河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026 学年高三下期 05 月测试（一） 数学试题数学试题

**基本信息** 聚焦高三二模备考，以集合、函数、立体几何等核心知识为载体，通过猫鼠移动概率、午餐套餐选择等现实情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、数列、概率|基础概念辨析，如第4题套餐选择考查排列组合应用| |多选题|3/18|正态分布、立体几何、双曲线|综合判断，如第9题结合正态分布考统计应用| |填空题|3/15|圆的弦长、等差数列、二项式系数|多知识交汇，如第14题组合数与展开式系数概率| |解答题|5/77|函数极值、解三角形、轨迹方程、立体几何、概率数列|分层设计，第19题猫鼠移动结合概率与数列证明，考查数学思维与表达|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期05月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．在复平面内，所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．等差数列满足，记的n前项和为，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五都从新供应的四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将这四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有（   ） A．120种 B．144种 C．240种 D．288种 5．已知，若函数恰有1个零点，则（    ） A．e B．1 C． D．2 6．在平行四边形中，，是线段DE的中点，连接交于O，若，则（    ） A．1 B． C． D． 7．已知函数若方程在上恰有4个不同实根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为，，为奇函数，，则（　　） A． B．2025 C．1 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则（   ）（参考数据：，） A．该校学生成绩的均值为70 B．该校学生成绩的标准差为2 C．该校学生成绩的标准差为16 D．该校学生成绩及格率超过95% 10．如图所示的花灯的轮廓是正六棱柱，其棱长均相等，且所有棱长的总和为36，则（    ） A．平面 B．平面 C．直线到平面的距离等于 D．平面与平面的夹角的余弦值等于 11．以坐标轴为对称轴的双曲线过点，其一条渐近线过点，且两焦点为.若直线，分别与的两支交于两点，线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线的方程为 B．若，则点在直线上 C．若，则的取值范围为 D．若，则与的内切圆的半径之比为2或 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知圆与直线相交所得圆的弦长是，若过点作圆的切线，则切线长为_______. 13．已知等差数列的各项均为正数，记其前项和为，若数列是等差数列，且与的公差相等，则___________． 14．已知，其中i为虚数单位，从组合数、、、…、中去出一个数记作，从展开式中项的系数、、、…、中取出一个数记作，若，则的概率为______________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 16．（15分）在中，角所对的边分别为，且满足. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的值. 17．（15分）已知点，直线，动点到直线的距离为，且. (1)求动点的轨迹方程，并说明是什么曲线； (2)过点且倾斜角大于的直线与轴交于点，与的轨迹相交于两点，且，求的值及的取值范围. 18．（17分）如图，四棱锥中，底面为矩形，，，侧面为正三角形，且平面平面为棱上一点，，平面交棱于点． (1)求证：； (2)当时，点关于平面的对称点为，求平面与平面所成角的余弦值. 19．（17分）一只猫和一只老鼠在两个房间内游走，每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动，猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4，若是一只猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. (1)求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； (2)求证：为等比数列，并求表达式； (3)在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期05月测试（一） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A D A C C B A B AD ACD ACD 12．3 13．/ 14． 15．(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求，根据其正负性得出函数的单调性即可； （2）令，根据得出，接着利用导数得出的单调性，解不等式即可. 【详解】（1）当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； （2）等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解， （2）根据面积公式可得，由余弦定理可得，进而可得，即可根据正弦定理求解. 【详解】（1）由，根据正弦定理可得 ， 由于， 故， 由于所以 由于故 （2）因为，可得， 由余弦定理得，即，故， ， 由正弦定理可得， 所以， 故 17．(1)，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长，虚轴长均为的等轴双曲线 (2)， 【分析】（1）设点，根据列出等量关系整理可得； （2）设直线，联立双曲线方程，利用韦达定理结合，可得的值及的取值范围. 【详解】（1）设点， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合 即，整理得. 所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长，虚轴长均为的等轴双曲线. （2）设直线倾斜角大于 设，联立得， 故， 由题知，双曲线的焦点 由得的取值范围是 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理可证明面，再由线面平行的性质定理可证明； （2）建立空间直角坐标系利用空间向量求出点的坐标，再分别求出平面与平面的法向量，即可得出两平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明： 因为底面为矩形，所以， 又平面，平面，故面， 又面面，平面， 故； （2）设的中点为，连接， 显然，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，在底面内过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 易知， 当时，，设， 则，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以， 由题易知点到平面的距离与点到平面的距离相等，且， 即， 即，且，解得或（舍去），， 所以. 设平面的一个法向量为， 又， 则，取， 所以. 设平面的一个法向量为， 则，取， 则，所以 设平面与平面所成角的平面角为， 则． 故平面与平面所成角的余弦值为. 19．(1) (2)证明见解析， (3)第2分钟 【分析】（1）求出猫和老鼠分别在0与0、0与1、1与0、1与1号房间的概率，再利用全概率公式计算得解. （2）根据给定条件，求出的递推关系，再利用等比数列的定义推理得证.再根据等比数列定义即可求得结果. （3）由（2）的通项公式，按取奇数和偶数分类求出最大值. 【详解】（1）在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间，设为第1分钟时， 猫在i号房间，老鼠在j号房间，则 ， 设第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为X，则， 所以第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率0.5. （2）依题意， 当时，猫在第n分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为； 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， 满足上式，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，而也满足上式， 则， 又， 所以以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）知，显然不是其最大值， 设，当n为奇数时，， 当且仅当时取等号，最大值为0；当n为偶数且时，， 当时，，最大值为， 则的最大值为,所以在第2分钟时，老鼠在0号房间的概率最大. 1 学科网（北京）股份有限公司 $