专题05 等腰三角形章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦等腰三角形核心素养，以8大题型为框架，通过56道压轴题系统提炼垂直平分线应用、辅助线添加等方法，构建从性质到综合应用的逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂直平分线性质|7道|利用垂直平分线证线段/角关系|从性质判定到实际应用| |辅助线添加|7道|倍长中线法、构造全等|技巧迁移至复杂几何问题| |等边三角形动点|7道|方程思想表达动态关系|性质与运动结合的推理能力| |存在性问题|7道|分类讨论直角/等腰情形|几何直观与逻辑推理融合| |最短路径|7道|轴对称转化线段和|应用意识解决实际问题| |等腰综合应用|7道|性质与判定互逆论证|概念生成与拓展应用| |等边综合问题|7道|旋转构造全等三角形|性质延伸至动态几何| |垂直平分线综合|7道|多线交点距离关系|判定与性质综合推理|

专题05 等腰三角形章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型二 垂直平分线常见辅助线添加 题型三 等边三角形中动点问题 题型四 等边三角形中存在性问题 题型五 最短路径问题 题型六 等腰三角形的性质和判定综合应用 题型七 等边三角形的判定和性质综合问题 题型八 线段垂直平分线的性质与判定综合问题 【经典例题一 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 1．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为4 【分析】（1）运用垂直平分线的判定定理证明即可； （2）证明是等边三角形得，再证明可得到解答． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ． ， 点、点在的垂直平分线上， 垂直平分； （2）解：是等边三角形， ． ， ， ， 是等边三角形， ． 由（1）可知垂直平分， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【详解】（1）解：直线垂直平分边，分别交，于点，， ， ， 的周长为， ， ， ， 即； （2）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，是内一点，的延长线交于点，连接，，且，． (1)请判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)试说明垂直平分线段． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的判定，正确理解题意是解题的关键． （1）根据，得到，，进而得出结论 （2）根据垂直平分线的判定定理，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 即， ∴； （2）∵ ∴垂直平分线段． 4．（25-26八年级下·四川达州·月考）在中，，点D是线段上的一个动点（不与点B重合）．于E，与相交于点F，． (1)如图1，当点D与点C重合时，探究与的数量关系，并证明． (2)如图2，当点D与点C不重合时，试判断（1）中的猜想是否仍然成立，并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)（1）中的结论仍然成立，证明见解析 【分析】（1）延长交于点G，证明，得到，则可证明，推出垂直平分，则，由三线合一定理可得，据此可得结论； （2）过点D作交延长线于点G，交于点T，可证明是等腰直角三角形，得到，则同理可证明，据此可证明． 【详解】（1）解：，证明如下： 如图所示，延长交于点G， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴ ，即； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图所示，过点D作交延长线于点G，交于点T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理可证明， ∴． 5．（24-25八年级上·云南·期中）如图，已知点、为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点作，垂足为． 在中，（已知）（所作）， ____________（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又（已知）， ____________． 即：______． 又，垂足为（所作）， 为线段______的垂直平分线． ______（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）． （______）． 【答案】；；；；；；；等边对等角． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．过点作，根据等腰三角形“三线合一”的性质得，进而根据等式性质得，由此得为线段的垂直平分线，则，再根据等边对等角即可得出． 【详解】解：过点作，垂足为． 在中，（已知），（所作）， ，（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又（已知）， ． 即：． 又，垂足为（所作）， 为线段的垂直平分线． （垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）． （等边对等角）． 故答案为：；；；；；；；等边对等角． 6．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 【答案】（1）是的平分线，理由见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定； （1）证明，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的判定定理可得垂直平分，即可解答． 【详解】解（1）是的平分线，理由如下： 在和中， ∵，， ∴， ∴， 即是的平分线； （2）∵， ∴点A，C均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∵是垂直的， ∴是水平的． 7．（24-25八年级上·河南开封·期末）某数学兴趣小组学习了尺规作图和等腰三角形以后，研究下面问题，如图等边，E是的延长线上一点，他进行如下操作： 第一步：以A为圆心，适当长为半径画弧，交于M，于N； 第二步：以E为圆心，为半径画弧，交于P，再以P为圆心，为半径画弧，两弧交于Q； 第三步：作射线，交的延长线于F． (1)填空：图①中与大小关系_____，依据是______． (2)判断的形状，并说明理由． (3)如图②延长到D，连，使，判断之间关系，并证明． 【答案】(1)， (2)是等边三角形，见解析 (3)，见解析 【分析】（1）连接，利用证明，即可得到； （2）根据、都是等边三角形，得到，即可判断是等边三角形； （3）连接，得到垂直平分，得到，结合，推出，由此证得，得到，进而得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，， 连接， 在和中 ∴， 故答案为：，； （2）是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3） 证明：连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴点E在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点D在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作一个角等于已知角，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握各判定定理及性质定理是解题的关键． 【经典例题二 垂直平分线常见辅助线添加】 8．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在中，，点D在外，，．求证：． 小明同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下的问题． (1)用尺规过点A作的垂线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于两点；再分别以这两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧交于一点；过点A和该交点作直线，交于点E，则即为所求． （2）由等腰三角形性质得E为中点，结合已知条件证明直角三角形全等，从而得证． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2），， 为的中点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 【答案】(1)在中，； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了写出命题的已知求证、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，掌握线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键． （1）根据题意写出对应命题的已知和求证即可； （2）先作线段的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得到，进而得到，利用直角三角形两锐角互余推出，进而证明得到，则，由此即可证明． 【详解】（1）解：已知：在中，． 求证： ． 故答案为：在中，． （2）证明：如图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵中，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴ ∴． ∵直线是线段的垂直平分线， ∴． ∴． 10．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形性质及线段垂直平分线性质， （1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接，证明是等边三角形，得出即可； （2）先证明，进而证明，证明是的垂直平分线即可证明结论； （3）取的中点F，连接，得出，再证明，得出是的垂直平分线即可证明结论． 【详解】解：（1）作的垂直平分线分别交于点P，D，连接， ， ． ， ， ， 是等边三角形， ， ，即． （2）．理由如下： F是的中点， ∴． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ，即． 在和中， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． （3）．理由如下： 取的中点F，连接， ． ， ，， ． 是等边三角形， ， ， ， 即． 在和中，， ， ， ． F是的中点， 是的垂直平分线， ， ． 11．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．    下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图甲）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点．    解答下列问题： (1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________； (2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； (3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（1）过点作，可得，从而得到、，即可求解； （2）根据题意作图即可； （3）过点G作，根据题意可求出，根据平角的定义可得，然后即可求出答案；过点作，交于点，根据平行线的性质和垂直的定义即可求解 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：根据题意作图如下.    （3）解：∵， ∴， 如图乙，过点G作，交于点E，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图丙，过点作，交于点，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并熟悉相关模型的辅助线是解题关键． 12．（24-25八年级上·江西赣州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定和性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）在中，利用三角形的三边关系即可求解； （3）如图，延长交于点．证明，得出，，再进一步结合线段的垂直平分线的判定和性质，即可证明结论． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使， 是的中点， ， ， ； （2）解：∵， ， 在中，， ， ； （2）如图，延长交于点， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）回顾复习《全等三角形》一章后，针对等腰三角形性质：“三线合一”，老师布置了这样一道课后习题：三角形一边上任意“两线合一”，你能否判断该三角形是等腰三角形？ 小明同学探索过程如下： (1)如图①，当垂直平分时，则：___________（______________）（填出理由） 即：是等腰三角形． (2)如图②，当于点，时， ， 在和中， （_____________）（填出全等的理由） （全等三角形的对应边相等）． 即：是等腰三角形 (3)如图③，当，时， 显然，图中不具备判定两个三角形全等的条件，小明灵机一动，想到了老师说过的可以通过作辅助线，用“倍长中线法”（或其它作辅助线的方法）来判定．请你按照小明的思路判断是否是等腰三角形？若是，写出理由． 【答案】(1)（线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等） (2) (3)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论； （2）根据余角的性质，全等三角形的性质和判定即可得到是等腰三角形； （3）根据线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质即可得到正确的结论． 【详解】（1）解：如图①，当垂直平分时，则：___________（__线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等____________） 即：是等腰三角形． （2）解：如图②，当于点，时， ， 在和中， ， （_____________）， （全等三角形的对应边相等）， 即：是等腰三角形 （3）证明：如图所示，延长到，使，连结， 在与中， ， ， ，， 又， ， 则， 又， ， 即：是等腰三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 14．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：．    经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接． 分析：作于D，在上截取，连接． 图形          请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形        B．钝角三角形        C．直角三角形        D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为 ； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理． ①写出这个定理的逆定理： ； ②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）． 【答案】（1）见解析；（2）A；（3）；（4）①在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长；②见解析 【分析】（1）选择李欣的思路：作的平分线，交于D，在上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择张晶的思路：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接，首先由角平分线的概念得到，然后证明出，得到，然后根据三角形外角的性质求解即可； 选择王皓的思路：作于D，在上截取，连接，首先根据垂直平分线的性质得到，然后利用等边对等角得到，然后利用三角形外角的性质求解即可； （2）根据题意得到这个三角形所有的角都是锐角，进而求解即可； （3）根据大边对大角求解即可； （4）①根据逆定理的概念求解即可； ②在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D，首先由等角对等边得到，然后等量代换得到，然后根据三角形三边关系得到，进而得到． 【详解】（1）选择李欣的思路 证明：作的平分线，交于D，在上截取，连接． ∵平分 ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 选择张晶的思路： 证明：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接， ∵平分 ∴ ∵， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； 选择王皓的思路： 证明：作于D，在上截取，连接 ∵， ∴ ∴ ∵是的外角 ∴ ∴； （2）∵如果一个三角形最大边所对的角是锐角， ∴这个三角形所有的角都是锐角， ∴这个三角形是锐角三角形 故选：A； （3）∵在中，， ∴； （4）①这个定理的逆定理：在一个三角形中，如果角大，那么这个角所对的边长； ②已知：如图，在中，， 求证： 证明：如图，在内部，以C为顶点，以为一边作，另一边与交于点D    ∵ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． 【点睛】此题考查了等边对等角，等角对等边，全等三角形的性质和判定，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【经典例题三 等边三角形中动点问题】 15．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 【答案】4秒 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握等边三角形的性质，一元一次方程的应用是解题的关键．设运动的时间为，则，，，由是等边三角形，可知，即，计算求解即可． 【详解】解：设运动的时间为秒， ，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动， ，，， ∵是等边三角形， ∴，即， 解得：． 答：运动的时间是4秒． 16．（24-25八年级上·河南开封·月考）如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题： 如图2，等边的边长为，动点P从B出发，以每秒的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)填空：＝________度；t的取值范围是________； (2)当时，t为多少秒时，是等边三角形； (3)当时，t为多少秒时，是直角三角形． 【答案】(1)60； (2) (3)t为4或10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的判定， （1）根据等边三角形的性质解答； （2）根据等边三角形的性质列出方程，解方程即可； （3）分或两种情况，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵动点P从点B出发，以每秒的速度向终点A运动，两动点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， ∴， 故答案为：60；； （2）解：当时，，则， ∵是等边三角形，则， ∴， 解得，， ∴当t运动10秒时，是等边三角形； （3）解：当时，，则， 由结论可知，当或时，是直角三角形， ①时，， 解得，， ②时，， 解得，， ∴当t为4或10时，是直角三角形． 17．（24-25八年级下·河南·月考）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点A的对应点为点F． (1)如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； (2)如图2，若点F落在内，且的延长线恰好经过点C，，求的度数； (3)如图3，当点F恰好落在外，交于点，连接，若，，在中，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿边向点D运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发沿边向点F运动，当动点P运动到点D时，动点Q停止运动．设运动时间为t秒，请求出当为直角三角形时，t的值． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析； (2)； (3)t的值为或． 【分析】（1）平行线的性质，得到，折叠得到，进而得到，三角形内角和得到，即可得出结论； （2）同（1）可得：，进而得到，折叠，等边对等角，结合三角形的外角推出，求解即可； （3）分或，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，证明如下： ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：同（1）法可得：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：同（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：，，则： ∴当运动到点时，点恰好运动到点， 当为直角三角形时，或， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； ②当，则：，    ∴， ∴，解得：， 综上：或． 【点睛】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，等边对等角，三角形的内角和定理，三角线的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）等边中，是直线上的动点，如图，当在延长线上时，以为一边作等边，连接． (1)和会全等吗？请说说你的理由； (2)试说明的理由； (3)如图，当动点运动到的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有？说明你的猜想的理由． 【答案】(1)全等，理由见解析； (2)见解析； (3)仍有，见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，全等三角形的性质，平行线的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． （）和均为等边三角形，则，，，然后通过“”证明全等即可； （）由，得，所以，然后通过平行线的判定方法即可求证； （）同理可证，所以，则，从而证明． 【详解】（1）解：全等，理由如下， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：仍有，理由， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，将等边放在数轴上，点B与数轴上表示的点重合，点C与数轴上表示2的点重合，将数轴上C点右侧的数轴沿进行折叠、经过折叠后， (1)点A、点B分别与坐标轴上表示哪个数的点重合？ (2)若点D为的中点，点E表示折叠数轴上，记为数轴拉直后点E到点A的距离，即，其中代表线段长度.若动点P从点D出发，沿方向运动，动点Q从点E出发，沿方向运动，当动点Q运动到点C时，P、Q同时停止运动.已知动点P在DC上运动速度为1单位/秒，在上运动速度为2单位/秒；动点Q的运动速度为1单位/秒，设运动时间为t（秒）. ①当t为何值时，动点P、Q表示同一个数. ②当t为何值时，. 【答案】(1)点A、点B分别与正半轴上表示的数和表示的数重合 (2)①；②t的值为3或或或 【分析】（1）证明，可得结论； （2）①当相遇时，表示同一个数．由此构建方程求解即可； ②分三种情形分别构建方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点B表示，点C不是2， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴将数轴上表示2以后的正半轴沿进行折叠． 经过折叠后，点A、点B分别与正半轴上表示的数和表示的数重合； （2）①当相遇时，表示同一个数．则有， 解得， ∴时，P，Q表示同一个数． ②当时，， ， ∵， ∴， 解得或5（舍）． 当时，， ， ∵ ， ∴， 解得（舍去）或． 当时．， ∵， ∴， 解得或， ∵， ∴时，Q才停止运动， ∴或符合题意， 综上所述，满足条件的t的值为3或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，数轴，路程，速度，时间的关系等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 20．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，． 动点分别从点同时出发，动点以的速度沿向终点运动．动点以的速度沿射线运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．点出发后，过点作交于点，连结，以为边作等边三角形，连结，设点的运动时间为 用含的代数式表示的长． 求的周长(用含的代数式表示)． 求的长(用含的代数式表示)． 当的边与垂直时，直接写出的值． 【答案】（1）当时，；当时，；（2）；（3）；（4）的值为或． 【分析】（1）由等边三角形的性质，得到BC=AC=AB=4，然后分点Q在点C的左边和点C的右边进行分析，即可求出CQ的长度； （2）由，则∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°，则△PCE是等边三角形，然后结合PC的长度，即可求出周长； （3）由题意，，，结合∠EPC=∠QPF=60°，证明△PEQ≌△PCF，则CF=EQ，即可求出答案； （4）根据题意，由的边与垂直时，可分为两种情况分析：①当PQ⊥BC时；②当FQ⊥BC时；分别求出t的值，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意， ∵是等边三角形， ∴， ∵动点以的速度沿向终点运动， ∴时间的最大值为：（秒）， ∴； ∵动点以的速度沿射线运动， ∴， 当时，； 当时，； （2）∵，是等边三角形， ∴∠PEC=∠B=60°，∠EPC=∠A=60°， ∵∠ACB=60°， ∴△PCE是等边三角形， ∴PC=PE=CE， ∵， ∴△PCE的周长为：； （3）如图： ∵是等边三角形， ∴，∠QPF=60°， ∵△PCE是等边三角形， ∴PC=PE，∠EPC=∠QPF=60°， ∴△PEQ≌△PCF， ∴CF=EQ， ∵， ∵，， ∴； （4）根据题意， ①当PQ⊥BC时，如图： ∵△PCE是等边三角形， ∴PQ是高，也是中线， ∴， ∵， ∴， 解得：； ②当FQ⊥BC时，如图： ∵∠FQC=90°，∠FQP=60°， ∴∠PQE=30°， ∵∠PCE=60°， ∴∠CPQ=30°=∠PQE， ∴PC=CQ， ∵，， ∴， 解得：； 综合上述，当的边与垂直时，的值为或． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，注意运用分类讨论的思想进行解题． 21．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在中，，点B在边上，且，C是线段上的一个动点（不与点B重合，且），在线段上截取，连接 ．试探究线段之间的数量关系． 小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究： 特殊入手，探索结论： (1)①如图，若点C与点D重合，即线段，观察此时线段之间的数量关系是，即有：，请你说明的理由； 特例启发，猜测结论： ②若点C不与点D重合，猜测线段之间的数量关系是___________，并给予证明； 完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论： 深入探究，拓展结论： (2)在上面的问题中，若把“点C是线段上的一个动点”改为“点C是射线上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段的延长线上时，请你用等式表示线段之间的数量关系（自行画图探究，直接写出结果，不需要证明）． 【答案】(1)①见解析，②，见解析 (2)当时，数量关系是：，当时，数量关系是：，见解析 【分析】（1）①过D作于G，利用等腰和等边三角形的性质，即可得证；②在BE上截取，连接DG，利用等腰和等边三角形的性质，即可得证； （2）分和两种情况分类讨论，求解即可． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴是等边三角形 过D作于G，则有： ； ∴， ∴； ②数量关系为：，证明如下： 在BE上截取，连接DG， ∵ ∴， ∴ ∵，， ∴是等边三角形 ∴由①的结论可得： ∴ （2）当时，在BE上截取，连接DG， 同法可证：，， ∴， ∴； 当时， 在BE上截取，连接DG， 同法可证：，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握等腰（边）三角形三线合一，以及等边三角形的判定方法是解题的关键． 【经典例题四 等边三角形中存在性问题】 22．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或14 【分析】（1）由旋转的性质可得，，由等边三角形的判定可得结论； （2）分四种情况，由旋转的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形； （2）解：存在， ①当时， 根据解析（1）可知：是等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 由旋转可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，此时只能， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； ②当时，根据旋转可知：， ∴， ∴此时可能是直角三角形； ③时，点D与点B重合， ∴此时D、B、E不能构成三角形； ④ 当时，由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴中只能是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 综上所述：当或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 23．（25-26七年级下·上海闵行·单元复习）如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，M，N两点重合，此时两点重合在点C处 (2)存在，此时M，N运动的时间为 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，一元一次方程与几何综合，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出点N第一次运动到点B的时间，再结合M，N两点重合，进行列式，解出，即可作答． （2）先根据等腰三角形的性质得，再结合等边三角形的性质得，证明，得．当点M，N在BC边上运动，是等腰三角形时，．结合进行列式，即可作答． 【详解】（1）解：点N第一次运动到点B用时为， 由题意，得， 解得， ∴当时，M，N两点重合， 则， 此时两点重合在点C处． （2）解：存在． 理由如下：如图，点M，N在上，连接， ∵是以为底边的等腰三角形， ， ． ∵是等边三角形， ． 在和中， ． 当点M，N在边上运动，是等腰三角形时，． ， 解得， ∴当点M，N在边上运动时，存在以为底边的等腰， 此时M，N运动的时间为． 24．（24-25八年级上·浙江金华·期中）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”． (1)判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”） (2)如图2，在Rt△ABC中，，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在中，，若线段 是的“和谐分割线”，且 是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)假； (2)存在，； (3)或． 【分析】（1）等边三角形中不存在“和谐分割线”； （2）作的平分线交于点，则为“和谐分割线”，求出的长即可； （3）分两种情况讨论：①当时，，解得；②当时，，解得． 【详解】（1）解：等边三角形过一个顶点的线段不能分成一个等边三角形和一个等腰三角形， 等边三角形存在“和谐分割线”是假命题． 故答案为：假． （2）解：存在“和谐分割线”，理由如下： 作的平分线交于点，如图 ，， ， ， 在中，， 的三个内角与的三个内角相等， ， 是等腰三角形， 是“和谐分割线”； 过点作交于，如图， ， ，， ， ． （3）解：①当时， ， 根据“和谐分割线”的概念可知，， ， ， ， 解得； ②当时， ， 根据“和谐分割线”的概念可知，， ， ， 解得； 综上所述：的值为或． 【点睛】本题考查三角形的综合应用，熟练综上等腰三角形，等边三角形，直角三角形的性质，理解定义，分类讨论，数形结合是解题的关键． 25．（24-25八年级下·四川成都·期中）在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．      (1)如图1，若旋转角．求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值：;最大值： 【分析】（1）通过旋转角得出及，利用等腰三角形性质结合已知求． （2）由得内错角相等确定旋转角，结合条件证为等边三角形，建系求点坐标及直线方程，通过交点坐标求三角形面积． （3）利用中点得，分别求点到直线的最小垂距（结合到直线距离与共线关系）和到的最大距离（利用三点共线时线段和）． 【详解】（1）解：∵将绕绕顶点顺时针旋转，旋转角为且， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2） ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴在中，三个内角都为， ∴为等边三角形， 又∵， ∴， 又∵为的直角三角形， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， 过点作的高， ， ∴． （3）∵为中点， ∴， 最小值： 点到直线的垂距。由旋转性质，到的距离为， 当、与垂足共线时，垂距为：． 最大值： 到的最远距离。当在正下方且、、共线时， 距离为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质和等腰三角形的性质。掌握旋转前后对应边相等、对应角相等以及等腰三角形两底角相等是解题的关键． 本题主要考查旋转的性质、平行线的性质、等边三角形的判定、直线方程求解及三角形面积计算。掌握旋转前后点坐标的计算方法、直线方程联立求交点，以及准确利用几何性质转化角度和边长关系是解题的关键． 本题主要考查点到直线的距离公式、旋转的性质及线段最值问题。掌握利用直角三角形面积法求高，以及三点共线时线段和差的最值判定方法是解题的关键． 26．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 【答案】(1)①画图见解析；②不存在 (2)或或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识．解题的关键是： （1）①作的平分线即可，然后根据角平分线的定义，三角形的内角和定理求解即可； ②根据“等腰线段”的定义和等边三角形的判定与性质判定即可； （2）分三种情况讨论：①；②；③三种情况讨论，根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，， ∴，，， ∴、是等腰三角形， ∴是的“等腰线段”； ②若等边三角形存在“等腰线段”，如图， 则，都是等腰三角形， 又是等边三角形， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴D和A或D和C重合， 此时不存在或， ∴等边三角形不存在“等腰线段”， 故答案为：不存在； （2）解∶∵存在“等腰线段”， ∴、是等腰三角形， ①当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ②当时，如图， ∴ ∴， ∵是等腰三角形， ∴； ③当时，如图， ∴， ∴， ∵是等腰三角形， ∴； 综上，的度数为或或． 27．（24-25七年级下·江西南昌·期末）如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形． (1)如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形． (2)如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数． (3)利用图1探究： ①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系． ②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)等边三角形，画图见解析； (2)，，； (3)①，，；②均不存在 【分析】（1）根据等边三角形的反射三角形的关系，可得反射三角形各内角的度数，即可求解； （2）设，根据三角形内角和定理，可得，根据三角形内角和定理可得关于x的方程，根据平角的定义即可求解； （3）①根据三角形内角和定理，可用x表示和，然后根据三角形内角和定理可得与的关系即可求证； ②根据反射三角形对角的关系，结合①结论即可求解． 【详解】（1）等边三角形，如图2，理由如下： 根据题意，得： 同理， ∴ ∴是等边三角形； （2）如图3 在中，由三角形内角和定理，得 设 在和中，由三角形内角和定理，得： ， 在中，由三角形内角和定理，得：， 即 解得 ∴， ∴，同理， ∴，，； （3）如图1 ①在和中，由三角形内角和定理，得： ， ∵ ∴ 解得 ∴，，； ②在直角三角形中，不存在反射三角形 当时，，得到 ∴在直角三角形中，不存在反射三角形 在钝角三角形中，不存在反射三角形 当时，，得到 ∴在钝角三角形中，不存在反射三角形． 【点睛】本题考查了三角形的边角关系，等边三角形的性质，利用了三角形内角和定理，平角的定义，利用三角形内角和得出，，的关系是解题的关键． 28．（25-26八年级下·山西太原·期中）综合与实践 问题情境：如图，在等腰直角三角形中，，．以为边，在外部作等边三角形．将绕点逆时针旋转，得到，设旋转角为，点的对应点是点，点的对应点是点． 初步分析： (1)如图，当时，证明：垂直平分； 操作探究： (2)将绕点逆时针旋转过程中，线段交线段于点，且点不与点重合，如图，猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)将绕点逆时针旋转，直线交直线于点．问：是否存在某个旋转角，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)存在，或或 【分析】（）延长交于点，利用平行线的性质可证，利用旋转的性质可得，，即得，再根据等腰三角形的性质即可求证； （）连接，可证，，即得，即可求证； （）分，和三种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点， ∵， ∴， ∴， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴垂直平分； （2）解：，理由如下： 如图，连接， 由旋转可得，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； （3）解：存在，理由如下： 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即； 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 当时，如图，此时点和点重合， ∴，即； 综上，存在某个旋转角，使得为等腰三角形，满足条件的值为或或． 【经典例题五 最短路径问题】 29．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了轴对称——最短路径问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合建一个长度为s米的绿化带，故作线段，使，且点在点B的左侧．再根据C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．则取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取，即可作答． 【详解】解：作图方法如下：如图，作线段，使，且点在点B的左侧．取点A关于直线l的对称点，连结，交直线于点C，在直线l上点C右侧截取， ∴ 则即为所求作的绿化带的位置． 30．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图， 在中，的垂直平分线m交于点D， P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)周长的最小值是 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． （1）根据线段垂直平分线的性质即可得出结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点重合时，值的最小，即可求解． 【详解】（1）证明：∵m是的垂直平分线，P是直线m上的一动点， ∴； （2）解：∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， 设直线m交于，如图： ∵， ∴， 当P和重合时，的值最小，最小值等于的长， 周长的最小值是： ． 31．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了最短路径，垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）作点关于的对称点，连接，即可求解； （2）根据作图可知：，即点为的中点，再结合得垂直平分，所以，由，得，连接，证明是等边三角形，所以得，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：作出点如图所示： （2）解：由作图可知，，即点为的中点， 又， 垂直平分， ， ，， ， 连接， 又点在的垂直平分线上， ， 是等边三角形， 为的中点， ， ， 即的最小值为． 32．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 【答案】P点选在关于直线的对称点和点B的连线于直线m的交点；路线见解析 【分析】本题考查了轴对称解决最短路径问题，解题关键是依据轴对称性质和两点之间线段最短来确定P点． 作关于直线的对称点（或作关于直线的对称点 ） ． 连接（或 ），这条线段与直线的交点就是所求的点 ．因为根据轴对称性质，（或 ），那么（或 ），而两点之间线段最短，所以此时的和最短，连接，这就是工作人员所走的最短路线． 【详解】解：作关于直线的对称点，连接，交直线m于点P，点P即为使路程和最短的点； 连接，这就是工作人员所走的最短路线． 33．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）作点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点； （2）连接，作线段的垂直平分线，直线与直线的交点即为点； （3）连接并延长交直线于点，假设直线上有一点（异于点），连接、，点即为所作． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， （2）解：如图，点即为所作， 由线段垂直平分线的性质可得，此时； （3）解：如图，点即为所作， 在中，，则最大． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、三角形三边关系、基本作图，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 34．（24-25七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质、利用轴对称性质求最值等知识，利用全等三角形的性质求解是解答的关键． （1）根据三角形的内角和定理证得，再证明得到即可求解； （2）先求得，再证明得到，，由求解即可； （3）连接，由题意知B、F关于对称，则，当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，则，，证明得到，，则，，由求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：7； （2）∵长方形的周长为36，， ∴， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即四边形的面积为48； （3）连接，如图， 由题意知B、F关于对称， ∴， ∴， 当F、M、N在同一直线上等号成立，且当时，最小，此时四边形是矩形，，， ∵，， 由（2）可知， ∴， ∴，， ∴，， ∵， 则，， 即当最小时，多边形的面积为：， ∴多边形的面积为144． 35．（24-25七年级下·吉林长春·月考）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【答案】（1）见解析；（2）24；（3） 【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质、最短路径等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质是关键． （1）证明即可得证； （2）利用线段垂直平分线的性质得出，，然后根据三角形的周长和线段的和差关系即可求解； （3）在上取点F，使，过点B作于H，证明得出，证明得出，则，故当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为，然后根据三角形面积求出即可． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵、的垂直平分线分别交于点、， ∴， ∴， ∵， ∴，即的周长为24． 故答案为：24； （3）解：在上取点F，使，过点B作于H， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， 当B、P、F三点共线，且时，最小，最小值为， ∵，的面积为30， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【经典例题六 等腰三角形的性质和判定综合应用】 36．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图1，若，为何值时； (2)如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 【答案】(1)当的值为3时 (2)当的值为4时，为等边三角形 【分析】（1）由平行线的性质得，，从而得出是等边三角形，列方程求解即可； （2）根据点所在的位置不同，分类讨论是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图1，是等边三角形，， ，，，， ， 是等边三角形， ， ． 由题意可知：， 则， ． ∴当的值为3时，． （2）解：如图2，①当点在边上时， 此时，， ∴不可能为等边三角形； ②当点在边上时， 若为等边三角形， 则． 由题意可知，，， ， 即：， 解得：， ∴当时，为等边三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，以动点问题为背景，根据等边三角形的性质寻找等量关系，再列方程求解，能根据题目要求进行分类讨论是解题的关键． 37．（25-26八年级上·山东济宁·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，________； (2)当时，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定，熟练掌握角度的转化和全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）先根据等腰直角三角形的性质得到，再在中利用三角形内角和定理计算的度数，即为的值． （2）先根据等腰直角三角形性质得到，再通过角度关系推出，结合已知和得到，最后用证明两个三角形全等． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， 故答案为：； （2）解：，， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， 38．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，点为边上的中点，连接；点从点出发，以每秒2个单位长度向点运动，同时点从点出发，以同样的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为． (1)求的大小； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)在点的运动过程中，的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间的值；若不存在最小值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂线段最短； （1）根据等腰三角形的性质可得平分，即可得出结论； （2）先根据等腰三角形的性质求得，再根据①当时，②当时，分类讨论即可求解； （3）证明得出进而证明是等腰直角三角形，根据可得，当有最小值时，的面积是否存在最小值，进而根据，有最小值时，的面积有最小值．求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 是等腰三角形 又点为边上的中点 平分 （2）解：由题意可知： 点为边上的中点，， ①当时，则， 解得：； ②当时，则， ，， ，， ， 点为的中点， ， 当是以为腰的等腰三角形时，或 （3）由题意可知：，， ，， ， 由（1）可知：， 在和中， ， ， 是等腰三角形 ，点为边上的中点 ， 是等腰直角三角形 当有最小值时，的面积是否存在最小值 是等腰三角形 当为的中点时，，有最小值时，的面积有最小值． ，； 当时，的面积有最小值：． 39．（25-26八年级上·山西忻州·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点，连接，过点作的垂线，交直线于点． 独立思考：（1）当时，善思小组的同学认为点是的中点，请你判断善思小组的观点是否正确，并说明理由． 猜想证明：（2）如图2，当点在线段上时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）若，请直接写出的度数． 【答案】（1）善思小组的观点正确，见解析；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； （2）根据等腰直角三角形的判定和性质得出角的度数以及相等的边，证明，即可得出结论； （3）分两种情况进行讨论，然后利用三角形的内角和定理以及角的和差进行求解即可． 【详解】解：（1）善思小组的观点正确，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点是的中点； （2），理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图所示， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； ②如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； 综上，或． 40．（24-25八年级上·新疆克拉玛依·期中）观察、猜想、探究：在中，． (1)如图，当，为的角平分线时，求证：； 阅读下列证明过程，并填空： 证明：以点A为圆心，为半径画弧交于点E，连接，所以， 因为为的角平分线，所以， 在和中    ， 所以， 所以（__________） 又因为，且 所以且 所以（______________） 所以 即（_____________） 所以 (2)如图，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请说明你的理由． 【答案】(1)全等三角形的对应角相等；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；等角对等边 (2)，理由见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质定理，等角对等边． （1）证明，则，，证明，即可得到结论； （2）以点A为圆心，为半径画弧交于点E，连接，所以，证明，则，，再证明，即可得到结论． 【详解】（1）证明：以点A为圆心，为半径画弧交于点E，连接，所以， 因为为的角平分线，所以， 在和中， ， 所以， 所以，（全等三角形的对应角相等），， 又因为，， 所以且 所以（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和） 所以      即（等角对等边） 所以 （2）以点A为圆心，为半径画弧交于点E，连接，所以， 因为为的角平分线，所以 在和中， ，     所以 所以，， 又因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以 41．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． (1)特例分析：如图2，当旋转到时，旋转角的度数为_____； (2)探究规律：如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论； (3)拓展延伸：当是等腰三角形时，求旋转角的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3)旋转角的度数为或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是画出图形，正确分类． （1）根据等腰三角形“三线合一”可得结果； （2）可证明，从而得出结论； （3）分成，及，根据，利用旋转的性质、等腰三角形的性质，每种情形可求得另外两个角，进一步求得结果． 【详解】（1）解:，， ，， ， ， 故答案为：． （2）证明：， ． 由旋转得，，， ． 在和中，， ， ； （3）解：①如图1，当时， 由旋转得， ， ． ， ， ； ②如图2，当时， 由①得， ， ． ， ， ； ③如图3，当时， 由①得：， ． ， ． ， 不合题意，舍去． 综上所述，旋转角的度数为或． 42．（25-26八年级上·广东中山·期中）阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 (1)如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 【答案】(1)是 (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，三角形内角和定理，解决问题的关键是利用分类讨论的思想求解． （1）由题意推出，，，从而得出结论； （2）根据题意，通过计算得出是等腰三角形，，，，从而得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”， 故答案为：是； （2）∵在中,，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴与是互为“形似三角形”，且是等腰三角形， ∴为的“巧妙分割线”． 【经典例题七 等边三角形的判定和性质综合问题】 43．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点．      (1)求证：； (2)若的周长为42，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为13． 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，是的垂直平分线，推出，据此即可证明结论； （2）由题意得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的垂直平分线， ， ∵，D为线段的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为42，， ∴， ∴， ∴的长为13． 44．（25-26八年级上·安徽安庆·期末），是等边三角形，点在直线上，，交直线于点． (1)当点在边上时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上时，如图②，猜想线段的数量关系并证明． (3)若，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形，直角三角形的性质，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）连接，根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论； （2）连接，根据等边三角形的性质得到，，，推出，证得，根据全等三角形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，等量代换即可得到结论； （3）根据题意分两种情况分析，代入数据即可得到结果． 【详解】（1）解：连接， ，是等边三角形， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图②，， 连接， ，是等边三角形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图， ∵，， ∴，， ， ； 如图，连接， ，是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； ∵，， ， ． 故答案为：或． 45．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）（1）如图1，在中，，，，．求证：． （2）如图2，是等边 的高，P为内的一点，由点P向三边作垂线，分别为，，．求证：． 【答案】（1）见详解；（2）见详解． 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和三角形的高，找到三角形的高并利用三角形的面积换算是解题的关键． (1) 连结，再利用三角形面积相等列出，即可证明； (2) 连接，，，再找到三角形面积相等列出，即可证明． 【详解】（1）证明：如图，连结， ， ， 又， ． （2）证明：连接，，， 是等边三角形， ， ， ， ． 46．（25-26八年级上·江苏南京·月考）折纸与证明： 折纸是日常生活中常见的活动，折纸也能为证明提供思路和方法，下面是两个同学的折纸活动： (1)小明在一张长方形的纸片上任意画一条线段（如图1），将纸片沿折叠得到（如图2），他说这是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； (2)小华先把一张正方形的纸片对折后再展开，折痕为（如图3），然后将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B（如图4），最后沿折叠（如图5），得到（如图6），他说这是等边三角形，你同意吗？请说明理由． 【答案】(1)同意，理由见解析 (2)同意，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠的性质知，，证出，则可得出结论； （2）由折叠的性质证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：同意，理由如下： 如图： ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：同意，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得， 由折叠得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 47．（24-25八年级下·河南郑州·期中）在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小郑认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”是正确的，为了证明这个命题的正确性，他画出了如图1所示的图形． (1)请你根据小郑画的图形，写出已知和求证，并完成证明； (2)如图2，小郑取了一张长方形纸片，且，沿过点G的折痕将翻折，使得点F落在上的点处，折痕交于点M，则的度数为______； (3)小郑在（2）的基础上，想把分成三个全等的小三角形，如何分？请说出方法． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查的是折叠的性质、等边三角形的性质与判定等知识， （1）根据题意先写出已知和求证，延长到点D，使，连接，证明是等边三角形即可证明结论； （2）由（1）知，再根据平行线的性质及折叠性质求出结论； （3）折叠，使点与点G重合，折痕分别交于点P，交于点Q，连接，则得到三个全等的三角形 【详解】（1）已知：在中，，； 求证：； 证明：延长到点D，使，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 是等边三角形 ∴， ∴； （2）解：由折叠得：， 在长方形中，， ， 由（1）知， ， ， ； （3）解：折叠，使点与点G重合，折痕分别交于点P，交于点Q，连接，则得到三个全等的三角形． 48．（24-25八年级上·山东烟台·期中）【问题情境】 在综合实践活动课上，马老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，设． 【操作过程】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． 【问题探究】 (1)当旋转角时，画出图形并求的长 (2)当时，画出图形并求旋转角的大小 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，等于或 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰三角形的性质解题的关键是画出相应的图形，数形结合，并注意分类讨论． （1）由题意可知，当时，与重合，证明为等边三角形，得出即可； （2）分两种情况：AD，在的内部和AD，在的外部，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：如图： ，， ， 当时，点，，B共线，点A，D，C共线， ， 是等边三角形， ； （2）当AD，在的内部时，如图，过A作于点H， ， ， ∴是等腰三角形， ∴ ∴， ∴， ， 图1中， ； 当AD，在的外部时，如图，过A作于点H， 同理可证， ， ∴当时等于或． 49．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）折纸，常常能为证明提供思路和方法． (1)如图①，在△ABC中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB边的点D处，如图②所示，然后把纸展平，连接DE，可以推出 （填“>”或“<”或“=”） (2)如图3，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，连接HD，得到． ①求证：是等边三角形．②求的度数． (3)如图4，在中，，，D是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② (3)、和 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质得到，由三角形外角和定理得到与的关系，进而得出和的关系； （2）①根据折叠的性质可以得到，结合题意可以得出是等边三角形； ②根据等边三角形的中线也是角平分线的性质得到，由三角形的外角和定理进行求解即可； （3）设，根据折叠的性质得到角之间的关系，分情况讨论是等腰三角形的条件进行求解的值即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 点落在AB边的点D处 是的外角 ． （2）①证明：正方形纸片ABCD对折 ， 点B落在MN上的点H处 在正方形纸片中， 是等边三角形； ②解：点B落在上的点H处 ， 在等边中，是中线 是的外角 即 ． （3）解：， 沿折叠得到 ， 将向下折叠，使与重合 设，则 当是等腰三角形时，有三种情况： 当时，， ，解得； 当时，， ，解得； 当时，， ，解得； 综上所述，的度数为、和． 【经典例题八 线段垂直平分线的性质与判定综合问题】 50．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图是某小区内部便民店面的平面示意图，其中为快递驿站，为社区门诊，为烟酒店，为果蔬店．物业部门为方便小区居民生活，现作出如下调整，请按要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）． (1)修建一条小路（点在上），使社区门诊到所在直线的距离最短； (2)在的内部修建一处休息椅，使得休息椅到，，三个店面的距离相等，请确定休息椅的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂线段最短和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）要使社区门诊到直线的距离最短，根据垂线段最短的性质，过点作直线的垂线，垂足即为点即可． （2）要使休息椅到、、三点的距离相等，点应为线段和线段的垂直平分线的交点，因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，分别作线段和的垂直平分线交于点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 51．（25-26八年级上·北京大兴·期中）已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 【答案】(1)作图见解析 (2)，垂直平分线的性质， 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的作图以及垂直平分线的性质，准确分析证明是解题的关键． （1）根据作图步骤补全图形即可； （2）根据垂直平分线的性质求解即可； 【详解】（1）如图， 点即为所求． （2）证明：连接，，，，． ， ∴点在线段的垂直平分线上． ， 点在线段的垂直平分线上， 直线是线段的垂直平分线， 点在直线上， ∴．（垂直平分线的性质）（填推理的依据） ∴； 即的周长等于． 52．（24-25八年级下·广东佛山·期中）（1）如图1，在为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程. 要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上.只要证 ______=______，______=______ （2）如图（2），在中，，点D、E分别在上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由. 【答案】（1）；（2）作图见解析，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）根据线段垂直平分线的判定即可填空； （2）连接交于点，过点作直线即为边的垂直平分线，证明，则，那么，再结合，即可说理直线即为所求． 【详解】解：（1）要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上．只要证； （2）如图，直线即为所求： 连接交于点，过点作直线即为边的垂直平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴直线为为边的垂直平分线． 53．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法． (1)结合图①，用几何语言表示上述定理 几何语言：​ ∵ ∴ （ ） (2)如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． (3)如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】（1）根据题意，利用几何语言作答； （2）连接，利用线段的垂直平分线的性质推出，即可解答； （3）连接，证明是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：几何语言：​于点，，点为上一点， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）； （2）证明：如图，连接， 直线m是边的垂直平分线， ， 直线n是边的垂直平分线， ， ， ， ； （3）解：连接， ， 边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E， ， ， ， 是等边三角形． ， ， ． 54．（25-26八年级上·广东广州·期中）小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是． （1）如图1，在中，，，点在上，且，则的度数为_________； 通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． （2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数； （3）小丹同学猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请画图并写出已知、求证及证明过程；若不正确，请举一个反例． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）猜想正确，理由见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的作图和性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握垂直平分线的作图是关键． （1）由题意得，根据，得，即可求解； （2）根据题意作相应边的垂直平分线即可； （3）在中，作直角边的垂直平分线分别交直角边、斜边于，连接，则是的分割线 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴， ∴； （2）如图所示： （3）正确，理由如下： 在中，作直角边的垂直平分线分别交直角边、斜边于，连接，则是的分割线； ∵垂直平分， ∴， ∴，是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形 55．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；作法所依据的数学定理或基本事实见解析（答案不唯一） 【分析】（1）由作图的方法可以得出：，，得出，，利用三角形内角和得出，即，说明垂直即可； （2）以点为圆心，任意长为半径画弧，与有两个交点，分别以这两个交点为圆心，以大于这两个交点之间的距离的一半为半径画弧，这两段弧交于一点，连接即可；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，即可说明垂直． 【详解】（1）证明：由作图方法可知：，， ，， 又， ， ， ， 即， （2）解：如图，直线即为所求； 等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线重合（或等腰三角形“三线合一”）；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上等．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，尺规作垂线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握说明垂直的方法是解决本题的关键． 56．（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知：线段及射线． 求作：等腰三角形，使得点在射线上． 作法一：如图①，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点（不与点重合），连接． 作法二：如图②，（Ⅰ）在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （Ⅱ）以点为圆心，长为半径作弧，交线段于点； （Ⅲ）以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点； （Ⅳ）作射线交射线于点． 作法三：如图③，（Ⅰ）分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点； （Ⅱ）作直线，交射线于点，连接． 根据以上三种作法，填空： 由作法一可知：__________， 是等腰三角形． 由作法二可知：_____， （_____）（填推理依据）． 是等腰三角形． 由作法三可知：是线段的_____， （_____）（填推理依据）． 是等腰三角形． 【答案】，等角对等边，垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 【分析】由尺规作图——作相等线段理解作法一，由尺规作图-作相等角理解作法二，由尺规作图-作垂直平分线理解作法三，再结合等腰三角形的判定、垂直平分线性质等知识求解即可得到答案． 【详解】解：由作法一可知：， 是等腰三角形． 由作法二可知：， （等角对等边）． 是等腰三角形． 由作法三可知：是线段的垂直平分线， （线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）． 是等腰三角形． 故答案为：，等角对等边，垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形，涉及尺规作图-作相等线段、尺规作图-作相等角、尺规作图-作垂直平分线、等腰三角形的判定、垂直平分线性质等知识，熟记常见基本尺规作图方法步骤是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等腰三角形章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系 题型二 垂直平分线常见辅助线添加 题型三 等边三角形中动点问题 题型四 等边三角形中存在性问题 题型五 最短路径问题 题型六 等腰三角形的性质和判定综合应用 题型七 等边三角形的判定和性质综合问题 题型八 线段垂直平分线的性质与判定综合问题 【经典例题一 利用垂直平分线的性质判断角、线段的关系】 1．（25-26八年级下·广东揭阳·月考）如图，是等边三角形，D是外一点，连接，，，过点D作交于点F，交于点E，已知． (1)求证：垂直平分； (2)若，，求的长． 2．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，直线垂直平分边，分别交于点，连接． (1)若，的周长为，则的长为______； (2)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 3．（24-25七年级下·四川达州·期末）如图，是内一点，的延长线交于点，连接，，且，． (1)请判断与之间的数量关系，并说明理由； (2)试说明垂直平分线段． 4．（25-26八年级下·四川达州·月考）在中，，点D是线段上的一个动点（不与点B重合）．于E，与相交于点F，． (1)如图1，当点D与点C重合时，探究与的数量关系，并证明． (2)如图2，当点D与点C不重合时，试判断（1）中的猜想是否仍然成立，并证明． 5．（24-25八年级上·云南·期中）如图，已知点、为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据． 解：过点作，垂足为． 在中，（已知）（所作）， ____________（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线）． 又（已知）， ____________． 即：______． 又，垂足为（所作）， 为线段______的垂直平分线． ______（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）． （______）． 6．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）综合与实践：初步认识筝形后，实践小组动手制作了一个“筝形功能器”．如图，在筝形中，． 【操作应用】 （1）如图①，将“筝形功能器”上的点与的顶点重合，分别放置在角的两边上，并过点画射线．问是的平分线吗？请说明理由． 【实践拓展】 （2）实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平．如图②，在仪器上的点A处拴一条线绳，线绳另一端挂一个铅锤（铅垂线），仪器上的点紧贴门框上方，观察发现线绳恰好经过点，即判断门框是水平的（铅垂线与水平线垂直）．实践小组的判断正确吗？请说明理由． 7．（24-25八年级上·河南开封·期末）某数学兴趣小组学习了尺规作图和等腰三角形以后，研究下面问题，如图等边，E是的延长线上一点，他进行如下操作： 第一步：以A为圆心，适当长为半径画弧，交于M，于N； 第二步：以E为圆心，为半径画弧，交于P，再以P为圆心，为半径画弧，两弧交于Q； 第三步：作射线，交的延长线于F． (1)填空：图①中与大小关系_____，依据是______． (2)判断的形状，并说明理由． (3)如图②延长到D，连，使，判断之间关系，并证明． 【经典例题二 垂直平分线常见辅助线添加】 8．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在中，，点D在外，，．求证：． 小明同学通过作辅助线构造全等三角形来解决此问题．根据他的想法与思路，完成以下的问题． (1)用尺规过点A作的垂线，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作图形中，求证：． 9．（24-25八年级上·江苏盐城·期末）小明在学习《直角三角形的性质》的过程中产生了一个猜想：“在直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半．”并进行了如下的探究，请完善小明的探究过程． (1)结合图形，将小明猜想的命题写成已知、求证： 已知： ． 求证： ； (2)补全上述猜想的证明过程（先按要求用尺规作出辅助线，再接着完成证明过程）． 证明：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（在下图中作图，并保留作图痕迹） 10．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）【问题探究】如图①，在中，，为探究中角所对的直角边与斜边的数量关系，学习小组成员已经添加了辅助线． （1）请叙述辅助线的添法，并完成探究过程； 【探究应用1】如图②，在中，，点在线段上，以为边作等边三角形，连接，为探究线段与之间的数量关系，组长已经添加了辅助线：取的中点，连接． （2）线段与之间的数量关系为 ，并说明理由； 【探究应用2】如图③，在中，，点在线段的延长线上，以为边作等边三角形，连接． （3）线段与之间的数量关系为________，并说明理由． 11．（24-25七年级下·山东临沂·期末）如图是课上老师呈现的一个问题： 已知：如图，于点交于点，当时，求的度数．    下面提供三种思路： 思路一：过点作（如图甲）； 思路二：过点作，交于点； 思路三：过点作，交于点．    解答下列问题： (1)根据思路一（图甲），可求得的度数为________； (2)根据思路二、三分别在图乙和图丙中作出符合要求的辅助线； (3)请你从思路二、思路三中任选其中一种，写出求度数的解答过程． 12．（24-25八年级上·江西赣州·期中）【阅读理解】 中线是三角形中的重要线段之一、在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑做辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． 【小试牛刀】 如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． （1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接．可以判定，请写出证明过程． （2）利用（1）中的结论，写出中线的取值范围是___________（请直接写出答案）． 【实践应用】 （3）为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图2所示的测量方案，他们首先取地面的中点，此时用测角仪恰好测得，并量得旗杆高度，教学楼高度，求的长． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）回顾复习《全等三角形》一章后，针对等腰三角形性质：“三线合一”，老师布置了这样一道课后习题：三角形一边上任意“两线合一”，你能否判断该三角形是等腰三角形？ 小明同学探索过程如下： (1)如图①，当垂直平分时，则：___________（______________）（填出理由） 即：是等腰三角形． (2)如图②，当于点，时， ， 在和中， （_____________）（填出全等的理由） （全等三角形的对应边相等）． 即：是等腰三角形 (3)如图③，当，时， 显然，图中不具备判定两个三角形全等的条件，小明灵机一动，想到了老师说过的可以通过作辅助线，用“倍长中线法”（或其它作辅助线的方法）来判定．请你按照小明的思路判断是否是等腰三角形？若是，写出理由． 14．（24-25八年级上·河南濮阳·期末）综合实践课中，李老师带领同学们探究了这样的问题： 【课本回顾】 学习等腰三角形时，学习了定理：在一个三角形中，等边对等角．反之，等角对等边． 【问题探究】 （1）在一个三角形中，如果边不等，那么所对的角有什么关系呢？同学们猜测：大边对大角． 如图1，中，，求证：．    经同学们的讨论，李欣同学提出可以利用对称思想解决． 由此，以下三位同学给出了自己的解决方法： 李欣 张晶 王皓 思路与辅助线 分析：作的平分线，交于D，在上截取，连接． 分析：作的平分线，交于D，在的延长线上截取，连接． 分析：作于D，在上截取，连接． 图形          请你用上述同学的思路方法，完整写出其中一个证明． 证明： 【知识应用】 （2）如果一个三角形最大边所对的角是锐角，那么这个三角形是（    ） A．锐角三角形        B．钝角三角形        C．直角三角形        D．不能确定 （3）在中，已知：，用“”连接、、应为 ； 【问题拓展】 （4）如果把“在一个三角形中，如果边大，那么边所对的角大”作定理． ①写出这个定理的逆定理： ； ②证明这个逆定理（要求：画出图形，依照图形写出完整证明过程）． 【经典例题三 等边三角形中动点问题】 15．（24-25八年级下·宁夏银川·月考）如图，在△ABC中，，，，点P从点B出发以每秒的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当是等边三角形时，求运动的时间是多少？ 16．（24-25八年级上·河南开封·月考）如图1，在中，，若，则有，利用以上结论解决问题： 如图2，等边的边长为，动点P从B出发，以每秒的速度向终点A运动，动点Q从点A出发，以每秒的速度向终点C运动，两动点同时出发，当动点P到达终点A时，动点Q也随之停止运动．设动点P的运动时间为t秒． (1)填空：＝________度；t的取值范围是________； (2)当时，t为多少秒时，是等边三角形； (3)当时，t为多少秒时，是直角三角形． 17．（24-25八年级下·河南·月考）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点A的对应点为点F． (1)如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； (2)如图2，若点F落在内，且的延长线恰好经过点C，，求的度数； (3)如图3，当点F恰好落在外，交于点，连接，若，，在中，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿边向点D运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发沿边向点F运动，当动点P运动到点D时，动点Q停止运动．设运动时间为t秒，请求出当为直角三角形时，t的值． 18．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）等边中，是直线上的动点，如图，当在延长线上时，以为一边作等边，连接． (1)和会全等吗？请说说你的理由； (2)试说明的理由； (3)如图，当动点运动到的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有？说明你的猜想的理由． 19．（24-25七年级上·重庆·期中）如图，将等边放在数轴上，点B与数轴上表示的点重合，点C与数轴上表示2的点重合，将数轴上C点右侧的数轴沿进行折叠、经过折叠后， (1)点A、点B分别与坐标轴上表示哪个数的点重合？ (2)若点D为的中点，点E表示折叠数轴上，记为数轴拉直后点E到点A的距离，即，其中代表线段长度.若动点P从点D出发，沿方向运动，动点Q从点E出发，沿方向运动，当动点Q运动到点C时，P、Q同时停止运动.已知动点P在DC上运动速度为1单位/秒，在上运动速度为2单位/秒；动点Q的运动速度为1单位/秒，设运动时间为t（秒）. ①当t为何值时，动点P、Q表示同一个数. ②当t为何值时，. 20．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，是等边三角形，． 动点分别从点同时出发，动点以的速度沿向终点运动．动点以的速度沿射线运动．当点停止运动时，点也随之停止运动．点出发后，过点作交于点，连结，以为边作等边三角形，连结，设点的运动时间为 用含的代数式表示的长． 求的周长(用含的代数式表示)． 求的长(用含的代数式表示)． 当的边与垂直时，直接写出的值． 21．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）数学活动课上老师出示如下问题，供同学们探究讨论：如图，在中，，点B在边上，且，C是线段上的一个动点（不与点B重合，且），在线段上截取，连接 ．试探究线段之间的数量关系． 小敏与同桌小聪经过深入的思考讨论后，进行了如下探究： 特殊入手，探索结论： (1)①如图，若点C与点D重合，即线段，观察此时线段之间的数量关系是，即有：，请你说明的理由； 特例启发，猜测结论： ②若点C不与点D重合，猜测线段之间的数量关系是___________，并给予证明； 完成上面的问题后，老师继续提出下列问题，请同学们探究讨论： 深入探究，拓展结论： (2)在上面的问题中，若把“点C是线段上的一个动点”改为“点C是射线上的一个动点，其它条件都不变．”，则当点C在线段的延长线上时，请你用等式表示线段之间的数量关系（自行画图探究，直接写出结果，不需要证明）． 【经典例题四 等边三角形中存在性问题】 22．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接． (1)任选其中一个图形证明是等边三角形． (2)若的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由． 23．（25-26七年级下·上海闵行·单元复习）如图，是边长为的等边三角形，点M从点A出发，沿匀速运动，点N从点B出发，沿匀速运动（两点同时出发）．已知点M的速度为，点N的速度为，当点N到达点B时，M，N同时停止运动，设运动时间为． (1)当t为何值时，M，N两点重合？两点重合在什么位置？ (2)当点M，N在边上运动时，是否存在是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出此时点M，N运动的时间；若不存在，请说明理由． 24．（24-25八年级上·浙江金华·期中）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”． (1)判断命题真假：等边三角形存在“和谐分割线”是______命题；（填“真”或“假”） (2)如图2，在Rt△ABC中，，试探索Rt△ABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在中，，若线段 是的“和谐分割线”，且 是等腰三角形，求出所有符合条件的的度数． 25．（24-25八年级下·四川成都·期中）在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到．      (1)如图1，若旋转角．求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值． 26．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”，例如：等腰直角三角形斜边上的中线为该三角形的“等腰线段”． (1)①如图1，在中，，，请你在这个三角形中画出它的“等腰线段”，并标出所分得的各等腰三角形顶角的度数； ②如图2，等边三角形 （填“存在”或“不存在”）“等腰线段”． (2)如图3，，点在射线上，若存在“等腰线段”，则的度数为 ． 27．（24-25七年级下·江西南昌·期末）如图1所示，D，E，F分别是的三边，和上的点，若，，，则称为的反射三角形． (1)如图2所示，若是等边三角形，猜想其反射三角形的形状，并画出图形． (2)如图3所示，若是的反射三角形，，，求各个角的度数． (3)利用图1探究： ①的三个内角与其反射三角形的对应角（如与）之间的数量关系． ②在直角三角形和钝角三角形中，是否存在反射三角形？如果存在，说出其反射三角形的形状；如果不存在，请说明理由． 28．（25-26八年级下·山西太原·期中）综合与实践 问题情境：如图，在等腰直角三角形中，，．以为边，在外部作等边三角形．将绕点逆时针旋转，得到，设旋转角为，点的对应点是点，点的对应点是点． 初步分析： (1)如图，当时，证明：垂直平分； 操作探究： (2)将绕点逆时针旋转过程中，线段交线段于点，且点不与点重合，如图，猜想线段与线段的数量关系，并说明理由； (3)将绕点逆时针旋转，直线交直线于点．问：是否存在某个旋转角，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的值；若不存在，请说明理由． 【经典例题五 最短路径问题】 29．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）河岸l同侧的两个居民小区A、B，现欲在河岸边建一个长度为s米的绿化带（宽度不计），使C到小区A的距离与D到小区B的距离之和最小．请在图中画出绿化带的位置，并写出画图过程． 30．（24-25八年级上·江西南昌·期中）如图， 在中，的垂直平分线m交于点D， P是直线m上的一动点． (1)连结，，求证：； (2)连结，若，，，求的周长的最小值． 31．（24-25八年级上·广西钦州·期末）如图，在中，，，，为的中点． (1)若为上的一点，连接，，使得有最小值．请作出点（不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，请求出的最小值． 32．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，m是某工业园区的中轴线，某科技公司的工作区A和生活区B在m同侧，从图纸上看它们正好在正方形网格的格点上．公司计划在中轴线上选一点P发放午餐，工作人员一般是从工作区A下班后到P点领取午餐，然后到休息区B就餐、休息．P点选在哪一点才能使工作人员所走的路程之和最短？请在下图中标出点P的位置并画出工作人员所走路线． 33．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）已知：两点在直线的同侧，试分别画出符合条件的点．（不用写作法） (1)如图①，在上求作一点，使得最小； (2)如图②，在上求作一点，使得最小； (3)如图③，在上求作一点，使得最大． 34．（24-25七年级下·陕西西安·期中）发现问题 （1）已知，如图①，在四边形中，E在上，，，若，，则 ． 探究问题 （2）如图②，已知长方形的周长为36，，点E为边上一点，分别交于点G，交于点F，且，求四边形的面积． 解决问题 （3）如图③，中，，，，，以为边在其左上方作正方形，垂直于延长线于点D，连接，M、N分别为上两动点，连接，，，当的值最小时，求多边形的面积．（注：四边相等，四个角是直角的四边形是正方形，正方形是轴对称图形，对角线是其一条对称轴） 35．（24-25七年级下·吉林长春·月考）教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容． 2．线段垂直平分线 我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴．如图，直线是线段的垂直平分线，是上任一点，连结、．将线段沿直线对折，我们发现与完全重合．由此即有：绕段垂直平分线的性质定理  线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 已知：如图，，垂足点为C，，点P是直线的任意一点，求证：． AI 分析：图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等，便可证明． （1）请根据所给教材内容，结合图①，写出“线段垂直平分线的性质定理”完整的证明过程． 定理应用： （2）如图②，在中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，垂足分别为M，N，，则的周长为________． （3）如图③，在中，，，E、P分别是AB、AD上任意一点，若，的面积为30，则的最小值是________． 【经典例题六 等腰三角形的性质和判定综合应用】 36．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）在边长为10的等边三角形中，点是上任意一点，点是上一动点，以每秒2个单位的速度从点向点移动，设运动时间为秒． (1)如图1，若，为何值时； (2)如图2，若点从点运动，同时点以每秒3个单位的速度从点经点向点运动，当为何值时，为等边三角形？ 37．（25-26八年级上·山东济宁·期末）在综合实践课上，李老师以“含的三角板和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展数学活动．已知，在等腰纸片中，，，将一块含角的足够大的直角三角尺按如图所示放置，顶点在线段上滑动（点不与，重合），三角尺的直角边始终经过点，并与的夹角，斜边交于点． (1)当时，________； (2)当时，求证：； 38．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，，，点为边上的中点，连接；点从点出发，以每秒2个单位长度向点运动，同时点从点出发，以同样的速度向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接，，，设运动时间为． (1)求的大小； (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)在点的运动过程中，的面积是否存在最小值，若存在最小值，请求出运动时间的值；若不存在最小值，请说明理由． 39．（25-26八年级上·山西忻州·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点，连接，过点作的垂线，交直线于点． 独立思考：（1）当时，善思小组的同学认为点是的中点，请你判断善思小组的观点是否正确，并说明理由． 猜想证明：（2）如图2，当点在线段上时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）若，请直接写出的度数． 40．（24-25八年级上·新疆克拉玛依·期中）观察、猜想、探究：在中，． (1)如图，当，为的角平分线时，求证：； 阅读下列证明过程，并填空： 证明：以点A为圆心，为半径画弧交于点E，连接，所以， 因为为的角平分线，所以， 在和中    ， 所以， 所以（__________） 又因为，且 所以且 所以（______________） 所以 即（_____________） 所以 (2)如图，当，为的角平分线时，线段又有怎样的数量关系？请说明你的理由． 41．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）问题情境：活动课上，同学们以等腰三角形为背景展开有关图形旋转的探究活动，如图1，已知中，，．将从图1的位置开始绕点逆时针旋转，得到（点，分别是点，的对应点），旋转角为，设线段与相交于点，线段分别交，于点，． (1)特例分析：如图2，当旋转到时，旋转角的度数为_____； (2)探究规律：如图3，在绕点逆时针旋转过程中，“求真”小组的同学发现线段始终等于线段，请你证明这一结论； (3)拓展延伸：当是等腰三角形时，求旋转角的度数． 42．（25-26八年级上·广东中山·期中）阅读理解： 【概念学习】定义①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”． 定义②：从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“巧妙分割线”． 【概念理解】 (1)如图1，在中，，，平分，则与______（填“是”或“不是”）互为“形似三角形”． (2)如图2，在中，平分，，，求证：为的“巧妙分割线”． 【经典例题七 等边三角形的判定和性质综合问题】 43．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点．      (1)求证：； (2)若的周长为42，，求的长． 44．（25-26八年级上·安徽安庆·期末），是等边三角形，点在直线上，，交直线于点． (1)当点在边上时，如图①，求证：； (2)当点在的延长线上时，如图②，猜想线段的数量关系并证明． (3)若，则_____． 45．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期中）（1）如图1，在中，，，，．求证：． （2）如图2，是等边 的高，P为内的一点，由点P向三边作垂线，分别为，，．求证：． 46．（25-26八年级上·江苏南京·月考）折纸与证明： 折纸是日常生活中常见的活动，折纸也能为证明提供思路和方法，下面是两个同学的折纸活动： (1)小明在一张长方形的纸片上任意画一条线段（如图1），将纸片沿折叠得到（如图2），他说这是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； (2)小华先把一张正方形的纸片对折后再展开，折痕为（如图3），然后将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B（如图4），最后沿折叠（如图5），得到（如图6），他说这是等边三角形，你同意吗？请说明理由． 47．（24-25八年级下·河南郑州·期中）在学习《三角形的证明》这一章的内容时，小郑认为“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”是正确的，为了证明这个命题的正确性，他画出了如图1所示的图形． (1)请你根据小郑画的图形，写出已知和求证，并完成证明； (2)如图2，小郑取了一张长方形纸片，且，沿过点G的折痕将翻折，使得点F落在上的点处，折痕交于点M，则的度数为______； (3)小郑在（2）的基础上，想把分成三个全等的小三角形，如何分？请说出方法． 48．（24-25八年级上·山东烟台·期中）【问题情境】 在综合实践活动课上，马老师让同桌两位同学用相同的两块含的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作和，，，设． 【操作过程】 如图1，先将和的边、重合，再将绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为，旋转过程中保持不动，连接． 【问题探究】 (1)当旋转角时，画出图形并求的长 (2)当时，画出图形并求旋转角的大小 49．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）折纸，常常能为证明提供思路和方法． (1)如图①，在△ABC中，如果，则与的大小关系如何？为此，我们把沿的平分线翻折，因为，所以点落在AB边的点D处，如图②所示，然后把纸展平，连接DE，可以推出 （填“>”或“<”或“=”） (2)如图3，先将正方形纸片对折，折痕为，再一次折叠纸片，使点B落在上的点H处，折痕为，连接HD，得到． ①求证：是等边三角形．②求的度数． (3)如图4，在中，，，D是上的动点，连接，将沿折叠，得到，且点E在直线的下方，与边交于点M，继续将向下折叠，使与重合，折痕为（F在边上），连接．若是等腰三角形，请直接写出的度数． 【经典例题八 线段垂直平分线的性质与判定综合问题】 50．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图是某小区内部便民店面的平面示意图，其中为快递驿站，为社区门诊，为烟酒店，为果蔬店．物业部门为方便小区居民生活，现作出如下调整，请按要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）． (1)修建一条小路（点在上），使社区门诊到所在直线的距离最短； (2)在的内部修建一处休息椅，使得休息椅到，，三个店面的距离相等，请确定休息椅的位置． 51．（25-26八年级上·北京大兴·期中）已知：如图． 求作：点，使得点在边上，且的周长等于． 作法：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点； ②作直线，交线段于点．所以点为所求． (1)使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）； (2)完成下面证明： 证明：连接，，，，． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点在线段的垂直平分线上． ∴直线是线段的垂直平分线． ∵点在直线上， ∴________．（________）（填推理的依据） ∴________． 即的周长等于． 52．（24-25八年级下·广东佛山·期中）（1）如图1，在为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程. 要证直线垂直平分，只要证点、点O都在的垂直平分线上.只要证 ______=______，______=______ （2）如图（2），在中，，点D、E分别在上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由. 53．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法． (1)结合图①，用几何语言表示上述定理 几何语言：​ ∵ ∴ （ ） (2)如图②，在中，直线m、n分别是边的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作于点H．求证：． (3)如图③，在中，，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E．若，求的值是多少？ 54．（25-26八年级上·广东广州·期中）小许和小丹同学参加了学校的数学兴趣班，在研究美丽的轴对称图形时，她们发现五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是． （1）如图1，在中，，，点在上，且，则的度数为_________； 通过上面的计算，小许发现从图1的的顶点引一条线段，线段把分成等腰和等腰．若从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小的等腰三角形，那么我们就说原三角形是可分割三角形，这条线段叫做分割线．那么，是否所有的三角形均可分割呢？为此，小许同学展开了探究． （2）小许同学发现如图2，图3所示的均可分割，请你在图2，图3中选一个，画出它们的分割线，并在图中标出两个等腰三角形每一个底角的度数； （3）小丹同学猜想：“直角三角形都是可分割三角形”，你觉得她的猜想正确吗？若正确，请画图并写出已知、求证及证明过程；若不正确，请举一个反例． 55．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图是小毕同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． 年月日星期日 没有直角尺也能作出直角 今天，我在书店一本书上看到下面材料：木工师傅有一块如图1所示的四边形木板，他已经在木板上画出一条裁割线，现根据木板的情况，要过上的一点，作出的垂线，用锯子进行裁割，然而手头没有直角尺．怎么办呢？ 解决方案：如图2，可以取一根笔直的木棒，用铅笔在木棒上点出两点，然后把木棒斜放在木板上，使点与点重合，用铅笔在木板上将点对应的位置标记为点，保持点不动，将木棒绕点旋转，使点落在上，在木板上将点对应的位置标记为点．然后将延长，在延长线上截取线段，得到点，作直线，则． 我有如下思考：以上方案依据的是什么数学原理呢？我还有什么办法不用直角尺也能作出垂线呢？…… 任务： (1)根据上述操作过程，证明； (2)用无刻度的直尺和圆规在1图的木板上，过点作出的垂线（在木板上保留作图痕迹，不写作法），并说明你的作法所依据的数学定理或基本事实（写出一个即可）． 56．（25-26八年级上·吉林长春·期末）已知：线段及射线． 求作：等腰三角形，使得点在射线上． 作法一：如图①，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点（不与点重合），连接． 作法二：如图②，（Ⅰ）在上取一点，以点为圆心，长为半径作弧，交射线于点，连接； （Ⅱ）以点为圆心，长为半径作弧，交线段于点； （Ⅲ）以点为圆心，长为半径作弧，交前弧于点； （Ⅳ）作射线交射线于点． 作法三：如图③，（Ⅰ）分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于点； （Ⅱ）作直线，交射线于点，连接． 根据以上三种作法，填空： 由作法一可知：__________， 是等腰三角形． 由作法二可知：_____， （_____）（填推理依据）． 是等腰三角形． 由作法三可知：是线段的_____， （_____）（填推理依据）． 是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $