第八章 立体几何初步 章末综合检测-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 立体几何初步章末综合检测单元卷，通过多样题型覆盖柱体识别、空间角、折叠与外接球等核心知识，注重空间观念与推理能力培养，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|柱体识别、直观图面积、线面位置关系|基础巩固，如几何体计数、直观图还原| |多选题|3|正方体空间角、圆锥性质、三棱柱线面关系|能力提升，如圆锥滚动与最短距离| |填空题|3|异面直线距离、线面距离、折叠外接球|创新应用，如动态折叠中距离最值| |解答题|5|四点共面证明、表面积计算、翻折二面角|综合探究，如翻折问题存在性论证，关联高考动态几何命题趋势|

第8章 立体几何初步章末综合检测 一、单选题. 1. 如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】圆柱的结构特征辨析、判断几何体是否为棱柱、棱柱的结构特征和分类 【分析】根据柱体的定义逐一判断即可. 【详解】①③⑤不是柱体，②是圆柱，④是以左、右面为底面的棱柱．有2个柱体， 故选：B． 2. 已知水平放置的平面图形的直观图如图所示，其中，，，，，则平面图形的面积为（    ）    A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】根据直观图画法的规则，确定原平面图形四边形的形状，求出上下底边边长，以及高，然后求出面积. 【详解】根据直观图画法的规则，直观图中平行于轴，，在轴上，，，， 则原平面图形中平行于轴，在轴上， 从而有，且，，，如图所示，      所以直角梯形的面积为. 故选：C． 3. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断面面是否垂直、判断线面是否垂直、判断面面平行、判断线面平行 【分析】ABD都可以举出反例；C可以利用线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理综合证明. 【详解】对于A：当直线在平面内时，即，此时也可能满足，但根据定义，直线在平面内，线面不平行，故A错误； 对于B：当时，若，则，此时，不成立，故B错误； 对于C：由，经过直线的平面如果与平面有交线，由线面平行的性质定理知且，又，所以，而，所以，故C正确； 对于D：在正方体中，设平面为平面，平面为平面，则两平面的交线为.设直线为，则，但不与垂直，也不与垂直，故D错误. 故选：C. 4. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】柱体体积的有关计算 【分析】先根据水平放置时，水的形状为直四棱柱，求出水的体积，再求出当底面水平放置时，水面高即可. 【详解】设三棱柱的底面的面积为，高为，则. 当侧面水平放置时，水的形状呈直四棱柱形， 由于液面恰好经过的中点，则直四棱柱的底面积是直三棱柱底面积的，即直四棱柱的底面积是， 所以水的体积， 当底面水平放置时，设水面高为，则，从而有， 所以，即当底面水平放置时，水面高为7.5. 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 【答案】D 【难度】0.64 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、异面直线的判定 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 6. 在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】面面平行证明线线平行、由平面的基本性质作截面图形、判断正方体的截面形状 【分析】根据给定条件，结合平面基本事实作出截面，再利用截面的几何特征求其面积. 【详解】在正方体中，延长交于点， 连接交于点，如图， 由平面平面，平面平面， 平面平面， 得，又，且， 因此四边形是等腰梯形，且为平面截正方体的截面. 在等腰梯形中，过作，， 所以截面面积. 故选：C 7. 如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据线面垂直及圆的性质判断点O的轨迹为圆的一部分，再由弧长公式求解即可. 【详解】取AB中点P，连接PC，，如图：    因为，，且，平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 过N作，又平面平面，平面， 所以平面，当点M从点C运动到点时，O点是以PN为直径的圆Q（部分）， 当点M到点时，O点到最高点，此时，，，所以， 从而，所以弧长，即点O的轨迹长度为. 故选：A. 8. 如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求异面直线所成的角、求线面角、求二面角 【分析】比较三个角,,的大小，直接比较角度很困难，但我们可以比较它们的正切值，因为这三个角都在之间，正切函数在这个范围内是单调递增的，所以比较正切值的大小就等同于比较角度的大小． 【详解】解：正三棱柱中，， 正三棱柱的所有棱长相等，设棱长为1， 如图，过作，垂足点为，连接，则， 与所成的角为，且， 又，， 与平面所成的角为，且， ，①， 再过点作，垂足点为，连接， 又易知底面，底面， ，又，平面， 平面， 二面角的平面角为，且，又， ，，②， 又，，③， 由①②③得，又，，，在单调递增， ． 二、多选题. 9. （多选）正方体中，下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为 B．二面角的大小为 C．直线与平面所成角为 D．平面平面 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】求二面角、证明面面垂直、求线面角、求异面直线所成的角 【分析】根据异面直线所成角的定义可判断A；由二面角的定义，找到二面角的平面角，判断B；由线面角的定义作出并求得直线与平面所成角，判断C；设正方体的棱长为a，棱的中点，连接，求得平面与平面所成的角，判断D. 【详解】对于A，连接，因为， 所以四边形为平行四边形， 所以为直线与直线所成的角， 连接，则，所以是正三角形， 所以，所以A正确； 对于B，由正方体的性质知，平面， 因为平面，所以； 因为，平面， 所以是二面角的平面角， 易知， 所以二面角的大小为，所以B正确； 对于C，由正方体的性质知，平面， 所以是直线与平面所成的角， 易知， 所以直线与平面所成角为，所以C错误； 对于D，设正方体的棱长为a， 易知与均为边长为的正三角形， 如图，取棱的中点，连接， 则， 则为平面与平面所成角的平面角， 且， 又，所以， 所以，所以D错误. 故选：AB. 10. （多选）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（    ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．若一蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点，则爬行的最短距离为 D．圆锥的外接球与内切球半径比值为 【答案】ACD 【难度】0.42 【知识点】多面体与球体内切外接问题、锥体体积的有关计算、圆锥表面积的有关计算、圆锥的展开图及最短距离问题 【分析】根据圆锥的性质可求解母线长，进而根据体积公式以及侧面积公式即可求解AB，根据展开图，即可求解C，利用勾股定理即可求解球半径. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，则以为圆心，为半径的圆的面积为，圆锥的侧面积，因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周， 所以圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为，解得，所以圆锥的母线长为9；圆锥的侧面积，故A正确； 圆锥的高，则圆锥的体积，故B错误， 如图为圆锥沿的侧面展开图，连接， 设，则，故， 则为等腰三角形，所以蚂蚁爬行的最短距离为，故C正确. 设外接球半径，则有，解得； 设内切球半径r，则有，解得；所以 11. （多选）如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，点在棱上，，，则下列说法不正确的是（   ） A．设平面与平面的交线为，则直线与相交 B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为 C．设点在上，当时，平面平面 D．在棱上存在点，使得 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、证明面面垂直、线面平行的性质 【分析】对于A，连接交于点，证明，结合线面平行判定定理及性质定理证明结论；对于B，通过证明取最小值为，排除B，对于C，先证明，，根据线面垂直判定定理证明平面，再由面面垂直判定定理证明平面平面，即可判断，对于D，通过反设若上存在点，使得，证明，推出矛盾可得结论. 【详解】对于A，连接交于点，则为的重心，连接． 因为，所以，平面，平面， 所以平面，平面，平面与平面的交线为， 则，故，故A错误； 对于B，若在上存在点，则， 当与重合时，取最小值为，故B错； 对于C，当时，因为，，， 所以，则，即． 又平面，平面，． ，平面， 平面平面， 平面平面，故C正确； 对于D，过作交于点．若在上存在点，使得， 则．又，，平面． 平面，所以平面，又平面， ，矛盾．故D错． 故选：ABD. 三、填空题. 12. 正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为______． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求异面直线的距离、求面面距离 【分析】异面直线与分别在平行平面和平面内，因此求出平行平面和平面的距离即可得，再证明是平行平面和平面的公垂线，然后求得公垂线段的长即可得． 【详解】如图，正方体中，，，是平行四边形， ∴，同理， 分别是上下底面对角线的交点，，分别与交于点，连接相应的线段， 平面，平面，∴平面，同理平面， 又，平面，∴平面平面， 由于与平行且相等，因此是平行四边形，∴，而分别是中点， 因此， 正方体棱长为4，则对角线，， 平面，是在平面内的射影，，平面， ∴，同理，，平面，所以平面，∴平面， ∴平面与平面的距离为， 而平面，平面，且与是异面直线， 所以异面直线与的距离等于平面与平面的距离为， 故答案为：． 13. 如图，在五面体中，//，，，四边形为平行四边形，平面，，则直线到平面距离为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求直线与平面的距离 【分析】利用等价转化的思想转化为点到面的距离，作，利用线面垂直的判定定理证明平面，然后计算使用等面积法，可得结果. 【详解】作 如图 由//， 平面，平面 所以//平面 所以直线到平面距离 等价于点到平面距离 又平面，平面 所以，又，则 平面，， 所以平面 平面，所以 又平面， 所以平面 所以点到平面距离为 由，所以 又，所以 在中， 又 故答案为： 14. 如图，为等腰直角三角形，，为斜边上一动点，将沿折起，使的对应点为，且二面角的大小为，当的长最小时，三棱锥外接球的半径为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】设，结合面面垂直性质定理得出平面，再结合图形根据勾股定理可得，即可求解点的位置，结合正方体的外接球计算方法求解即可． 【详解】如图，设，则， 过点作于点， 因为二面角的大小为，所以平面平面， 又平面平面，平面，所以平面， 过点作于点，则，， 又，， 所以， 因为二面角的大小为， 所以， 当时，有最小值2，此时平分，且，，三点重合， 三棱锥可看作是棱长为的正方体的一角， 设三棱锥外接球的半径为， 则，解得． 故答案为： 4、 解答题. 15. 如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】空间中的点（线）共面问题、空间中的线共点问题、证明面面平行 【分析】（1）利用平行四边形证明，即可证明四点共面； （2）由梯形可知，再根据两平面的交线，证明过点即可； （3）根据平面平行的判定定理证明即可. 【详解】（1）连接CE，因为GH是的中位线，所以. 因为ABCD，ABEF是两个全等的矩形， 所以， 所以，则四边形CDEF为平行四边形，从而. 又因为，所以，故D，G，H，F四点共面. （2）由（1）的证明过程知DGHF为梯形，设， 因为平面平面ABEF，所以平面平面ABEF. 又因为，所以，即直线DG，AB，FH经过同一点. （3）因为ABCD是矩形，所以. 又不在平面DAF内，所以平面DAF. 同理可证平面DAF. 因为平面GBH， 所以平面平面DAF. 16. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析； 【难度】0.65 【知识点】面面垂直证线面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直、面面平行证明线线平行 【分析】（1）由正方形得，根据线面平行的判定得到平面，再根据线面平行的性质即可得到； （2）先面面垂直的性质证得，结合，可得,,即可证得平面； （3）取的中点，通过证是平行四边形得到，证得； 再由勾股定理逆定理得到，证得平面，得，即可得，进而证得平面，即可证得. 【详解】（1）由正方形，得， 又∵平面，平面，∴∥平面， ∵平面，平面平面， ∴ （2）由正方形，得, ∵平面平面，平面平面，平面, ∴平面， 又∵平面，∴， 由（1）知，∴，， 又，平面， ∴平面； （3）取的中点，连接，则， 又，所以四边形是平行四边形. ∴，∴. 由，得，，∴. ∵，，平面， ∴平面. ∵平面，∴. 由正方形，得∥，∴, ∵，平面，∴平面, ∵平面，∴ 17. 如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D． (1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； (2)求直三棱柱外接球的表面积； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.52 【知识点】求点面距离、多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】(1)根据题意分别计算即可； (2)根据对称性找到球心，求出半径即可； (3)利用等体积法即可 【详解】（1）由题意得， ，从而， 所以AD⊥，所以， ，因为，，， ，， 所以， 所以三棱柱截去三棱锥后几何体的表面积为． （2）根据对称性，球心在直三棱柱的中心，设为O， 取H为等边△ABC的外心，所以AH为等边△ABC外接圆半径，设为r， 根据正弦定理，则，因为， 所以，在Rt△AOH中，， 所以直三棱柱外接球的表面积 （3）因为三棱柱是直棱柱， 所以⊥平面，⊥平面ABC，⊥平面ABC， 三棱锥的体积 设点到平面的距离为h，则 所以 18. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在； 【难度】0.65 【知识点】求二面角、证明线面垂直、证明线面平行 【分析】（1）根据等腰梯形的特征利用线面垂直的判定定理即可得出证明； （2）利用线面垂直的性质定理可得即为二面角的平面角，可得其大小为； （3）假设条件成立，然后根据线面平行的性质以及已知条件，求出点P的具体位置，即可求解． 【详解】（1）因为在等腰梯形ABCD中， ，，E是BC的中点， 所以四边形ABED为菱形，所以， 又，所以，， 又，平面， 所以平面； （2）由平面AECD，平面AECD，可得； 易知，，所以； 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以，又， 所以即为二面角的平面角， 在直角三角形中，， 所以， 所以； （3）假设线段上是否存在点P，使得平面， 过点P作交于Q，连接MP，AQ，如下图所示： 所以，即可得A，M，P，Q四点共面， 又因为平面，平面平面， 平面，所以， 所以四边形AMPQ为平行四边形，所以，点P为的中点； 故在线段上存在点P，使得平面，且， 易知为正三角形，且，所以， 由勾股定理可得， 所以， 所以 19. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、求异面直线所成的角、求线面角、由二面角大小求线段长度或距离 【分析】（1）直接将异面直线所成的角转化为与所成角可得； （2）将五面体分割成一个四棱锥和一个三棱锥，三棱锥通过顶点转换法可得体积，四棱锥再分割成三个体积相等的三棱锥，再将其中的一个小三棱锥用顶点转换法可得其体积，进而可得五面体的体积. （3）过棱的中点作棱的垂面，再过点作底面的垂线，通过二面角的正切值可判断点垂足在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点，利用等体积法求点面距离，计算线面角可得. 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面， 由线面平行性质得，因此异面直线与所成角等于与所成角. 在等腰梯形中，，，如图： 设两腰相交于，因为，所以分别是的中点， 所以，故是边长为的正三角形，，因此， 又在中，，，所以. 所以直线与所成的角为. （2）设为的中点，连接，如图： 由（1）知是边长为4的等边的一边上的高线，所以， 所以，， 又因为为的中点，所以. 由（1）知，且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以 所以，且到平面的距离为. 所以， 而， 所以五面体的体积. （3）过点作平面，垂足为，所以，连接，如图： 因为，为的中点，所以. 又因为平面，平面，所以 因为，，平面， 所以平面，平面，故. 所以就是二面角的平面角，故， 在直角三角形中，，， 得. 所以点在等腰梯形上下底的中点的连线上，且为中点， 所以, 设C到平面ADE的距离为h， 由，即． ,, ∴与平面所成角的正弦值为． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8章 立体几何初步章末综合检测 一、单选题. 1. 如图所示的几何体中，柱体有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 已知水平放置的平面图形的直观图如图所示，其中，，，，，则平面图形的面积为（    ）    A．6 B．8 C．12 D．16 3. 设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 4. 如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，侧棱.若侧面水平放置时，水面恰好过的中点.那么当底面水平放置时，水面高为（    ） A．6 B．7 C．7.5 D．8 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（   ）． A．E，F，G，H四点共面 B．与是异面直线 C．，，三线共点 D． 6. 在正方体中，棱长为为棱上靠近的三等分点，则平面截正方体的截面面积为（   ） A． B． C． D． 7. 如图，在直三棱柱中，是边长为2的正三角形，，N为棱上的中点，M为棱上的动点，过N作平面ABM的垂线段，垂足为点O，当点M从点C运动到点时，点O的轨迹长度为（    ）      A． B． C． D． 8. 如图，已知正三棱柱，，，分别是棱，上的点．记与所成的角为，与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题. 9. （多选）正方体中，下列结论正确的是（    ） A．直线与直线所成角为 B．二面角的大小为 C．直线与平面所成角为 D．平面平面 10. （多选）如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（    ） A．圆锥的侧面积为 B．圆锥的体积为 C．若一蚂蚁从点出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点，则爬行的最短距离为 D．圆锥的外接球与内切球半径比值为 11. （多选）如图，在三棱柱中，底面，，分别是棱，的中点，点在棱上，，，则下列说法不正确的是（   ） A．设平面与平面的交线为，则直线与相交 B．在棱上存在点，使得三棱锥的体积为 C．设点在上，当时，平面平面 D．在棱上存在点，使得 三、填空题. 12. 正方体中，边长为4，则异面直线与的距离为______． 13. 如图，在五面体中，//，，，四边形为平行四边形，平面，，则直线到平面距离为_________． 14. 如图，为等腰直角三角形，，为斜边上一动点，将沿折起，使的对应点为，且二面角的大小为，当的长最小时，三棱锥外接球的半径为______． 4、 解答题. 15. 如图，是两个全等的矩形，它们不在同一个平面内，G，H分别是BC，BE的中点. (1)证明：D，G，H，F四点共面. (2)证明：直线DG，AB，FH经过同一点. (3)证明：平面平面DAF. 16. 如图，在五面体中，四边形是正方形，平面平面，，，. (1)求证：； (2)求证：平面； (3)求证：. 17. 如图，在直三棱柱中，底面ABC是正三角形，AB=2，，BC边上的中点为D． (1)求三棱柱截去三棱锥后所得几何体的表面积； (2)求直三棱柱外接球的表面积； (3)求点到平面的距离． 18. 如图，已知等腰梯形ABCD中，，，E是BC的中点，，将沿着AE翻折成，使平面 (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求CP的长；若不存在，说明理由. 19. 如图，在以为顶点的五面体中，四边形为等腰梯形，，，平面，，，到平面的距离为． (1)求直线与所成的角的大小； (2)求五面体的体积； (3)若二面角的正切值为，求与平面所成角的正弦值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $