2026年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中切线证明专题训练

**基本信息** 聚焦圆中切线证明，以“连半径证垂直”为核心，通过14道典例系统整合圆的性质、全等/相似及代数计算，强化推理能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明综合|14题|连半径证垂直、全等/相似转化、圆周角定理应用|圆的性质（直径、中点）→几何关系推导（角度、线段）→代数计算（勾股定理），形成“性质-推理-计算”完整链条|

2026年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中切线证明专题训练 1.(24-25九年级下·云南昆明月考)如图，AB是⊙0的直径，C、D在⊙0上，且点A是 CD的中点，连接CD交AB于点E,延长BD和CA相交于点P,过点A作AG∥CD交BP于 点G. D G (1)若∠ABC=30°，求∠BDC的度数： (②)求证：直线GA是⊙0的切线； (3)过点P作00的切线，切点为Q,若PD=mPG,PQ=nAP,求m与n之间的关系， 2.(24-25九年级上湖北襄阳期末)如图，AB,AC分别是00的直径和弦，0D⊥AC于 点D.过点A作O0的切线与OD的延长线交于点P,OP交O0于点E,连接PC并延长交 AB的延长线交于点F. E (1)求证：PC是O0的切线； (2)若AC=2√5,0D=1,求图中阴影部分的面积. 3.(2025湖南长沙.一模)如图，C是以AB为直径的O0上一点，F为BC的中点，过点C 作⊙O的切线交OF的延长线于点E,连接BE,BC,BC交OF于点D (1)求证：BE是⊙0的切线： 试卷第1页，共3页 (2)若DF=2,∠EOB=60°，求线段OE的长； (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积. 4.(2025辽宁辽阳一模)如图，M4是⊙0的切线，点A为切点，连接0M交⊙0于点D, 过点A作AB‖OM交OO于点B,连接BO并延长交OO于点C,连接MC,BD,CD, B M (1)求证：MC是⊙0的切线. ②若an∠CRD-.CD-=25,求线段CW的长。 5.(24-25九年级下.甘肃陇南月考)如图，己知四边形ABCD为菱形，点A,B,C在⊙0上， AD为OO的切线.AO的延长线与DC的延长线交于点E,与BC交于点F. (1)求证：CD为O0的切线； (2)连接0C,若tan∠B=4:3,CE=8,求0C的长. 6.(2025陕西商洛模拟预测)如图，M4是⊙0的切线，点A为切点，连接0M交⊙0于点 D,过点A作AB‖OM交OO于点B,连接BO并延长交OO于点C,连接MC,BD,CD, (1)求证：MC是⊙0的切线. 试卷第1页，共3页 (2)若CD=2V5,BD=4V5,求CM的长. 7.(25-26九年级下·四川绵阳·开学考试)如图，AB为O0的直径，且AB=2,点C是AB上 的一动点（不与A,B重合），过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点D,点E是BD的中 点，连接EC. D B (I)若BD=4,求线段AC的长度； (2)求证：EC是O0的切线： (3)当∠D=30°时，求图中阴影部分面积， 8.(2025湖北随州二模)如图，AB是⊙0的直径，BC是⊙0的切线，切点为B, ∠DAB=∠COB. D (1)求证：CD是O0的切线： (2)直线AB与CD交于点E,且DE=3,AE=√5，求阴影部分的面积. 9.(2025内蒙古赤峰·三模)如图，△ACD内接于O0,AB是⊙0的直径，过点D作射线 DF,使∠ADF=∠ACD,延长DC交过点B的切线于点E,连接BC. 0 B 试卷第1页，共3页 (1)求证：DF是OO的切线； (2)若BE=3,CE=1,求DE的长. 10.(2025陕西西安模拟预测)如图，⊙0的内接四边形ABCD中，AD=BC,AB是直径， 过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P,延长DO交OO于点E,连接PE. E (1)求证：PE是⊙0的切线： (②)若BP=3,CD=2,求O0的半径 11.(24-25九年级上广西南宁.期中)如图，AB为⊙0的直径，C为00上一点，D为AC 的中点，过C作OO的切线交OD的延长线于E,交AB的延长线于F,连接EA, (1)求证：EA是O0的切线； (2)若CE=6,CF=4,求00的半径. 12.(2025·云南·模拟预测)如图所示，AB是⊙0的直径，点D是AC的中点，过点D作 AC的平行线，交BA的延长线于点P,过点C作OO的切线，交PD的延长线于点E,交 AD的延长线于点F. D (1)求证：PD是⊙0的切线： (②)若AF⊥EF,EF=1,求O0的半径； ()③考tn_FDE-00的半径是5，连接DC,米四边形P0cD的面积 试卷第1页，共3页 13.(25-26九年级上·北京海淀·月考)如图，AB是00的直径，AC,BC是弦，过点0作 OD∥BC交AC于点D,过点A作OO的切线与OD的延长线交于点P,连接PC. B D (1)求证：PC是00的切线： (2)连接BE交AC于G,如果∠ABC=2∠CPO,OD=1,求GE的长. 14.(2026江苏苏州模拟预测)如图，AB是⊙0的直径，PA是⊙0的切线，A为切点， 连接OP,过点B作BC∥OP交OO于点C,连接PC和AC,AC交OP于点D 0 C (I)求证：PC是⊙0的切线； ②者n∠B1C-分且4C=25,采切线PA的长 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)解：：AC=AC .∠ADC=∠ABC=30°， AB是O0的直径， ∴.∠BDA=909 .∠BDC=LBDA-∠ADC=60 (2)证明：：AB是⊙0的直径， .∠ACB=90°， .∠BCD+∠DCA=90°， :点A是CD的中点， :ZACD=ZADC, :AG∥CD, .LDAG=∠ADC=∠ACD, ∠BAD=∠BCD, ∠BAD+∠DAG=90°，即∠BAG=90°， 直线GA是⊙0的切线； (3)解：过点P作⊙0的切线，切点为Q,连接0Q,C2,AQ,如图， :P9为O0的切线， .OQ⊥PQ, ∠OQP=90°，即∠PQA+∠OQA=90°， OA=00, .∠OQA=∠OAQ, :∠OAQ+∠PQA=90°. .·∠BCQ=∠OAQ, 答案第1页，共2页 ∠BCQ+∠PQA=90°， :∠BCQ+∠PCQ=90°， .∠PQA=∠PCQ :∠APQ=∠CPQ △PAQ∽△PQC, .PO PC PA-PO' .PQ2=PA·PC, :·AG∥CD ∴.△PAG∽△PCD, .PA PG ·PCPD .PD =mPG .PC mPA, PO=nAP, :.(nPA)=PA.mPA, .n2=m. 即m与n之间的关系为n2=m 2.(1)证明：连接0C. :PA是⊙0的切线， .∠PA0=90°. :0A=0C,0D⊥AC, :ZAOP=ZCOP D B :0P=0P, △A0P≌aCOP(SAS）, 答案第1页，共2页 LPC0=∠PA0=90° 0C⊥PC, :0C是⊙0的半径， PC是o0的切线. (2)解：连接BC. :OD⊥AC, :AD=CD=AC=, 0C=V0D2+CD2=2. 0A=0B, :DO是△ABC的中位线， BC=20D=2. .0B=0C=BC. .LB0C=60°. :∠F=90°-∠B0C=30,∠BAC=∠B0C=30°. .∠F=LBAC. :CF=AC=23. ·S阴影=S0CF-S扇形08c= 2×2500225- 360 3 【点晴】该题主要考查了扇形面积公式，切线的性质和判定，垂径定理，等腰三角形的性质 和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是解题的关键 3.(1)见解析 (2)0E=8 (3)16V3-16 【分析】本题是圆的综合题，考查了切线的判定与性质，垂径定理，勾股定理，全等三角形 的判定与性质，直角三角形的性质，扇形面积的计算等知识，熟练掌握切线的判定与性质是 解题的关键， (1)连接OC，如图，根据垂径定理由F为BC的中点，得到OE为BC的垂直平分线，所 以EB=EC,证明△OCE≌△OBE(SSS),得出∠OBE=∠OCE=90°，根据切线的判定定理得 BE与OO相切； 答案第1页，共2页 1 (2)设⊙0的半径为x,则0D=x-2,OB=x,得出x-2=二x,解得x=4,求出OE的 长： (3)由扇形的面积公式可得出答案. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, B CE为切线， .0C⊥CE, .∠0CE=90°， :F为BC的中点， OD垂直平分BC, .EC=EB, 在△OCE和△OBE中， OC=OB OE=OE EC=EB .□OCE☐△OBE(SSS, ∴.∠0BE=∠0CE=90°， .OB⊥BE, 0B是⊙0的半径， .BE是OO的切线； (2)解：设00的半径为x,则OD=OF-DF=x-2,OB=x, 在Rt△0BD中，∠E0B=60°， :.OD=1BO, 即-2= ， 答案第1页，共2页 解得x=4, OD=2,OB=4, :∠E0B=60°， ∠0EB=30°， :∠0BE=90°， .0E=20B=8; (3)解：：BOE=60°，∠OBE=90°， 在RtaOBE中，BE=√50B=45, S=Sat0ac-550c=2×)×4×45-120xxx4=16N5-16 1 360 4.(1)见解析 四9 【分析】(1)先由MA是⊙0的切线，得∠0AM=90°，结合平行线的性质得 LAB0=LMOC,LBA0=∠MOA,整理得LMOC=LMOA,证明△MOC≌△MOA(SAS), 得∠MCO=∠OAM=90°，因为0C是00的半径，故MC是00的切线.即可作答. (2)过点D作DN⊥CM于点N,运用圆周角定理得∠BDC=90°，根据 tan∠CBD CD-得出BD=45,根据勾股定理得BC=10,证明DCNCBD,则 BD 2 4W51025,代入数值得CN=4,DN=2,证明DN0MC,则：-CM4, CN 25 DN 5 CM 即可作答， 【详解】(1)解：连接0A,如图所示： B C :MA是⊙0的切线， .∠0AM=90°， :AB∥OM, 答案第1页，共2页 ∠AB0=∠MOC,∠BA0=∠M0A, :0A=0B, .∠AB0=∠BAO, .∠MOC=∠M0A, 又.0A=0C,0M=0M .△MOC≌MOA(SAS), .∠MCO=∠OAM=90°， 0C⊥MC, 又：0C是00的半径， .MC是⊙0的切线. (2)解：过点D作DN⊥CM于点N, 则∠DNC=90°， :BC是O0的直径， ∠BDC=90°， :在Rt△BCD中， tan∠CBD=CD1 BD=2 CD=25, BD=45, 由勾股定理得，BC2=(4V5)2+(2V5)2=100 .BC=10, .0C=5, :∠BDC=∠BCM=90°， .∠DBC+∠DCB=90°， 则∠DCM+∠DCB=90°， .∠DCM=∠DBC, 又：∠BDC=∠DNC, aDCN∽aCBD, :CN-215 DN 45102√5' .CN=4,DN=2, 答案第1页，共2页 .:∠DNM=∠0CM=90°，∠DMN=∠OMC, .aDMN∽△OMC, DN NM OC CM 2_CM-4 5 CM CM=20 · 【点晴】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性 质，解直角三角形，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键. 5.(1)见解析 (2)0C=6 【分析】(1)连接OC,OD,证明△A0D≌△COD(SSS)即可； (2)根据菱形得到平行，则∠BAE=∠E,则tan∠BAE=tan∠E=3:4,故OC:CE=3:4, 即可求解 【详解】(1)证明：如图，连接OC,OD, E :四边形ABCD是菱形， :AD CD, :AD与⊙0相切于点A, .AD⊥OA, ∠0AD=90°， 在△AOD和△COD中， AD=CD OD=OD, A0=C0 △A0D≌△C0D(SSS, 答案第1页，共2页 :∠0AD=∠0CD=90°， 点C在⊙0上， .CD为OO的切线； (2)解：：四边形ABCD是菱形， .AB∥DC,ADI BC, ∠BAE=∠E,LAFB=LOAD=90°， tan B=AF 4 BF 3' .tan∠BAE= BF 3 :∠0CD=90°， .L0CE=90°， .tan∠BAE=tan ZE=3:4, 0C:CE=3:4, :CE=8, 0C=6. 【点晴】本题考查了菱形的性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角 函数等知识点，正确添加辅助线是解题的关键， 6.(1)见解析 (2)CM=20 【分析】本题考查切线的性质及判定，平行线的性质，全等三角形的性质及判定，相似三角 形的性质及判定，解题关键是熟知切线的判定定理，另外求解复杂的线段长度时，可结合相 似三角形的性质求解. (1)根据AB‖OM及半径相等，可证∠MOC=∠MOA,再通过证△M0C≌△M0A,即可解 决； (2)过D作DN⊥CM于点N,结合(1)可证△BCD∽△CDN,进而求出CN和DN的长度， 再通过证明△DMN∽aOMC,即可求解， 【详解】(1)证明：如图，连接OA. 答案第1页，共2页 :MA是O0的切线， B .∠OAM=90°， :AB∥OM, ∠AB0=∠M0C,∠BA0=∠M0A, :0A=0B, ∠AB0=∠BAO, ∠M0C=∠M0A, 又：0A=0C,0M=0M, aM0C≌△OA(SAS), :∠0CM=∠0AM=90°， 0C⊥MC, :0C是00的半径， MC是⊙0的切线. (2)如图，过D作DN⊥CM于点N, .∠CND=90°， :BC是⊙0的直径， ∠BDC=90°， :CD=2V5,BD=4V5, 在R△BCD中，根据勾股定理得BC=√BD2+CD2=V(4√52+(2V5)2=10, 0C=2BC=5, 答案第1页，共2页 :∠BDC=∠BCM=90°， ∠CBD+∠BCD=90°，∠BCD+LDCM=90°， LCBD=∠DCM, 又：∠BDC=∠CND=90°， .△BCD∽△CDN, Cwon, BD BC CD 1025 CW2V5DN’ 解得CN=4,DN=2. :∠DNM=∠0CM=90°，∠DMN=∠0MC, △DMN∽△OMC, '0cc,即？.CM-4 DN NM CM 解得CM=20 ÷CM=20 3 7.025 5 (2)证明见解析 ⊙5-月 【分析】(1)先由勾股定理求出AD,再由等面积法列式求出BC,最后再由勾股定理求出 AC即可； (2)先证明aOCE≌△OBE(SSS),结合切线性质，等量代换得到LOCE=90°即可得证； (3)先得到LOEB=30°、∠BOC=120°，在RtOBE中，求出OB、BE、OE,数形结合， 得到S四边形O8c-S扇形Boc,代值计算即可得到答案， 【详解】(1)解：连接BC,如图所示： 答案第1页，共2页 E BD是⊙O的切线， ∠ABD=90°， :AB=2,BD=4, AD=VAB2+BD2=2√5， :AB为O0的直径， BC⊥AD, 1 S.D-4B-BD- AD.BC. :BC=ABBD-2×44V5 AD 2√5 5 AC-AB-BC25 5 (2)证明：连接OC、OE、BC,如图所示： D :AB为OO的直径， :LACB=90°， :点E是BD的中点， 在Rt△BCD中，CE是斜边BD上的中线，则DE=EC=BE, :0C=0B,0E=0E, ∴.△OCE≌aOBE(SSS), 答案第1页，共2页 L0CE=∠0BE, BD是⊙O的切线， ∠ABD=90°， :LOCE=∠ABD=90°， :0C为半径， .EC是OO的切线； (3)解：：OA=OB,BE=DE, AD∥OE, :∠D=∠OEB, :∠D=30°， :∠0EB=30°，∠E0B=60°， :∠B0C=120°， :AB为OO的直径， :OB=1, 在RtAOBE中，∠0EB=30°，∠0BE=90°，OB=1,则OE=2, BE=V22-12=5, 则S边0ec=2S0e=2x)0B.BE=2×x1xV5=V5, 2 2 ∴Sa50c-Sg形0c=V5-120×元x-V5- 360 3 【点晴】熟记常用等面积法求边长的直角三角形、切线的判定方法一连半径证垂直、含30° 的直角三角形性质是解决问题的关键 8.(1)见解析 (2)35-元 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连 过切点的半径，也考查了圆周角定理和扇形的面积公式及三角函数的应用.熟练掌握切线的 判定与性质是解题的关键， (1)连接OD,根据LDAB=∠COB,得ADIOC,∠AD0=∠DOC,进而得 ∠DOC=∠BOC,证明△DOC≌aBOC(SAS,根据全等三角形的性质、切线的判定定理证 明； 答案第1页，共2页 (2)设0A=OD=r,求出OD的长，得出∠B0D=120°，根据扇形的面积公式计算即可. 【详解】(1)证明：连接0D, D :∠DAB=∠COB, .AD‖OC, :LAD0=∠DOC, 0A=0D, ∠AD0=∠DAB, :ZDOC ZBOC 在△DOC和sBOC中， OD=OB ∠DOC=∠BOC, OC=OC aD0C≌aBOC(SAS), .∠0DC=∠0BC, :BC为OO的切线， :∠0BC=90°， ∠0DC=90°， OD⊥CD, :0D是⊙0的半径， CD是OO的切线. (2)解：设0A=0D=r, 在Rt△0DE中r2+32=(3+r'解得r=5, 0D=5, 在Rt△ODE中， 0D√3 :tan∠E= DE 3 答案第1页，共2页 :∠E=30°， .∠D0E=60°，∠BCE=60°， :BC,CD均为OO的切线， OC平分∠BCD, ∠0CD=30°， 0D=V5, .CD=3, :∠D0E=60°， :∠B0D=120°， :△D0C≌△B0C, :.S影=2 ×V5x3x2 120πV5 =35-π· 360 9.(1)见解析 (2)9 【分析】(I)连接OD、BD,根据圆周角定理得∠ACD=∠ABD,结合∠ADF=∠ACD, 得出∠ABD=∠ADF,根据圆周角定理得∠ADB=90°，即∠ABD+∠BAD=90°，从而得 LADF+∠BAD=90°，结合等腰三角形性质得出∠ODF=90°，即可证明. (2)切线的性质得出AB⊥BE,即∠ABC+∠CBE=90°，根据圆周角定理得∠ACB=90°， 即∠ABC+∠BAC=90°，从而得出LCBE=∠BAC,根据圆周角定理得∠BAC=LBDC,从 而得出∠CBE=∠BDE,证明△CBE∽△BDE,根据相似三角形的性质即可求解. 【详解】(1)证明：连接OD、BD, B G 21 D 则LACD=LABD, :∠ADF=∠ACD, .∠ABD=∠ADF, 答案第1页，共2页 :AB是⊙O的直径， ∠ADB=90°， ∠ABD+∠BAD=90°， :∠ADF+∠BAD=90°， :0A=0D, .∠0AD=∠ODA, .∠ABF+∠0DA=90°， 即∠0DF=90°， OD⊥DF, 又：0D为00的半径， DF是oO的切线， (2)解：：BE是OO的切线， AB⊥BE, ∠ABE=90°， .∠ABC+∠CBE=90°， :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠ABC+∠BAC=90°， :∠CBE=∠BAC, :∠BAC=∠BDC, :∠CBE=∠BDC, 即∠CBE=∠BDE, 又∠E=∠E, .△CBE∽△BDE, CE BE BE DE BE=3,CE=1, ，13 3DE' DE=9. 【点晴】本题考查了圆周角定理，切线的性质和判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判 答案第1页，共2页 定和性质，正确作出辅助线是解题的关键 10.(1)见解析： (2)2 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质得到LPC0=90°，推出LB0C=LB0E,根据全 等三角形的性质得到∠PE0=∠PC0=90°，根据切线的判定定理得到结论： (2)连接CE,则CE⊥OP，,求得∠CED=∠OPE,根据相似三角形的判定和性质定理即可 得到结论。 【详解】(1)证明：连接0C, B P:PC是⊙0的切线， E :∠PC0=90°， AD=BC, :.AD=BC. LAOD=∠B0C, ∠A0D=∠B0E, :∠BOC=∠BOE, 在△PCO与△PEO中， OC=OE ∠COP=∠EOP, OP=OP △PCO≌△PE0SAS), :∠PE0=∠PC0=90°， :0C是00的半径， PE是O0的切线： (2)解：连接CE,则CE⊥OP, :∠0EC+∠E0P=∠E0P+∠EP0=90°， LCED=∠OPE, 答案第1页，共2页 DE是⊙O的直径， :∠DCE=∠0CP=90°， .aCDE∽aE0P, CD_DE 0C0P' 2=20c 0C0C+2' 0C=2, 即o0的半径为2. 【点晴】本题考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性 质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 11.(1)见解析 (2)00的半径为3 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾 股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键。 (1)连接0C,由切线的性质可得∠0CE=90°，证明OE垂直平分AC,得出CE=AE,证 明△OCE≌△OAE(SSS),得出∠OAE=∠0CE=90°，即可得证； (2)结合(1)可得：AE=CE=6,∠0AE=∠0CE=90°，EF=10,由勾股定理可得 AF=8,设0A=0C=x,则OF=8-x,再由勾股定理计算即可得解 【详解】(1)证明：如图，连接0C :EF是⊙O的切线， ∴.∠0CE=90°， :OC=OA,D为AC的中点， .OD⊥AC,即OE垂直平分AC, :CE=AE .aOCE≌△DAE SSS), 答案第1页，共2页 :L0AE=L0CE=90°， OA为半径， .EA是OO的切线； (2)解：CE=6,CF=4, .结合(1)可得：AE=CE=6,∠0AE=∠OCE=90°，EF=CE+CF=10, AF=EF2-AE2=8, 设0A=0C=x,则0F=8-x, 由勾股定理可得OF2=OC2+CF2, (8-x)2=x2+42, 解得x=3, .00的半径为3. 12.(1)见详解 (2)00的半径为25 (3)四边形P0CD的面积为80 【分析】本题主要考查切线的性质、垂径定理、菱形的判定及三角函数等知识，熟练掌握切 线的性质、垂径定理、菱形的判定及三角函数是解题的关键； (1)连接0D,由题意易得OD⊥AC,则有OD⊥PE,进而问题可求证； (2)连接CD,设OD与AC交于点H,先证四边形AOCD是菱形，则有LOAC=30°，然 后根据含30度角的性质可进行求解： (3)由2)可知：∠D4C=∠PDE,∠Ai0=0AM=CH=方4C,则设 DH=x,AH=2x=CH,然后根据勾股定理可得方程求解x,进而可得AH=CH=4,OH=3 ,最后根据割补法可求四边形的面积， 【详解】(1)证明：连接0D,如图所示： F 答案第1页，共2页 点D是AC的中点，OD是O0的半径， .OD⊥AC, :AC∥PE, .OD⊥PE, .∠PD0=90°， .PD是OO的切线： (2)解：连接CD,设OD与AC交于点H,如图所示： :CF是⊙0的切线， OC⊥EF, :AF⊥EF, .AF∥0C, .∠DAC=∠AC0, .0A=0C, .∠OAC=∠AC0=∠DAC, :点D是AC的中点，OD是O0的半径， AD=CD,OD⊥AC,即∠AHO=∠AHD=90°， ∵AH=AH, .△AHD≌△AHO(ASA, .AD=AO=OC=CD 四边形AOCD是菱形， :OH -DH-TOD-10A, 1 2 2 OH 1 .sin∠OAC= 0A2' .∠0AC=30°， .∠DAC=30°=∠DCA, 答案第1页，共2页 ∠ACF=90°-30°=60°， .∠DCF=30°， :AC∥PE, LFDE=∠DAC=30°， DF=√5FE=√5， :CD=2DF=23=0A, 即00的半径为2√5； (3)解：如(2)图， 由(2)可知：∠DAC=∠FDE,∠AHO=90°，AH=CH=AC, tan☑FDE=)}3 tan∠DAC=tan∠FDE=J 设DH=x,AH=2x=CH, .0H=0D-DH=5-x, 在Rt AH0中，由勾股定理可得：(5-x'+4x2=25, 解得：x=2, .AH=CH=4,0H=3, ·tan∠OAH=OH-3 AH 4 :AC∥PE, .∠P=∠OAH, tan∠P=tan∠OAH=3 :PD是⊙0的切线，即∠PD0=90°， .PD=_ 0D20 tan∠P3 :S形poCm=S.Po+S.c=号PD.OD+OD:CH= 1 2 3 13.(1)见解析 (②GE=2V5 3 【分析】(1)连接0C,由直径对的圆周角是直角及平行线的性质得∠AD0=90°，由等腰 答案第1页，共2页 三角形的性质得OP垂直平分AC,从而可证明△PCO≌△PA0,得∠PC0=90°，即可证 明结论； (2)由切线的性质及互余关系得∠AP0=∠DA0=∠CP0,结合已知得∠ABC=2∠DA0, 由此求得∠ABC=60°，∠DA0=30°，由直角三角形的性质求得圆的半径，进而求得DE, 再由直角三角形的性质即可求得GE的长。 【详解】(1)证明：如图1，连接0C, PA是⊙O的切线， ∴.∠PA0=90°， :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， B :OD∥BC, D A 图1 .∠ADO=∠ACB=90°， :0A=0C, .OP垂直平分AC, :CD=AD,AP=CP, :0P=0P, aPC0≌△PA0(SSS), .∠PC0=∠PA0=90°， :半径0C⊥PC于点C, PC是O0的切线； (2)解：PA和PC都是O0的切线， ∠AP0=∠CP0, ∠PA0=90°， .∠PAD+∠DAO=90°， ∠PDA=∠ADO=90°， 答案第1页，共2页 B .∠PAD+∠APO=90°， ∠DAO=∠AP0, :LDA0=∠CP0, :∠ABC=2∠CP0, .∠ABC=2∠DA0, ∠ABC+∠DAO=90°， ∴.∠ABC=60°，∠DAO=30°， .∠D0A=60°， 0E=0B, ..∠BEO=30°， ∠AD0=90°，OD=1, 0A=20D=2, :0E=0A=2, .DE=1, DG-IGE, 2 由勾股定理得：GE2-DG=DE2, 即cE-cl ..GE= 2V3 3 【点晴】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，含 30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，涉及较多的知识，灵活运用这些知识是关 键， 14.(1)见解析； (2)PA=3V5 【分析】本题考查切线的性质和判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及垂 径定理，锐角三角函数，掌握切线的判定和性质，垂径定理以及锐角三角函数的定义是解题 答案第1页，共2页 的关键。 (1)根据等腰三角形的性质，平行线的性质以及全等三角形的判定和性质可证出 △A0P=aC0P,进而得出∠OAP=∠OCP,由切线的性质得出∠0AP=90°，进而得出 OC⊥PC即可； (2)利用锐角三角函数的定义以及垂径定理进行计算即可； 【详解】(1)证明：连接0C, D B :AB是OO的直径， .∠ACB=90°， BC∥OP, LAD0=∠ACB=90°， 即0OP⊥AC, :AD CD, .OP垂直平分AC, .AP =CP, :0A=0C,0P=0P, △OAP≌△OCP(SSS, .ZOCP Z0AP :AP是OO的切线， ∠0AP=90°=L0CP, :0C是00的半径， .PC是O0的切线； (2)解：：AC=2√5，由(1)可知OP垂直平分AC, 4D-4C=3 :∠BAC+∠PAD=90°，∠AP0+∠PAD=90°， 答案第1页，共2页 .∠BAC=∠AP0, sin∠BAC=sin∠APo=l 在Rts4DP中，AP=D -5-35 sin∠APO1 3 答案第1页，共2页