精品解析：江苏淮安市高中校协作体2025～2026学年度第二学期高一年级期中联考数学试卷

淮安市高中校协作体2025～2026学年度第二学期高一年级期中联考 数学 试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分．） 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，内角所对的边分别为，若，则角等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若三点共线，则（ ） A. B. 49 C. 21 D. 7. 已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知平面向量，，其中，则最大值与最小值的和是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. z的共轭复数为 C. 为虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. 若，则的夹角为 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 11. 在中，角所对的边分别是，下列叙述正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有两个 B. 若 ，则为锐角三角形 C. 若不是直角三角形，则 D. 若，则为等腰或直角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 计算______． 13. 已知向量满足，，则___． 14. 已知非直角的面积为 ，则的值为___； 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知夹角为的向量，满足，． （1）求的值； （2）求向量与的夹角． 16. 在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： （1）的值； （2）的值； （3）边上的高． 17. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线． （1）用、表示； （2）求的值； （3）求的最小值. 18. 已知函数 （1）求、的值； （2）若，，求的值. 19. 在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安市高中校协作体2025～2026学年度第二学期高一年级期中联考 数学 试卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，计40分．） 1. 设，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，根据复数的概念，可得复数的虚部为. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量线性运算加法法则与减法法则计算即可得. 【详解】. 3. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用两角和的余弦公式，即可求解. 【详解】由两角和的余弦公式，可得：. 4. 在中，内角所对的边分别为，若，则角等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理，得到，进而求得的大小，得到答案. 【详解】在中，因为， 由正弦定理，可得， 因为且，所以或. 故选：A. 5. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由两角差的正切公式求解即可. 【详解】由题意可得 . 6. 已知向量，若三点共线，则（ ） A. B. 49 C. 21 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量的坐标表示公式计算即得. 【详解】已知向量，即， 则， 若三点共线，则有，解得，故D正确. 7. 已知中，角所对的边分别为，满足．若，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】在中，由余弦定理：. 代入已知条件，，， 得， 即， 解得或. 由题设，故. 的面积 8. 已知平面向量，，其中，则最大值与最小值的和是（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的坐标，利用向量的模的计算公式与辅助角公式化简推得，再由正弦函数的性质求出其最大值和最小值即得． 【详解】因为向量，，则， 则 ； 因为，则，则， 即 ， 的最大值与最小值的和是4． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 若复数，则下列选项正确的有（ ） A. B. z的共轭复数为 C. 为虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【详解】 ， 选项A：； 选项B：，则的共轭复数为； 选项C： ，是一个实数； 选项D： ，对应的点为位于第四象限. 10. 已知平面向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 存在，使得 C. 若，则的夹角为 D. 若，则在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则，解得，故A正确； 对于B，若，则 ，该方程无解，故B错误； 对于C，若，则，，的夹角为 ，故C正确； 对于D，若，则，在上的投影向量的坐标为：，故D正确. 11. 在中，角所对的边分别是，下列叙述正确的是（ ） A. 若，，，则满足条件的三角形有两个 B. 若 ，则为锐角三角形 C. 若不是直角三角形，则 D. 若，则为等腰或直角三角形 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正余弦定理以及三角形边角的关系依次判断即可. 【详解】对于A，已知 ，根据正弦定理代入数据得，解得， 在三角形中，大角对大边，由可知角，即，因此，角有唯一解，即满足条件的三角形只有一个； 对于B，已知 ，由正弦定理（为外接圆的半径）可得， 由余弦定理，可知，只能说明是锐角，无法判断的形状，故B错误； 对于C，若不是直角三角形，即，则 ， 在中，有，即，则， 根据两角和的正切公式以及诱导公式，得，化简得，故C正确； 对于D，若，正弦定理（为外接圆的半径）， 可得，即，有两种情况： ①，即时，有，则为等腰三角形； ②，即时，有，则为直角三角形，故D正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】由二倍角的正弦公式求解. 【详解】. 故答案为： 13. 已知向量满足，，则___． 【答案】 【解析】 【分析】根据模长计算公式：，通过可得到的值；再通过计算结果． 【详解】由， 因为：故， 可得；则： ． 14. 已知非直角的面积为 ，则的值为___； 【答案】## 【解析】 【详解】由余弦定理：，三角形面积公式：， 则， 即， 在非直角中得 ， 所以化简得，解得. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知夹角为的向量，满足，． （1）求的值； （2）求向量与的夹角． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】（1）借助平面向量数量积公式计算即可得； （2）借助平面向量数量积与模长关系及平面向量夹角公式计算即可得. 【小问1详解】 因为，，， 所以， 所以； 【小问2详解】 ， 所以， 由，所以=. 16. 在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： （1）的值； （2）的值； （3）边上的高． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求. （2）利用余弦定理求边. （3）利用三角形的面积公式求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理，得，解得． 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． 【小问3详解】 由（2）知． 三角形面积． 又边即边， 设边上的高为，则 ． 故边上的高为． 17. 如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线． （1）用、表示； （2）求的值； （3）求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）结合图形，由向量的线性运算求解即可； （2）结合（1）和已知可得，利用、、三点共线，可得，两边同时乘以3即可得答案； （3）利用基本不等式“乘1法”求解即可. 【小问1详解】 因为，即， 所以， ． 因为为的中点，故； 【小问2详解】 因为， 又由条件， 所以； 又、、三点共线，所以， 即； 【小问3详解】 因， 而，当且仅当，即时等号成立， 所以， 即的最小值为. 18. 已知函数 （1）求、的值； （2）若，，求的值. 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入，运算求解即可； （2）根据题意可得，以为整体，结合两角和差公式运算求解. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以， . 【小问2详解】 因为，即， 又，则，可得， 所以 . 19. 在中，内角、、所对的边分别为、、，满足. （1）求角的大小； （2）若，边上的中线的长为，求的面积； （3）若内角的角平分线交于点，且，求的面积的最小值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）解法一：利用余弦定理以及，可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：由已知条件得出，利用平面向量数量积的运算性质结合余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合三角形的面积公式可求得的面积； （3）由结合三角形的面积公式得出，利用基本不等式可得出的最小值，由此可求得面积的最小值. 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为、，所以，则，故. 【小问2详解】 解法一：因为，为中点，则， 由余弦定理得，得， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以，，解得：， 故的面积为； 解法二：因为为的中点，则， 所以，， 即， 由余弦定理可得，即， 所以，故的面积为. 【小问3详解】 因为，平分，所以， 又，则由，得， 所以， 由基本不等式可得，则，得， 当且仅当时，等号成立， 所以，故面积的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $