正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理与余弦定理的综合应用 专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

**基本信息** 聚焦正弦定理、余弦定理及综合应用，构建“单一应用-综合拓展”递进式训练体系，精选多地区期中/月考真题，强化推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正弦定理解三角形|4例+4变式|选择/填空/解答，含多解问题|从定理直接应用到边角关系转化，构建“已知边角求未知”推理链条| |余弦定理解三角形|4例+4变式|选择/填空/解答，涉及方程根与面积|以“已知三边/两边夹角求角”为核心，强化代数运算与几何直观| |综合应用|3例+3变式|解答题（多问），结合面积与周长|整合两定理，形成“边角互化-方程构建-综合求解”完整思维路径|

正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理与余弦定理的综合应用专项训练 正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理与余弦定理的综合应用专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 正弦定理与余弦定理的综合应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，，，则，故， 由正弦定理得， 由于，故或. 例2．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，在中，，则（    ）      A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】在和中，利用正弦定理即可求解. 【详解】在中，由正弦定理得：①， 在中，由正弦定理得：②， 又，所以， 由①②得：. 例3．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________． 【答案】 【分析】由正弦定理直接求解即可． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则为锐角，所以． 例4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，角所对应的边分别为，且，则边长__________． 【答案】或3 【分析】利用正弦定理求得，从而求得，对进行分类讨论，由此求得. 【详解】由正弦定理得：， 因为，所以， 故或； 当时，； 当时，，所以，所以. 故或. 变式1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（   ） A．1∶4∶9 B．1∶2∶3 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，，， 所以 变式2．（25-26高一下·山东淄博·月考）在中，，则角的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】由正弦定理可得：，即， 由于，故，又，则或. 变式3．（25-26高一下·上海·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 【答案】等腰三角形 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】因为，由正弦定理可得， 则，即， 所以，即， 又因为，则，即, 所以是等腰三角形. 变式4．（25-26高一下·上海松江·月考）在中，已知，则__________. 【答案】 【详解】在中，，. 又， 由正弦定理，得 . 考点二 余弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题先利用结合余弦定理列出关于的一元二次方程，解出两个正根，再由同角三角关系求出，借助正弦定理算出，结合推出角有锐角、钝角两种情况，三角形存在两解，故的两个取值均满足三边关系，全部保留. 【详解】在中，由余弦定理得. 已知，，，代入得： . 化简得： . 由求根公式. 因为，由正弦定理. 得，存在两解，即三角形存在两个解. 所以所对的边或. 例2．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则（    ） A． B． C．10 D．40 【答案】A 【分析】利用韦达定理结合余弦定理即可求解. 【详解】由是方程的两个根，所以， 由余弦定理得：， 所以. 例3．（25-26高一下·山西吕梁·期中）在中，，，，则________. 【答案】2 【详解】由余弦定理， ，，， 所以， 解得. 例4．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为S，则的最小值为________. 【答案】 【分析】由余弦定理、三角形面积公式、基本不等式得到，再通过换元，平方，结合二次函数即可求解. 【详解】由题 又， 令， 则 则有且时，原式取最小值. 变式1．（25-26高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【详解】由已知，，得. 又由余弦定理可知，则. 变式2．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，大边对大角，最大，故角为最大角. 由余弦定理得. 代入,,，. 变式3．（25-26高一下·上海青浦·期中）在中，，，，则________. 【答案】 【详解】由余弦定理，得 . 变式4．（25-26高一下·天津静海·期中）在中，已知，则_______ 【答案】 【详解】在中，已知，所以，因为，所以. 考点三 正弦定理与余弦定理的综合应用 例1．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）用正弦定理把边化为角，再利用三角形内角和与三角恒等变换化简，即得角； （2）先由面积公式求出的值，再用余弦定理求出的值，从而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得：， 整理得：， 因为，所以，故， 因为，所以. （2）因为的面积为，所以， 解得， 又因为， 即， 所以，故的周长为. 例2．（25-26高一下·广西柳州·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． (1)求A， (2)若的周长为20，面积为，求a． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解. （2）根据给定条件，利用三角形面积公式、余弦定理列式求解. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，即，则，即， 又，所以. （2）由的面积为，得，解得， 由的周长为20，得，即， 由余弦定理得，即， 于是，解得， 所以. 例3．（25-26高一下·广西南宁·月考）在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： (1)的值； (2)的值； (3)边上的高． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理求. （2）利用余弦定理求边. （3）利用三角形的面积公式求边上的高. 【详解】（1）由正弦定理，得，解得． （2）由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． （3）由（2）知． 三角形面积． 又边即边， 设边上的高为，则 ． 故边上的高为． 变式1．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在中，为角所对的三边，且满足. (1)求角的大小； (2)求边的长； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理及同角三角函数关系，结合题意可得，从而求得； （2）由（1）的结论及余弦定理可得； （3）结合（2）的结论由余弦定理的推论可得. 【详解】（1）由正弦定理，得. 又，∴， ∴. ∵，∴. （2）∵，. ∴由余弦定理得， ∴. （3）∵， ∴. 变式2．（25-26高一下·福建南平·月考）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求角的大小； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理计算即可； （2）利用正弦定理结合（1）的结论计算即可. 【详解】（1）， ， ，； （2）， . 变式3．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，已知中，，，，延长至点，连接． (1)求AC的长； (2)若，求AD的长. 【答案】(1)6 (2)14 【分析】（1）在中，利用正弦定理求； （2）先求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】（1）如图所示，在中，由正弦定理得，， 又，，． 所以， （2）因为，所以， 在中，由余弦定理得， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理与余弦定理的综合应用专项训练 正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理与余弦定理的综合应用专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 余弦定理解三角形 正弦定理与余弦定理的综合应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·山东济南·期中）在中，内角、、的对边分别为、、，，，，则（    ） A． B． C．或 D． 例2．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图，在中，，则（    ）      A．3 B．2 C． D． 例3．（25-26高一下·福建莆田·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则__________． 例4．（2026·云南昆明·模拟预测）已知中，角所对应的边分别为，且，则边长__________． 变式1．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则（   ） A．1∶4∶9 B．1∶2∶3 C． D． 变式2．（25-26高一下·山东淄博·月考）在中，，则角的大小为（    ） A． B．或 C． D．或 变式3．（25-26高一下·上海·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为__________. 变式4．（25-26高一下·上海松江·月考）在中，已知，则__________. 考点二 余弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·安徽安庆·期中）在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D．4 例2．（25-26高一下·福建宁德·期中）在中，分别是角所对的边，且是方程的两个根，，则（    ） A． B． C．10 D．40 例3．（25-26高一下·山西吕梁·期中）在中，，，，则________. 例4．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）中，内角所对的边分别为，该三角形面积大小记为S，则的最小值为________. 变式1．（25-26高一下·四川成都·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，边上的高等于，则（    ） A． B． C．3 D．2 变式2．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在△ABC中，若，则最大角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·上海青浦·期中）在中，，，，则________. 变式4．（25-26高一下·天津静海·期中）在中，已知，则_______ 考点三 正弦定理与余弦定理的综合应用 例1．（25-26高一下·宁夏银川·月考）在中，角的对边分别为,且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求该三角形的周长． 例2．（25-26高一下·广西柳州·月考）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，满足． (1)求A， (2)若的周长为20，面积为，求a． 例3．（25-26高一下·广西南宁·月考）在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： (1)的值； (2)的值； (3)边上的高． 变式1．（25-26高一下·宁夏吴忠·期中）在中，为角所对的三边，且满足. (1)求角的大小； (2)求边的长； (3)求的值. 变式2．（25-26高一下·福建南平·月考）在中，角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求角的大小； (2)求的值. 变式3．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，已知中，，，，延长至点，连接． (1)求AC的长； (2)若，求AD的长. 2 学科网（北京）股份有限公司 $