复数4种高频考点专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

复数4种高频考点专项训练 复数4种高频考点专项训练 考点目录 复数的相关概念 复数的运算 与复数相关的动点轨迹问题 复数与二次方程 考点一 复数的相关概念 例1．（25-26高一下·海南海口·期中）复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C． D． 例2．（25-26高一下·山西晋中·期中）复数是实数，则实数（   ） A． B．-3 C． D．3 例3．（25-26高一下·安徽合肥·期中）若复数是纯虚数，则实数__________. 变式1．（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 变式2．（25-26高一下·河南·期中）若复数是纯虚数，则的值为__________. 变式3．（25-26高一下·广东肇庆·月考）设复数，当实数________时，是实数. 考点二 复数的运算 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·重庆·期中）复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 例3．（25-26高一下·重庆·期中·多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内所对应的点位于第二象限 D． 例4．（25-26高一下·陕西咸阳·期中·多选）已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的实部为1 C． D．若，则的最大值为8 例5．（2026·天津红桥·一模）已知是虚数单位，若，则___________． 例6．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知复数满足，则复数的虚部为__________. 变式1．（25-26高一下·广东东莞·期中）若，则复数z的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知复数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．16 D．25 变式3．（25-26高一下·山西长治·期中·多选）已知复数，则下列说法正确的是（ ） A．在复平面内对应的点为 B． C．的虚部为 D． 变式4．（25-26高一下·安徽合肥·期中·多选）关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（    ） A． B．复数对应的点在第二象限 C． D．复数是方程的一个根 变式5．（25-26高一下·山东菏泽·期中）若复数，则__________. 变式6．（25-26高一下·天津河西·期中）若复数是纯虚数，则______. 考点三 与复数相关的动点轨迹问题 例1．（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 例2．（25-26高一下·青海·月考）设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例3．（25-26高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的虚部为________. 变式1．（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 变式3．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知复数分别满足，则的取值范围为________． 考点四 复数与二次方程 例1．（25-26高一下·安徽安庆·期中·多选）方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·陕西安康·期中·多选）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·安徽池州·期中·多选）已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（   ） A．z的虚部为 B．复数z的共轭复数为 C． D． 变式1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中·多选）已知复数是关于的方程的两个复数根，且，则下列结论正确的是（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D．若复数满足，则的最大值为 变式2．（25-26高一下·山东枣庄·期中·多选）在代数史上，代数基本定理是最重要的定理之一.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).若，记为方程的一个虚数根，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测·多选）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 2 学科网（北京）股份有限公司 $复数4种高频考点专项训练 复数4种高频考点专项训练 考点目录 复数的相关概念 复数的运算 与复数相关的动点轨迹问题 复数与二次方程 考点一 复数的相关概念 例1．（25-26高一下·海南海口·期中）复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得：的共轭复数 ， 所以的虚部为. 例2．（25-26高一下·山西晋中·期中）复数是实数，则实数（   ） A． B．-3 C． D．3 【答案】A 【分析】由复数是实数得其虚部为零，列式求解即得. 【详解】因为复数是实数， 所以，解得. 例3．（25-26高一下·安徽合肥·期中）若复数是纯虚数，则实数__________. 【答案】0 【详解】因为为实数，且复数是纯虚数， 所以，且，解得（舍去）. 变式1．（25-26高一下·天津河北·期中）已知i为虚数单位，若，则实数a的值为（    ） A．1 B．1或-4 C． D．0或 【答案】C 【分析】根据复数相等公式，列式求解. 【详解】由条件可知，，解得. 变式2．（25-26高一下·河南·期中）若复数是纯虚数，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为是纯虚数，所以且，解得. 变式3．（25-26高一下·广东肇庆·月考）设复数，当实数________时，是实数. 【答案】 【分析】由题意知，再解方程与不等式即可求解. 【详解】因为复数是实数， 所以，解得， 所以当时，z是实数． 考点二 复数的运算 例1．（2026·陕西榆林·模拟预测）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】． 例2．（25-26高一下·重庆·期中）复数满足，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】依题意，， 所以. 例3．（25-26高一下·重庆·期中·多选）已知复数，下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C．在复平面内所对应的点位于第二象限 D． 【答案】BCD 【详解】化简复数 选项A：的虚部为，不是，A错误； 选项B：复数的共轭复数为，的共轭复数为，B正确； 选项C：对应复平面内的点为，横坐标负、纵坐标正，位于第二象限，C正确； 选项D：先求， ， ， ，D正确. 例4．（25-26高一下·陕西咸阳·期中·多选）已知复数，，则下列说法正确的是（   ） A． B．的实部为1 C． D．若，则的最大值为8 【答案】ACD 【分析】由复数模长公式可判断A，由复数的乘法、除法运算可判断BC，由复数的几何意义可判断D. 【详解】由，得，A正确； ，实部为，B错误； ，C正确； 由条件得：， 平方得： ， 该式表示：点在以为圆心、为半径的圆上， 是点到原点的距离的平方： 原点到圆心的距离为，圆上点到原点的最大距离为， 故的最大值为 ，D正确. 例5．（2026·天津红桥·一模）已知是虚数单位，若，则___________． 【答案】 【详解】因为，所以. 例6．（25-26高一下·浙江杭州·期中）已知复数满足，则复数的虚部为__________. 【答案】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得， 故复数的虚部为. 变式1．（25-26高一下·广东东莞·期中）若，则复数z的共轭复数的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助复数运算法则计算后，结合共轭复数定义与虚部定义即可得. 【详解】， 故，其虚部为. 变式2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知复数满足，则的值为（   ） A．4 B．5 C．16 D．25 【答案】D 【详解】设，则， 则，所以. 变式3．（25-26高一下·山西长治·期中·多选）已知复数，则下列说法正确的是（ ） A．在复平面内对应的点为 B． C．的虚部为 D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的坐标表示，可判定A正确；由复数模的计算公式，可判定B正确；由复数的定义，可判定C错误；根据复数的运算法则，可判定D正确. 【详解】对于A，由复数，可得复数在复平面内对应的点为，所以A正确； 对于B，有复数模的计算公式，可得，所以B正确； 对于C，由复数，可得的虚部为，所以C错误； 对于D，由，所以D正确； 变式4．（25-26高一下·安徽合肥·期中·多选）关于复数（为虚数单位），下列说法正确的有（    ） A． B．复数对应的点在第二象限 C． D．复数是方程的一个根 【答案】ACD 【分析】利用复数模公式，共轭复数概念，复数乘法，复数对应点坐标，复数方程根逐项分析即可. 【详解】对于A，因为复数，所以，故A正确； 对于B，因为复数， 所以对应的点为位于第四象限，故B错误； 对于C，因为复数， 所以，故C正确； 对于D，因为复数， 所以，故D正确. 变式5．（25-26高一下·山东菏泽·期中）若复数，则__________. 【答案】1 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据求模的方法，即可得答案. 【详解】由题意， 所以. 变式6．（25-26高一下·天津河西·期中）若复数是纯虚数，则______. 【答案】3 【分析】先通过复数除法运算化简复数，再利用纯虚数的定义求出参数，最后计算复数的模. 【详解】， 因为是纯虚数，所以，解得. 此时，故. 考点三 与复数相关的动点轨迹问题 例1．（25-26高一下·浙江·期中）若复数满足，其中为虚数单位，则的取值范围为（   ） A．[4，6] B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数及复数模的几何意义求解即可. 【详解】在复平面内，设对应的点为， 则表示到点的距离为， 表示动点到点的距离， 因为， 所以． 例2．（25-26高一下·青海·月考）设复数z满足条件，那么的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设复数z在复平面对应的点为， 因为，所以， 因此点在单位圆上， 因为，设复数在复平面对应的点为， 所以表示圆上的点到点的距离， 因此的最大值为. 例3．（25-26高一下·福建福州·期中）若复数满足，则的虚部为________. 【答案】 【详解】方法1：设，则，，解得，，故虚部为1. 方法2：因为在复平面内表示以原点为圆心的单位圆， 同理，表示以点为圆心、半径为1的圆， 所以满足的点为两个圆的公共点，结合图形可知点的坐标为，故虚部为1. 变式1．（2026·江西·模拟预测）已知复数z满足，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据给定等式，结合复数的几何意义确定z在复平面内对应的点的轨迹即可. 【详解】由复数z满足，得z在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，5为半径的圆， 圆心到实轴、虚轴的距离都大于5，且圆心在第四象限， 所以z在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 变式2．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 变式3．（25-26高一下·陕西西安·月考）已知复数分别满足，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的几何意义，分别求得和在复平面内对应点的轨迹，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由复数，分别满足， 可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 设，则， 可得复数在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 如图所示，可得， 所以， 所以的取值范围为. 考点四 复数与二次方程 例1．（25-26高一下·安徽安庆·期中·多选）方程在复数集范围内的两个根分别记作，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用求根公式求出，根据复数的乘法和乘方运算逐项验证. 【详解】由求根公式，记， 对于A：，A错误； 对于B：，B正确； 对于C：由选项B的结论及选项A的计算过程可知，，C正确； 对于D：由选项B的判断，，D正确. 例2．（25-26高一下·陕西安康·期中·多选）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据复数为方程的根，则也是方程的根，再结合韦达定理求解． 【详解】解：是关于的实系数方程的一个复数根， 则是关于的实系数方程的一个复数根， ，解得． 例3．（25-26高一下·安徽池州·期中·多选）已知复数z满足（为虚数单位），且z是关于x的实系数一元二次方程的一个根，则下列说法正确的有（   ） A．z的虚部为 B．复数z的共轭复数为 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的乘除法运算及共轭复数的定义即可判断AB；将代入方程，列出方程组求解即可判断CD． 【详解】对于AB，由得， 其虚部为，共轭复数为2i，故A正确、B错误； 对于CD，实系数方程一根为， 代入原方程得，， 解得，，故C、D正确． 变式1．（25-26高一下·安徽阜阳·期中·多选）已知复数是关于的方程的两个复数根，且，则下列结论正确的是（    ） A．与互为共轭复数 B． C． D．若复数满足，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据条件，得到，即可判断B的正误；对A，根据条件，直接求出，即可判断正误；对C，利用选项A中结果得，即可求解；对D，先求出，再利用三角不等式，即可求解. 【详解】因为是关于的方程的两个复数根，所以， ， 所以， 又因为，所以，解得， 又，所以， 对于A，由，解得，，所以与互为共轭复数，故A正确， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，由A选项知， ， 所以，故C错误， 对于D，因为，又， 所以，所以的最大值为，故D正确. 变式2．（25-26高一下·山东枣庄·期中·多选）在代数史上，代数基本定理是最重要的定理之一.由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式方程有n个复数根(重根按重数计).若，记为方程的一个虚数根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】令，解得或； 由，解得，即是的两个复数根. 对于A，为方程的一个虚数根，即满足，，故A正确； 对于B，是的两个复数根，，故B错误； 对于C，与互为共轭复数，，故C正确； 对于D，由，得； 若，则；若，则；故D错误. 变式3．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测·多选）已知为实数，若在复数范围内，方程存在两个虚数根分别为 ，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．的取值范围为 【答案】ACD 【详解】方程存在两个虚数根分别为 ， 是共轭虚数，，故选项A正确； 虚数不能比较大小，故选项B错误； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，，故选项C正确； 方程存在两个虚数根分别为 ， ，，， ，故选项D正确. 2 学科网（北京）股份有限公司 $