二次函数与面积问题综合常见题型练2026年中考数学二轮复习备考

**基本信息** 聚焦二次函数与面积综合，通过15道阶梯题构建“解析式求解-面积转化-动态探究”方法体系，培养推理意识与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础计算|15题（第1问）|待定系数法求解析式|从抛物线表达式构建到坐标关系推导| |面积转化|12题（第2/3问）|铅锤法/坐标法表面积|面积公式与二次函数性质结合| |动态综合|8题（动点存在性）|分类讨论/二次函数最值|静态面积到动态范围的逻辑递进|

2026年中考数学二轮复习备考－ 二次函数与面积问题综合常见题型练 1．抛物线过点，点，顶点为C，与y轴相交于点D，点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，连接，求出的面积范围； (3)连接，过点P作于点M，且，求此时M点坐标． 2．如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； (3)是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 3．在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）经过，两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线的上方，过点P作轴，交直线于点E． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，若，求点P的坐标； (3)如图2，连接与交于点F，连接，当与的面积都等于S时，求S的值． 4．如图，抛物线经过点和，点是线段上的动点（不包含端点），过点作轴，交抛物线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)求面积的最大值； (3)设为抛物线的顶点，在坐标系内存在点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的点一共有多少个？请任意求出其中一个点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与坐标轴交于点，两点，直线交y轴于点C，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G，分别交直线、于点E、F． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，连接，求的面积； (3)①H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标； ②在①的条件下，第一象限有一动点P，满足，求周长的最小值． 6．如图，已知抛物线经过点，，其中、为抛物线上的两个动点． (1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标； (2)若是抛物线上的一点，当且最大时，求点的坐标； (3)若轴，点到的距离大于个单位长度，求的取值范围． 7．已知如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于C点． (1)分别求的坐标； (2)抛物线位于x轴上方的部分上是否存在点M，使，若有，请求出在此时M的坐标，若不存在，说明理由． 8．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，，点在点的左侧．点的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)若点是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 9．已知抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，顶点为点，点为抛物线上的一个动点， (1)求抛物线的解析式； (2)当点在第一象限时，连接和，求面积的最大值是多少？ (3)若点在轴上，当以点，，，为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标． 10．如图，已知抛物线与轴交于点，点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点，不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接、，当的面积为时，求点的横坐标． 11．已知点和都在二次函数的图象上，且A、B两点位于该二次函数图象对称轴的异侧． (1)如图，若该二次函数的图象经过点． ①求这个二次函数的表达式； ②当时，求的面积； (2)当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，直接写出a的取值范围． 12．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若点是该抛物线上一动点，求面积的最大值； (3)若函数的最大值与最小值的差为，求出的值； (4)若点是坐标平面内一动点，请直接写出的最小值及此时点的坐标． 13．如图，二次函数的图象与x轴相交于点，． (1)求二次函数的解析式； (2)若P是二次函数在第四象限内的图象上的一点，线段交直线于点Q，求的最大值． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点D在直线下方的抛物线上时，过点D作y轴的平行线交于点E，设点D的横坐标为t，的长为l，请求出l的最大值； (3)当点D在直线下方的抛物线上时，连接，交于点F，求的最大值． 15．如图，抛物线与轴相交于点，且经过两点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点为轴下方抛物线上的一动点，当面积最大时，请求出点的坐标以及面积最大值； (3)抛物线顶点为，对称轴与轴的交点为，点为轴上一动点，请问是否存在点以为顶点的三角形与相似，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与面积问题综合常见题型练》参考答案 1．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （）直线解析式为，过点作轴交于点，点，则点，，进而根据，得到，据此根据二次函数的性质求解即可； （3）解直角三角形得到，设交轴于点，延长交轴于点，连接，过点作轴于点，求出，，则可证明，得到；证明点为的中点．得到，则可证明；解直角三角形求出，，则；求出直线的解析式为．联立，解得或，则；过点M和点P分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，证明，推出，证明，推出，则；证明，推出，则． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ， 解得． 抛物线的表达式为． （2）解：在中，当时，， ∴， 设直线的表达式为，则， ∴ 直线解析式为； 如图所示，过点作轴交于点， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，； （3）解：在中， ， 设交轴于点，延长交轴于点，连接，过点作轴于点， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴ ， 在中，， ， ， ； ，， ， ∴， ∴点为的中点． ∴， ∴； 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 联立，解得或 ∴； 如图所示，过点M和点P分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T， ∴； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．(1) (2)或 (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为一元二次方程求解即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴. （2）解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴或． （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵， 当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 3．(1) (2)点 (3) 【分析】（1）将A、B两点坐标代入抛物线解析式，可得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值，进而得到抛物线表达式． （2）先求出直线的解析式，设点P的横坐标为m，并表示出P、E的坐标，进而得到和的长度表达式；根据列方程求解，得到m的值后即可得到点P的坐标． （3）先根据与的面积相等，推出；再结合与的相似关系，表示出相关线段长度，求解出点P的坐标，最后计算出S的值． 【详解】解：（1）由题意，把点，分别代入， 得，解得． ∴抛物线的表达式为． （2）当时，， ∴点． 设直线的表达式为， 把点和分别代入，得，解得， ∴直线的表达式为． 设点， ∵轴于点D，交直线于点E， ∴， ∴点，． ∴． ∴． 由，得． 解得，（不合题意舍去）． ∴，即点． （3）如答图，过点A作轴交延长线于点G，过点F作轴于点H． ∴． 同（2）设，则，，． 又由，得． ∵和的面积相等， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 解得，． 经检验，，，是原方程的解，但不符合题意，舍去． ∴，． ∴． 4．(1) (2)8 (3)满足条件的点一共有3个，或或． 【分析】本题考查了二次函数综合． （1）点和代入，求出a和b的值即可；、 （2）求出的解析式为，则 ，得出的表达式，再用铅锤法得出，，根据二次函数的性质，即可解答； （3）根据平行四边形对角线互相平分的性质，进行分类讨论即可． 【详解】（1）解：将点和代入得： ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设的解析式为， 将点和代入得：， 解得：， ∴的解析式为， ∴ ∴， ∵点是线段上的动点 ∴， ， ∵，开口向下， ∴当时，面积取最大值， 此时． （3）解：∵， ∴， 设， ①当为对角线时： ，解得：， ∴； ②当为对角线时： ，解得：， ∴； ③当为对角线时： ，解得：， ∴ 综上：满足条件的点一共有3个，或或． 5．(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据，得出，进而求得，则，根据三角形面积公式即可求解； （3）①过点作于，证明，得出，，进而直线的解析式为，由得到，，，，根据即可求解； ②勾股定理求得，要使得的周长最小，只要的值最小，当点在上时，的值最小，进而勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴交于，两点， ∴，解得：， ∴； （2）解：∵，， ，， 轴，轴， 在和中， ， 即， ， ， 当时，， ∴，即， ， ． （3）解：①如图中，过点作于， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ∵，， 设的解析式为，则 解得：， 直线的解析式为， 设，， 由得到，， ， ∴，， ， ， ， ， ∴． ②如图中，， ， 的周长， 要使得的周长最小，只要的值最小， ， 当点在上时，的值最小， ， 的周长的最小值为． 6．(1)， (2) (3)或 【分析】（1）将两点坐标代入，用待定系数法解方程组求出，得到解析式；抛物线 的顶点为； （2）过作轴于，交于，过作于，求出直线解析式，设点并表示出长度，将面积表示为关于的二次函数，利用二次函数的开口方向和对称轴得到坐标； （3）由点到的距离大于，得出所在直线的纵坐标，然后令抛物线解析式等于，解方程求出临界值，结合抛物线开口方向，确定的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为， 顶点坐标为． （2）解：如图，过作轴于，交于，过作于，则， 设直线的解析式为，将，，代入， 可得， 解得， 则直线解析式为， 设为，为， 则， 可得， 由，抛物线开口向下，可知当时，S△ABC最大， 此时的坐标为． （3）解：∵当过顶点时，点到的距离为， ∴必在点的下方， 可得，即， 当时，解得或， 结合图象可知，的取值范围是或． 7．(1) (2)存在，或 【分析】（1）令，再解方程得到的坐标； （2）设，再根据构建方程求解即可． 【详解】（1）解：令，即， 解得， ； （2）解：存在， ， ， 设， ， 即， 又在轴上方， ，即， 解得， 故存在，或． 8．(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次函数和几何综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意，先求出点的坐标，再利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）根据（1）中的二次函数表达式，求出点的坐标，结合、两点利用待定系数法求解即可； （3）过点作轴，交于点，设点的坐标为，则点的坐标为，易得，根据的长度表达式计算出的最大值，由此即可得出四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点的坐标为， ∴， ∵，点在轴下方， ∴点的坐标为， 将点代入， 得，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为． 将点代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． （3）解：过点作轴，交于点，如下图所示： 由（2）知， ∴， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为3， ∴的最大值为， ∴四边形面积的最大值为． 9．(1) (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由待定系数法可求得直线的解析式，设，，即可求得的长，可得，利用二次函数的性质，即可求得当的面积最大值； （3）分当四边形为平行四边形时，和当四边形为平行四边形时两种情形解答，利用平行四边形的性质，对边平行且相等，求得点的纵坐标，再将其代入抛物线的解析式即可求得结论． 【详解】（1）解：将点、的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：过作轴交于点． 设直线的解析式为：， ，解得， 直线的解析式为， 设，， ， 的面积， ∵， 当时，的面积最大，最大面积为； （3）解：， 顶点的坐标为． ①当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ， 即． ． 令，则． ， 点的坐标为或． ②当四边形为平行四边形时， 四边形为平行四边形， ，． ，即． ， 令，则． , 点的坐标为或． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或或． 10．(1) (2) (3)点的横坐标为或 【分析】（1）将代入求解即可； （2）当时，求出，得出，利用，即可求出直线解析式； （3）设，则 ， 得出，利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：抛物线过点， ，   解得， 抛物线解析式为； （2）解：抛物线与轴交于点， 当时，， ， 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ， 解得：， 直线的解析式为； （3）解：设，则， ， 的面积为， ， 解得：，， ∵轴于点， 当的面积为时，点的横坐标为或． 11．(1)①；② (2) 【分析】（1）①将点代入中即可求出二次函数表达式； ②当时，轴，根据二次函数的对称性求出和的值，然后根据列式计算即可； （2）根据A，B两点位于对称轴的异侧，二次函数的最小值为，分两种情况：①当时，，②当时，，分别求出a关于m的等式，结合m的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：①将点代入中， 得：， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为：； ②∵点和在二次函数的图象上，，抛物线的对称轴为， ∴，轴， ∴，， 当时，， ∴， ∴； （2）解：∵和两点位于该二次函数图象对称轴的异侧， ∴，， ∴， ∵二次函数的最大值与最小值的差为1，二次函数的最小值为， ∴①当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； ②当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即； 综上，a的取值范围为． 12．(1) (2) (3)或 (4)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】（1）将点，代入抛物线表达式，解方程即可； （2）过点作轴的平行线，交于点，用的代数式表示出点和点的坐标，进而表示出．利用割补法将的面积分为竖直的两个小三角形，得到关于的关系式，结合二次函数的性质求出最大值即可； （3）分为区间在对称轴左侧、右侧和经过对称轴三类情况，由二次函数的增减性判断最大值和最小值，构造方程并求解．对于区间经过对称轴的情况，还需细分为处取最大值和处取最大值，解方程可知这两种情况下无解； （4）由点的横纵坐标关系，消去参数后，发现点在直线上，此时符合“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，当、、三点共线时，取得最小值，即，使用勾股定理计算出，点的坐标可通过联立直线和直线求得． 【详解】（1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴的平行线，交于点， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， ∵点是该抛物线上一动点， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴点在下方， ∴， ， ， ， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值； （3）解：在抛物线中，图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ①当区间在对称轴左侧，即时， ∵， ∴， 在上，随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， 当时，取得最小值， ∴， 解得； ②当区间在对称轴右侧，即时， ∴ 在上，随的增大而增大， ∴当时，取得最小值， 当时，取得最大值， ∴， 解得； ③当区间包含对称轴，即时， ∴， 此时二次函数在顶点处取得最小值，即的最小值为， ∵抛物线开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， 当时， ∵， ∴在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 当时， 同理，在处，取得最大值， ∴， 化简，得， 解得，两根均不在的范围内，故舍去； 综上所述，或． （4）解：∵， ∴，， 两式相加得，即， ∴点在直线上， 如图，作直线，交轴于点，交轴于点，作点关于直线的对称点，连接、、， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 将代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点与点关于对称， ∴，，， ∴，即， ∴点的坐标为， ∵， 又∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，即， 在直角中，， ∴的最小值为， 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数表达式为， 联立直线与直线，得， ， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述，的最小值为，此时点的坐标为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查三角形面积最值问题，二次函数区间上的最值问题，线段和最值问题，解第二问的关键是将面积最值转化为线段最值，第三问需要根据对称轴和区间相对位置分类讨论，第四问则使用“将军饮马”模型来解． 13．(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键； （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点P作轴交于点E，设，则，根据，可得，当时，的最大值为． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ； （2）解：过点P作轴交BC于点E， 当时，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ∵， ∴， ， 当时，的最大值为． 14．(1) (2)1 (3) 【分析】（1）将，代入解析式，即可求解； （2）由待定系数法求得直线的解析式为，过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为，则，，，利用二次函数的性质求解即可； （3）作，交于，由相似三角形的判定及性质得，可得，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得， 该抛物线的解析式为：； （2）解：二次函数中，令，则， ， 设直线的解析式为：．将，代入得到： ， 解得， 直线的解析式为：， 过点作轴的平行线交于点，设点的横坐标为， ，， ， 点在直线下方的抛物线上， ， 当时，取得最大值1． （3）解：如图1，作，交于， ， ， 把代入得，， ， ， ，， 当时，， ， ． 【点睛】本题考查了待定系数法，二次函数中线段长度及面积问题的综合应用，相似三角形的判定及性质等；能熟练利用二次函数的性质进行求解是解题的关键． 15．(1) (2)时最大为： (3)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求函数关系式即可； （2）设，找到与的函数关系式，求最值即可； （3）分情况讨论两三角形相似时的坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且经过两点， ∴， 解得：， 即：； （2）解：连接， 当时，，即：， 设，且， ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， ∵ ∴开口向下， ∴当时，最大为：， 时，最大为：； （3）答：存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， 即：，解得：， ∴或； 当时，， 即：，解得：， ∴或 综上：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质、待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定及性质；关键是知识点的灵活应用． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $