精品解析：2026 年湖南省初中学业水平考试模拟试卷(一) 数学

2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷（一） 数学 考生注意： 1．本试卷满分120分、考试时间120分钟． 2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分，请务必将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的计算，有理数大小的比较；计算各数的绝对值并比较大小即可． 【详解】解：∵，，，， 而， ∴ 绝对值最大的是， 故选；B： 2. “月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，掌握科学记数法的表示法则是解题关键． 用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数，据此依次验证各选项． 【详解】解：． 故选：C． 3. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移只改变位置，不改变大小，方向和形状，据此求解即可． 【详解】解：依题意，观察四个选项，能用其中一部分平移得到的是D选项． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，同底数幂相除，合并同类项，解题的关键是熟练掌握相关运算法则．根据各运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，故A选项错误，不符合题意； B、，故B选项正确，符合题意； C、和不是同类项，不能合并，故C选项错误，不符合题意； D、，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系，点的坐标，由根据F，G的坐标建立平面直角坐标系，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：F，G的坐标为，根据F，G的坐标建立平面直角坐标系，如图： 由图可得：点A的坐标为， 故选：D． 6. 若关于x的方程无解，则m的值是（ ） A. 3 B. 2 C. －3 D. －2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式方程，能够掌握分式方程无解的条件是解题的关键． 先解方程得，再由方程无解得，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵， ①， ∵关于的方程无解， ∴，即； 把代入①，得，解得． 7. 每年10月下旬到11月上旬是红叶的最佳观赏时期，在湖南观赏红叶的绝佳地点有岳麓山、湖南省植物园、长沙园林生态园、南郊公园．周末小李与小周要一起去看红叶，每人选一个地点，则他们分别选择岳麓山和湖南省植物园的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查古典概型的概率计算，先求出所有等可能的结果总数，再求出符合要求的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设四个地点分别为：岳麓山，湖南省植物园，长沙园林生态园，南郊公园．根据题意，列表如下： 小周 小李 由表可知，一共有种等可能结果，其中符合“两人分别选择岳麓山和湖南省植物园”要求的结果有种：和， ∴所求概率为 ． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据、的互相垂直平分线，且，即有，问题得解． 【详解】解：连接 ，交于点， ， ， 四边形是正方形， 、的互相垂直平分线，且， ，， ∴点坐标， 故选：B． 【点睛】本题结合坐标系考查了正方形的性质，关键灵活运用正方形的性质进行线段计算，得出点的坐标． 9. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A. 点在函数的图象上 B. 函数图象可由函数的图象向上平移2个单位长度得到 C. 若，两点在该函数图象上，则 D. 函数图象经过第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质． 根据一次函数的图象和性质判断各选项即可． 【详解】解：A：当时，，点不在图象上，A错误； B：的图象向上平移2个单位得，但原函数为，B错误； C：∵一次函数为，，∴y随x的增大而减小，∵，∴，C正确； D：∵，∴图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，∴D错误； 故选：C． 10. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，延长交于点，连接，，，，由垂径定理得，进而得，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，在利用直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，，， ∵于点，交于点，为弧的中点， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点关于的对称点为点， ∴， ∴ 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法解答即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 【跨学科】小亮在实验室做实验时，称取实验所需药品的质量时没有找到天平，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂=阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为30克的物品时，右盘中放置10克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置45克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品的质量是_____克． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次的应用，设药品的质量为克，根据“动力动力臂=阻力阻力臂”，列出方程即可，理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由图可知，在两次称量中，动力臂、阻力臂没有改变， 设药品的质量为克， 列方程为， 解得， 故药品的质量为15克， 故答案为：15． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积为16，则的长是________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据基本作图，得平分，过点D作于点E，利用角的平分线性质，三角形的面积计算即可． 本题考查了角的平分线基本作图，角的平分线的性质，三角形的面积，熟练掌握角的平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，得平分， 过点D作于点E， ∵， ∴， ∴； ∵，的面积为16， ∴， 解得， ∴, 故答案为：4． 15. 某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查了正n边形内角问题，先求出，进而得到，则可求出的度数，据此可求出图3中正n边形一个内角的度数，再根据正n边形内角和定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图2所示，∵图2的外轮廓是正六边形， ∴， ∴， ∴， ∴图3中，这个正n边形的一个内角的度数为， ∴， 解得， 故答案为：8． 16. 如图，在中，，是的中点，点在上，下列四个结论： ①；②图中共有两组全等三角形；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】结合等腰三角形的性质，得，证明，即，同理证明，，然后延长至点，使得，证明，运用直角三角形的两个锐角互余以及等角对等边，故，即可作答． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵，是的中点， ∴， ∵， ∴； ∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴图中共有三组全等三角形 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ④延长至点，使得， ∵，是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵ ∴ ∵， ∴， 即， ∴， 则， 即 则 ∵， ∴ 故④符合题意； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等角对等边，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】原式分别计算特殊角三角函数，零指数幂，负整数指数幂以及绝对值，最后进行加减运算即可． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入． 【答案】原式= 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式== 当x=3时，原式==3． 考点：分式的化简求值． 19. 如图，是的直径，平分分别与相交于点． （1）求证； （2）若，求的直径． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵对应，对应， ∴． （2） 【解析】 【分析】主要考查角平分线的定义以及圆周角定理(同圆中相等的圆周角所对的弧相等)，等弧的性质、垂径定理，还结合勾股定理与方程思想解决线段长度计算问题，同时体现了圆性质与直角三角形知识的综合应用． （）利用角平分线的定义得到，再依据圆周角定理中“相等的圆周角所对的弧相等”，即可证明； （）由等弧推出垂直平分，结合已知条件求出的长度，设圆的半径为表示出，再在中利用勾股定理列方程求解半径，进而得到圆的直径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，且， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理：， 代入得：， 解得：， ∴的直径． 20. 年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． （1）求A、B两种航模每件分别多少元？ （2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】（1）每件A型航模元，每件B型航模元 （2）张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【小问1详解】 解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． 【小问2详解】 解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 21. 某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， 通过数据分析，结果如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ， ， ； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 【答案】（1），， （2） 这次比赛，学校会选派九年级（1）班， ，且两班的平均数相同， 九年级（1）班成绩更稳定， 学校会选派九年级（1）班； （3）人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，平均数，中位数，众数，方差，用样本估计总体，理解相关统计量的意义，能从统计图中获取有用数据是解题的关键； （1）先求出组所占百分比，再将减去其他三组所占百分比，即可求出的值；根据中位数和众数的概念即可确定，的值； （2）根据方差的意义即可判断会选派哪一个班级； （3）用样本估计总体的思想即可解决问题． 【小问1详解】 解：组占， ， ， ∵九年级（2）班名学生的成绩A组有（人），B组有（人）， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， ∴第5名和第6名的成绩为92，94， ， 九年级（1）班名学生的成绩中，出现两次，是出现最多的数据， ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 （人）， 答：估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数为人． 22. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 某景点游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图①，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图③． 任务1 （1）求遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 （2）当时，求挡板的宽度． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）遮阳棚前端到墙面的距离约为 （2）线段的长度约为 ． 【解析】 【分析】（1）过点作，垂足为，在中，，由此即可求解； （2）延长交于点，则，在中，，，，，由此即可求解． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 在中，， ， 遮阳棚前端到墙面的距离约为； 【小问2详解】 解：延长交于点，则， 由题意得：， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 线段的长度约为 ． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在中，，是上的一点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接． 【猜想验证】 （1）如图1，当，试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若时，试猜想线段与线段有怎样的位置关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，延长，相交于点，若，，，， ①求与之间的函数关系式； ②当，时，请直接写出的长． 【答案】 （1），理由如下， ∵， ∴． ∴． ∵正方形， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． （2）理由如下 如图，过点A作交的延长线于点G． ∵， ∴． ∴． 又， ∴， 又， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）①；② 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，求函数关系式，求自变量的取值范围； （1）证明，即可得出结论； （2）过点A作交的延长线于点G，同理（1）可证，，得，进而可以解决问题； （3）①过点作于点，证明，根据相似三角形的性质即可求解； ②将代入解析式，求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）①如图所示，过点作于点， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， 由（2）可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ②当时，， 解得：（负值舍去）即， ∵， ∴． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； （3）点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）记与y轴的交点为，证明为等腰直角三角形， 过作轴交于，为等腰直角三角形， 则，设，则， 再建立二次函数，利用二次函数的性质解题即可； （3）如图，当在的右边，记直线交y轴于R，，则，求解直线的解析式为， 可得， 设，而四边形为矩形，可得，再利用勾股定理建立方程求解；如图，当在的左边，同理可得：． 【小问1详解】 解： 把，，分别代入 得 ，解得 ， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知， 抛物线对称轴为直线， 点和点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线的解析式为， 把，分别代入得 ， 解得 ， 直线的解析式为 记与轴的交点为， 当时，，则， ， 为等腰直角三角形， ， 过作轴交于， ， 为等腰直角三角形， ， 设，则， ， 当时，有最大值， 的最大值为：； 【小问3详解】 解：如图，当在的右边， 记直线交轴于，，则， 设直线的解析式为， 把、分别代入得 ，解得 ， 直线的解析式为， 当时，，则， 设，而四边形为矩形， ， ∴， ， 解得：，即； 如图，当在的左边， 同理可得：， 解得：，即； 综上：或． 【点睛】本题考查的是待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，二次函数的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，熟练地建立二次函数模型再利用二次函数的性质解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省初中学业水平考试模拟试卷（一） 数学 考生注意： 1．本试卷满分120分、考试时间120分钟． 2．试卷分为试题卷和答题卡两个部分，请务必将答案填写在答题卡上，在试题卷上作答无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列四个数中，绝对值最大的是（ ） A. 2 B. C. D. 2. “月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为，具有极高的科研价值．数据用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 大雁在南飞时保持严格整齐的队形即排成“人”或“一”．如图是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标为，那么头雁A的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程无解，则m的值是（ ） A. 3 B. 2 C. －3 D. －2 7. 每年10月下旬到11月上旬是红叶的最佳观赏时期，在湖南观赏红叶的绝佳地点有岳麓山、湖南省植物园、长沙园林生态园、南郊公园．周末小李与小周要一起去看红叶，每人选一个地点，则他们分别选择岳麓山和湖南省植物园的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点 ；，则顶点 的坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 下列有关一次函数的说法中，正确的是（　　） A. 点在函数的图象上 B. 函数图象可由函数的图象向上平移2个单位长度得到 C. 若，两点在该函数图象上，则 D. 函数图象经过第一、三、四象限 10. 如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 计算____________． 12. 分解因式：______． 13. 【跨学科】小亮在实验室做实验时，称取实验所需药品的质量时没有找到天平，于是利用杠杆原理制作天平称取药品的质量（杠杆原理：动力动力臂=阻力阻力臂）．如图1，当天平左盘放置质量为30克的物品时，右盘中放置10克砝码天平平衡；如图2，将待称的药品放在右盘后，左盘放置45克砝码，才可使天平再次平衡，则该药品的质量是_____克． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点，若，的面积为16，则的长是________． 15. 某同学用图1的六个全等纸片拼接出图2，图2的外轮廓是正六边形．如果用若干个纸片按照图3所示的方法拼接，外轮廓是正n边形图案，那么n的值为________． 16. 如图，在中，，是的中点，点在上，下列四个结论： ①；②图中共有两组全等三角形；③；④若，则．其中所有正确结论的序号是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：（1﹣）÷，从﹣1，2，3中选择一个适当的数作为x值代入． 19. 如图，是的直径，平分分别与相交于点． （1）求证； （2）若，求的直径． 20. 年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． （1）求A、B两种航模每件分别多少元？ （2）张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 21. 某校深入开展了以“珍爱生命 谨防溺水”为主题的安全教育活动，并在九年级举办了防溺水知识竞赛，从两班各随机抽取了名学生的成绩，整理如下：（成绩得分用表示，共分成四组：，，，） 九年级（1）班名学生的成绩是：，，，，，，，，， 九年级（2）班名学生的成绩在组中的数据是：，， 通过数据分析，结果如下： 九年级（1）班、（2）班抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级（1）班 九年级（2）班 九年级（2）班学生成绩扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出上述、、的值： ， ， ； （2）学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的活动，根据表格中的数据，学校会选派哪一个班级？说明理由． （3）九年级两个班共有人参加了此次活动，估计两个班参加此次活动成绩优秀的学生总人数是多少？ 22. 数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格． 课题 设计遮阳棚前挡板 模型抽象示意图 某景点游客服务中心为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图①，现在要计算所需前挡板的宽度． 测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图②，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图③． 任务1 （1）求遮阳棚前端B到墙面的距离． 任务2 （2）当时，求挡板的宽度． （结果精确到，参考数据：，，，） 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在中，，是上的一点，连接，以为边在的右侧作正方形，连接． 【猜想验证】 （1）如图1，当，试判断线段与线段之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，若时，试猜想线段与线段有怎样的位置关系，并说明理由． 【解决问题】 （3）如图3，延长，相交于点，若，，，， ①求与之间的函数关系式； ②当，时，请直接写出的长． 24. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），点、的坐标分别是、，与轴交于点，点的坐标是，点和点关于抛物线的对称轴对称． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线上方的抛物线上有一点，过点作于点，求线段的最大值； （3）点M是抛物线的顶点，点是轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以为边的矩形，求点的坐标 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $