精品解析：江苏梅村高级中学2025-2026学年第二学期期中检测高一数学

江苏省梅村高级中学2025-2026学年度第二学期期中检测 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 2026.4 一、单选题（本题共8题，共40分） 1. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数运算法则可得答案. 【详解】.故选：B 2. 在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平衡可得，，根据向量的坐标运算可得结果. 【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以， 设，根据向量的坐标运算，， 所以，所以. 因为，所以在上的投影向量的坐标为. 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】将直观图还原为原图，如图，    在直观图中，，则， 故在原图中，，， 所以，而， 所以原四边形ABCD中最长边为6. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对任意向量都有 D. ，则与中至少有一个为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意，根据向量的基本概念，结合数量积的运算，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，根据向量相等的概念，两向量相等，则其方向和大小都相同，故A正确； 对于B选项，向量是既有大小又有方向的量，而方向是不能比较大小的，不能得出，故B错误； 对于C选项，根据向量数量积和数乘的运算，表示与共线的向量， 而表示与共线的向量，但与不一定共线，故C错误； 对于D选项，当均不为，且夹角为时，满足，故D错误. 5. 直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（ ） A. 7个部分 B. 14个部分 C. 6个部分 D. 12个部分 【答案】B 【解析】 【分析】首先由三角形三条边所在直线将平面所分成的部分，再想象空间的部分. 【详解】如图，将一个三角形各边延伸可将平面分为7个部分，则直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成个部分. 6. 如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】展开可能走过的长方体平面，由两点之间线段最短求出各个最短距离比较即可求解. 【详解】第一种情况:把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是和 则所走的最短线段是； 第二种情况:把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 第三种情况:把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是和 所以走的最短线段是； 三种情况比较而言，第二种情况最短. 故选：A. 7. 在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题目信息结合三角恒等变换及向量的数量积公式解出三角形，建立平面直角坐标系，由为线段上的一点，则存在实数使得，再根据，求出点坐标，从而得到，利用基本不等式即可求出答案. 【详解】在中，设，，， 因为，，所以， 即，所以， 因为，所以，所以，又，所以， 又因为，所以，又，所以， 在中，，，， 根据，所以，，， 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系， 可得，，，所以，， 由于为线段上的一点，则存在实数使得， 设，，则，， 所以，则， 所以，，则， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 此时，所以的最小值为. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据新定义奔驰定理结合三角形的面积公式求解. 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 二、多选题（本题共3小题，共18分） 9. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，由向量与的夹角为钝角，得，解得，A正确； 对于B，，当且仅当取到等号，B错误； 对于C，与共线的单位向量有两个，为，C错误； 对于D，由，得，解得，D正确. 10. 已知是虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若复数满足，则 D. 已知复数满足，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算可得A，B，C的正误，根据复数模的概念可知D的正误. 【详解】对于A，由于，所以，故A正确； 对于B，由于，设，则，因此， 由于，所以，故B正确； 对于C，取反例，则，但，故C错误； 对于D，取反例，满足条件，故D错误. 11. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，，则 B. 若为平面内任意一点，，则点为的重心 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若为锐角的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用垂心的性质，得求解判断；对B，对作线性变形整理得到判断；对C：由可知动点的轨迹是边的中线，仅过重心，不必然经过内心；对D：结合对变形，推得在的中线上，结合外心性质可得. 【详解】对于选项A：若是的垂心，所以，故， 因此，又，所以，A命题正确； 对于选项B：由， 移项得，即， 说明在边的中线上，且分中线为，符合三角形重心的性质，B命题正确； 对于选项C：由可知的轨迹是中边的中线（从出发的射线）. 而内心是角平分线的交点，仅当时内心才在中线上， 任意三角形的内心不一定在中线上，因此动点的轨迹不一定经过内心，C命题错误； 对于选项D：取中点， 由可得， 又，所以，整理得，所以三点共线， 又为锐角外心，可得，因为为中点，所以， 所以，所以，D命题正确. 三、填空题（本题共3题，共15分） 12. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点不可能位于第__________象限. 【答案】三 【解析】 【分析】根据复数的模求出复数对应点的轨迹即可得解. 【详解】设， 由， 所以， 即复数在复平面上对应的点的轨迹为圆， 如图， 所以复数在复平面上对应的点不可能位于第三象限. 故答案为：三 13. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【解析】 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以， 故. 14. 平面上五点满足，，，，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】设，，得到，，则，再代入值计算即可． 【详解】设，， 则， ， ， ． 故答案为：3． 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设出坐标利用两个向量平行的对应，以及向量模的公式列方程求解即可； （2）利用向量的数量积与向量垂直与夹角公式求解即可. 【详解】解：（1）设， ， ，即.① 由，得.② 解①②得或 或. （2）， ，即. 又， ，整理得. . 又. 16. 已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． （1）求z； （2）设，若在第二象限，求实数t的取值范围； （3）若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【小问1详解】 设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． 【小问2详解】 由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． 【小问3详解】 因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 17. 如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） （1）若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； （2）若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 【答案】（1）表面积为，容积为 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据棱柱的表面积和体积公式求解即可； （2）先根据条件将水的实际体积算出，再根据棱柱的体积公式即可算出当底面水平放置时，液面高度. 【小问1详解】 表面积， 体积； 【小问2详解】 设的面积为，底面水平放置时，液面高为， 则水的体积为， 当底面水平放置时，水的体积为，解得， 即液面高为. 18. 如图，在中，，，，，，设与交于点，且． （1）求的值； （2）定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论求解即可； （2）（ⅰ）由为的中点，易得为的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， 又三点共线， 所以，即. 【小问2详解】 （ⅰ）因为为的中点，所以， 由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 19. 在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，且. （1）若，求面积的取值范围； （2）已知，. （i）求BC边上的高； （ii）若AD是的平分线，交BC于点，且，求的值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合正弦定理求出角，再根据已知条件结合正弦余弦定理求出，通过面积公式利用正弦定理边化角再结合角的范围即可求解； （2）（i）根据已知条件结合正余弦定理及两角和的正弦公式求出，根据结合余弦定理求出，利用正弦定理面积公式，根据等面积法求出高；（ii）利用角平分线定理，结合平面向量的基本定理求出、即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理， 得. 因为，，所以，， 所以，又，所以. 由正弦定理得，，. 由，得， 即. 由余弦定理得，解得， 所以，， ， 因为为锐角三角形，所以且， 即，所以， 所以，所以. 故面积的取值范围为. 【小问2详解】 （i）因为，所以， 而，即，由正弦定理有： 所以， 其中为外接圆的半径，所以，即， 由余弦定理有：， 则，所以， 其中为BC边上的高，故. （ii）由上面可以解出，，是的平分线， 由角平分线定理有：， 则， 所以，，所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省梅村高级中学2025-2026学年度第二学期期中检测 高一数学 时间：120分钟 满分：150分 2026.4 一、单选题（本题共8题，共40分） 1. 若，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（    ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中，，则原四边形中最长边的长度为（    ） A. 2 B. C. 4 D. 6 4. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 对任意向量都有 D. ，则与中至少有一个为 5. 直三棱柱的三个侧面与一个底面所在的四个平面将空间分成（ ） A. 7个部分 B. 14个部分 C. 6个部分 D. 12个部分 6. 如图是一块长、宽、高分别为、、的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点处，沿着长方体的表面到长方体上和相对的顶点处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，已知，，的面积为6，P为线段AB上的一点，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分） 9. 设向量，则下列说法正确的是（ ） A. 若与的夹角为钝角，则 B. 的最小值为9 C. 与共线的单位向量是 D. 若，则 10. 已知是虚数单位，以下四个说法中正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 若复数满足，则 D. 已知复数满足，则 11. 已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（ ） A. 若为的垂心，，则 B. 若为平面内任意一点，，则点为的重心 C. 若，则动点的轨迹经过的内心 D. 若为锐角的外心，且，则 三、填空题（本题共3题，共15分） 12. 已知复数满足，则复数在复平面上对应的点不可能位于第__________象限. 13. 某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 14. 平面上五点满足，，，，则的值为_____． 四、解答题（本题共5题，共77分） 15. 已知是同一平面内的三个向量，其中. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求与的夹角. 16. 已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． （1）求z； （2）设，若在第二象限，求实数t的取值范围； （3）若复数z是方程的一个根，求的值． 17. 如图，一个直三棱柱形容器，侧棱.（容器出口在上底面点处，大小可忽略） （1）若底面是边长为2的正三角形，求这个容器的表面积与容积； （2）若侧面水平放置时，液面恰好过的中点，当底面水平放置时，液面高为多少？ 18. 如图，在中，，，，，，设与交于点，且． （1）求的值； （2）定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 19. 在锐角三角形ABC中，角所对的边分别为，且. （1）若，求面积的取值范围； （2）已知，. （i）求BC边上的高； （ii）若AD是的平分线，交BC于点，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $