随机变量及其分布：超几何分布 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

随机变量及其分布：超几何分布讲义 随机变量及其分布：超几何分布讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 模型本质原理 总体分为两类元素（合格/不合格、正品/次品、男生/女生等），采用不放回抽取，每次抽取概率不恒定，不满足独立重复试验，服从超几何分布。 1. 核心公式原理 设：总体容量 ，其中一类特殊个体 个，抽取 个， 随机变量 为抽取的特殊个体数量，则： 1. 期望方差原理 1. 区分原理 不放回 超几何分布； 有放回/独立重复 二项分布。 二、解题思路 1. 判定分布类型 看清抽样方式：不放回抽样、总体两分，直接判定为超几何分布。 1. 确定核心参数 找准四个量：总体 、特殊个体数 、抽取个数 、变量取值 。 1. 确定随机变量取值 结合实际限制，写出 所有可取整数（注意上下限约束）。 1. 代入组合公式求概率 利用「特殊选 个 普通选 个 总体任选 个」计算各概率。 1. 列出分布列 依次计算每一个取值对应的概率，验证概率和为 。 1. 求期望与方差 直接套用超几何分布期望、方差公式快速求解。 例题分析 例1．（25-26高二下·河北沧州·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知服从超几何分布，的取值为， 所以，，， 所以， . 例2．（25-26高二上·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 例3．（25-26高二下·上海松江·期中）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 【答案】3 【分析】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个,再结合超几何分布求解即可. 【详解】设口袋中白球的个数为,则黑球个数为个， 设从中任取2个球，白球的个数为，则的可能取值为0,1,2， 所以，， 所以取到白球个数的数学期望为， 即，整理得，解得， 所以口袋中白球的个数为3个. 例4．（25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 【答案】 【分析】分别求出时的概率，再由期望的公式求得的期望. 【详解】由题可得，的可能取值为. ； ； ； . 所以的期望为. 例5．（25-26高二下·河南·期中）袋中装有除颜色外均相同的3个红球，5个白球，现从中任取3个球. (1)记3个球中红球的个数为，求的分布列及数学期望； (2)当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为白色的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）先确定随机变量的所有可能取值,再利用古典概型组合公式分别算出每个取值对应的概率,列出分布列,最后依据离散型随机变量期望公式代入各取值和对应概率,计算得出数学期望. （2）先定义三球同色事件、三球全白事件，求出两个事件的概率,再套用条件概率公式,代入对应概率化简求解出所求条件概率. 【详解】（1）的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 所以. （2）设从袋中任取3个球为一种颜色的事件为，则， 设从袋中任取3个球都为白色的事件为，则， 所以当3个球均为一种颜色时，这种颜色为白色的概率为. 例6．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）为迎接世界读书日，某校开展了为期一年的“品经典书香，迎世界读书日”主题阅读活动．活动结束后，学校了解到每位学生至少阅读了一本经典名著，并统计了甲、乙两组各10名学生的经典名著阅读量（单位：本），统计结果记录如下： 甲组 1 2 6 8 10 11 12 12 17 21 乙组 1 2 4 11 12 14 16 17 20 (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求表中的所有可能取值； (2)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中来自乙组的人数的分布列和数学期望． 【答案】(1)1或2 (2)分布列见解析， 【分析】（1）分别求出甲乙两组学生的阅读量平均值，列出不等式，可求得； （2）由表格可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人，共有5人，由此可得随机变量的所有可能取值及相应的概率，即可得其分布列，从而求得其数学期望. 【详解】（1）甲组10名学生阅读量的平均值为 乙组10名学生阅读量的平均值为 由题意，得，即． 故表中的取值为1或2． （2）由表格可知，甲组“阅读达人”有2人，乙组“阅读达人”有3人 由题意，随机变量的所有可能取值为：1，2，3. ， ， . 所以随机变量的分布列为： 1 2 3 所以. 变式训练 变式1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小､质地完全相同.从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由超几何分布的期望公式计算． 【详解】由已知服从超几何分布，所以． 变式2．（25-26高二下·山东临沂·期中）某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记表示试验成功的次数，试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率. 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 【答案】1 【详解】由题意可得，的取值为， ， ， ， . 变式4．（25-26高二下·河南商丘·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 【答案】 【分析】根据服从超几何分布求其分布列，结合期望和方差公式求结论. 【详解】由题意知服从超几何分布， 则，，， 所以， . 变式5．（25-26高二下·广东广州·期中）老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，背出全部3篇可以获得一朵小红花.某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率； (3)若他能及格，那他获得小红花的概率是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据超几何分布求出分布列； （2）由分布列和概率的加法公式计算； （3）根据条件概率的公式计算. 【详解】（1）用表示抽到他能背诵的课文的数量，则的可能取值有， 则，，，， 则的分布列为： （2）至少要背出其中2篇才能及格， 则他能及格的概率为； （3）用表示他能及格，表示他获得小红花， 则， 故若他能及格，那他获得小红花的概率是 变式6．（2026·重庆·模拟预测）某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)180 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质即可求得a的值，结合百分位数的含义即可求得第75百分位数； （2）求出订单处理量在中的客服人数，根据超几何分布的概率计算可求 的分布列和数学期望 . 【详解】（1）由题意得， 设订单处理量的第75百分位数为，前两组频率之和为0.6，前三组频率之和为0.9， 则，，解得， 订单处理量的第75百分位数为180. （2）订单处理量在中的客服人数为，其中女性2人，男性8人， 表示抽取的女性人数，的可能取值为 ， ， ， 的分布列： 计算期望：. 实战演练 1．（25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 2．（25-26高二上·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设为取出的3个球中黑球的个数，分别求解的值，比较即可得结论. 【详解】设为取出的3个球中黑球的个数，则的取值为， 所以， 故取出的黑球个数为1时，其概率最大． 故选：B. 3．（25-26高三下·浙江杭州·月考）袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 【答案】 【分析】由题意确定随机变量服从超几何分布，即可求解. 【详解】编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个， 从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布， 参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数， 超几何分布的期望公式为，代入得： . 4．（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 【答案】 【分析】由随机变量服从超几何分布，从而可得随机变量的期望值. 【详解】因为为取得白球的次数，所以的可能的值为,且随机变量服从超几何分布. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 P 所以. 故答案为：. 5．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列； (2)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 3 4 (2). 【分析】（1）先按分层抽样比例算出各组抽取人数，再确定随机变量的所有可能取值，用超几何分布公式计算各取值的概率，列出分布列； （2）写出恰好答对3题的概率表达式，通过列相邻概率的比值不等式，求解使该概率最大的值. 【详解】（1）由题意得，这 12 人中，年龄在第一组内的有（人）， 年龄在第二组内的有（人）， 则的所有可能取值为， ：对应和，则； ：对应、和，则； ：对应和，则； ：对应，则； ：对应，则. 则的分布列为： 0 1 2 3 4 （2）设抽取10个中答对的个数为，则服从超几何分布，恰好答对3个的概率为， 要使得恰好最大，需满足 ， 解：，化简得； 解：，化简得. 结合，且，可知. 6．（25-26高二下·浙江宁波·月考）某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. (1)求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积和为1可求得，将各组区间的中点值乘以该组的频率可求得平均数； （2）首先求出两组中的人数比，然后利用超几何分布列求解，进而利用数学期望定义求解. 【详解】（1）因为频率分布直方图中各矩形的面积和为1， 即，解得， 所以可估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数为. （2）由题意知100名同学中，阅读时间在，的频率之比为， 所以抽取的6人中阅读时间在的人数为，在的人数为. 从这6人中随机选取3人座谈，选取的阅读时间在的人数为，则X可能的取值为1，2，3. 所以；； . 所以的分布列如下： X 1 2 3 P 所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $随机变量及其分布：超几何分布讲义 随机变量及其分布：超几何分布讲义 知识点解析 一、解题原理 1. 模型本质原理 总体分为两类元素（合格/不合格、正品/次品、男生/女生等），采用不放回抽取，每次抽取概率不恒定，不满足独立重复试验，服从超几何分布。 1. 核心公式原理 设：总体容量 ，其中一类特殊个体 个，抽取 个， 随机变量 为抽取的特殊个体数量，则： 1. 期望方差原理 1. 区分原理 不放回 超几何分布； 有放回/独立重复 二项分布。 二、解题思路 1. 判定分布类型 看清抽样方式：不放回抽样、总体两分，直接判定为超几何分布。 1. 确定核心参数 找准四个量：总体 、特殊个体数 、抽取个数 、变量取值 。 1. 确定随机变量取值 结合实际限制，写出 所有可取整数（注意上下限约束）。 1. 代入组合公式求概率 利用「特殊选 个 普通选 个 总体任选 个」计算各概率。 1. 列出分布列 依次计算每一个取值对应的概率，验证概率和为 。 1. 求期望与方差 直接套用超几何分布期望、方差公式快速求解。 例题分析 例1．（25-26高二下·河北沧州·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·河南南阳·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（25-26高二下·上海松江·期中）一口袋中有大小质地完全相同的黑球、白球共7个（白球不少于2个且不多于5个），从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望为，则口袋中白球的个数为______． 例4．（25-26高二下·上海奉贤·月考）一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球，现进行如下试验：逐个不放回地随机摸出3个球，把取到白球的个数记为，则它的期望为______. 例5．（25-26高二下·河南·期中）袋中装有除颜色外均相同的3个红球，5个白球，现从中任取3个球. (1)记3个球中红球的个数为，求的分布列及数学期望； (2)当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为白色的概率. 例6．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）为迎接世界读书日，某校开展了为期一年的“品经典书香，迎世界读书日”主题阅读活动．活动结束后，学校了解到每位学生至少阅读了一本经典名著，并统计了甲、乙两组各10名学生的经典名著阅读量（单位：本），统计结果记录如下： 甲组 1 2 6 8 10 11 12 12 17 21 乙组 1 2 4 11 12 14 16 17 20 (1)若甲组阅读量的平均值大于乙组阅读量的平均值，求表中的所有可能取值； (2)将甲、乙两组中阅读量超过15本的学生称为“阅读达人”．设，现从所有“阅读达人”里任取3人，求其中来自乙组的人数的分布列和数学期望． 变式训练 变式1．（25-26高二下·安徽滁州·期中）一个不透明的袋子中有3个黑球和3个白球，这6个小球除颜色外大小､质地完全相同.从中任意取出3个球，设为取出的黑球的个数，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·山东临沂·期中）某试验成功概率为，独立重复做6次，则成功次数不超过2次的概率为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·江苏南京·期中）学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 变式4．（25-26高二下·河南商丘·期中）端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为___________. 变式5．（25-26高二下·广东广州·期中）老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格，背出全部3篇可以获得一朵小红花.某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率； (3)若他能及格，那他获得小红花的概率是多少？ 变式6．（2026·重庆·模拟预测）某电商对旗下100名客服人员 “双十一”当天的订单处理量(单位：千件)进行统计，将所得数据按 分成4组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值及订单处理量的第75百分位数； (2)假设订单处理量在的客服中有2名女性，现从该区间的客服中随机抽取3人进行奖励，记为抽取的女性人数．求X的分布列和数学期望． 实战演练 1．（25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京·期末）一个盒子中装有4个白球，3个黑球，现从中一次取出3个球，则取出的黑球个数为（　　）时，其概率最大． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高三下·浙江杭州·月考）袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 4．（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 5．（25-26高二下·吉林长春·月考）近年来，全球数字化进程持续加速，人工智能（Artificial Intelligence，简称AI）已然成为科技变革的核心驱动力. 某地区随机调查了经常使用某AI工具的360名用户，统计他们的年龄，得到如下的统计表： 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 年龄 人数 30 150 90 60 30 (1)已知用分层随机抽样的方法，从上面360名用户中随机抽取了12人，现从这12人中随机抽取4人，记抽到第一组的人数为，第二组的人数为. 设，求的分布列； (2)已知该AI工具对某20个问题能准确答对其中的（，且）个，若从这20个问题中随机抽取10个对该工具提问，恰好答对3个问题的概率最大，求此时的取值. 6．（25-26高二下·浙江宁波·月考）某校为了了解本校高二学生每周课外阅读情况，以便有针对性提供阅读建议，学校随机抽查了高二年级的100名同学，依据获得的数据将时间按，，，，，分组，得到如下的频率分布直方图. (1)求的值，并估计该校高二年级每周课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若采用分层抽样的方法在，两组抽取6人，再从这6人中随机选取3人座谈，设选取的阅读时间在的人数为，求的分布列及数学期望. 2 学科网（北京）股份有限公司 $