正弦定理5种考点专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册

正弦定理5种高频考点专项训练 正弦定理5种高频考点专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 正弦定理判断三角形解的数量 正弦定理求外接圆的半径 正弦定理边角互化的应用 三角形面积公式及其应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（   ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 例2．（24-25高一下·安徽淮北·月考）在中，，，，则这个三角形的最长边的长为（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一下·上海松江·月考）在中，已知，则__________. 例4．（25-26高一下·北京·月考）已知在中，，，，则______． 变式1．（25-26高一下·海南·月考）已知分别为的三个内角的对边，若，则角（    ） A．或 B． C． D． 变式2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．或 D． 变式3．（25-26高一下·上海崇明·月考）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________． 变式4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知．则______． 考点二 正弦定理判断三角形解的数量 例1．（25-26高一下·河北唐山·月考）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A．7 B．8 C．6 D．10 例2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 例4．（25-26高二上·辽宁·月考）在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为___________. 变式1．（25-26高一下·湖北武汉·月考）在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定a的范围 变式2．（25-26高三上·北京·月考）在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为_____． 变式3．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是________. 考点三 正弦定理求外接圆的半径 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A．4 B．2 C．8 D．16 例2．（25-26高一下·广西南宁·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C．6 D．12 例3．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 变式1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 变式2．（24-25高一下·贵州毕节·月考）若外接圆的半径为2，且，则（    ） A． B．2 C． D． 变式3．（24-25高二上·陕西咸阳·开学考试）在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 考点四 正弦定理边角互化的应用 例1．（25-26高一下·河南开封·月考）在中，若，，则形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 例2．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 例3．（24-25高一下·山东潍坊·月考·多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 例4．（25-26高一下·江苏镇江·月考）已知的内角的对边分别为，且，则 ________. 例5．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 变式1．（2026·江苏·一模）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 变式2．（2026·陕西渭南·模拟预测）设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 变式3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知中，，若，，则（   ） A． B． C． D．的面积是 变式4．（25-26高一下·广西玉林·月考）在，内角的对边分别为，若，则______． 变式5．（2026·广西南宁·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则______． 考点五 三角形面积公式及其应用 例1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高三上·江苏·期末）在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 例3．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是__________. 例4．（25-26高三上·北京密云·月考）在中，，，，则______，的面积为______． 变式1．（25-26高三上·甘肃临夏·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 变式2．（2025·广东·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 变式4．（25-26高三上·北京丰台·期末）在中，，，且，则的面积为______. 2 学科网（北京）股份有限公司 $正弦定理5种高频考点专项训练 正弦定理5种高频考点专项训练 考点目录 正弦定理解三角形 正弦定理判断三角形解的数量 正弦定理求外接圆的半径 正弦定理边角互化的应用 三角形面积公式及其应用 考点一 正弦定理解三角形 例1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）在中，角的对边分别为，若，，，则角等于（   ） A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120° 【答案】A 【详解】由正弦定理，代入已知条件 ，，， 可得， 由三角形"大边对大角"的性质， ， 因此 . 例2．（24-25高一下·安徽淮北·月考）在中，，，，则这个三角形的最长边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，则， 因为最大，由三角形的性质可得对应的边最大， 由正弦定理可得，. 例3．（25-26高一下·上海松江·月考）在中，已知，则__________. 【答案】 【详解】在中，，. 又， 由正弦定理，得 . 例4．（25-26高一下·北京·月考）已知在中，，，，则______． 【答案】 【详解】由在中，，，， 可得，则， 由于，，故，则. 变式1．（25-26高一下·海南·月考）已知分别为的三个内角的对边，若，则角（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】在中，， 由正弦定理得， 由，得，所以. 变式2．（25-26高一下·江苏无锡·月考）在中，角的对边分别为，，则（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 因为，所以， 所以. 变式3．（25-26高一下·上海崇明·月考）在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________． 【答案】2 【详解】由正弦定理得，解得. 变式4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）在中，已知．则______． 【答案】 【分析】利用正弦定理和三角函数二倍角公式求解. 【详解】在中，由正弦定理，可得： 因为，由二倍角公式得， 所以代入，得： 因为，故， 所以，即. 考点二 正弦定理判断三角形解的数量 例1．（25-26高一下·河北唐山·月考）在中，，，，若满足条件的三角形有两个，则的取值可能为（ ） A．7 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【详解】在中，由正弦定理得， ， 因满足条件的三角形有两个，则必有，且， 即， 于是得，解得， 因为，所以的取值可能为8，9. 例2．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，，若满足条件的有且只有两个，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得时，能构成的三角形有两个， 即 故的取值范围为. 例3．（25-26高三上·广东珠海·月考）已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足条件，的三角形有两解，则边长a的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由正弦定理，得. 若满足条件，的三角形有两解，则，且，所以. 所以，所以. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·辽宁·月考）在中，，，，若满足要求的三角形有且只有一个，则的取值范围为___________. 【答案】 【详解】设边上的高为，则，又， 要使满足要求的三角形有且只有一个，则有或， 即的取值范围为. 故答案为：. 变式1．（25-26高一下·湖北武汉·月考）在中，，，，若仅一个解时，则（　　） A． B． C．或 D．无法确定a的范围 【答案】C 【详解】中，，，， 由正弦定理得，即，可得， 根据，且仅一个解时，或， 即或，结合，解得或. 变式2．（25-26高三上·北京·月考）在中，已知，，，若存在且唯一，则的一个整数取值为_____． 【答案】（答案不唯一，满足即可） 【详解】法一：如图，，，要使三角形存在且唯一，则. 法二：由正弦定理，得到， 又，则， 因为三角形存在且唯一，所以当时，角存在且唯一． 所以， 又，所以其中一个整数取值为大于等于2的任意整数即可， 故答案为：（答案不唯一，满足即可） 变式3．（24-25高一下·江苏无锡·月考）在中，角所对的边分别为，且．若有两解，则的长的取值范围是________. 【答案】 【详解】如图，过作垂直所以直线于， 因为，则， 又有两解，则， 故答案为：. 考点三 正弦定理求外接圆的半径 例1．（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（ ） A．4 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【详解】设外接圆的半径为R，由正弦定理可得==， 所以，解得， 所以外接圆的半径为8. 例2．（25-26高一下·广西南宁·月考）在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【详解】设外接圆的半径为， 则， 即． 则外接圆的半径为. 例3．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则外接圆的半径为（    ） A．1 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】由于，且，所以． 设外接圆的半径为， 因为，所以，可得． 变式1．（24-25高一下·黑龙江·期末）已知的内角所对的边分别为，若，则的外接圆的半径为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设的外接圆的半径为， 因为， 所以，解得. 故选：D. 变式2．（24-25高一下·贵州毕节·月考）若外接圆的半径为2，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】中,,故， 由正弦定理知，故. 故选：C. 变式3．（24-25高二上·陕西咸阳·开学考试）在中，，则外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设外接圆的半径为，则， ∴，故外接圆的面积为. 故选：C. 考点四 正弦定理边角互化的应用 例1．（25-26高一下·河南开封·月考）在中，若，，则形状为（   ） A．等边三角形 B．等腰但不等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【详解】因为，且，所以. 因为，由正弦定理得， 因为，所以. 因为，所以，所以. 故为等边三角形． 例2．（2026·湖南怀化·一模）在中，内角的对边分别为，则一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【详解】在中， , 则，即， 则，即得, 由于，故，结合，可得， 即一定为直角三角形， 例3．（24-25高一下·山东潍坊·月考·多选）记的内角，，的对边分别为，，，且，，边上的高为2，则（ ） A． B． C．的周长为 D．的面积为5 【答案】ABD 【详解】对A，因为，所以由正弦定理得， 因为， 代入上式可得：， 即，因为，所以，得到， 则，正确； 对B，由，且， 因为，，所以， 可得，又， 由正弦定理得，则，所以， 则， 因为，所以，边上的高为， 因为，，又，，则，，正确； 对C，因为，，根据勾股定理， 的周长为，错误； 对D，的面积，正确． 故选：ABD 例4．（25-26高一下·江苏镇江·月考）已知的内角的对边分别为，且，则 ________. 【答案】 【详解】由正弦定理，可得. 例5．（2026·安徽合肥·一模）在中，角的对边分别是，若，则__________． 【答案】2 【详解】因为，由正弦定理，可得， 所以，又因为，所以， 所以，又由正弦定理，可得，即， 因为，所以． 变式1．（2026·江苏·一模）已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】因为，由正弦定理得：， 又，则，所以， 即, 所以， 由，则， 因为为边长，所以，所以， 所以角为钝角，，所以角为锐角即，此时， 所以由， 所以， 即， 因为，所以， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最大值为. 变式2．（2026·陕西渭南·模拟预测）设的内角，，所对的边长分别为，，，若，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理化边为角可得， 因为， 所以， 整理可得，所以，即，所以. 变式3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试·多选）已知中，，若，，则（   ） A． B． C． D．的面积是 【答案】ACD 【详解】A选项，，， 故， 由正弦定理得， 又，故，所以， 又，故，则，， 因为，所以，A正确； B选项，， 又，，故，B错误； C选项，由勾股定理得， 由正弦定理得， 故， 由B知，，则， 即，C正确； D选项，的面积为，D正确. 故选：ACD 变式4．（25-26高一下·广西玉林·月考）在，内角的对边分别为，若，则______． 【答案】2 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得 可得， 所以，即，可得. 变式5．（2026·广西南宁·模拟预测）在中，角所对的边分别为，已知，则______． 【答案】 【详解】因为， 所以由正弦定理得：， 所以， ， 即，因为，所以， 所以，又因为，所以， 因为，且，即， 所以. 考点五 三角形面积公式及其应用 例1．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，， ， ， ， ． 故选：D． 例2．（25-26高三上·江苏·期末）在中，角所对的边分别为，若，则的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【详解】由正弦定理得，所以， 因为，所以， 又，所以， 因为，所以，所以， 所以的面积. 故选：B 例3．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，，，且，则的面积是__________. 【答案】 【详解】在中，由，即， 因为，由正弦定理得，可得， 又因为，且，可得， 所以的面积为. 故答案为：. 例4．（25-26高三上·北京密云·月考）在中，，，，则______，的面积为______． 【答案】 或 【详解】在中，，，， 由正弦定理得出，所以， 则或， 所以的面积为． 故答案为：或； 变式1．（25-26高三上·甘肃临夏·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（    ） A．14 B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，由，可得， 又，， 所以的面积为. 故选：B 变式2．（2025·广东·模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 变式3．（25-26高二下·湖南长沙·开学考试）在中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，，，且，则的面积为______. 【答案】 【详解】由及正弦定理可得，又， 所以， 由知，故，所以，即， 所以，， 所以. 变式4．（25-26高三上·北京丰台·期末）在中，，，且，则的面积为______. 【答案】 【详解】由及正弦定理可得，, 由知，故，所以，即， 所以，, 所以， 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $