2026年中考数学二轮重难点专项训练特殊四边形问题（二次函数综合）

2026年中考数学二轮重难点专项训练 特殊四边形问题（二次函数综合） 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为，且经过点． (1)求该抛物线对应的函数解析式． (2)若点在该抛物线上，求的值． (3)若点在抛物线上，求． (4)在对称轴上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)直接写出抛物线的解析式； (2)点在第二、四象限的抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合运用 如图，抛物线交x轴于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，交y轴正半轴于点C，且，点P是抛物线对称轴上一动点．    (1)求该抛物线的解析式； (2)若点P的纵坐标为1，请判断的形状，并说明理由； (3)已知点D在抛物线上，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称，点Q为抛物线上一动点，是否存在点P，Q，使得以A，D，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，抛物线经过两点，并交轴于另一点，点是抛物线的顶点，直线与轴交于点 (1)求该抛物线的表达式； (2)若点是轴上一动点，分别连接，求的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点A在y轴的左侧，点C在x轴的下方，且． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)点P为抛物线对称轴上的一动点，当的值最小时，求点P的坐标； (3)在（2）条件下，点E为抛物线的对称轴上的动点，点F为抛物线上的动点，以点P、E、F、M为顶点作四边形，当四边形为正方形时，请直接写出坐标为整数的点M的坐标． 6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、（点在点的左侧），与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，当面积最大时，求点的坐标及面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一动点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 7．如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线 (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，点Q在平面上，以点A，C，P，Q为顶点作菱形，请直接写出符合题意的P点的坐标． 8．如图，抛物线与x轴交于、两点点在点左侧，直线与抛物线交于、两点，其中点的横坐标为． (1)求、两点的坐标及直线的函数表达式； (2)是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求三角形面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使、、、这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线过点，与轴交于点、，抛物线顶点坐标为，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)求证：直线与该抛物线没有交点； (3)设，矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求的最大值； 10．如图①，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，在轴上有一个动点，其中． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点，设的周长为，的周长为，若，求的值． (3)如图②，动点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，当，运动到秒时，沿所在的直线翻折，点恰好落在抛物线上点处，请直接判定此时四边形的形状，并求出点坐标． 11．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴相交于点C．连接AC，BC． (1)求抛物线解析式； (2)如图1，线段（点在点左侧）是直线上一段长度为的动线段，y轴上点下方有点，试判断在抛物线第一象限图象上是否存在点，使得四边形是菱形，若存在则求出该菱形面积，若不存在则说明理由； (3)如图2，点为抛物线第一象限图象上点，若，求点坐标． 12．如图，抛物线经过三点． (1)求抛物线的解析式． (2)探究在抛物线上是否存在点P，使？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． (3)直线交y轴于点G，M是线段上动点，轴与抛物线段交于点N．轴于F，轴于H，当四边形是正方形时，求点M的坐标 13．在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线与y轴交于，且过点， ①求此抛物线的对称轴； ②当时，函数有最大值6，求a的值； (2)如图，若正方形的顶点A，B在x轴上，，．抛物线与x轴交于点和点F．若抛物与正方形恰有两个交点，求a的取值范围． 14．如图，抛物线与轴相交于点、两点，交轴于点，顶点为点，点是点关于抛物线对称轴的对称点，过点作轴于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是线段上方抛物线上一点，过点．作轴交轴于点，交线段与点，当四边形的面积最大时，在线段上有一动点，在线段上有一动点，在轴上有一动点，且满足，连接，求的最小值． (3)将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线．点为新抛物线对称轴上一动点，连接，当时，在平面内找到一点，使得四边形是平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出一个点的求解过程． 15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与直线交于点和． (1)求抛物线的表达式； (2)已知点在轴上，当以点A、B、O、D为顶点的四边形是矩形时，求点到直线的距离； (3)设直线与轴交于点，已知点P、Q在直线上且在直线的下方（点在点的右侧），如果，求点P、Q的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二轮重难点专项训练 特殊四边形问题（二次函数综合）》参考答案 1．(1) (2)1或 (3)4 (4)或 【分析】（1）利用轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为代入直线的表达式求出点的坐标，再利用顶点坐标式待定系数法求出抛物线的表达式； （2）把时，代入抛物线的表达式求出； （3）先求出点，然后根据三角形面积公式进行计算即可； （4）根据抛物线的对称轴为直线，设点Q的坐标为，根据以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，，得出，求出t的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：对于，当时，；当时，， ， 抛物线的顶点为， ， 又抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线对应的函数解析式为． （2）解：点在抛物线上， ， 解得， 的值为1或． （3）解：∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：存在； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴设点Q的坐标为， ∵，，， ∴当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，，， ∴， 解得：， ∴点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键时将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质和二次函数的知识求解． 2．(1)； (2)存在，点的坐标为或 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据题意设点A的坐标为，点B的坐标为，得出相应的方程组求解确定点A的坐标为，点B的坐标为，由待定系数法即可确定函数解析式； （2）设，分两种情况分析：当为对角线时，当为对角线时，由平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵， 当时，， 设点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， 联立①②：解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 将点A代入函数解析式得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； ∴当为对角线时， ∴，， ∴，， 解得：， ∴； 综上可得：点的坐标为或． 3．(1)； (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）先求得，推出，，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，证明，即可推出是等腰直角三角形； （3）设点P的坐标为，点Q的坐标为，根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在中， 令，得． ∴， ∴． 又， ∴，． ∴，， 将，代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：是等腰直角三角形． 理由如下： 抛物线的对称轴为直线． ∴， 如图，过点C作直线的垂线，垂足为M，设直线与x轴的交点为N，    ∴． ∵，，， ∴，，，． 在和中，， ∴， ∴，． 又， ∴． ∴． ∴是等腰直角三角形； （3）解：设点P的坐标为，点Q的坐标为， ∵，对称轴为直线，且C，D两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 根据平行四边形对角线性质以及中点坐标公式可得： ①当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ②当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； ③当以为对角线时， ，即， 解得，此时点的坐标为； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合以及平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及平行四边形的性质是解题的关键． 4．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点M、D的坐标，再根据当H、M、D三点共线时，即H与A点重合，的值最大，最大值，由勾股定理，求出的长即可； （3）分，，分别为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， ∵， ∴当H，M，D三点共线时，即H与A点重合，的值最大， 最大值． （3）解：存在； ∵， ∴对称轴为直线， 设，， 当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时： ①为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ②当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； ③当为对角线时：， ∴， 当时，， ∴， ∴； 综上：当以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．涉及二次函数图象性质，待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 5．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）由题意，可得．把点A， C的坐标代入，得到关于b ， c的二元一次方程组，解方程组即可求出抛物线的函数解析式； （2）利用配方法求出抛物线的对称轴是直线．由抛物线与轴交于点A， B，得出点A， B关于直线对称．连接，交对称轴于点，根据两点之间线段最短可知此时的值最小．利用待定系数法求出直线的解析式为，把代入，求出，进而得出点的坐标； （3）在（2）条件下，点的坐标为．设，根据正方形的性质可得，根据两点间的距离公式列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意，可得． ∵抛物线过点A，点C， ∴， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为； （2）解：∵， ∴对称轴是直线． ∵抛物线与x轴交于点A，B， ∴点A，B关于直线对称． 连接，交对称轴于点P，此时的值最小． 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：在（2）条件下，点P的坐标为． 设， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴，或， 整理得，或， 解得， ∴或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到利用待定系数法求抛物线与直线的解析式，二次函数的性质，轴对称的性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键． 6．(1) (2)面积的最大值：， (3)点的坐标为：或或 【分析】（1）把点，点的坐标代入，求出，，即可； （2）过点作轴交于点，设的解析式为，求出的解析式，设点且，则点，求出，再根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平行四边形的性质分类讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③当为平行四边形的对角线时，分别求解，即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：． （2）解：过点作轴交于点，垂足为F，如图： ∵，，设直线解析式为， 将、代入， 得：， ∴， ∴直线解析式为， 设，，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴面积为， ∴ 面积的最大值：， 此时. （3）解：存在． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设点N的坐标为，点M的坐标为 分三种情况：①当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为 ②当为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴，即， 解得，. ∴， ∴点M的坐标为； ③当AC为平行四边形的对角线时，如图， ∵、， ∴线段的中点H的坐标为，即H， ∴， 解得，， ∴， ∴点M的坐标为， 综上，点的坐标为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键． 7．(1) (2)， (3)或或或或 【分析】（1）先求得A，B，C三点的坐标，将抛物线设为交点式，进一步求得结果； （2）作于F，交AC于E，根据点D和点E坐标可表示出DE的长，进而表示出三角形ADC的面积，进而表示出S的函数关系式，进一步求得结果； （3）根据菱形性质分别进行分类讨论，即以AC为对角线或以AC为边这两个情况，进而求得点P的坐标即可． 【详解】（1）解：已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C， 当时，得：， 解得：， 当时，， ，， 对称轴为直线， ， 抛物线经过A点，且与x轴的另一个交点为B， 将点A，点B的坐标代入得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：如图1，作于F，交于E， ，， ， ， ， ， ∵，， 当时，， 当时，， ； （3）解：点P在抛物线对称轴上， 设， 以点A，C，P，Q为顶点作菱形， 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形， ， 即：， ， ， ， ，， ，， ； 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， 或； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当以A，C，P，Q为顶点的四边形是以为边的菱形， ，且 即：， ， ， 或； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 当，即四边形是菱形， ，， ，； 此时； 综上所述，或或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及待定系数法解二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，两点坐标距离公式，三角形的面积，菱形性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点． 8．(1)， (2) (3)存在个这样的点，分别是，，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法． （1）因为抛物线与轴相交，所以可令，解出、的坐标．再根据点在抛物线上，点的横坐标为，代入抛物线中即可得出点的坐标．再根据两点式方程即可解出的函数表达式； （2）根据点在上可设出点的坐标．点坐标可根据已知的抛物线求得．因为都在垂直于轴的直线上，所以两点之间的距离为，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案； （3）此题要分两种情况：①以为边，②以为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出点的坐标． 【详解】（1）解：令， 解得：或， ∴， 将C点的横坐标代入 得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的函数解析式是； （2）设点的横坐标为， 则的坐标分别为：，， ∵点在点的上方，， 当时，的最大值； 则的面积的最大值是：； （3）存在4个这样的点F，分别是，，，， ①如图，连接点与抛物线和轴的交点，那么轴，此时， ∴点的坐标是； ②如图，则， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为； ③如图，此时两点的纵坐标互为相反数，因此点的纵坐标为，代入抛物线中即可得出G点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点代入后可得出直线的解析式为， 令，则， 因此直线与轴的交点的坐标为； ④如图，同③可求出F的坐标为． 总之，符合条件的F点共有4个分别是，，，． 9．(1) (2)见解析； (3)，的最大值是20 【分析】本题主要考查了二次函数综合，矩形的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式得到一个一元二次方程，利用判别式求解即可； （3）根据题意可得，可证明点E和点F关于抛物线对称轴对称，则可得到，进而求出，，根据据此周长计算公式可得，据此利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）解：由题意可设抛物线的函数解析式为， 将点代入解析式可得，解得， 抛物线的函数表达式为； （2）证明：将直线与抛物线联立可得， 整理得； ∴， 直线与抛物线没有交点； （3）解：由题意得，则 ∵四边形是矩形， ∴， ∴点G和点D关于抛物线对称轴对称， ∴点E和点F关于抛物线对称轴对称， 由（1）可得抛物线对称轴为直线， ， ，． ，即与的函数关系式是 当时，的值最大，的最大值是20． 10．(1) (2)m的值为 (3)四边形为菱形，H点的坐标为 【分析】（1）利用交点式可直接写出抛物线的解析式； （2）（2）如图①，易得，利用待定系数法求出直线的解析式为，则，，接着用分别表示出和，，然后证明，则根据相似三角形的性质得，从而解关于的方程可确定的值； （3）如图③，交轴于，利用折叠的性质得，，加上，则可判断四边形为菱形，所以轴，接着证明，利用相似比可表示出，，则，，所以点的坐标可表示为，然后点的坐标代入抛物线解析式得到，于是解关于的方程求出可确定点的坐标． 【详解】（1）解：抛物线的解析式为， 即； （2）解：如图， 当时，，则， 设直线的解析式为， 把，代入得，解得， 直线的解析式为， ，轴， ，， ， ， ，， ， 而， ， ，即， 整理得，解得（舍去），， 的值为； （3）解：如图，交轴于， ，， ， 沿所在的直线翻折，点恰好落在抛物线上点处， ，， ， ， 四边形为菱形， 轴， ， ， ，即， ，， ，， 点的坐标为， 点在抛物线上， ， 整理得，解得（舍去），， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、菱形的判断与性质和相似三角形的判断与性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用相似比表示线段之间的关系，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质． 11．(1) (2)存在， (3) 【分析】本题是二次函数综合题，考查了利用待定系数法求一次函数及二次函数的解析式，两个函数的交点问题，坐标与图形，特殊四边形、特殊角的求法，采用数形结合的思想及正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）利用待定系数法列方程组求解抛物线的解析式即可； （2）连接，与交于点，过点 作，先证明是等腰直角三角形，进而可得，设，可得，再根据中点坐标公式求出，代入解析式即可求出点，即可得出，，根据两点距离公式求出对角线，结合菱形面积公式可得. （3）先构造，根据，求出,由三角形是等腰直角三角形，所以，求出，进而可得直线解析式是，联立抛物线与直线解析式即可求出. 【详解】（1）解：已知点，代入抛物线解析式为 解得 ∴抛物线解析式为 （2）连接，与交于点，过点 作， 由抛物线解析式为可得， 又∵， ∴直线解析式为，， 若四边形为菱形，则，且 ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 代入抛物线解析式得： 解得（舍），， ∴，，， ∴ 所以菱形的面积 （3）延长至，过点作，与直线交于点，作轴，与x轴交于点H， 因为，即 ∴， 因为，，所以 又， ∴， 又∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形，所以 又∵，所以， 又，所以直线解析式是 联立抛物线与直线解析式得 解得（舍）， 所以． 12．(1) (2)或 (3) 【分析】（1）设抛物线的解析式解析式为，将代入计算即可； （2）先求出，过点P作轴的垂线，交于点Q，求出直线的解析式为，设，则，求出，再根据建立方程求解即可； （3）求出直线的解析式为，设，，根据题意得到，，求出，由四边形是正方形，建立方程组，转化为，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意：设抛物线的解析式解析式为，将代入得： ， 解得：， 则抛物线的解析式解析式为； （2）解：将代入，则， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点Q， 设直线的解析式为，则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴轴， ∵， ∴，即， ∴， 当时，解得：或， 则或， ∴点P的坐标为或； 当时，方程无解； 综上，点P的坐标为或； （3）解：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设，， ∵轴与抛物线段交于点N，轴于F，轴于H， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：或（舍去）， 则， ∴． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何的综合、一次函数解析式，正方形的性质性质等知识定，掌握数形结合思想成为解题的关键． 13．(1)①；②或 (2)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，正方形的性质等知识， （1）①利用待定系数法求出之间的关系即可解答；②分时，时，两种情况结合二次函数的性质即可解答； （2）先求出二次函数顶点坐标为，分当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点，两种情况建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①：把，分别代入抛物线中得： 解得： 对称轴为直线； ②当时，此时时，y有最大值即：解得： 当时，此时时，y有最大值即： 解得： 综上所述：或． （2）解：四边形是正方形，， ，，， 点A为，点B为 将代入，得：， 顶点坐标为 ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ，解得： ②如图，当抛物线与直线交点在点C上方，且与直线交点在点D下方时，与正方形有两个交点， ， 解得： 综上所述，a的取值范围为或． 14．(1) (2) (3)点的坐标是或 【分析】（1）将点、代入，解得的值，即得到抛物线的解析式； （2）由抛物线的解析式．可知对称轴为，从而得到， 因为点是点关于抛物线对称轴的对称点，故得点的坐标为，再利用待定系数法求得直线的解析式为，设点的坐标为，则点的坐标为，可得的长为，，由于，故当时，有最大值，从而得到点的坐标，将点向右平移个单位得到， 连接，可得四边形是平行四边形 ，故当点共线时，有最小值，从而得到的最小值． （3）根据题中提供的平移方式得新抛物线解析式为，从而得到新抛物线的对称轴为直线．由于点为新抛物线对称轴上一动点，设点的坐标为 由题意可知， 过点作交于点，则为等腰直角三角形，且．再过点作轴于点，过点作轴于点．易得．得到，由，可得，解得或，从而求得点的坐标，设点的坐标为，由于四边形是平行四边形，故且，从而列方程得，解方程即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点、两点， ∴ 解得： 抛物线的解析式为． （2）解：∵抛物线的解析式为． ∴对称轴为， 当时，，故， 点是点关于抛物线对称轴的对称点， 点的坐标为， ，， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ， ， 当时，有最大值， 此时点的坐标为， ， 将点向右平移个单位得到， 连接，可得四边形是平行四边形 ，    作点关于轴的对称点，连接， 当点共线时，有最小值， 此时 的最小值为． （3）解：将抛物线沿射线方向平移个单位，相当于将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移1个单位， 所得新抛物线解析式为，所得新抛物线的对称轴为直线． 点为新抛物线对称轴上一动点， 设点的坐标为 由题意可知， ， 方法一：过点作交于点，    则为等腰直角三角形，且． 再过点作轴于点， 过点作轴于点．易得． ， ， ， 由，可得， 解得或， 点的坐标是或． 设点的坐标为 四边形是平行四边形， 且， ， 点的坐标是或． 方法二：由（定边对定角）得，    点是在以点为圆心，以为半径的圆上． 或 点的坐标是或． 设点的坐标为， 四边形是平行四边形， 且， 点的坐标是或． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质与四边形的综合题，熟练掌握二次函数图象的性质，待定系数法求解析式，函数图象的平移，二次函数与四边形结合动点问题是解题的关键． 15．(1)； (2)点D到的距离为； (3)，． 【分析】（1）先求出A和B坐标，再代入抛物线求解即可； （2）利用矩形对角线相等求出，所以，再求出C点坐标，进而利用的面积建立方程求解即可； （3）先求出直线的解析式，再设出P和Q坐标，利用两点距离公式表示出，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 将代入得，， ∴，， 将A、B代入抛物线得， ，解得， ∴抛物线表达式为； （2）解：如图， ∵，， ∴中点坐标为， 被y轴平分， ∴为对角线， ∴， ∴， 由可知，当时，， ∴， ∴，， 设点D到的距离为h， 则， ∴， 即点D到的距离为； （3）解：∵直线与x轴交于点E， ∴当时，，即， 设直线的表达式为， ∴，解得， ∴直线的表达式为， 设，，且， ∵， ∴， 整理得， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴，即， 将代入上式得， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与坐标轴交点问题、矩形的性质、两点距离公式、一次函数点的坐标特征等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $