2025年中考数学三轮冲刺专题：圆的切线证明与长度计算综合练习

2025年中考数学三轮冲刺专题：圆的切线证明与长度计算综合练习 1．如图，已知正方形 ，以边为直径作，点E是边上一点（不与B，C重合），将正方形沿折叠，使得点C恰好落在上． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若正方形的边长为2，求线段的长． 2．如图，在中，，点、分别在、上，且，以为圆心，长为半径作圆，经过点，与、分别交于点、 (1)求证：是的切线； (2)若，，内切圆的半径为，求的值． 3．如图，直角内接于，点是直角斜边上的一点，过点作的垂线交于，过点作交的延长线于点，连结交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 4．如图，是的直径，是的切线，于点E，交于点，连接．求证：是的切线． 5．如图，在中，O为上一点，以O为圆心，长为半径作圆，与相切于点C，过点A作交的延长线于点D，且．求证：为的切线； 6．如图1，为的直径，为延长线上的点，，为的切线，切点为，，，垂足为，连接． (1)如图1，求证； (2)如图2，是线段上一点，若平分，与线段交于点． ①求证：；②若，，求的长． 7．如图，是的直径，直线与相切于点C，延长，交直线于点P，作，垂足为E，交于点D，连接，． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 8．如图，平分，D是上任意一点，和相切于点E，连接． (1)求证：与相切； (2)若，的半径为3，求的长． 9．如图，在中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，以为直径作，与交于点，连接．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，平分； (2)设的面积为，求与的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使与相切？若存在，求出的值；若不存在说明理由． 10．如图，过菱形的顶点，，，且切⊙于点，的延长线交于点，且与的延长线交于点． (1)求证：为的切线； (2)连接，若，，求的长． 11．如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)已知，，求的长． 12．已知，如图，中，，点在边上，是的外接圆，，． (1)证明：与相切； (2)如图1，连接，若，求长度； (3)如图2，作，与交于点，与交于点，若，求长度． 13．如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 14．如图，已知，以为直径作，交边于点，连接，，连接并延长，交的延长线于点，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长； (3)若，求的值． 15．如图，为的直径，为上一点，为的中点，连接交于点，连接，，，点在射线上，且，． (1)求证：为的切线； (2)若的值为，求线段的长； (3)设的面积为，猜想的值是否为定值？若为定值，请求出该定值，若不为定值，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)为的切线．理由见解析； (2)线段的长为 【分析】（1）先根据正方形的性质得到，再根据折叠的性质得到，所以，于是可判断，所以，然后根据切线的判定方法可判断为的切线； （2）先由得到点O、、E共线，设，则，所以,然后利用勾股定理得到，从而可解方程即可． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下： 四边形为正方形， ， 正方形沿折叠，使得点恰好落在上， ， ， 在和中， ， ， ， 为的半径， 为的切线： （2）由（1）得， ， 点O、、E共线， 设，则， ， 为的直径， ， ， 在中，， 解得 即线段的长为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：过半径的外端且与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质和折叠的性质，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 2．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用相似三角形的判定定理得到，从而得到，根据切线的判定定理证明； （2）过点作，垂足为，得出四边形为矩形，设半径为，得出，再通过，解方程算出的值，再求解，，，再利用内切圆的性质结合面积可得答案 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴ ∴． 又∵点在上， ∴与相切于点． （2）解：过点作，垂足为， ∴． 在四边形中，， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴． 设的半径为，则， ∴，． 在和中， ∵，， ∴． ∴，即． ∴．经检验符合题意； 即的半径为20． ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵内切圆的半径为， ∴, ∴, 解得： 【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的内切圆的性质，熟练的利用相似三角形的性质解决问题是关键. 3．(1)见解析 (2)8 【分析】（1）连接，欲证明是的切线，只要证明即可； （2）延长交圆于点，由切割线定理求出即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 又， ， ， ， ， 是切线； （2）解：延长交圆于点，连接 是切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角 三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． 4．证明见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，线段垂直平分线的性质与判定等等，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 先由切线的性质得到，再由垂径定理得到是的垂直平分线，则，据此证明，得到，即可证明是的切线． 【详解】证明：如图，连接， 是的切线， ， ， 是的垂直平分线， ， 又，， ， ， 是的半径， 是的切线． 5．见解析 【分析】本题主要考查切线的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键． 过点O作于点E，根据题意证明，再证明，根据切线的判定定理即可得到结论． 【详解】证明：过点O作于点E， 于点D， ， ， ， ， 又为的切线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，是半径， 是的切线． 6．(1)证明过程见详解； (2)①证明过程见详解；② 【分析】此题是一道圆的综合题目，考查了切线的判定和圆中求线段长，利用垂径定理得到相关的线段和角度，熟练运用已知条件解三角形是解决此类问题的关键． （1）利用垂径定理得到垂直平分，所以，因为是切线，所以得到，因为，得到，通过等量代换，可以算得即．又是半径，从而证明是切线，由切线的性质得进而证明，列出比例式即可得结论； （2）①利用，得到，又是直角三角形，则，证得，又平分，得到，从而得到； ②利用得到，利用等角的补角相等，得到，所以，过作于，解直角，得到的三角函数值，在直角中，因为，，从而求得和的值，即可求． 【详解】（1）证明：连接，如图1， 为切线， ， ，且为直径， 垂直平分， ，， ， 又， ， ， ， 为的切线， ， ， ， ， ； （2）①证明：， ， ， 又， ， 又平分， ， ； ②解：过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又在中， ，， ， ． 7．(1)见解析 (2) 【分析】本题重点考查切线的性质，平行线的判定与性质，圆周角定理，三角函数综合等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，由切线的性质得，而，所以，则，所以，则平分； （2）连接，由，得，则，再证明，，则，求得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ∵直线与相切于点，点，点都在直线上， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：连接， ， ， ， ，是的直径，， ， ， ， ， ， 的长为． 8．(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点D作于点F，先由切线的性质得，则由角平分线的性质得，即可证得结论； （2）过E作于G，先由勾股定理求出，再由面积法求出，然后由勾股定理求出，最后由勾股定理求出即可． 【详解】（1）证明：连接，过点D作于点F，如图所示： ∵与相切于点E， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴与相切； （2）解：过E作于G，如图所示： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理以及角平分线的性质等知识，解题的关键是准确作出辅助线． 9．(1)当时，平分； (2)； (3)存在，当时，与相切． 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握圆的性质和相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）由直径所对的圆周角是直角可得，运用勾股定理可得，再证得，可得，利用角平分线性质可得，建立方程求解即可得出答案； （2）过点作于点，利用相似三角形性质可得，再运用面积法求得，再根据三角形面积即可求得答案； （3）过点作于点，利用相似三角形性质和圆的性质即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意得：，，，，， 是的直径， ， 在中，， ，， ， ，即， ， ， 当时，平分， ， 解得：， 当时，平分； （2）解：如图，过点作于点， ， ，即， ， ，， ，即， ， ； （3）解：存在某一时刻，使与相切．理由如下： 如图，过点作于点， 由（1）（2）知：，，，，，， ， ， ， 与相切， ， ， ， ， ，即， 解得：， 当时，与相切． 10．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图，连接，，证明，可得，从而可得结论； （2）如图，连接，，记与的另一个交点为，连接，证明，，可得，设，则，而，可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵切⊙于点， ∴， ， 在和中， ， ， ， ∵为半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接，，记与的另一个交点为，连接， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，而， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴． 【点睛】本题考查的是菱形的性质，全等三角形的判定与性质，切线的性质与判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 11．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由题意可证，且，可得，即是的切线； （2）由同弧所对的圆周角相等，可得，由余角的性质可得； （3）由题意可得，根据勾股定理可求的长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ， ， 又， ， 是的切线； （2）证明：是的直径， ， ， 由（1）可知是的切线， ， ， ， ， ， 又， ； （3）解：如图，连接， 是半圆弧的中点， ， 在中，，， ． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等边对等角，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 12．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）作直径与交于点H，由圆周角定理得到，由等腰三角形的三线合一得到，，再根据平行即可得到，继而求证； （2）设半径为，由勾股定理得，则，在中，由勾股定理得，解得：，则，证明，则，在中，，在中，； （3）解：连接，与交于点，显然四边形是平行四边形，则，导角得到，而在平行四边形中，，而，导角则，故，由中位线得到，则，，． 【详解】（1）证明：作直径与交于点H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 而是直径， ∴与相切； （2）解：连接， 设半径为， ∵， ∴， ∵在中，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵在中，由勾股定理得： ∴， 解得：， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴在中，， 在中，则， ∴； （3）解：连接，与交于点 ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平分， 即， 又， ∴， 而在平行四边形中，， 而， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， 又点为中点，点为中点， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理，弧、弦之间的关系，平行四边形的判定与性质，综合性很强，难度较大，正确添加辅助线是解题的关键． 13．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，可推出，是的垂直平分线，从而，进而推出，从而，进一步得出是的切线； （2）可证明，进而推出； （3）可推出，，从而，，，进而推出，，，从而，设，则..，，根据列出方程，求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是的切线； （2）证明：由（1）得， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 由（2）知：， ， ，，， ，， ， ， ， 设，则，， 由（2）得：， ， ，（舍去）， ， ． 【点睛】本题考查了切线的性质和判定，等腰三角形的判定，垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是设未知数，列出一元二次方程． 14．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据是的直径，得出，结合，即可得出，证出是的切线； （2）证明，得出，在中，求出，，在中，求出，连接、，证明四边形是矩形，得出，，再证明，得出，求出，再根据即可求解． （3）设，则，得出，根据（1）可得，证明，得出，即，在中，勾股定理表示出，结合，得出，由（2）可知，，列方程整理得，求出，即可解答． 【详解】（1）证明：在中，是的直径， ， ， ， ， 即， ， 是的切线； （2）解：在中，， ∵， ， ， 在中，， ， 中，， 在中， ， ， 连接、， 、是的直径 ， 、互相平分且相等， 四边形是矩形， ，， ， ， ，即， 解得：， ． （3）解：设， ∴， ∴， 根据（1）可得， ∴， ∴，即， 即， ， 中，， ， ， ， 由（2）可知，， 即， 整理得， 解得， ， ， ． 【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，解方程，作出合适的辅助线是解本题的关键． 15．(1)见解析 (2)6 (3)是定值， 【分析】（1）连接，利用圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质得到，再利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）过点D作于点G，连接，设，则，运用勾股定理求得，再求得，即可求解； （3）过作于点H，连接，由三角形面积公式可得，从而求得，再证，再利用相似三角形性质可得，最后由三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）如图，连接， D为的中点， ， ， 为的直径， ， ， 又， ， ， ， 又，，， ， ， ， 又， ， 又， ， ， ， 为的切线； （2）过点D作于点G，连接， 由（1）得， ， ， ， ， 设 ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 或， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）是定值，理由如下： 过作于点H，连接， 由（2）得，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又， 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$