随机变量及其分布：二项分布3种高频考点讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

随机变量及其分布：二项分布3种高频考点讲义 随机变量及其分布：二项分布3种高频考点讲义 考点目录 利用二项分布求分布列、数学期望与方差 建立二项分布模型解决实际问题 二项分布中的概率最值问题 考点一 利用二项分布求分布列、数学期望与方差 【知识点解析】 解题原理 1. 二项分布判定条件 满足n 次独立重复试验、每次概率 恒定、只有两种结果、相互独立，则 。 2. 核心公式原理 概率公式： · 期望： 方差： 3. 分布列本质：罗列所有可取 ，逐一计算对应概率，列表呈现。 解题思路 1. 判定模型：验证是否符合独立重复试验，确定 ； 1. 确定随机变量 的所有可能取值； 1. 代入二项概率公式，逐个计算对应概率； 1. 列出分布列，检验概率和为 ； 1. 直接套用公式，快速求数学期望、方差。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·北京西城·期中）重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（   ） A． B． C． D． 例2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______． 例4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知随机变量，则______ 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·河南濮阳·月考）已知随机变量.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二下·北京·期中）若离散型随机变量，则______，______. 变式4．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知随机变量，且，则__________. 考点二 建立二项分布模型解决实际问题 【知识点解析】 解题原理 1. 模型化原理 将生活实际（投篮、射击、产品抽检、有放回抽样、重复操作）抽象为独立重复试验； 1. 变量转化原理 设成功次数为随机变量，固定单次成功率 、试验总次数 ，转化为标准二项分布； 1. 利用二项概率、期望、方差，解决决策、估算、比较、实际决策问题。 解题思路 1. 阅读理解，剥离实际背景； 1. 提取关键量：试验总次数 、单次发生概率 ； 1. 定义随机变量，判定 ； 1. 根据题意，列式计算指定事件概率、期望； 1. 结合计算结果，进行方案选择、数据分析、实际作答。 【例题分析】 例1．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 例2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 例3．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．    例4．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 例5．（2025·江西赣州·模拟预测）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至，若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于，求实数的取值范围. 例6．（25-26高三下·河北邯郸·月考）已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响． (1)求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率； (2)设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列； (3)若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率． 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广东深圳·月考）甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 变式3．（25-26高二下·河北张家口·月考）已知兰溪每次投掷飞镖中靶的概率为0.2，若兰溪连续投掷飞镖次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖______次.（参考数据：） 变式4．（25-26高三上·吉林·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有__________． 变式5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 变式6．（25-26高二上·河南南阳·期末）某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响． (1)求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率； (2)若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望． 考点三 二项分布中的概率最值问题 【知识点解析】 解题原理 1. 二项分布概率 先增后减，存在唯一最大值； 1. 作差比大小原理 利用相邻两项概率作商： 递增，小于 1 递减； 1. 解不等式组： · 求出使概率最大的整数 。 解题思路 1. 写出二项相邻概率比值表达式； 1. 列出增减不等式，化简求解 范围； 1. 取范围内正整数，即为概率最大取值； 1. 代回公式，求出最大概率值。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 例2．（25-26高二下·北京丰台·月考）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则__________；函数取最大值时，__________. 例3．（2026·广东揭阳·二模）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 例4．（25-26高二下·浙江台州·期中）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； (2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 变式2．（2026·山西吕梁·模拟预测）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________． 变式3．（25-26高二下·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 变式4．（25-26高二下·浙江温州·期中）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $随机变量及其分布：二项分布3种高频考点讲义 随机变量及其分布：二项分布3种高频考点讲义 考点目录 利用二项分布求分布列、数学期望与方差 建立二项分布模型解决实际问题 二项分布中的概率最值问题 考点一 利用二项分布求分布列、数学期望与方差 【知识点解析】 解题原理 1. 二项分布判定条件 满足n 次独立重复试验、每次概率 恒定、只有两种结果、相互独立，则 。 2. 核心公式原理 概率公式： · 期望： 方差： 3. 分布列本质：罗列所有可取 ，逐一计算对应概率，列表呈现。 解题思路 1. 判定模型：验证是否符合独立重复试验，确定 ； 1. 确定随机变量 的所有可能取值； 1. 代入二项概率公式，逐个计算对应概率； 1. 列出分布列，检验概率和为 ； 1. 直接套用公式，快速求数学期望、方差。 【例题分析】 例1．（25-26高二下·北京西城·期中）重复进行10次某试验，每次试验的成功率都为p（），则其中前4次都未成功后6次都成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意，前4次都未成功后6次都成功的概率为. 例2．（24-25高二下·湖北武汉·期末）随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二项分布的概率公式求出的值，再根据正态分布的性质求出即可. 【详解】已知随机变量， 根据二项分布的概率公式可得， 则. 解得，. 已知，因为，且， 所以， 又因为， 所以. 故选：B 例3．（25-26高二下·上海松江·期中）已知，，，则______． 【答案】 【分析】根据二项分布的期望以及方差公式，结合方差的性质即可求解. 【详解】，故，所以, 故. 例4．（2026·湖北黄冈·模拟预测）已知随机变量，则______ 【答案】1 【分析】先根据二项分布的期望和方差求和，再求和可得答案. 【详解】因为，所以，， 所以，， 所以. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·浙江温州·期末）一个袋子中有完全相同的个红球，3个白球.若采取不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率是.现采取放回方式从中依次摸出3个球，求恰有两次抽出红球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据不放回摸球的概率可确定红球个数，再利用二项分布公式计算恰好两次摸到红球的概率即可. 【详解】根据题意，不放回方式从中随机摸出两个球，摸出的2个球都是红球的概率， 即，解得（舍去负根）， 有放回的摸球，每次摸到红球的概率为，白球的概率为， 所以3次摸球中，恰好有两次抽出红球的概率. 故选：A. 变式2．（25-26高二下·河南濮阳·月考）已知随机变量.若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二项分布的概率公式探讨的取值，再将等价为求解即得. 【详解】由，则， ， 且， 构造函数，其导函数为， 由于，，故函数在区间上单调递增； 当时，取最小值；当时，函数值为； 所以； 故选：B. 变式3．（25-26高二下·北京·期中）若离散型随机变量，则______，______. 【答案】 2 4 【详解】二项分布，期望，方差. 这里，. ，. 由方差性质， . 变式4．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知随机变量，且，则__________. 【答案】 【详解】因为随机变量，且，解得， 所以，故. 考点二 建立二项分布模型解决实际问题 【知识点解析】 解题原理 1. 模型化原理 将生活实际（投篮、射击、产品抽检、有放回抽样、重复操作）抽象为独立重复试验； 1. 变量转化原理 设成功次数为随机变量，固定单次成功率 、试验总次数 ，转化为标准二项分布； 1. 利用二项概率、期望、方差，解决决策、估算、比较、实际决策问题。 解题思路 1. 阅读理解，剥离实际背景； 1. 提取关键量：试验总次数 、单次发生概率 ； 1. 定义随机变量，判定 ； 1. 根据题意，列式计算指定事件概率、期望； 1. 结合计算结果，进行方案选择、数据分析、实际作答。 【例题分析】 例1．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 【答案】D 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 例2．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中每次与小木块碰撞后，向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析下落过程碰撞的次数和向左向右落下的概率，分别分析落入③号球槽和⑥号球槽的情况，分析求解，即可得答案. 【详解】下落过程中，需要经过6次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为， 落入③号球槽需向左4次，向右2次，则, 落入⑥号球槽需向左1次，向右5次，则， 则小球最终落入③号球槽和⑥号球槽的概率之和为. 故选：B 例3．（24-25高二下·福建泉州·期末）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则______．    【答案】 【分析】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【详解】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 例4．（2025·陕西西安·二模）排球比赛实行“五局三胜制”（当一队赢得三场胜利时，该队获胜，比赛结束），根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲、乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球比赛中甲队获胜的概率为________． 【答案】 【分析】对命题等价转化，再使用排列组合知识即可． 【详解】命题可以转化为：即使某一队获胜三场，也照常进行后续的场次，直至五场全部结束，最后获胜场次数多的队获胜。二者等效（区别仅在于胜负已定后，后续场次是否真正进行）. 此时，甲队获胜的概率即为甲队获胜场数不小于的概率，即． 故答案为：． 例5．（2025·江西赣州·模拟预测）某科技企业研发的新一代人形机器人在量产前进行性能测试，其中行走稳定性是核心指标，测试分为平地行走和斜坡行走两个项目，规定：两个项目均达标，则机器人性能合格；否则机器人性能不合格.已知该型号机器人平地行走达标的概率为，斜坡行走达标的概率为，且两个项目是否达标相互独立. (1)随机抽取1台该机器人进行测试，求这台机器人性能合格的概率； (2)随机抽取3台该机器人进行独立测试，设表示这3台机器人中性能合格的台数，求随机变量的分布列和数学期望； (3)该企业对机器人进行技术升级后，重新测试，升级后每台机器人性能合格的概率提升至，若随机抽取4台机器人测试，至少有1台性能合格的概率不低于，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 0 1 2 3 期望 (3) 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式计算求解； （2）由题意可得服从二项分布，根据二项分布求解分布列和数学期望； （3）根据二项分布的概率计算公式结合题意列不等式计算求解. 【详解】（1）设事件：机器人平地行走达标，；设事件：机器人斜坡行走达标，； 由题意，事件与相互独立，则性能合格为事件. 根据独立事件概率乘法公式：. （2）由题意，服从二项分布：的可能取值为. 根据二项分布概率公式，； 的分布列为： 0 1 2 3 的数学期望. （3）设升级后，4台机器人中性能合格的台数为，则. “至少有1台合格”的对立事件为“4台均不合格”，其概率为. 由题意：， 整理得：，又，解得：， 故实数的取值范围为. 例6．（25-26高三下·河北邯郸·月考）已知A、B、C三名同学在体育课上进行投篮比赛，每人进行两次投篮，三名同学第一次投篮命中的概率均为，在第一次投篮命中的条件下第二次投篮命中的概率依次为，，，三名同学投篮互不影响． (1)求三名同学至少有两名同学在第一轮投中的概率； (2)设三名同学中两次都投进的人数为随机变量X，求X的分布列； (3)若三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，求该同学是A的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）第一轮命中概率相同且独立，用二项分布（两人命中加三人命中）即可； （2）先由条件概率算出每人两次全中的概率，三名同学投篮互不影响，按独立事件乘法求各概率即可； （3）条件概率，分子为“只有两次全中”的概率，分母为“恰有一人两次全中”的总概率，两者相除即可. 【详解】（1）设三名同学第一次投篮命中分别为事件,,,设至少两人命中为事件. 则,未命中的概率为，利用二项分布计算， （2）两次都投进的概率为，两次都投进的概率为，两次都投进的概率为. 可取0，1，2，3，因为三名同学投篮互不影响，所以， ， ， ， . 所以X的分布列为 （3）由第2问可知恰有一人两次都命中的概率为，其中恰有两次都命中的概率为，所以三名同学完成投篮后，恰有一名同学投进两次，该同学是的概率为. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·广东深圳·月考）甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，甲队与乙队的实力之比为3:2，比赛时均能正常发挥技术水平，则在5局3胜制中，甲打完4局才胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜，再根据二项分布公式求解即可. 【详解】甲打完4局才胜，说明在前三局中甲胜两局，且在第4局中获胜， 其概率为． 故选：A 变式2．（25-26高二下·河南·期中）高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的，如图，每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子，上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间，从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球，白色圆玻璃球向下降落的过程中，首先碰到最上面的钉子，碰到钉子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下，于是又碰到下一层钉子，如此继续下去，直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球，记白色圆玻璃球落入格子的编号为，则随机变量的期望与方差分别为（    ） A． B．2，1 C．3，1 D． 【答案】C 【分析】利用二项分布的概率公式及离散型随机变量的期望公式、方差公式一一计算即可. 【详解】白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均为， 则向左的次数服从二项分布. 因为，， 所以，. 故选：C 变式3．（25-26高二下·河北张家口·月考）已知兰溪每次投掷飞镖中靶的概率为0.2，若兰溪连续投掷飞镖次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过90%，至少需要投掷飞镖______次.（参考数据：） 【答案】11 【分析】根据题意题意结合二项分布可得，再利用对数运算求解. 【详解】若投掷飞镖次中靶次，则，且， 所以，即， 两边取对数得，则次，， 所以至少需要投掷飞镖11次. 故答案为：11. 变式4．（25-26高三上·吉林·开学考试）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，，6，用表示小球落入格子的号码，假定底部6个格子足够长，投入160粒小球，则落入3号格的小球大约有__________． 【答案】 【分析】设，由题意得，求出时的概率，由此能求出落入号格的小球粒数． 【详解】解：设 “向右下落”，则 “向左下落”，且， 设，小球下落过程中共碰撞次，， ，，1，2，3，4，， ， 故投入粒小球，则落入号格的小球大约有粒． 故答案为：． 变式5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）为落实中央经济工作会议“坚持内需主导，建设强大国内市场”的精神，某市大力推行某项消费补贴政策.政策旨在直接激发消费，并希望通过了解政策的家庭产生“带动效应”，形成消费涟漪，进一步扩大内需.政策规定每个家庭在2026年一年内有两次机会领取补贴，每次消费5000元以上可以领取500元补贴.通过调查可知，该市有的家庭了解政策；在所有了解政策的家庭中，有的家庭因此产生了消费意向；在不了解政策的家庭中，也有的家庭因市场氛围等因素产生了消费意向.调研发现，每个了解政策的家庭，其每次发生消费行为的概率为，且可能带动另一个不了解政策的家庭进行消费，受带动的家庭每次发生消费行为的概率为． (1)求在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下，该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率； (2)求一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴的分布列； (3)若政策规定一个家庭参与消费且拿到补贴，并带动另外一个不了解政策家庭进行消费且拿到补贴，则可以领到额外消费奖励，其奖励如下：两个家庭合计拿到1000元补贴，带动家庭可以拿到100元奖励；两个家庭合计拿到1500元补贴，带动家庭可以拿到200元奖励；两个家庭合计拿到2000元补贴，带动家庭可以拿到300元奖励，试估计该带动家庭可以拿到多少奖励（单位：元）. 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3) 【分析】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭，事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭，根据题意求出，，利用条件概率的公式求出，从而得解. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为，写出的可能取值，分别求出的每一个可能取值的概率，根据其概率求出的分布列. （3）分别求出带动家庭可以拿到100元，200元，300元的奖励的概率，从而得到该带动家庭可以拿到的奖励. 【详解】（1）设事件A为抽取到的是一个有消费意向的家庭， 事件B为该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的家庭， ，， 所以， 所以在随机抽取到一个有消费意向家庭的条件下， 该家庭是“因了解政策而产生消费意向”的概率为. （2）设一个了解政策的家庭与受其带动的家庭合计拿到的补贴为， 的可能取值为0，500，1000，1500，2000， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 500 1000 1500 2000 （3）带动家庭可以拿到100元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到200元奖励的概率为， 带动家庭可以拿到300元奖励的概率为， 该带动家庭可以拿到的奖励为 （元）. 变式6．（25-26高二上·河南南阳·期末）某航天机构执行行星探测任务，通过发射探测器来完成“地形勘测“和”大气成分分析“两项核心任务．已知每个某型号的探测器成功完成“地形勘测”任务的概率为0.8（受行星表面地形复杂度的影响），成功完成“大气成分分析”任务的概率为0.5（受大气浓度稳定性的影响），两项任务的完成情况相互独立，互不影响． (1)求该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率； (2)若同时发射2个该型号的探测器，记为这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数，求的分布列与数学期望． 【答案】(1)0.9 (2)分布列见解析，1.8 【分析】（1）利用对立事件概率和为1的性质求解至少完成一项核心任务的概率即可； （2）由（1）可得2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，再根据二项分布的性质求解分布列和期望. 【详解】（1）该型号的某探测器至少完成一项核心任务的概率． （2）由（1）得，这2个探测器中至少完成一项核心任务的个数服从二项分布，则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 0.01 0.18 0.81 考点三 二项分布中的概率最值问题 【知识点解析】 解题原理 1. 二项分布概率 先增后减，存在唯一最大值； 1. 作差比大小原理 利用相邻两项概率作商： 递增，小于 1 递减； 1. 解不等式组： · 求出使概率最大的整数 。 解题思路 1. 写出二项相邻概率比值表达式； 1. 列出增减不等式，化简求解 范围； 1. 取范围内正整数，即为概率最大取值； 1. 代回公式，求出最大概率值。 【例题分析】 例1．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）已知一篮球爱好者每次投篮投进的概率均为，若该篮球爱好者进行投篮训练20次，则该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为（   ） A．12或13 B．13 C．13或14 D．14 【答案】C 【分析】根据二项分布得到不等式组，求出答案. 【详解】设投进次数为，则， 故，， 由，， 则，， 解得， 又，故或14， 该篮球爱好者投篮最有可能投进的次数为13或14 例2．（25-26高二下·北京丰台·月考）投掷一枚质地并不均匀的硬币，结果只有正面和反面两种情况，记每次投掷结果是正面的概率为p（）.现在连续投掷该枚硬币10次，设这10次的结果恰有2次是正面的概率为，则__________；函数取最大值时，__________. 【答案】 【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数在相应区间上的符号，确定其单调性，从而得到其最大值点. 【详解】10次的结果恰有2次是正面的概率为. 因此. 令，得. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取最大值. 故答案为：；. 例3．（2026·广东揭阳·二模）某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. (1)求中奖次数X的分布列和数学期望； (2)求第二次中奖的概率； (3)已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 . (2) (3)中奖2次的人数为时的概率最大. 【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望； （2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率； （3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大. 【详解】（1）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 所以的期望为. （2）设为“第二次中奖”， 则. （3）设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为的概率最大. 例4．（25-26高二下·浙江台州·期中）某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. (1)现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； (2)将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】(1)分布列见解析， (2)或40或41 【分析】（1）根据，求出10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数，得到的取值，分别求出每个的取值的概率，列出分布列，根据分布列求出期望和方差. （2）由已知，女生有100人，求出喜欢春节联欢晚会的女生人数，由，求出喜欢春节联欢晚会的人数，由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，求出他喜欢春节联欢晚会的概率，从而得到随机变量，求出，由在时取得最大值，得到，列出关于的不等式组，计算得到的值. 【详解】（1）由， 所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. 所以的方差为. （2）由已知，女生有100人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为60人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为90人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， （） 因为在时取得最大值，所以， 令， 解得， 因为，所以或40或41. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·四川广元·期末）若随机变量X服从二项分布，则取得最大值时，（   ） A．2或3 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】利用计算即可. 【详解】由题可知：， 所以化简得到，又，所以2或3. 故选：A 变式2．（2026·山西吕梁·模拟预测）在一次新兵射击能力检测中，每人都可打5枪，只要击中靶标就停止射击，合格通过；5次全不中，则不合格．新兵A参加射击能力检测，假设他每次射击相互独立，且击中靶标的概率均为，若当时，他至少射击4次合格通过的概率最大，则___________． 【答案】/ 【分析】由题设至少射击4次合格通过，即第4或5枪击中靶标，可得，利用导数研究函数在上的最值，根据最值成立的条件即得. 【详解】至少射击4次合格通过的概率为， 所以，令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减， 当时得最大值，故． 故答案为： 变式3．（25-26高二下·广西柳州·期中）2025年1月下旬，DeepSeek的R1模型发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长（单位：分钟），得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于60分钟的用户称为“忠实粉丝”. (1)求的值； (2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在的用户中随机抽取7人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记为2人中忠实粉丝的人数，求的分布列和期望. (3)用样本的频率估计概率，从该产品所有用户中抽取5人，为忠实粉丝的人数，记时对应的概率为，则为多少时最大？ 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解； （2）根据超几何分布的概率求解分布列，即可求解； （3）根据二项分布以及组合数的计算即可求解. 【详解】（1）由，解得. （2）由频率分布直方图可知，[40,60）与[80,100）的用户数之比为3：4， 所以用分层抽样抽取的7人中，有4人是忠实粉丝，从7人中任取2人，取0，1，2， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以 （3）用样本的频率估计概率，从所有用户中任取1人，他为忠实粉丝的概率为 所以 ， 解得：，又，故时概率最大 变式4．（25-26高二下·浙江温州·期中）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)或100 【分析】(1)利用全概率公式计算即可求解； (2) 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，可得，利用二项分布的分布列以及期望公式求解即可； (3)由题可得，利用，解不等式即可求解. 【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一零件是合格品”， 则，． 由， 得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． （2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 ． （3）从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为， 则， 由，解得． 所以当或100时，取得最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $