精品解析：2026年吉林省长春市榆树市部分学校中考第一次模拟考试数学试题

2026年中考榆树市部分学校第一次模拟考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约万度清洁电力．将用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图分别是个高压电塔的位置．已知电塔两点水平之间的距离为米（），，则从电视塔到海拔上升的高度（的长）为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 8. 如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（ ） A. 左平移2个单位 B. 右平移1个单位，上平移个单位 C. 右平移2个单位 D. 右平移个单位，上平移1个单位 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式__________． 10. 《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出7钱，还差三钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，羊价为y钱，可列方程组为___________． 11. 一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为__． 12. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，均在网格交点上，是的外接圆，则的值为________． 13. 如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 14. 如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右． （1）估计箱子里白色小球的个数为 个； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后不放回箱子里，然后再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法） 17. 某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 18. 如图，四边形为菱形，以为直径作交于点F，连接交于点H，E是上的一点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，则四边形的面积为 ． 19. 为了能正常恢复线下教学，某中学在2023年2月份对全校九年级学生进行了健康情况调查，并随机抽取了部分学生的调查结果为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）求本次共调查了多少名学生？ （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该中学九年级共有400人参加了这次健康调查，请估计该校九年级共有多少名学生身体健康？ 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，边上找点，使； （2）在图②中，边上找点，使； （3）在（2）的前提下，作点关于的对称点． 21. 甲同学骑共享单车保持匀速从A地到B地，到达B地后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回A地．设甲同学距离A地的路程为，运动时间为，y与x之间的函数图象如图所示． （1） ； （2）在甲同学从B地返回A地的过程中，求y与x之间的函数关系式； （3）在甲同学从A地出发的同时，乙同学以的速度从B地匀速步行去A地，到达A地后停止．直接写出当乙同学到达A地前，乙同学与甲同学之间的距离为时，甲同学的运动时间． 22. 【问题呈现】如图，点M为的中点，点B为上任意一点，且，试探究之间的数量关系． 【问题解决】 （1）可以应用截长补短再结合圆的性质来解决该问题：如图，延长至点F，使，连接，经过推理得出之间的数量关系为．下面是部分证明过程： 证明：∵M为的中点， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 证明过程缺失： 请你补全证明过程中缺失的内容． 【结论应用】 （2）在上述问题的前提下，如图，若为的直径，且，则的半径为 ． 【拓展提升】 （3）如图，内接于，已知，点D为上的任意一点，连接，，，于点E，则的周长为 ． 23. 如图，在中，．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等腰直角，使点Q和点A在直线的同侧，且． （1）当点P在边上运动时，连接，当时，的长为 ； （2）当点P在边上运动时，若，则的值为 ； （3）当点P在边上运动时，连接．求证：； （4）当时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点、均在抛物线上，、横坐标依次为，，当点不与点重合时，过点作直线轴，过点作直线轴，两直线交于点，连结、、． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）设点的纵坐标为，点的纵坐标为，当时，求的取值范围； （4）若点的坐标为，当以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点时（四边形的顶点除外），直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考榆树市部分学校第一次模拟考试 数学试题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 国家速滑馆“冰丝带”上方镶嵌着许多光伏发电玻璃，据测算，“冰丝带”屋顶安装的光伏电站每年可输出约万度清洁电力．将用科学记数法表示应为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同． 【详解】解：， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同底数幂的乘法运算可判断A，由合并同类项可判断B，由积的乘方运算可判断C，由单项式除以单项式可判断D，从而可得答案. 【详解】解：，故A不符合题意； ，故B符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，单项式除以单项式，熟记各运算法则是解本题的关键. 4. 实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上点的位置可知，由此即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴，，，， ∴四个选项中只有B选项符合题意， 故选B． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，正确得到是解题的关键． 5. 如图，已知，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用平行线的性质求出的度数，再根据角平分线得到的度数，最后由平行线的内错角相等求出 ．本题主要考查了平行线的性质（两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等 ）与角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质和角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：，， 平分 ， 故选： ． 6. 如图分别是个高压电塔的位置．已知电塔两点水平之间的距离为米（），，则从电视塔到海拔上升的高度（的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中根据的正切值即可求解． 【详解】解：根据题意可知，，，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查直角三角形中正切的计算，理解正切的计算方法是解题的关键． 7. 如图，中，，利用尺规在，上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于为长的半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点，若，为上一动点，则的最小值为（ ） A. 无法确定 B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】当GP⊥AB时，GP的值最小，根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线，再根据角平分线的性质可知，当GP⊥AB时，GP=CG=1． 【详解】解：由题意可知，当GP⊥AB时，GP的值最小， 根据尺规作图的方法可知，GB是∠ABC的角平分线， ∵∠C=90°， ∴当GP⊥AB时，GP=CG=1， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图以及角平分线的性质，难度不大，解题的关键是根据题意得到GB是∠ABC的角平分线，并熟悉角平分线的性质定理． 8. 如图，边长为2的正六边形的对称中心点P在函数的图象上，边在x轴上，点B在y轴上．平移正六边形，使点B、C恰好都落在该函数的图象上，则平移的过程为（ ） A. 左平移2个单位 B. 右平移1个单位，上平移个单位 C. 右平移2个单位 D. 右平移个单位，上平移1个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的性质可得，因为点P在函数的图象上，因此可求出函数解析式，利用正六边形平移设，，根据平移后点B、C恰好都落在该函数的图象上，将这两个点代入函数解析式即可求出m、n的值，即可得出答案． 【详解】过点P作轴于点G，连接， 由题意可知，G是的中点， ， ， 点P在函数的图象上， ， ， 正六边形中， ， 在中，， ，， ，， 设正六边形向右平移m个单位，向上平移n各单位，则， 使点B、C恰好都落在该函数的图象上， ， 解得或， 又， ， 即正六边形右平移1个单位，上平移个单位， 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，正六边形的性质，反比例函数的图像和性质，将正六边形的边角关系和反比例函数上点的坐标结合起来是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 10. 《九章算术》中记载：“今有人共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”译文：“今有人合伙买羊，若每人出五钱，还差四十五钱；若每人出7钱，还差三钱．问合伙人数、羊价各是多少？”设合伙人数为x人，羊价为y钱，可列方程组为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”中的等量关系分别列二元一次方程，即可求解． 【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y元， 依据“若每人出5钱，还差45钱”得：5x+45=y， 依据“若每人出7钱，还差3钱”得：7x+3=y， 因此可列方程组为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 11. 一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根，则b的取值范围为__． 【答案】b＞﹣． 【解析】 【分析】根据根的判别式得出△=（-）2-4×1×（b+1）＜0，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵一元二次方程x2﹣x+（b+1）＝0无实数根， ∴△＝（﹣）2﹣4×1×（b+1）＜0， 解得：b＞﹣， 故答案为b＞﹣． 【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△＜0时，方程无实数根”是解题的关键． 12. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点，，均在网格交点上，是的外接圆，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】作直径BD，连接CD，根据勾股定理求出BD，根据圆周角定理得到∠BAC=∠BDC，根据正切的定义解答即可． 【详解】解：如图，作直径BD，连接CD， ∵BC=2，CD=4， 在Rt△BDC中，tan∠BDC=， 由圆周角定理得，∠BAC=∠BDC， ∴tan∠BAC=tan∠BDC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、正切的定义是解题的关键． 13. 如图，三角形纸片中，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 14. 如图，在四边形中，、、、分别是边、、、中点，．有下列结论： ①连接，则有； ②若，则以、、、为顶点的四边形为正方形； ③连接，相交于点，则； ④若，则． 上述结论中，正确结论的序号有__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】如图：连接，设交于点O，证明四边形是矩形，然后逐个判断即可． 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故①正确； ∴，故③正确； ∴，若，则，故④正确； ∵，， ∴， ∴四边形不是正方形，故②错误， 综上可知，正确的有①③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先计算分式的减法，再将的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 16. 一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右． （1）估计箱子里白色小球的个数为 个； （2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后不放回箱子里，然后再摸出1个小球，求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率．（用画树状图或列表的方法） 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出随机摸出一个小球是红色的概率，再利用概率公式建立方程，解方程即可； （2）先画出树状图，则可得两次摸出的小球颜色的所有等可能的结果，再找出两次摸出的小球颜色恰好不同的结果，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵随机摸出一个小球，通过大量重复试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于左右， ∴随机摸出一个小球是红色的概率为， 设箱子里白色小球的个数为个， 由题意得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴估计箱子里白色小球的个数为1个． 【小问2详解】 解：由题意，画出树状图如下： 由图可知，两次摸出的小球颜色共有12种等可能的结果，其中，两次摸出的小球颜色恰好不同的结果有6种， ∴两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为， 答：两次摸出的小球颜色恰好不同的概率为． 17. 某市为缓解交通拥堵现象，决定修一条市中心到飞机场的轻轨铁路，为使工程提前3个月完成，需要将原定的工作效率提高12%，则原计划完成这项工程需用多少个月？ 【答案】原计划完成这项工程需用28个月 【解析】 【分析】设原计划完成这项工程需用x个月，列分式方程解答． 【详解】解：设原计划完成这项工程需用x个月， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：原计划完成这项工程需用28个月． 18. 如图，四边形为菱形，以为直径作交于点F，连接交于点H，E是上的一点，且，连接． （1）求证：是的切线； （2）若，，则四边形的面积为 ． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． ∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）20 【解析】 【分析】（1）利用证明可得：，证出，即，得是的切线． （2）连接，求出，则四边形的面积的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如上图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． 即四边形的面积是20． 19. 为了能正常恢复线下教学，某中学在2023年2月份对全校九年级学生进行了健康情况调查，并随机抽取了部分学生的调查结果为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题： （1）求本次共调查了多少名学生？ （2）通过计算将条形统计图补充完整； （3）若该中学九年级共有400人参加了这次健康调查，请估计该校九年级共有多少名学生身体健康？ 【答案】（1）本次共调查了50名学生； （2）补充条形统计图，如图： ； （3）估计该校九年级共有160名学生身体健康． 【解析】 【分析】（1）用发烧以外的人数除以发烧以外的人数所占的百分比即可得出总人数； （2）求出发烧的人数，然后即可将条形统计图补充完整； （3）用总人数乘以调查的学生中身体健康的学生所占的比例即可． 【小问1详解】 解：， 答：本次共调查了50名学生； 【小问2详解】 解：发烧的人数为：（人）， 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计该校九年级共有160名学生身体健康． 20. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上，在给定的网格中，只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，边上找点，使； （2）在图②中，边上找点，使； （3）在（2）的前提下，作点关于的对称点． 【答案】（1） 解：如图中，线段即为所求； （2） 解：如图，点即为所求； （3）解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，作垂线，解题的关键是理解题意，正确作出图形. （）如图中，取格点，连接交于点，线段即为所求； （）如图中，构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求； （）如图中，取格点，连接，，交于点，连接，延长，交于点，点即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 甲同学骑共享单车保持匀速从A地到B地，到达B地后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回A地．设甲同学距离A地的路程为，运动时间为，y与x之间的函数图象如图所示． （1） ； （2）在甲同学从B地返回A地的过程中，求y与x之间的函数关系式； （3）在甲同学从A地出发的同时，乙同学以的速度从B地匀速步行去A地，到达A地后停止．直接写出当乙同学到达A地前，乙同学与甲同学之间的距离为时，甲同学的运动时间． 【答案】（1）14 （2）y （3）6或 【解析】 【分析】（1）根据题意，从A地到B地与B地回A地的路程和速度相等，则所用时间也相等，进而根据图象列式求解即可； （2）设y与x之间的函数关系式为，将图象中的两个点代入解析式求得k、b即可求解； （3）本题需要进行分类讨论，分别以当甲同学在前往B地的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距，当甲同学在前往B地的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距两种情况列式求解即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意，从A地到B地与B地回A地的路程和速度相等，则所用时间也相等， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将与代入得， 解得， ∴y与x之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：根据题意，B地到A地的距离为，乙同学从B地匀速步行去甲同学A地速度为， 当时，，当时，， 设对应的函数解析式为， 把和代入得， 解得， ∴对应的函数解析式为：， 甲同学从A地去往B地的途中，对应的函数解析式为：， ①当甲同学在前往B地的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距， ∴， 解得； ②当甲同学在前往B地的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距， ∴ ， 解得； ∴综上所述：x的值为6或． 22. 【问题呈现】如图，点M为的中点，点B为上任意一点，且，试探究之间的数量关系． 【问题解决】 （1）可以应用截长补短再结合圆的性质来解决该问题：如图，延长至点F，使，连接，经过推理得出之间的数量关系为．下面是部分证明过程： 证明：∵M为的中点， ∴， ∴． 又∵，，， ∴． 证明过程缺失： 请你补全证明过程中缺失的内容． 【结论应用】 （2）在上述问题的前提下，如图，若为的直径，且，则的半径为 ． 【拓展提升】 （3）如图，内接于，已知，点D为上的任意一点，连接，，，于点E，则的周长为 ． 【答案】（1）证明：∵M为的中点， ∴， ∴． 又∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，推出，再利用等腰三角形的性质求解即可； （2）由（1）的结论知，再利用圆周角定理和勾股定理求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求得，由（1）的结论知，再证明是等边三角形，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）的结论知，即， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴的半径为； 【小问3详解】 解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴为的中点， ∴由（1）的结论知， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为． 23. 如图，在中，．动点P从点C出发，沿折线向终点A运动．当点P不与的顶点重合时，以为边作等腰直角，使点Q和点A在直线的同侧，且． （1）当点P在边上运动时，连接，当时，的长为 ； （2）当点P在边上运动时，若，则的值为 ； （3）当点P在边上运动时，连接．求证：； （4）当时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） ∵， ∴，， ∵以为边作等腰直角三角形，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4），或 【解析】 【分析】（1）三线合一，得到，即可得出结果； （2）根据，求出的长，平行线分线段成比例，求出的值，进而求出的值即可； （3）等腰直角三角形的性质，推出，，进而得到，得到，即可得证； （4）分点在上和点在上，两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴当点在边上运动，且时，； 故答案为：． 【小问2详解】 由（1）可知：， 当点在边上运动时，且时，则：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ①当点在上时，此时点在线段上， ∵，， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴； ②当点在上时，由（3）可知：， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 作于点， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上：或． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）经过点，点、均在抛物线上，、横坐标依次为，，当点不与点重合时，过点作直线轴，过点作直线轴，两直线交于点，连结、、． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）当时，求的值； （3）设点的纵坐标为，点的纵坐标为，当时，求的取值范围； （4）若点的坐标为，当以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点时（四边形的顶点除外），直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）把代入求出，即可得到抛物线的函数表达式； （2）先求出，则由即可求解； （3）可求，，则，分情况列出关于m的不等式组求解集即可； （4）分类讨论，找出几种临界状态，画图分析即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（b是常数）经过点， ∴把代入，得， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：如图： ∵点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，， ∴当时，， 把分别代入，得，， ∴， ∵过点A作直线轴，过点 B 作直线轴，两条直线相交于点C， ∴，， ∴， 则； 【小问3详解】 解：∵点A、B均在抛物线上，横坐标分别为，抛物线解析式为：， ∴，， ∵， ∴， ∴①当， 化简不等式得， ∴，无解， 或，解得：， ∴得解集为， 由得， ∴，解得：， 或，解得：， ∴的解集为； ②当时， 同理可求的解集为， ∴的解集为：或， 综上所述：当时，求m的取值范围为：或； 【小问4详解】 解：∵、横坐标依次为，， ∴，， ∵， ∴、横坐标关于对称， ∵点的坐标为，即， ∴， ∵， 令， 解得：， ∴或时，；时，； 当时，如图：此时以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有两个交点（顶点除外）； 当时，如图：此时，以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点（顶点除外）； 当时，如图，以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线没有交点（顶点除外）； 当时，如图，以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点（顶点除外）； 综上，当以点A、B、C、D为顶点的四边形与抛物线有且只有一个交点时（四边形的顶点除外），的取值范围为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与三角形的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，解不等式组，难度较大，正确理解运动状态，找出临界点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $