精品解析：江苏省苏州市立达中学校2025～2026学年第二学期期中考试试卷 八年级数学

2025～2026学年第二学期期中考试试卷 初二数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A．，不是整式方程，故该选项不正确，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C．，当时，是一元二次方程，不符合题意； D．，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 2. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解我国七年级学生的视力情况，采用普查的方式 B. 为了解一批笔芯的使用寿命，采用普查的方式 C. 为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式 D. 为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客进行抽样调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全面调查（普查）和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将全面调查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，全面调查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择全面调查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查． 【详解】解：A、为了解我国七年级学生的视力情况，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意； B、为了解一批笔芯的使用寿命，适宜采用抽样调查的方式，故此选项不符合题意； C、为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式，故此选项符合题意； D、为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客适宜采用普查的方式，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（ ） A. 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据抛掷骰子时，点数为3的面朝上可能发生，也可能不发生，进行判断即可． 【详解】解：∵抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上可能发生，也可能不发生， ∴该事件是随机事件； 故选B． 4. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根公式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为， 故选：B． 5. 在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件先得出四边形是菱形，再结合正方形的判定定理，分析各选项即可． 【详解】解：在平行四边形中， ∴四边形是菱形， A、当时，则菱形是正方形，正确； B、菱形本身对角线，故添加，不能使得四边形为正方形； C、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形； D、菱形本身对角线平分，故添加平分，不能使得四边形为正方形． 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在中，利用勾股定理求出即可解决问题． 本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是：熟练掌握菱形的性质． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 故选：C． 7. 如图，在中，D，E分别是的中点，平分，交于点F．若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定和性质，角平分线的定义，根据题意可得，结合角平分线的定义可得，由即可求解． 【详解】解：∵D，E分别是的中点，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，，从而得到；再求出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再求出，然后利用“边角边”证明，得到，由，得到，；由于，得到；由是等腰直角三角形得到，求得，过作于，求得，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 故①符合题意； ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故②不符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵， ∴设，， ∵， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过作于，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形全等和等腰直角三角形是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 为了解我校八年级1000名学生对“创建全国文明校园”知识的了解情况，学校组织了相关知识测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，这个抽样调查的样本容量是________． 【答案】 100 【解析】 【详解】解：样本容量是指一个样本中所包含的个体的数目， 本题中从名学生中随机抽取了名学生的成绩进行统计分析，因此样本容量为． 10. 一组数据共个，分为组，第组的频数分别为，，，，第组的频率为，则第组的频数为 ______ ． 【答案】10 【解析】 【分析】直接利用频数与频率的关系得出第5组的频数，进而得出答案． 【详解】解：一组数据共100个，第5组的频率为0.20， 第5组的频数是：， 一组数据共100个，分为6组，第组的频数分别为10，14，26，20， 第6组的频数为：． 故答案为：10． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，正确得出第5组频数是解题关键． 11. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行计算解答即可． 【详解】解：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 12. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、一元二次方程、三角形的三边关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先解一元二次方程得到可能的腰长，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形，最后计算周长． 【详解】解：， ， 解得 或 ， 当腰长为3时，三边为3、3、6， ∵ ，不构成三角形； 当腰长为4时，三边为4、4、6，满足三角形三边关系， ∴周长为 ． 故答案为：14． 13. 如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ AC+BD＝14，AB＝4． ，， △OCD的周长为． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 14. 中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 【答案】24 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，解题的关键是掌握以上性质． 根据菱形的性质得出直角三角形以及对角线的数量关系，利用勾股定理求出对角线长度，然后利用菱形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， 由勾股定理得， ∴， ∴该菱形的面积是 故答案为：24． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据矩形的性质易证是等边三角形，得到，即可得解． 【详解】解：矩形， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 16. 如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】在的上方作正方形， 连接，求出的取值范围，再利用三角形中位线定理求解即可． 【详解】解：如图，在的上方作正方形， 四边形和四边形是正方形， ，， H为的中点， ， ， ，， ， ， ， ； 三、解答题（本大题共11小题，共68分） 17. 教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1）， （2）见解析 （3）人． 【解析】 【分析】（1）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比，用乘以抽取学生中最喜爱羽毛球运动的学生数的百分比即可得到答案； （2）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可； （3）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可得到答案． 【小问1详解】 解：随机抽取部分学生的总人数为（人）， ∴， 即， “羽毛球”对应扇形的圆心角为， 故答案为：， 【小问2详解】 随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数为：（人）， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 （人） 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人． 18. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共20个，它们除颜色不同外，其余都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于． （1）小明摸到黑球的概率是__________； （2）盒子里装有黑、白两种球各多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1） （2）盒子里装有白球5个，黑球15个 （3）往盒子里再放入5个白球 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）利用白球的频率，结合频率估计概率求解即可； （2）总数乘以黑、白球的概率即可； （3）设需要往盒子里再放入个白球，根据“摸到白球的概率为”列方程求解即可． 【小问1详解】 解：小明摸到黑球的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 盒子里装有白球为（个）， 则黑球的个数为（个）； 答：盒子里装有白球5个，黑球15个； 【小问3详解】 设需要往盒子里再放入个白球， 根据题意，得：， 解得：， 经检验：是方程的解， 答：需要往盒子里再放入5个白球． 19. 已知a为方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，一元二次方程解的定义，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据一元二次方程解的定义得到，再把所求式子化简为，由此求解即可． 【详解】解：是方程的一个根， ， ， ． 20. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） ，. （2） ，. （3） ，. 【解析】 【分析】（1）方程为平方等于常数的形式，可使用直接开平方法求解． （2）移项后可提取公因式，使用因式分解法求解，注意不能直接约去含未知数的公因式，避免漏根． （3）先将方程整理为整系数一元二次方程，再用公式法求解即可． 【小问1详解】 解：原方程， 移项得， 开方得， 即或， 解得，． 【小问2详解】 原方程， 移项得， 提取公因式得， 整理得， 即或， 解得，． 【小问3详解】 原方程， 方程两边同乘得， 这里，，， 计算得， 代入求根公式， 得， 即，． 21. 图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个周长为8的菱形ABCD（非正方形）； （2）在图2中画出一个面积为9，且∠MNP=45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析．较长的对角线NQ=3 【解析】 【分析】（1）根据菱形的周长为以及菱形的性质可知菱形的边长为，因此只需利用网格特点构造直角边长分别为2、4的直角三角形，则直角三角形的斜边即为，由此进行作图即可； （2）根据面积为9可以设计底和高都是3的平行四边形，再利用小正方形的对角线和边长成45°即可画出，利用勾股定理可以求对角线长． 【小问1详解】 解：如图1中，菱形ABCD即为所求． 【小问2详解】 如图2中，平行四边形MNPQ即为所求． ∴较长的对角线NQ==3． 【点睛】本题考查了作图，熟练掌握菱形的判定、平行四边形判定、勾股定理以及网格的结构特征是解题的关键． 22. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 23. 如图，已知在四边形中，，，，，． （1）求证：四边形是等腰梯形； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2）25 【解析】 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等，、不平行，即可得到结论； （2）作于点 ，于点，根据直角三角形的性质以及平行四边形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴、不平行， ∵， ∴四边形是梯形， ， 梯形是等腰梯形． 【小问2详解】 解：作于点，于点， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，解答本题的关键是明确有中点时需考虑运用三角形的中位线定理或者直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． （1）连接、，证四边形是平行四边形即可． （2）注意应用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平行四边形的性质，求得长即可． 【小问1详解】 证明：连接，． 点，分别为，的中点， ，． 又， ． 又， 四边形是平行四边形． 与互相平分， ； 【小问2详解】 解：在中， 为的中点，， ． 又四边形是平行四边形， ． 25. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． （2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． （3）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 【答案】（1）①③ （2）或 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程解的定义，解题的关键是理解黄金方程解的定义． （1）根据黄金方程的定义进行求解即可； （2）根据黄金方程的定义得到，则原方程为，再由a是此黄金方程的一个根，得到，解方程即可； （3）利用配方法，非负数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①是黄金方程，理由： ∵， ∴， ∴ ∴， ∴是黄金方程； ②不是黄金方程，理由： ∵ ∴ ∴， ∴， 故不是黄金方程； ③是黄金方程， ∴， ∴， ∴是黄金方程， 故答案为：①③； 【小问2详解】 解：∵是关于的黄金方程， ∴， ∴， ∴原方程为， ∵是此黄金方程的一个根， ∴，即 ∴， 解得或； 【小问3详解】 解：∵关于的一元二次方程是“黄金方程”， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴的最小值为4． 26. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． （1）①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； （2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 【答案】（1）①，；②2 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）①先求出直线与轴交点，即可得到；②根据，可得点，将代入解析式，即可求解； （2）由（1）知一次函数的解析式为，，，根据的面积与四边形的面积之比为，可得，，设点的横坐标为，则，即可求解； （3）分两种情况：若以为对角线，得到菱形；若以为对角线，得到菱形讨论，结合图形，利用菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：①四边形是矩形， 轴，轴， 一次函数的图象与边、分别交于点、，并且满足， 当时，， ， ②点的坐标为， ，点的横坐标为， ， 点， 将点代入得：， 解得：； 【小问2详解】 解：如图： 由（1）知：一次函数的解析式为：，，， 的面积与四边形的面积之比为， ， ， ， 设点的横坐标为，则， 即， 解得：， 将代入，得：， ； 【小问3详解】 如图所示，若以为对角线，得到菱形， 则垂直平分，和关于轴对称， ， 点和的纵坐标均是， 将代入得：， 解得：， 点， ， ， 点； 如图所示，若以为对角线，得到菱形，则，线段与线段的中点重合，延长交轴于点，由轴得，轴， 设点的横坐标为，则纵坐标为， ，，， ，即 解得：（不能构成菱形，舍去）或， 将代入得：， 点， 菱形， ， 点， 综上所述，以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或． 27. 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合），探索线段之间的数量关系． （1）线段间的数量关系是________________； （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出此时线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为________ 【答案】（1） （2），见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由正方形，可得，，证明，则，进而可得； （2）如图2，取的中点T，连接，由四边形为的菱形，可得，，证明是等边三角形，是等边三角形，证明，则，； （3）由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解；①当点P靠近点B时，过点A作于H，连接，作交于G．由（2）可知，是等边三角形，证明是等边三角形，，由勾股定理得，，由勾股定理得，，则，由（2）可知，，则，根据，求解作答；②当点P靠近点D时，同理①，求解作答即可． 【小问1详解】 解： ∵正方形， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下； 如图2，取的中点T，连接，则， ∵四边形为的菱形， ∴，，平分 ∴是等边三角形， ∴， ， ， ， ∴是等边三角形， ∴，，， 又∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由题意知，分靠近点B，靠近点D，两种情况求解； ①当点P靠近点B，如图，过点A作于H，连接，作交于G． 由（2）可知，是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形，则， ∴，即， ∵， ∴， 由勾股定理得，， 由勾股定理得，， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴； ②当点P靠近点D时，如图， 同理①，可得，，， ∴； 综上所述，满足条件的的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期中考试试卷 初二数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列调查中，调查方式选择合理的是（ ） A. 为了解我国七年级学生的视力情况，采用普查的方式 B. 为了解一批笔芯的使用寿命，采用普查的方式 C. 为了解班级同学中哪个月份出生的人数最多，采用普查的方式 D. 为了解乘客是否携带危险物品，地铁站工作人员对部分乘客进行抽样调查 3. 事件“任意抛掷一枚骰子，点数为3的面朝上”是（ ） A. 确定事件 B. 随机事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 4. 若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ） A. B. C. D. 5. 在平行四边形中，．添加一个条件，使得四边形为正方形，添加的条件可以为（ ） A. B. C. 平分 D. 平分 6. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，若点A的坐标为，则C点的坐标为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，D，E分别是的中点，平分，交于点F．若，则的长是（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在矩形中，的平分线交于点，交的延长线于点，取的中点，连接，，，，下列结论： ①；②；③；④若，则．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 为了解我校八年级1000名学生对“创建全国文明校园”知识的了解情况，学校组织了相关知识测试，并从中随机抽取了100名学生的成绩进行统计分析，这个抽样调查的样本容量是________． 10. 一组数据共个，分为组，第组的频数分别为，，，，第组的频率为，则第组的频数为 ______ ． 11. 若关于的方程是一元二次方程，则__________． 12. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程的一个根，则此三角形的周长是__________． 13. 如图，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝14，AB＝4．则△OCD的周长为_____． 14. 中国结作为中国传统手工艺品，寓意是团圆、平安、幸福，承载着人们对美好生活的祈盼．小敏家有一个菱形中国结装饰．测得，，则该菱形的面积是__________． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点．若，则的大小为___________． 16. 如图，正方形和正方形的边长分别为6和4，连接，H为的中点，连接．将正方形绕点A旋转一周，则的取值范围是________． 三、解答题（本大题共11小题，共68分） 17. 教育部2026年全面推进健康学校建设，深入实施学生体质强健计划，倡导中小学生“每天锻炼不少于2小时”，促进学生全面发展．某校响应号召，计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_____；扇形统计图中，“羽毛球”对应扇形的圆心角为_____度； （2）请补全条形统计图； （3）若该校有2400名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 18. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共20个，它们除颜色不同外，其余都相同，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于． （1）小明摸到黑球的概率是__________； （2）盒子里装有黑、白两种球各多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 19. 已知a为方程的一个根，求代数式的值． 20. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 21. 图1、图2分别是7×6的网格，网格中的每个小正方形的边长均为1．请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上． （1）在图1中画一个周长为8的菱形ABCD（非正方形）； （2）在图2中画出一个面积为9，且∠MNP=45°的▱MNPQ，并直接写出▱MNPQ较长的对角线的长度． 22. 如图，是菱形对角线的交点，过点作，过点作与相交于点．求证：四边形是矩形． 23. 如图，已知在四边形中，，，，，． （1）求证：四边形是等腰梯形； （2）求的长． 24. 如图，在中，，，分别是，的中点，延长到点，使，连结，，交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“黄金方程”． （1）下列方程中：①；②；③，是黄金方程的为______（填序号）． （2）已知是关于的黄金方程，若是此黄金方程的一个根，求的值． （3）已知关于的一元二次方程是“黄金方程”，求代数式的最小值． 26. 如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点B的坐标为，一次函数的图象与边分别交于点D、E，并且满足，点M是线段上的一个动点． （1）①用含b的代数式表示线段的长度：________；________； ②直接写出b的值________； （2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点M的坐标； （3）设点N是x轴上方平面内的一点，以A、M、E、N为顶点的四边形为菱形时，请求出点N的坐标． 27. 如图1，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点P旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点E、F（点F与点C，D不重合），探索线段之间的数量关系． （1）线段间的数量关系是________________； （2）如图2，将图1中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出此时线段之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，当菱形的边长为8，点P运动至与A点距离恰好为7的位置，且旋转至时，的长度为________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $