二项式定理8种高频考点讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学二项式定理复习讲义通过表格呈现8大高频考点目录，以“知识点解析+例题分析+变式训练”的结构系统梳理知识，每个考点分步骤解析解题思路，如求指定项系数的“展开-求k-代入”三步法，清晰呈现重难点及内在逻辑。 讲义亮点在于分层练习设计，如“两个二项式乘积展开式的系数问题”通过分类讨论培养数学思维，“实际应用问题”结合求余数、近似计算等情境发展应用意识。例题涵盖选择、填空、解答题，变式训练梯度分明，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

二项式定理8种高频考点讲义 二项式定理8种高频考点讲义 考点目录 求指定项的系数 两个二项式乘积展开式的系数问题 三项展开式的系数问题 二项展开式的系数和问题 求系数最大（小）的项 由二项展开式的系数或系数和求参数 二项式定理的实际应用问题 杨辉三角 考点一 求指定项的系数 【知识点解析】 型问题的解题思路： 步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式. 步骤2：令展开式次数等于题目所求次数，求. 步骤3：将代入展开式得系数. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·内蒙古鄂尔多斯·月考）的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·山西忻州·月考）的展开式中第三项的系数为（   ） A．12 B．60 C．160 D．240 例3．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 例4．（2026·广西北海·一模）在的展开式中，x的系数是______． 【变式训练】 变式1．（2026·湖北荆州·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．60 B．120 C．160 D．240 变式2．（2025·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式3．（25-26高二下·湖南株洲·月考）展开式中的系数为______. 变式4．（25-26高三下·北京·开学考试）二项式 的展开式中常数项是_____． 考点二 两个二项式乘积展开式的系数问题 【知识点解析】 1.型问题的解题思路： 步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式. 步骤2：分类讨论，令展开式与的次数分别等于题目所求次数，分别求. 步骤3：分别将代入展开式与得系数. 2.型问题的解题思路： 步骤1：利用二项式定理对展开得，对展开得； 步骤2：分类讨论，将题目所求的项的次数分配给和，分别求和； 步骤3：分别将和代入和得系数. 【例题分析】 例1．（25-26高三下·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·福建厦门·月考）的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 例3．（25-26高二下·广东广州·月考）的展开式中的系数是________． 例4．（25-26高三上·河南信阳·期末）在的展开式中，的系数为____. 【变式训练】 变式1．（2026·广东·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 变式2．（2026·山西晋城·一模）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．24 变式3．（25-26高三上·河北沧州·月考）的展开式中的系数为_____． 变式4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 考点三 三项展开式的系数问题 【知识点解析】 型问题的解题思路： 思路一：利用二项式定理展开，令展开式次数等于题目所求次数，求与，代入展开式得系数. 思路二：将题目所求次数依次分配给、、，再利用二项式定理展开. 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 例2．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 例3．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中项的系数是______． 例4．（25-26高二下·江苏徐州·月考）的展开式中，的系数为______ 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏宿迁·月考）展开式中含项的系数为（    ） A．240 B．242 C．246 D．244 变式2．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 变式3．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 变式4．（25-26高三上·上海·月考）的展开式中常数项是________．（用数值作答） 考点四 二项展开式的系数和问题 【知识点解析】 已知 ①令，得； ②令，得； ③令，得； ④令，得； ⑤令，得； ⑥令，得； ⑦ 令，. 【例题分析】 例1．（2026·陕西咸阳·模拟预测·多选）设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 例3．（25-26高二下·河北保定·月考·多选）已知 则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式中含项的系数为 C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·河北沧州·月考·多选）若，则（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二下·福建厦门·月考·多选）已知，则（    ） A． B． C． D．除以8所得的余数是7 变式3．（25-26高三上·湖北孝感·月考·多选）若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．被16除的余数是15 考点五 求系数最大（小）的项 【知识点解析】 考向一：若求二项式系数的最大值，可利用二项式定理的性质进行解决. 考向二：若求系数的最大值，可先写出系数的表达式，利用作差法或作商法求表达式的单调性，进而得到系数的最大值. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 例2．（24-25高二下·广东深圳·月考）的展开式中系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 例3．（25-26高三下·江西·月考）的二项展开式中，系数最大的项为__________. 例4．（25-26高二上·上海浦东新·期末）的二项展开式中系数最大的项是__________. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 变式2．（24-25高二下·江苏泰州·月考）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 变式4．（24-25高三下·浙江绍兴·月考）写出在的展开式中系数最大的项________． 考点六 由二项展开式的系数或系数和求参数 【知识点解析】 ①若已知所有二项式系数之和为，则令，此时； ②若已知所有奇（偶）次项二项式系数之和为，则令，此时； ③若已知所有系数之和为，则，求解得； ④若已知第项和第项和二项式系数相等，则，此时； ⑤若已知只有第项的二项式系数最大，则最大，此时前后各有项，； ⑥若已知第项的二项式系数最大，则需分为只有第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大三种情况分类讨论； ⑦，. 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆渝中·月考）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（   ） A．60 B．36 C．729 D．6 例2．（25-26高二下·湖南长沙·月考）的展开式中含的项的系数为，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·天津·月考）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为______. 例4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知二项式中各项系数之和为，则________. 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·北京海淀·期末）在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式2．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 变式3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为_________ 变式4．（25-26高二下·福建福州·月考）已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为________． 考点七 二项式定理的实际应用问题 【知识点解析】 一、 求余数问题 适用：求除以的余数（为正整数，为正整数） 核心步骤： 1. 凑整拆分：将底数拆为（为整数，，为余数核心），使能被整除； 2. 二项展开：将按二项式定理展开，展开式中除最后一项（仅含）外，其余项均含因子，能被整除； 3. 求余化简：只需计算最后一项除以的余数，即为的余数； 若仍大于，重复拆分再求余。 关键：拆分时优先凑或（展开后最后一项为，求余最简）。 二、 近似计算问题 适用：求（远小于1）的近似值，或（远小于，可化为） 核心原理：时，为微小项，可忽略，仅保留展开式前2~3项即可满足精度。 核心步骤： 1. 凑标准型：将原式化为（），若为，提取得（令，）； 2. 有限展开：按二项式定理展开，仅保留前2项（一次近似）或前3项（二次近似）： - 一次近似（基础精度）：； - 二次近似（更高精度）：； 3. 计算化简：代入数值计算，得到近似值。 关键：仅当远小于1时可用，越小，忽略高次项的误差越小；按需选择一次/二次近似。 【例题分析】 例1．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 例2．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 例3．（2026·重庆万州·模拟预测）已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 例4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）． 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·广西桂林·月考）若正整数a，b满足，其中，则b的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 变式2．（24-25高二上·江西萍乡·期末）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 变式3．（24-25高二下·湖南岳阳·月考）设，且，若能被13整除，则等于______． 变式4．（24-25高二下·广东广州·期中）除以15的余数是________. 考点八 杨辉三角 【例题分析】 例1．（2026·湖北黄石·一模·多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 例2．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试·多选）定义有行的“杨辉三角”为阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（   ） A．记第行中从左到右的第个数为，则； B．第行所有数的和是 C．第行共有个数 D．8阶“杨辉三角”的所有数的和是255 例3．（25-26高二下·吉林四平·月考）杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年左右，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的部分内容． (1)求图1中第31行中的所有数字之和被9除所得余数； (2)观察图1，确定第63行的第k列（从左往右）与第64行的第列（从左往右）的关系式，并求的值；（用整数指数幂表示结果） (3)把杨辉三角中的每一个数都换成，得到图2所示的莱布尼茨三角，证明：，，． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末·多选）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法.杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约11世纪上半叶)曾用过.由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪上半叶.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(B．Pascal，1623~1662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.观察杨辉三角中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第行的奇数项和为 B． C． D． 变式2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 变式3．（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二项式定理8种高频考点讲义 二项式定理8种高频考点讲义 考点目录 求指定项的系数 两个二项式乘积展开式的系数问题 三项展开式的系数问题 二项展开式的系数和问题 求系数最大（小）的项 由二项展开式的系数或系数和求参数 二项式定理的实际应用问题 杨辉三角 考点一 求指定项的系数 【知识点解析】 型问题的解题思路： 步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式. 步骤2：令展开式次数等于题目所求次数，求. 步骤3：将代入展开式得系数. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·内蒙古鄂尔多斯·月考）的展开式中常数项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 故展开式中的常数项为. 例2．（25-26高二下·山西忻州·月考）的展开式中第三项的系数为（   ） A．12 B．60 C．160 D．240 【答案】B 【详解】的展开式通项为， 则第三项的系数为. 例3．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）的展开式中所有有理项的系数之和为________． 【答案】 【详解】由二项式知，其展开式通项为， 所以，当时对应项为有理项，故所有有理项的系数之和为. 例4．（2026·广西北海·一模）在的展开式中，x的系数是______． 【答案】7 【详解】由题意知的通项为， 令，则，即x的系数是. 【变式训练】 变式1．（2026·湖北荆州·一模）的展开式中的常数项为（    ） A．60 B．120 C．160 D．240 【答案】D 【详解】共有个因式，从个因式中选择，在剩下的个因式中选择， 则的展开式中的常数项为. 变式2．（2025·陕西延安·模拟预测）在二项式的展开式中系数为有理数的项的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【详解】通项公式为， 易知当或或或时， 即或或或时，可得有理数项， 所以有理数的项的个数是4， 故选：A 变式3．（25-26高二下·湖南株洲·月考）展开式中的系数为______. 【答案】 【详解】由二项式展开式的通项公式为：， 令，所以展开式中的系数为：. 变式4．（25-26高三下·北京·开学考试）二项式 的展开式中常数项是_____． 【答案】7 【详解】由题知，展开式的通项公式为：， 令，则， 于是常数项为. 考点二 两个二项式乘积展开式的系数问题 【知识点解析】 1.型问题的解题思路： 步骤1：利用二项式定理展开，化简得展开式. 步骤2：分类讨论，令展开式与的次数分别等于题目所求次数，分别求. 步骤3：分别将代入展开式与得系数. 2.型问题的解题思路： 步骤1：利用二项式定理对展开得，对展开得； 步骤2：分类讨论，将题目所求的项的次数分配给和，分别求和； 步骤3：分别将和代入和得系数. 【例题分析】 例1．（25-26高三下·山东泰安·月考）在的展开式中的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在的展开式中，第项为，其中， 含的项为， 含的项为， 结合， 可得的展开式中含的项为， 在的展开式中的系数为. 例2．（25-26高二下·福建厦门·月考）的展开式中的系数为（   ） A．100 B．60 C．40 D．20 【答案】B 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 例3．（25-26高二下·广东广州·月考）的展开式中的系数是________． 【答案】-3 【详解】法一：（双通项法）的展开式的通项为，的展开式的通项为， 则的展开式的通项为，其中，．令， 得，于是的展开式中的系数等于. 法二：， 于是的展开式中的系数为． 故答案为：-3. 例4．（25-26高三上·河南信阳·期末）在的展开式中，的系数为____. 【答案】 【详解】依题意可知，展开式中含的项为，含的项为， 因此的展开式中含的项为， 所以的系数为． 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（2026·广东·模拟预测）在的展开式中，的系数为（    ）． A．120 B．80 C．40 D． 【答案】D 【详解】根据二项式定理，展开式的通项公式为： . 令，可得，此时与相乘可得的系数为-80； 令，可得，此时与相乘可得的系数为40； 所以的系数为. 变式2．（2026·山西晋城·一模）的展开式中的系数为（   ） A． B． C．20 D．24 【答案】D 【详解】 展开式中的系数分别为， 而展开式中的系数分别为， 所以原展开式中的系数为． 变式3．（25-26高三上·河北沧州·月考）的展开式中的系数为_____． 【答案】8 【详解】的展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为8． 故答案为：8 变式4．（25-26高三上·上海杨浦·期末）在的展开式中，项的系数是______.（用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得的展开式的通项为， 而， 令，解得，不符合题意；令，解得， 所以含的项为， 所以展开式中含的项的系数为. 故答案为：. 考点三 三项展开式的系数问题 【知识点解析】 型问题的解题思路： 思路一：利用二项式定理展开，令展开式次数等于题目所求次数，求与，代入展开式得系数. 思路二：将题目所求次数依次分配给、、，再利用二项式定理展开. 【例题分析】 例1．（2026·黑龙江双鸭山·模拟预测）展开式中的系数为（   ） A．68 B．－80 C．－68 D．80 【答案】C 【详解】表示5个相乘，每个在相乘时均有三种选择， 选或或． 设选的有个，选的有个，那么选的有个， 则有，解得或或， 即选5个；或者选1个、3个、1个；或者选2个、1个、2个； 因此含项的系数为. 例2．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中的常数项为（    ） A．61 B．29 C．309 D．308 【答案】C 【详解】的展开式中的常数项为． 例3．（2026·河南郑州·模拟预测）的展开式中项的系数是______． 【答案】60 【详解】将看作个因式相乘， 则得到需从个因式中先选择个因式取，有种不同的取法； 再从剩余个因式中选择个因式取，有种不同的取法， 最后从剩下的因式中取，有种不同的取法， 根据分步乘法计数原理，可得的系数为， 故答案为：. 例4．（25-26高二下·江苏徐州·月考）的展开式中，的系数为______ 【答案】 【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取， 即可得出含的项， 则的系数为， 故的系数为. 故答案为：. 【变式训练】 变式1．（25-26高二下·江苏宿迁·月考）展开式中含项的系数为（    ） A．240 B．242 C．246 D．244 【答案】A 【详解】， 两个二项式相乘，含的项由以下两种情况组合得到： 中的常数项乘以中的一次项，其系数为， 中的一次项乘以中的常数项，其系数为， 综上，展开式中含x项的系数为. 变式2．（24-25高三上·贵州·月考）的展开式中的系数为（    ） A．30 B． C．60 D． 【答案】D 【详解】展开式的通项为， 则含的项为，其中的展开式的通项为， 令，得，所以展开式中的系数为. 故选：D. 变式3．（25-26高三上·辽宁沈阳·期中）的展开式中，的系数为______.（用数值作答） 【答案】 【详解】由于表示5个因式的乘积， 故其中有2个因式取，2个因式取，剩余的一个因式取，可得含的项， 故展开式中含的项为，其系数为. 故答案为：． 变式4．（25-26高三上·上海·月考）的展开式中常数项是________．（用数值作答） 【答案】924 【详解】的展开式中常数项是. 故答案为：． 考点四 二项展开式的系数和问题 【知识点解析】 已知 ①令，得； ②令，得； ③令，得； ④令，得； ⑤令，得； ⑥令，得； ⑦ 令，. 【例题分析】 例1．（2026·陕西咸阳·模拟预测·多选）设，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】令，得，故A正确； 的展开式中，， ，， ，故B正确； 令，得，令，得， ， 又， ，故C错误，D正确． 例2．（25-26高二上·江苏常州·期末·多选）已知，且第5项与第8项的二项式系数相等，则（    ） A． B．展开式的二项式系数和为 C．展开式的各项系数和为 D． 【答案】AD 【详解】对于A：由题意可得，则，故A正确；对于B：因为，所以展开式的二项式系数和为，故B不正确； 对于C：令，则展开式的各项系数和为，所以C不正确； 对于D：令，得，令，得，所以，故D正确． 例3．（25-26高二下·河北保定·月考·多选）已知 则下列结论正确的是（    ） A． B．展开式中含项的系数为 C． D． 【答案】AC 【详解】已知，令， 则，即，选项A正确； 展开式的通项公式为，（其中）， 要求的系数，令，解得， 当时，， 所以展开式中含项的系数为，选项B错误； 令，可得， 即①， 令，可得， 即②． ①＋②得：， 则，选项C正确； 对两边求导， 可得， 令，则， 即，又因为，所以 ，选项D错误. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·河北沧州·月考·多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】令，可得，故A错误； 而其展开式的通项公式为， 令，解得，所以,故B正确； 令，可得， 令，可得， 两式相加可得，故C正确； 两式相减可得，故D正确； 变式2．（25-26高二下·福建厦门·月考·多选）已知，则（    ） A． B． C． D．除以8所得的余数是7 【答案】BCD 【详解】A：二项式的通项公式为， ，所以本选项不成立； B：在中， 令，得， 令，得， 两式相加，得 ，所以本选项成立； C：对等式两边同时求导，得 ， 令，得，所以本选项成立； D： ， 所以除以8所得的余数是7，因此本选项说法正确. 变式3．（25-26高三上·湖北孝感·月考·多选）若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D．被16除的余数是15 【答案】BC 【详解】选项A：已知， 令，可得，即，故错误. 选项B：展开式的通项为， 当为偶数时，； 当为奇数时，， 所以， 令，则， 则，故B正确. 选项C：因为， 故， 又，所以，故C正确； 选项D：， 根据二项式定理展开可得： ， 所以 则被16除的余数是1，故D错误. 故选：BC. 考点五 求系数最大（小）的项 【知识点解析】 考向一：若求二项式系数的最大值，可利用二项式定理的性质进行解决. 考向二：若求系数的最大值，可先写出系数的表达式，利用作差法或作商法求表达式的单调性，进而得到系数的最大值. 【例题分析】 例1．（25-26高二下·吉林四平·月考）的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（    ） A．9项 B．10项 C．20项 D．21项 【答案】B 【详解】因为展开式中仅有第30项的二项式系数最大， 所以，，， 所以当为的整数倍时，为有理项， 所以的取值依次为，共项． 例2．（24-25高二下·广东深圳·月考）的展开式中系数最大的项为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】的展开式通项为：， 设第项的系数最大，则，解得：， 又，或， 的展开式系数最大的项为和，即和. 故选：C. 例3．（25-26高三下·江西·月考）的二项展开式中，系数最大的项为__________. 【答案】 【详解】的二项展开式的通项公式为：， 各项的系数即为各项的二项式系数， 因为，所以二项式系数的最大值为，是第6项的二项式系数， 所以系数最大的项为第项. 例4．（25-26高二上·上海浦东新·期末）的二项展开式中系数最大的项是__________. 【答案】或 【详解】二项式展开式的通项为（且）， 设展开式第项的系数最大， 则，即，解得， 又，或，展开式中系数最大的项为或. 故答案为：或. 【变式训练】 变式1．（24-25高二下·江苏南通·月考）在的二项展开式中，系数最大的项是（    ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第5项和第6项 【答案】B 【详解】的通项公式为, 根据二项式系数的性质可知，第5项和第6项的二项式系数最大， 第6项时，展开式的系数为负，因此第5项，展开式系数最大 故选：B 变式2．（24-25高二下·江苏泰州·月考）已知的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以， 所以展开式的通项公式为，要使展开式中系数的最小值，则为奇数，取值为1，3，5，7，所以当或5时，系数最小，则展开式中系数的最小值为， 故选：C 变式3．（25-26高二上·上海·期末）已知 的展开式中只有第6项系数最大，则展开式中的常数项是_______ . 【答案】210 【详解】已知 的展开式中只有第6项系数最大，所以，解得. 通项公式为： . 令，则，所以常数项为. 故答案为：210. 变式4．（24-25高三下·浙江绍兴·月考）写出在的展开式中系数最大的项________． 【答案】 【详解】二项式的通项为：， 展开式的系数为， 当为奇数时，系数为负数，当为偶数时，系数为正数， 展开式中系数最大的项出现在中， 时，； 时，； 时，； 时，； 时，； 当时系数最大，即． 故答案为：． 考点六 由二项展开式的系数或系数和求参数 【知识点解析】 ①若已知所有二项式系数之和为，则令，此时； ②若已知所有奇（偶）次项二项式系数之和为，则令，此时； ③若已知所有系数之和为，则，求解得； ④若已知第项和第项和二项式系数相等，则，此时； ⑤若已知只有第项的二项式系数最大，则最大，此时前后各有项，； ⑥若已知第项的二项式系数最大，则需分为只有第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大、第项和第项的二项式系数最大三种情况分类讨论； ⑦，. 【例题分析】 例1．（25-26高三下·重庆渝中·月考）在的二项展开式中，若常数项为240，则项的系数为（   ） A．60 B．36 C．729 D．6 【答案】A 【详解】展开式的通项公式为， 令，则， 当时，，， 当时，，，所以， 令，则，所以. 例2．（25-26高二下·湖南长沙·月考）的展开式中含的项的系数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】展开式的通项为， 由题可知，，整理得， 解得舍去，所以. 例3．（25-26高二下·天津·月考）已知的二项展开式中各项系数和为，则展开式中常数项的值为______. 【答案】 【详解】的二项展开式中各项系数和为，即，． 设的二项展开式的通项为， 令，得，故展开式中常数项的值为． 故答案为：． 例4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知二项式中各项系数之和为，则________. 【答案】或 【详解】因为各项系数之和为，所以，解得或， 的展开式中含的项为，所以， 所以，当时，，当时，. 故答案为：或 【变式训练】 变式1．（25-26高三上·北京海淀·期末）在的展开式中存在常数项，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【详解】二项式的通项公式为：， 化简得， 要存在常数项，需满足的指数为0，即， 因为，且，所以必须是的正整数倍. 取时，. 故选：A 变式2．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知的展开式中第3项与第5项的系数相等，则奇数项的二项式系数之和为（    ） A．8 B．16 C．32 D．64 【答案】C 【详解】因为的展开式通项为，所以展开式中各项的系数等于相应的二项式系数. 由题可知，，由组合数性质得. 所以奇数项的二项式系数之和为. 故选：C. 变式3．（25-26高二上·辽宁朝阳·期末）已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为_________ 【答案】20 【详解】令得，解得， 二项式的展开式的通项公式为，且， 所以当时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为． 故答案为：20 变式4．（25-26高二下·福建福州·月考）已知的展开式的二项式系数和为64，各项系数和为729，则其展开式的常数项为________． 【答案】240或3840 【详解】由的展开式的二项式系数和为64可得， ，解得， 又的展开式各项系数和为729， 令，得， 解得或. 的展开式的通项为， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 当时，， 当时，. 故答案为：240或3840. 考点七 二项式定理的实际应用问题 【知识点解析】 一、 求余数问题 适用：求除以的余数（为正整数，为正整数） 核心步骤： 1. 凑整拆分：将底数拆为（为整数，，为余数核心），使能被整除； 2. 二项展开：将按二项式定理展开，展开式中除最后一项（仅含）外，其余项均含因子，能被整除； 3. 求余化简：只需计算最后一项除以的余数，即为的余数； 若仍大于，重复拆分再求余。 关键：拆分时优先凑或（展开后最后一项为，求余最简）。 二、 近似计算问题 适用：求（远小于1）的近似值，或（远小于，可化为） 核心原理：时，为微小项，可忽略，仅保留展开式前2~3项即可满足精度。 核心步骤： 1. 凑标准型：将原式化为（），若为，提取得（令，）； 2. 有限展开：按二项式定理展开，仅保留前2项（一次近似）或前3项（二次近似）： - 一次近似（基础精度）：； - 二次近似（更高精度）：； 3. 计算化简：代入数值计算，得到近似值。 关键：仅当远小于1时可用，越小，忽略高次项的误差越小；按需选择一次/二次近似。 【例题分析】 例1．（2026·河南南阳·一模）今天是星期一，再过天是星期几（    ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】D 【详解】因为， 由能被整除，则上式前项都能被整除，只需看最后一项除以的余数， 由， 则除以的余数为， 所以今天是星期一，再过天，是星期五. 例2．（25-26高三下·浙江杭州·月考）实数的近似值（精确到0.001）是（    ） A．31.680 B．31.681 C．31.682 D．31.683 【答案】B 【详解】 ， 将精确到，故近似值为． 例3．（2026·重庆万州·模拟预测）已知恰能被13整除，则的最大负整数取值为______. 【答案】 【详解】因 ， 因是整数，恰能被13整除， 则，故的最大负整数取值为. 例4．（25-26高三上·安徽蚌埠·期末）干支纪年是中国的一种纪年法，分别排列出十天干与十二地支如下： 天干：甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支：子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 把天干与地支按以下方法依次配对：把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”，把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”，…，若天干用完，则再从第一个天干开始循环使用，若地支用完，则再从第一个地支开始循环使用．若2026年即丙午年为第1年，则第年是____________年（用干支纪年表示）． 【答案】丙午 【详解】由题意可知干支纪年排列的周期为. ， 由二项式定理，， 则除最后一项外，其余各项都能被整除， 而， 则除最后一项外，其余各项都能被整除， 所以被除所得余数为，即第年与第一年的干支纪年相同， 故答案为：丙午. 【变式训练】 变式1．（25-26高三下·广西桂林·月考）若正整数a，b满足，其中，则b的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【详解】 ， 对照得. 变式2．（24-25高二上·江西萍乡·期末）《孙子算经》对同余除法有较深的研究，设为整数，若和被除得余数相同，则称和模同余，记为，如12和7被5除得余数都是2，则记为.若，且，则可以为（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】A 【详解】 所以除17余数为，即. 故选：A. 变式3．（24-25高二下·湖南岳阳·月考）设，且，若能被13整除，则等于______． 【答案】12 【详解】解：∵，且， ∴， ∵能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴． 故答案为：12． 变式4．（24-25高二下·广东广州·期中）除以15的余数是________. 【答案】 【详解】由题意有 ， 所以除以15的余数为1，则除以15的余数是. 故答案为：. 考点八 杨辉三角 【例题分析】 例1．（2026·湖北黄石·一模·多选）如图所示为杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，第行的第个数可以表示为时）.在欧洲，这个表被认为是帕斯卡（1623-1662）首先发现的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就已经出现了这个表，这是我国数学史上的一个伟大成就.同学们开展了数学探究，则下列命题正确的有（    ） A．第2026行共有2026个数 B．从第4行起到第19行，每一行的第4个数字之和为 C．第48行的所有数字之和被7除的余数为1 D．去除所有为1的项，依次构成数列，则此数列前135项的和为 【答案】BCD 【详解】对于A，第2026行共有2027个数，故A错误， 对于B,由题意可得,B正确， 对于C, 第48行的所有数字之和为 ,由于能被7整除， 故第48行的所有数字之和被7除的余数为1，C正确， 对于D,第行的和为， 当时，第行中去除为1的项的和为， 第0行为1， 故前行中去除为1的项的和为， 故前17行中去除为1的项的和为， 去除所有为1的项后，则从第一行开始，则剩下的每一行的个数为0，1，2，3，4，……， 可以看成一个首项为0，公差为1的等差数列，前行共有个数， 当时，， 因此前17行中，去掉为1的项，共有136项，且第17行中，去掉为1的项后，最后一项为 则此数列前135项的和为. 例2．（25-26高二下·山东潍坊·开学考试·多选）定义有行的“杨辉三角”为阶“杨辉三角”，如图就是一个8阶“杨辉三角”. 给出的下列命题中正确的是（   ） A．记第行中从左到右的第个数为，则； B．第行所有数的和是 C．第行共有个数 D．8阶“杨辉三角”的所有数的和是255 【答案】BCD 【详解】第行各个数是的展开式的二项式系数， 则数列的通项公式为，故A错误； 各行的所有数的和是各行相应的二项式系数和，第行各个数的和是，故B正确； 第行共有个数，故C正确； 8阶“杨辉三角”的所有数的和是，故D正确, 例3．（25-26高二下·吉林四平·月考）杨辉三角是我国南宋数学家杨辉的一项重要研究成果，比欧洲早500年左右，杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，图1为杨辉三角的部分内容． (1)求图1中第31行中的所有数字之和被9除所得余数； (2)观察图1，确定第63行的第k列（从左往右）与第64行的第列（从左往右）的关系式，并求的值；（用整数指数幂表示结果） (3)把杨辉三角中的每一个数都换成，得到图2所示的莱布尼茨三角，证明：，，． 【答案】(1)2 (2)， (3)证明见详解 【详解】（1）图1中第31行中的所有数字之和为，且， 又， 展开式中除最后一项1外，其余各项均有因数9，能被9整除，且这些项和为正数， 被9除余数为1， 被9除余数为2． （2）图1中第63行的第k列(从左往右)为，第64行的第列(从左往右)为， 且，， . （3），， ． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期末·多选）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法.杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪(约11世纪上半叶)曾用过.由此可以推断，我国发现这个表不晚于11世纪上半叶.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡(B．Pascal，1623~1662)首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早600年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题.观察杨辉三角中数字排列的规律，下列结论正确的是（    ） A．第行的奇数项和为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：第行对应二项式系数为，，，，， 且， 则第行的奇数项和为，故A正确； 对于B：的展开式中，的系数为 ， 同时，而的展开式中的系数为， 所以，故B正确； 对于C：先证明：， 由组合数公式可得 ， 所以， 故C错误. 对于D： ，故D正确. 故选：ABD 变式2．（24-25高二下·内蒙古赤峰·期末·多选）“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中首次记载的，比欧洲早393年．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（   ）    A．第6行中，有两个相等的最大数 B． C．第行所有数之和为 D．在第3行以后，还会出现全为奇数的行 【答案】BCD 【详解】对A，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：，最大数只有一个，错误； 对B， ，正确； 对C，由二项式系数性质可知，第行所有数之和为，正确； 对D，由杨辉三角的规律可知，第6行的数为：， 第7行的数为：，所有数都是奇数，正确. 故选：BCD 变式3．（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2)证明过程见解析 (3) 【详解】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； （3）的展开式中，含项的系数为 2 学科网（北京）股份有限公司 $