2026年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中切线证明专题训练

2026年九年级中考数学三轮冲刺训练圆中切线证明专题训练 一、单选题 1．（2023九年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（   ）    A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理 C．切线的性质定理 D．切线的判定定理 2．（2025九年级·全国·专题练习）如图，是的切线，M是切点，连接．若的半径为3，，则切线的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·甘肃武威·月考）如图，均为的切线，分别为切点，，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，、是圆O的切线，A、B为切点，是直径，，的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·云南怒江·月考）如图，均是的切线，切点分别是P，C，D．若，则的长是（） A．8 B．10 C．12 D．15 6．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，，是的切线，，为切点，是的直径，．则的度数为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26九年级上·重庆·期中）如图， 为 外接圆， 为直径，延长 至 ， 过 作 的切线， 为切点，过 作 的切线交 于点 ，连接 交 于点 ，若 ， 则 的半径为 ， ． 8．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，中，，以AB为直径的交BC于点D，过点D作的切线DE交AB的延长线于点E，若，，则切线DE的长为 ． 9．（24-25九年级上·江苏徐州·月考）如图，、是的切线，切点分别是、，在上，过的切线分别交、于点、．若，则的周长为 ． 10．（2023·浙江宁波·二模）如图，已知在△ABC中，∠C=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A、B分别作⊙O的切线，两切线交于点P，若⊙O的半径为1，则△PAB的周长为 ． 11．（2023·山西太原·一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，过点作半圆的切线交的延长线于点，过点作交切线于点，若，则的度数为 ． 12．（25-26九年级上·黑龙江七台河·月考）如图，是的切线，点为切点，连接并延长交于点，连接．若 ，则的度数为 ． 三、解答题 13．（2024·河南周口·模拟预测）如图，是的直径，D是上的一个动点，过点B作的切线，连接并延长，交过点B的切线于点C，E是的中点，连接． (1)求证：是的切线． (2)连接交于点F，连接，当， 时，四边形是菱形． 14．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． (1)求证：是的切线； (2)若，则的面积＝______． 15．（23-24九年级上·四川泸州·期末）如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上的一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点． (1)求证：是的切线． (2)若，，点D为上一点，且，求的值． 16．（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）如图，为的切线，A为切点，连接，过点A作，垂足为C，交于点B，连接，求证：为的切线． 17．（24-25九年级上·广西南宁·期中）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，过C作的切线交的延长线于E，交的延长线于F，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 18．（24-25九年级上·江苏南京·月考）如图，是的切线，为切点，点B、C、D在上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，则 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】根据切线的判定定理解答即可． 本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 由为直径， 故， 根据切线的判定定理，可知为的切线， 故选：D．    2．C 【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 根据切线的性质可得，然后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵是的切线，是切点， ∴， ∵的半径为，， ∴， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查切线长定理，熟记圆的切线长定理是解决问题的关键． 根据题意，由切线长定理得到，数形结合表示出的周长，等量代换转化为求解即可得到答案． 【详解】解： 均为的切线，分别为切点， 由切线长定理可知， 的周长 （）， 故选：D． 4．C 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质． 根据是切线，得到，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵、是圆O的切线， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查圆的切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理． 先推导出，得到，即可解答． 【详解】解：∵是的切线，切点分别是． ∴， ∴， ∵， ∴． 故选A． 6．B 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，三角形内角和定理，根据切线及，得到，根据切线长定理得到，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； 【详解】解：∵是的切线，， ∴， ∵，是的切线，，为切点， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 7． 【分析】连接，并延长交于点M，连接，设， 根据勾股定理，得，求得圆的半径为5；设，则，根据勾股定理，矩形的判定和性质，直角三角形的面积性质，解答即可． 本题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理及直角三角形的性质等，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键． 【详解】解：连接，并延长交于点M， ∵过作 的切线， 为切点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为 外接圆， 为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 连接， 设， ∴， 根据勾股定理，得， 解得， 故圆的半径为5； ∴， ∴， ∴， ∵过 作 的切线， 为切点，过 作 的切线交 于点 ， ， 设， 则， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， 连接， ∵为 外接圆， 为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5， 8． 【分析】连接，由切线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，，即得，得到，进而得到，即可得，据此即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键． 9．20 【分析】本题考查了切线长定理的应用．根据切线长定理求出，，，代入求出的周长为，代入即可． 【详解】解：、、是圆的切线，切点分别是、、， ，，， 的周长是： ． 答：的周长是20． 故答案为：20． 10． 【分析】过点A作直径AD，连接BD，则△ABD是直角三角形，且∠ADB=60°，根据三角函数即可求得AB的长，根据切线长定理以及弦切角定理，即可证明△PAB是等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：过点A作直径AD，连接BD， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD=90°， ∵∠C=60°， ∴∠ADB=∠C=60°， ∴∠BAD=30°， ∵⊙O的半径为1， ∴AD=2， ∴AB=AD•sin60°=， ∵AP为切线， ∴∠DAP=90°，∠PAB=60°， 又∵AP=BP， ∴△PAB为等边三角形， ∴△PAB的周长=3AB=3． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的切线性质，圆周角定理，勾股定理，切线长定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 11． 【分析】连接OC，由切线的性质得出，再根据三角形内角和得出，然后根据同圆的半径相等及等边对等角得出，根据三角形外角可得出，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】解：连接OC 过点作半圆的切线交的延长线于点， 故答案为：． 【点睛】本题考查了同圆的半径相等、三角形内角和与三角形外角的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 12． 【分析】本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质及三角形外角的性质，解题的关键是利用切线的性质得到直角，再结合等腰三角形和外角性质推导角度． 先由切线的性质得，结合的度数求出的度数，再根据（等腰三角形）及三角形外角性质，求出的度数． 【详解】解：连接 是的切线，切点为， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．(1)见详解 (2)9 【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，由直角三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，，得出即可得出结论； （2）证出是等边三角形，得出，由直角三角形的性质得出即可解决问题． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的直径， ， 在中，点是的中点， ， ， ， ， ， 即， 是的切线， ， 点在上， 是切线； （2）解：四边形为菱形， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ∴ ， ， 时，四边形是菱形． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了解直角三角形的运算，切线的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键． 14．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查圆的切线的判定、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积的计算．解题关键是熟练掌握相关知识点． （1）首先连接．根据平行四边形的性质，可知，从而得到内错角相等，即，．又因为和都是圆的半径，所以，根据等边对等角，得到．通过等量代换，可得．然后利用“边角边”证明和全等．根据全等三角形对应角相等的性质，得到．因为是的切线，所以，即．因此，，即．最后根据切线的判定定理，得出是的切线． （2）首先过点作于点．在中，已知斜边，直角边，根据勾股定理求出另一直角边的长度，即圆的半径．因为也是半径，所以．然后利用三角形面积公式，通过面积相等法（）求出高的长度．接着在中，利用勾股定理求出的长度．根据垂径定理，，得 ．然后计算出的长度，．最后利用三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 是的切线， ，即， ，即， 是的半径， 是的切线． （2）解：过点作于点，连接，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， ． 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质： （1）要证明是的切线，只要证明即可，根据题意可以证明，从而可以解答本题； （2）根据题意和勾股定理的知识，可以求得的值． 【详解】（1）解：连接， ∵是的切线， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∵为半径 ∴是的切线． （2）解：设半径为r， 在 中，， ∵、， ∴，解得． 设， 在中，， ∴， ∴，解得． ∵， ∴， 在中∴ 16．见解析 【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理，全等三角形的性质与判定，由垂径定理得到，则，证明，结合切线的性质可得，据此可证明结论． 【详解】证明：如图所示，连接， ， ， ， ， 为的切线， ，即， ， 为的半径， 为的切线． 17．(1)见解析 (2)的半径为 【分析】本题考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由切线的性质可得，证明垂直平分，得出，证明，得出，即可得证； （2）结合（1）可得：，，，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接 ∵是的切线， ∴， ∵，D为的中点， ∴，即垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴结合（1）可得：，，， ∴， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴的半径为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，圆内接四边形的性质，需要学生灵活运用所学知识． （1）连接，证明，可得，即可求证； （2）连接，根据圆内接四边形的性质以及，可得，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接，     ∵是的切线，为切点， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∵为半径， ∴是的切线； （2）解：如图，连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $