河南信阳高级中学北湖校区2025-2026学年高三下学期04月测试（二）数学试题

**基本信息** 本试卷为高三二模数学测试，以《红楼梦》“茄鲞”烹饪顺序、央视春晚征文评分、智能机器人试验等真实情境为载体，覆盖集合、复数、数列、概率统计等核心知识，注重数学眼光观察现实、数学思维解决问题的素养考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列、排列组合|结合《红楼梦》文化素材考查排列组合| |多选题|3/18|正态分布、导数应用、椭圆|春晚征文正态分布问题体现数据观念| |填空题|3/15|圆、数列、n维空间|6维空间曼哈顿距离创新考查空间观念| |解答题|5/77|解三角形、椭圆、立体几何、概率统计、导数|机器人试验结合概率与数列，考查逻辑推理与应用意识|

河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期04月测试（二） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A A C C C A D AD ABD ACD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13．Sn= 14． 15．(1)； (2) 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变形即可求解角； 利用正弦定理边化角，再借助三角恒等变形转化为正切函数的取值范围，最后可求周长的取值范围. 【详解】（1）由， 因为在中有，所以上式可化为， 又因为，所以，又因为，所以； （2）由正弦定理得：， 可得， 所以的周长为， 因为锐角，可知， 可得，则周长可化为：， ， 由，且， 所以，即， 故锐角周长的取值范围为. 16．(1) (2)证明见解析. 【分析】（1）利用方程组即可求解椭圆方程； （2）利用直线与椭圆联立方程，先利用对称性猜想定点在轴上，然后计算动直线与轴的交点横坐标，通过韦达定理代入求解即可. 【详解】（1）由题意得：，解得：， 所以椭圆方程为； （2） 设过点的直线方程为， 与椭圆联立方程组消去得:, 整理得：， 又设 则有， 再由两点式可得直线方程：， 令可得： 代入韦达定理公式得：， 所以直线过定点； 17．(1)证明见解析 (2)（I）（II） 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可. （2）（I）结合已知条件得到是三棱锥外接球的直径，根据球的表面积公式求解即可. （II）方法一：建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，结合二面角的向量求法求解即可. 方法二：利用二面角的定义找出平面与平面夹角的平面角，结合余弦定理求解即可. 【详解】（1）证明：过点作，交于点，连接. 因为，所以. 又，所以， 则四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. （2）（I）因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 取的中点，的中点，连接，. 则，，所以平面，又平面，所以. 在中，，，则，所以， 所以为的外心，且. 又的中点为的外心，所以是三棱锥外接球的直径. 又， 所以三棱锥外接球的表面积. （II）（方法一）由（I）知，，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 又，，，所以平面， 则平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 则平面与平面夹角的余弦值为. （方法二）因为，，所以. 又平面平面，平面平面，所以平面， 则，故即平面与平面的夹角. 由，，可得，，， 在中，， 即平面与平面的余弦值为. 18．(1) (2)①② 【分析】（1）可知随机变量的可能值为0，1，2，3，分别求其概率，进而可得期望； （2）①根据题意结合全概率公式可得，利用构造法结合等比数列求通项公式；②分析可得，利用分组求和法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）由题意可知：随机变量的可能值为0，1，2，3， 若，则3轮都失败，则； 若，则3轮中只有1轮成功，； 若，则3轮中只有2轮成功，； 若，则3轮都成功，； 所以. （2）①设第轮试验使用A型号机器人为事件， 则，，， 由全概率公式可得， 即，则， 且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列， 则，所以； ②设第轮得分期望为，则， 所以前轮期望总得分为. 19．（1）；（2）（i），（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）由题，得对任意上恒成立，即对任意上恒成立，分，，三种情况考虑，即可得到本题答案； （2）（i）函数在区间上有两个极值点，等价于的方程在上有两个不相等的实数根，通过考虑在的取值范围，即可得到本题答案； （ⅱ）由题，可证得，又由（i）得，综上，即可得到本题答案. 【详解】（1）据题意，得对任意上恒成立， ∴对任意上恒成立. 令，则. ①当时，，在上为单调递增函数. 又∵， ∴当时，，不合题意； ②当时，若，则，在上为单调递增函数. 又∵， ∴当时，，不合题意； ③当时，若，则，在上为单调递减函数. 又， ∴当时，，符合题意. 综上，所求实数的取值范围是． （2）令，，∴. 令． 分析知，关于的方程在上有两个不相等的实数根． （i）引入，则. 分析知，函数在上单调递增，在上单调递减， 且， ∴， 即所求实数的取值范围是. （ⅱ）∵，， ∴． 不妨设，则， ∴ ． 令，则， ∴当时，， ∴在上为单调递增函数． ∴，即． ∴． ∴， ∴， ∴． 又由（i），得，∴ ∴． 【点睛】本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题以及利用导数证明不等式的问题，着重考查分类讨论，转化与化归的数学思想方法，意在考查学生的运算求解能力，推理论证能力. $ 河南省信阳高级中学北湖校区 2025-2026学年高三下期04月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A．2 B． C． D． 3．已知数列为等差数列，，，，，设，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（    ）种 A．72 B．36 C．12 D．6 5．为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（    ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 7 A．-2 B．-1 C． D． 6．已知函数f（x）＝Acos（ωx＋）（x∈R）的图像的一部分如下图所示，其中A>0，ω＞0，｜｜<，为了得到函数f（x）的图像，只要将函数g（x）＝2()(x∈R）的图像上所有的点 A．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 B．向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．向左平移个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变 D．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 7．已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．设分别是双曲线的左､右焦点，是该双曲线右支上一点，的平分线交轴于点，令，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．赓续绵延长江情，携手共谱新篇章．2026年央视春晚宜宾分会场筹备期间，某中学向全校学生征集“立上游-新宜宾”主题宣传文案，共收到500篇作品．由专业评委进行打分，满分100分，不低于60分为及格，不低于m分为优秀，若征文得分X（单位：分）近似服从正态分布，且及格率为80%，则下列说法正确的是（   ） A．随机取1篇征文，则评分在内的概率为0.6 B．已知优秀率为20%，则 C．越大，的值越小 D．越小，评分在的概率越大 10．已知函数的定义域为，为的导函数，满足且，则以下结论正确的是（    ） A． B．过原点且与相切的直线方程为 C．不等式的解集是 D．若恰有两个整数解，则k的取值范围是 11．已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，是上异于，的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线和的斜率之积为定值 B．的最小值为-1 C．若的面积为5，则 D．若的角平分线与轴交于点，则内切圆的半径为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若圆与圆有且仅有三条公切线，______． 13．已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1)（n+2)，则它的前n项和为 ． 14．在n维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为n维坐标，其中．定义：在n维空间中的两点与的曼哈顿距离为，若在6维空间“立方体”中任取两个不同的顶点，记随机变量X为所取两点间的曼哈顿距离，则______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知的内角的对边分别为，且满足. (1)求； (2)若，求锐角周长的取值范围. 16．（15分）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求的方程. (2)过点的直线（斜率存在且不为0）与交于，两点，关于轴的对称点为.证明：直线过定点. 17．（15分）如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面. (2)已知，平面平面. （I）求三棱锥外接球的表面积； （II）求平面与平面夹角的余弦值. 18．（17分）在2026年央视春晚舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈､列队､翻转等高难度表演.某实验室为测试A，B两种型号机器人的动作稳定性，设计如下试验：每次独立执行一个动作，若某型号机器人试验成功，则下一轮继续使用该型号机器人进行试验；若试验失败，则下一轮更换另外一种型号的机器人进行试验. 已知A型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为；型号机器人试验成功的概率为，失败的概率为.试验成功记1分，失败记0分，且第1轮使用A型号机器人. (1)记为前3轮试验的总得分，求的数学期望； (2)设为第轮试验使用A型号机器人的概率. ①求数列的通项公式； ②记为前轮试验的期望总得分，求关于的表达式. 19．（17分）已知函数． （1）若对任意恒成立，求实数的取值范围． （2）设函数在区间上有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $