2026年中考数学二轮重难点专项训练 特殊四边形问题（二次函数综合）

特殊四边形问题（二次函数综合）2026年九年级中考数学二轮重难点 1．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点．    (1)求二次函数的解析式； (2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使最大，求点P的坐标； (3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点的坐标；若不存在请说明理由． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． (1)求抛物线的表达式． (2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标： (3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．点是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，并将沿轴对折，得到四边形，是否存在点，使四边形为菱形？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，过点作轴交抛物线于点，作于点，求的最大值． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． (1)求此抛物线的解析式； (2)连接，若点为轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度； (3)点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上． (1)求二次函数的解析式； (2)求面积的最大值； (3)若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、C两点，其中，，与y轴交于点B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，连结，过点D作于点E，延长与直线交于点F，求的最大值及此时点D的坐标； (3)若将原抛物线绕原点O旋转得到新的抛物线，P是新抛物线上的一个动点，H是直线上的一个动点，在平面直角坐标系上，是否存在一点K，使得四边形为正方形？请直接写出满足条件的所有K的坐标． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线为常数，的图象与轴交于点两点，与轴交于点，且抛物线的对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为点，交直线于点，求的最大值，并求出此时点的坐标； (3)如图2，若抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点为新抛物线上一点，点为原抛物线对称轴上一点，取（2）中最大值时点，是否存在以点B、P、E、F构成的平行四边形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 8．如图，点、、在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段长度最大时点的坐标． (3)点是抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使得以点 ，，， 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 9．已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，，（）是直线上方抛物线上的两点，且． (1)求点B，C的坐标； (2)求m与n之间的关系式，并直接写出m的取值范围； (3)过点M作轴交于点D，过点N作轴交于点E，设四边形的周长为． ①求与m之间的函数关系式； ②若四边形为菱形，求m的值； ③若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，请直接写出此时四边形周长的取值范围． 10．如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 11．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴分别相交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点． (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线的顶点为M，点N是y轴上一点，点Q是平面内一点，是否存在以B、M、N、Q为顶点的四边形是以BM为边的矩形？若存在，请求出点N、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．抛物线（，为常数）经过点，点，点在此抛物线上，点的横坐标为，点不与重合，抛物线上点与点之间的部分（包括端点）记为图象． (1)求此抛物线所对应的函数解析式； (2)当图象的最大值与最小值差为时，直接写出的取值范围； (3)图象与直线有且只有一个交点时，求的取值范围； (4)连接，以为对角线构造矩形，轴，轴，矩形的边与抛物线的交点为点（异于点，），点关于的对称点是点弥，当时，直接写出的值． 13．如图，已知抛物线的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图①，在直线上方的抛物线上存在一点M，使得，求出M的坐标； (3)若点P是该抛物线上位于直线下方的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），点D在抛物线对称轴上，点Q是平面内任意一点，当B，P，D，Q四点构成的四边形为正方形时，请直接写出Q点的坐标． 14．综合运用：如图，抛物线与轴交于和两点（点在点左侧），与轴交于点，连接，直线经过点． (1)求直的函数表达式； (2)是位于直线上方抛物线上的一个动点，过点作于点，连接．求△面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线与原抛物线相交于点是新抛物线对称轴上的一个动点，为平面内一点，若以为顶点的四边形是以为边的菱形，求出符合条件的点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)；； (2)； (3)M点的坐标为或或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，轴对称、平行四边形的判定与性质． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，，此时有最大值，直线与对称轴的交点即为点； （3）利用中点坐标公式结合平行四边形的性质，分三种情况，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点关于对称轴的对称点，连接与对称轴交于点，连接，    由对称性得， ∴，三点共线时，有最大值， ∵，抛物线的对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， ∴， 当时，， ∴； （3）解：∵点，，，    ∴， 当为对角线时，点的坐标为； 当为对角线时，点的坐标为； 当为对角线时，点的坐标为； 综上，M点的坐标为或或． 2．(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为 (3)存在，或或 【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案； （2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案； （3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设抛物线的交点式为， 即抛物线的表达式为； （2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示： 由（1）知抛物线的表达式为， 抛物线与轴交于点， 设直线， 将、代入得， 解得， 直线， 点是抛物线上位于线段下方的一个动点， 设，则， ， ， 抛物线开口向下，当时，有最大值， 此时点的坐标为； （3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下： ∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ∴当为对角线时，则， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：点的坐标为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键． 3．(1) (2) (3)最大值为 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的性质、特殊四边形的性质，函数与坐标轴的交点问题以及二次函数最值问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）根据题意抛物线过点和对称轴是直线，利用待定系数法即可求得抛物线的函数表达式； （2）连接交于点，结合菱形的性质可得，且，进一步求得点的纵坐标为 ，代入函数解析式有，即可求得点的坐标； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于，求解出，再求解直线的函数表达式为，设，则，写出，表达式，代入，利用二次函数的性质求得最大值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线， 解得 ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，存在点，使四边形为菱形， 理由如下：在中，当， ∴， 假设抛物线上存在点，使四边形为菱形，连接交于点， ∵四边形为菱形，， ∴于点，，即点的纵坐标为， 由，得，（不合题意，舍去）， 故存在点，使四边形为菱形，此时点的坐标为； （3）如图，延长交轴于，过作轴交于， 在中，令，得，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∵， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为． 4．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角函数值、平行四边形的性质、线段长度的表示方法． （1）由待定系数法即可求解； （2）分点D在点B上方、下方两种情况，由运用三角函数求出的值，即可求出的长度； （3）先求出线段所在直线的函数解析式，设点，则点，由，即可求解． 【详解】（1）解∶由，则当时，． 即点B坐标为，故． ， ，． ∴点A、B、C的坐标分别为、、． 将A、C两点坐标代入， 解得 此抛物线的表达式为； （2）解：， ． 如图，当点D在点B上方时， 依题意得， ． ． ． 当点D在点B下方时， ， ， ． ． 综上所述，线段的长度为或； （3）解：如图所示 设所在直线的函数解析式为 、， 代入解析式得 解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设点，则点， 则． 当四边形为平行四边形时， 则． 即， 解得， 则点P的坐标为或 5．(1)二次函数的解析式； (2)面积的最大值为； (3)点的坐标为或． 【分析】（）利用待定系数法求函数解析式即可； （）过点作轴，交于点，设，求出直线解析式为，则，然后求出，再通过面积为，最后二次函数的性质即可求解； （）分以，，，为顶点的四边形是正方形，当时和以，，，为顶点的四边形是正方形，当时两种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式； （2）解：如图，过点作轴，交于点， 设， ∴点的横坐标为， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为， ∴， ∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上， ∴， ∴面积为 ， ∴当时，面积有最大值为； （3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， 设， ∴，， ∴点， ∵点在直线：上， ∴， 解得：（舍去），， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时， ∴，， 过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点， 同上理得：，，， ∴，， 设，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）或， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上可知：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 6．(1) (2)最大值为，此时点D的坐标为 (3)存在，或 【分析】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段长度是解题的关键． （1）根据题意得：，即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）证明，得到，．则P点的坐标为或，，再分类求解即可． 【详解】（1）根据题意得：， ∴抛物线的解析式为； （2）过点D作直线于M，交直线于G， ∴轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于A、C两点，其中，与y轴交于点B． 令，则，解得，， 令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 由点B、C的坐标得，直线的解析式为， 设直线DM交x轴于N，，则，， ∴，， ∴， ∴的最大值为，此时点D的坐标为； （3）如图， 根据旋转得抛物线过点，，， ∴， 设， ∵四边形正方形， ∴，， ∴， 过点H作轴于M，过点P作轴于N， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∴P点的坐标为或，， ①当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； ②当P点的坐标为时， ∵，，，四边形为正方形， ∴点K的坐标为； 综上，存在，点K的坐标为或． 7．(1) (2) (3)点的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求出直线解析式为，过N作轴于D，设，则，故，判定是等腰直角三角形，得出，进而求出，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）根据平移法则得到抛物线的解析式为，设点，分为为对角线，为对角线，为对角线，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将点，分别代入， 得， 解得． ∵该抛物线的对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∴，，， ∴该抛物线的解析式为． （2）解：令，解得，， ∴， 设直线解析式为， 则，解得， ∴， 过N作轴于D， ， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴ ， ∴当时，取最大值，最大值为，此时； （3）解：存在．理由如下： 原抛物线，对称轴为直线， ∴F的横坐标为， ∵点，点， ∴，， ∴． ∵抛物线沿射线的方向平移个单位长度得到抛物线y， ∴抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到y， ∴抛物线的解析式为． 设点． ①当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． ②当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为； ③当为对角线时， ∴，解得， ∴ ∴点E的坐标为． 综上所述，存在以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行四边形，点E的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的平移，等腰三角形的性质，二次函数与特殊四边形的综合题，二次函数的面积问题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合思想及分类讨论的数学思想解答是解题的关键． 8．(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）将、的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将点横坐标代入抛物线的解析式中. （2）的长实际是直线与抛物线的函数值的差，可设点的横坐标为，用分别表示出、的纵坐标，即可得到关于 的长、的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得的最大值. （3）存在.如图，设抛物线与的交点为，由题意，可知 轴，分图中四种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可. 【详解】（1）解：将代入，得到，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）将点的横坐标代入，得， ∴， 设直线的解析式为， 把分别代入，得，解得：， ∴直线的函数解析式是， 设点的横坐标为，则、的坐标分别为：， ∵点在点的上方， ∴， ∵， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）存在．满足条件的点的坐标为或或或． 理由：如图，设抛物线与轴的交点为，由题意得， ∵， ∴轴，， 当点与点重合时， ①当是平行四边形的边时，即 ，则， 得， ②当是平行四边形的对角线时，即，则得， 当点在轴的上方时，令，解得， ∴， 由平移的性质可知， 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的定义，待定系数法求解二次函数解析式，二次函数与一次函数交点求线段的最值问题，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质，解题关键是熟悉各个知识点并综合运用． 9．(1)点，点 (2)，且 (3)①；②或；③ 【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式和两点式，即可求出点B，C的坐标； （2）根据点B，C的坐标求出直线的解析式，由，（）是直线上方抛物线上的两点，确定，（），且，因为，得，将点M，N的坐标代入即可得出，并确定m的取值范围为且； （3）①根据已知条件，易证四边形为平行四边形，由,，求得，由（2）得，点的坐标为，过点作于点，易证，得，即，平行四边形的周长，当时，，当时，； ②若平行四边形为菱形，即，由①得，，当时，，即，求解并判断是否符合即可；当时，，即，求解并判断是否符合即可； ③当时，，，当时，，，若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标，得． 【详解】（1）解：抛物线的解析式，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）， ， 点B，C的坐标分别为：点，点； （2）设直线的解析式为，由点，点， 得， ，， 直线的解析式为， ，（）是直线上方抛物线上的两点， ，（），且， 如图所示，过点作于点， ， ， ，， ， 即， ， ， ， ，m的取值范围为且； （3）①轴，轴， ， ， 四边形为平行四边形， ， 点的坐标为：， ， 由（2）得，点的坐标为， ， ， ，， ， ， 平行四边形的周长， 当时，，， 当时，，， 综上所述，； ②若平行四边形为菱形，， 由①得，， ， 当时，，即，解得（舍），， 当时，，即，解得，（舍）， 综上所述，或； ③当时，，， 当时，，， 如图所示，四边形的周长的图象为抛物线上的实线， 若恰好存在四个M点，使四边形的周长相等，即图象上有四个点的横坐标对应同一个纵坐标， ． 【点睛】本题是二次函数的压轴题，考查了抛物线与坐标轴交点的求解、直线斜率与平行条件的应用、函数关系式的建立与取值范围分析、几何图形周长计算与菱形性质的应用、函数对称性与方程解的个数关系等，要会用“分类讨论”的思想探究分段函数，解题的关键是通过坐标几何关系，将几何图形转化为代数表达式，及结合二次函数图象的特征分析解的个数． 10．(1) (2) (3)是定值，为8 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据最大值为4求出a的值即可得到答案； （2）作于，延长交抛物线于，作于．可证明．得到．由对称性可得．则．可知点与点重合．则轴．可求出．由，解得．则，． （3）可求出直线为．直线为．设．由，得．则直线为．由，得．据此可求出，．由根系关系，得．则． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的最大值为4， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，作于，延长交抛物线于，作于． ∴． 当四边形是平行四边形时，． 又∵， ∴． ∴． 由题意，为对称轴，则． ∴． ∴点与点重合． ∴轴． 由（1），得顶点坐标为， ∴． 由，得． ∴． ∴． ∴． （3）解：设直线为，则． ∴． ∴直线为． 同理，可设直线为． 设． 则．否则，无两个交点． 由，得． ∴直线为． 由，得． ∴． 同理，． 由，得． 以为元，由根系关系，得． ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解（2）的关键在于证明轴，解（3）的关键在于设出坐标，进而用A、B横坐标表示出线段的长． 11．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）先根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先根据二次函数的性质求得顶点为，设，然后分、和三种情况，分别画出图形并运用矩形的对角线相等且相互平分列方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵B、C分别是直线与x轴，y轴的交点， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， ∵B、C在抛物线上， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴顶点， 设， ①如图：当时， 则，解得：， ∴； ②如图：当时， 则，解得：， ∴． 所以或． 12．(1)； (2)或； (3)或或； (4)或． 【分析】把点，点的坐标代入抛物线（，为常数），可得关于、的方程组，解方程组求出、的值，即可得到抛物线的解析式； 抛物线的对称轴是，此时分三种情况求解：当点在点左侧时，当点在点右侧、对称轴左侧时，当点在对称轴右侧时； 因为图象与直线有且只有一个交点，需要分四种情况讨论：当时，当时，当时，当时，根据图象与直线有且只有一个交点，分情况讨论即可； 当且在上方时，根据矩形的性质可得：，，又因为，所以可得，解方程求出即可；当且在下方时，根据矩形的性质可得：，，又因为，所以可得，解方程求出即可；当时，在上方时，矩形的边与抛物线没有，之外的交点． 【详解】（1）解：抛物线（，为常数）经过点，点， ， 解得：， ； （2）解：或， 理由如下， 抛物线的对称轴是， 整理， 可得：， 当时，取得最小值， 当时，随值的增大而减小， 当时，随值的增大而增大， 若时， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值， 由题意可得方程：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 时， 时，函数有最小值， 当时，函数有最大值， 由题意可得方程：， 解得：， 时， 当时，函数有最小值， 由题意得函数的最大值是， 点的坐标是， 关于对称轴的对称点为， 当时，满足图的最大值与最小值差为， 综上所述：或； （3）解：图与直有且只有一个交点， I．如图所示， 当时，则， 解得：； II．如图②所示， 当时，则， 解得：； III．如图所示， 当时，则， 直线与图象没有交点， 不符合题意； IV．时，直线过图象顶点； 综上所述，或或； （4）解：的值为或， I．当且在上方时， 如下图所示，，， 又轴，轴， 的边与抛物线的交点为， ，， ， 点，关对称， ， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）； II．当且在下方时， 如下图所示， 则，， 轴，轴， 点的坐标是， 由图可知，关于抛物线的对称轴对称， 点的坐标是 ， ， 点 ，关对称， ， ， ， 解得：，(不符合题意，舍去)； III．当时，在上方， 如下图所示， 矩形的边与抛物线没有，之外的交点，不符合题意； 综上所述：符合条件的值为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 13．(1) (2)或 (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （2）直线的表达式为，代入A、C求出表达式，过点M作轴，交于点N，设，则，结合，再根据即可求出答案； （3）求解对称轴为直线，顶点坐标为，如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于；，设，，证明，可得，，再建立方程求解即可；如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于，同理可得：，可得，，如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为，此时，，证明四边形是正方形，从而可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 将A、B、C代入，得 ， 解得， 抛物线的函数表达式为； （2）解：设直线的表达式为， 代入A、C得， 解得， ， 过点M作轴，交于点N， 设，则， ， ， 即， 解得或， 或； （3）解：∵抛物线为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 如图，过作对称轴于，作轴于，过作轴于； ∴， 设，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：，（舍去）， ∴，， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，过作轴于，过作轴于；过作对称轴于， 同理可得：， ∴，， ∴， 解得：（舍去），， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴； 如图，当为抛物线的顶点，重合时，记对称轴与轴的交点为， 此时，， ∴，且， 此时四边形是正方形， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积问题，二次函数与特殊四边形问题，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线，清晰的分类讨论是解本题的关键． 14．(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】（1）根据抛物线解析式求与x轴，与y轴的交点，用待定系数法求直线的函数表达式即可； （2）点作轴交于点，过点作于点，设，则，可得是等腰直角三角形，表示出，则，那么，再转化为二次函数求最值即可； （3）可求，结合条件得到将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度，则新抛物线，求出交点．设．，，，由于以为顶点的四边形是以为边的菱形，分两种情况讨论，即和，建立方程求出，再根据对角线互相平分的性质求解． 【详解】（1）解：∵抛物线，令，则； 令，则．     解得． ∴． ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如答图，过点作轴交于点，过点作于点． 设，则． ∴． ∵，   ∴      ∴． ∵轴， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形．    ∴， ∴， 将代入得：， ∴． ∴， ∵， ∴面积的最大值为，此时．     ∴． ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴． ∴将抛物线沿着射线方向平移个单位长度得到新抛物线， 相当于平移了的长度，而点的水平距离为1，铅锤距离为3， ∴将抛物线向左平移2个单位长度，向下平移6个单位长度． ∵抛物线， ∴新抛物线． ∴新抛物线的对称轴为直线． 联立．      解得．        ∴． 设． ∴， ， ． ∵以为顶点的四边形是以为边的菱形， ①当时，即． 解得．     ∴． 设点的坐标为．    ∴， 即．       解得．        ∴点的坐标为； ②当时，即． 解得． ∴或． 同理可得点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，菱形的性质，两点之间距离公式，函数图象的平移等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $