表述错误，正确为5cm）。 DE=3.75cm（提示：AB=10cm，AD=5cm，设DE=x，BD=5cm，CD=8-5=3cm，由勾股定理得x²+3²=(5-x)²，解得x=1.6？修正：正确解法：AB=10cm，AD=DB=5cm，△ADE∽△ACB，DE/BC=AD/AC，DE/8=5/6，DE=20/3≈6.67？此处修正，正确DE=20/3 cm）。 两艘渔船距离为√(144+256+96√2)海里（提示：过O作垂线，分两种方向，利用勾股定理，水平距离12×cos30°+16×cos45°，垂直距离16×sin45°-12×sin30°，再求斜边）。 四、易错辨析：1.错误，立体图形展开方式不同，最短路径长度可能不同，需选择最优展开方式；2.错误，需先判断直角边和斜边，斜边是最长边，两直角边的平方和等于斜边的平方，不可混淆。 学习目标 1.会运用勾股定理求线段长及解决简单的实际问题. (重点) 2.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型利用勾股定理建立已知边与未知边长度之间的联系，并进一步求出未知边长. (难点) 1.什么是勾股定理 ? 2.勾股定理有哪些公式变形 ? 如果直角三角形的两直角边用 a，b 表示，斜边用 c 表示，那么勾股定理可以表示为 a2 + b2 = c2. ( a、b、c 为正数 ) 公式变形： 情境导入 这节课我们就来学习用勾股定理解决实际问题. 波平如镜一湖面， 3 尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处 6 尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺. 推进新课 例 2 现有一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人，如图. 已知该消防车高 3 m，将云梯伸长到 10 m，在成功救出位于 9 m 高处的受困人后，还要救援位于 12 m 高处的受困人，如果云梯的长保持不变，这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近多少米？（精确到 0.1 m） 解 如图，设 A 是云梯的下端点，AB 是伸长到 10 m 后的云梯，B 是第一次救人的地点，D 是第二次救人的地点，过点 A 的水平线与楼房 ED 的交点为 O. 则 OB = 9 – 3 = 6 (m)， OD = 12 – 3 = 9 (m). 根据勾股定理，得 AO2 = AB2 – OB2 = 102 – 62 = 64， 则 AO = 8 m. 设 AC = x m，则 OC = (8 – x) m. 根据勾股定理，得 OC2 + OD2 = CD2， 即 (8 – x)2 + 92 = 102. 解方程，得 x1 ≈ 12.4，x2 ≈ 3.7. 根据题目的实际意义，取近似数时应往大了取. ∵AC < AO < AB， ∴ x1 不合题意，∴x ≈ 3.7. 答：这时消防车要从原处再向着火的楼房靠近约 3.7 m. 练一练 1. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到 0.1 m) 【教材P55练习 T1】 练一练 1. 如图，楼梯的高度为 2 m，楼梯坡面的长度为 4 m，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？(精确到 0.1 m) 【教材P55练习 T1】 解：由题可知，楼梯的宽度为 所以地毯的长度至少需要： 练一练 2. （1）如图，长 3 m 的梯子斜靠着墙，梯子底端离墙根 0.6 m，梯子顶端离地面多少米？（精确到 0.1m） 【教材P55练习 T2】 解：由题可知，梯子顶端离地面的高度为 3 m 0.6 m 练一练 2. （2）题（1）中，若梯子的顶端自墙面下滑了 0.9 m，那么梯子的底端沿地面向外滑动的距离是否也为 0.9 m？说明理由. 【教材P55练习 T2】 解：不是. 理由如下： 由题可知，梯子滑动后，底端离墙根的距离为 3 m 0.6 m 所以梯子底端向外滑动的距离约为 2.2 – 0.6 = 1.6 (m). 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 实际问题 数学问题 勾股定理 直角三角形 转化 建构 利用 解决 将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出图形，分析已知量、待定量，这是利用勾股定理解决实际问题的一般思路. 现在你能求出湖水深几尺了吗？ 波平如镜一湖面， 3 尺高处出红莲. 亭亭多姿湖中立，突遭狂风吹一边. 离开原处 6 尺远，花贴湖面像睡莲. 请君动脑想一想，湖水在此深几尺. 红莲原本高出平静湖面 3 尺，被风吹倒后与湖面一样高，且偏离原处 6 尺远. 3 尺 6 尺 ? 尺 A C D B 解：设湖水深 x 尺，根据勾股定理，得 CD2 + BC2 = BD2，即 x2 + 62 = (3 + x)2. 解方程，得 x = 4.5. 即湖水深 4.5 尺. 练一练 我国古代数学著作《九章算术》中记录了一个问题，其大致意思是：如图，有一个水面是边长为 10 尺的正方形水池，正中央有一根芦苇，它露出水面部分高 1 尺，如果把它拉向最近的岸边，芦苇仍伸直，顶端恰好到达岸边的水面，求池水深和芦苇的长.（注：尺为当时的长度单位） 【教材P55练习 T3】 练一练 【教材P55练习 T3】 解：由于芦苇位于水池中央，所以 AC 为 5 尺. 设水池的水深 OA 为 x 尺，则芦苇的长度 OB 为 (x + 1) 尺. 在Rt△OAC 中，由勾股定理，可得 AC2 + OA2 = OC2， 即 52 + x2 = (x + 1)2. 解得 x = 12. 12 + 1 = 13. 因此，水池的深度是 12 尺，芦苇的长度是 13 尺. B O C A 两点之间的距离公式 如果数轴上的点 A1，A2 分别表示实数 x1，x2，两点 A1，A2 间的距离记作 |A1A2|，那么 |A1A2| = |x2 – x1|. 对于平面上的两点 A1，A2 间的距离是否有类似的结论呢？ x1 x2 A1 A2 A1 A2 【教材P62-63】 两点之间的距离公式 如图，已知坐标平面上两点 A (3，0)，B (0，4)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？ 问题1 O 1 2 3 x 1 2 3 y 4 B A 在 Rt△OAB 中，由勾股定理，得 ∴ AB = 5. AB2 = AO2 + BO2 = 32 + 42 = 25 即 |AB| = 5. 由图可知：AO = 3，BO = 4. 【教材P62-63】 两点之间的距离公式 如图，已知坐标平面上两点 A (1，2)，B (5，5)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？ 问题2 B A 在 Rt△ABC1 中，由勾股定理，得 ∴ AB = 5. AB2 = AC12 + BC12 = 32 + 42 = 25， 即 |AB| = 5. ∴AC1 (BC2) = 5 – 2 = 3， BC1 (AC2) = 5 – 1 = 4. O 1 2 3 x 1 2 3 y 4 5 4 5 C1 C2 如图，过点 A 向直线 y = 5 和直线 x = 5 作垂线，垂足为 C1，C2. 【教材P62-63】 两点之间的距离公式 一般地，如图，对于坐标平面上任意两点 A(x1，y1) 和 B(x2，y2)，如何计算 A，B 两点之间的距离 |AB|？ 问题3 B(x2，y2) A(x1，y1) O x y A' B' A'' B'' C |CB| = A'B' = |CA| = A''B'' = |AB|2 = |CB|2 + |CA|2 = ∵ ∴ |AB| = ∴ |x2 – x1| |y2 – y1| (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 【教材P62-63】 两点之间的距离公式 平面直角坐标系中两点之间的距离公式： 一般地，对于坐标平面上任意两点 A(x1，y1) 和 B(x2，y2)，A，B 两点之间的距离： 【教材P62-63】 返回 C 1．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．如图，AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝(　　) A．8 B．10 C．12 D．13 中考考法 22 返回 2．如图，图①是北京国际数学家大会的会标，它取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成的．若图①中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四个直角三角形拼成图②，则图②中大正方形的面积为(　　) A．24 B．36 C．40 D．44 中考考法 23 【答案】D 返回 中考考法 返回 2.4 3．[2025连云港]如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为________m. 中考考法 25 4．如图，某人到岛上去探宝，从A处登陆后先往东走4 km，又往北走1.5 km，遇到障碍后又往西走2 km，再继续向北走4.5 km，然后往东一拐，仅走0.5 km就找到了宝藏，则登陆点A与宝藏埋藏点B之间的距离是________km. 6.5 返回 中考考法 26 5．[2025安庆月考]某条高速公路限速100 km/h，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50 m的B处，过了 4 s，大巴车到达A处，此时测得大 巴车与车速检测仪间的距离为130 m． 问：这辆大巴车超速了吗？ 中考考法 27 返回 中考考法 课堂小结 勾股定理 应用 寻找直角，直接求边长 利用勾股定理构造方程 两点之间的距离公式 【点拨】设直角三角形的两直角边分别为a，b(a＞b)，斜边为c，∵题图①中大正方形的面积是24，∴a2＋b2＝c2＝24.∵题图①中小正方形的面积是4，∴(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝4.∴ab＝10.∴题图②中大正方形的面积为c2＋4×ab＝24＋2×10＝44. 【解】由题意可知∠ABC＝90°，BC＝50 m，AC＝130 m， ∴AB＝＝＝120(m)． ∴大巴车的速度为120÷4＝30(m/s)＝108 km/h. ∵108 km/h>100 km/h，∴大巴车超速了． $