专题06 图形的运动章末56道压轴题型专训（8大题型）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题06 图形的运动章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 轴对称中的光线反射问题 题型二 根据平移性质求周长与面积问题 题型三 根据旋转的性质求解综合应用 题型四 旋转中的角度问题 题型五 中心对称图形规律问题 题型六 轴对称折叠问题 题型七 轴对称中作图问题 题型八 中心对称的性质综合应用 【经典例题一 轴对称中的光线反射问题】 1．（24-25七年级·上海杨浦·课后作业）小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？ 【答案】小敏说错了 【分析】根据平面镜成像原理：镜子中的客厅的面积是实物面积的虚像，虚像的面积与实像的面积相等，故小敏看到的是实像与虚像的面积之和，从而可判定小敏说错了，小明说的是实际面积. 【详解】小敏把镜子里看到的都算在一起了，镜子里的虚像使的室内空间在视觉上加倍了，所以小敏误认为有50多平方米，小敏说错了.小明说的是实际面积. 【点睛】此题考查的是平面镜成像问题，掌握平面镜成像原理：镜子中的客厅的面积是实物面积的虚像，虚像的面积与实像的面积相等，是解决此题的关键. 2．（24-25七年级上·上海崇明·期中）如图，是两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，则．用尺规作出，使得． 【答案】见解析 【分析】考查了平行线的性质与判定的综合运用及作一角等于已知角，作垂线，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质与判定是解决本题的关键． 根据尺规作图的基本方法，作过作的垂线，即法线，再作反射角等于入射角即可；由反射和垂直的意义结合平行线的性质可得，利用平角的定义可得，由平行线的判定可得与平行． 【详解】解：如图，即为所作， ，理由如下： 如图： 过点作的垂线， 由题意得，， ∴， ∴ ∵， ∴， 同理可证明：， ∴， ∵， ∴, ． 3．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）判断说理：元旦联欢会上，七年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【点睛】本题考查了轴对称，三角形三边关系，解题的关键是找到A，B的对称点，，连接，得出 C，D两点． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图,(1)  A、B、C三点表示3个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校与3个村庄的距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置．(保留作图痕迹,不写画法) （2）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气．泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短? 【答案】（1）见解析   （2）见解析 【分析】（1）根据中垂线的性质，作AB、BC的中垂线相交于点P，则点P即为所求． （2）作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B与直线l交于点P，则点P即为所求． 【详解】（1）如图所示，点P即为所求． （2）如图所示，泵站修在P点，可使所用的输气管线最短． 【点睛】本题考查了尺规作图的相关问题，掌握尺规作图的方法是解题的关键． 5．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)三次反射时；四次反射时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质、反射定律以及三角形内角和等知识，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． （1）利用反射定律得到角的关系，再结合平行线的性质和三角形内角和等知识求解； （2）通过设角，根据反射定律和平行线的性质建立方程求解； （3）分三次反射和四次反射的情况，结合反射定律和平行线性质分析． 【详解】（1）解：∵反射定律， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，． 故答案为：；． （2）解：设，． ∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴． （3）解：能． 由（2）得, 当三次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，， ， ∴， 解得， ； 当四次反射时，最终射出光线与镜面平行， 设， ， ， ， 反射， ，，， ， ， ， 解得， ． 6．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的综合应用，平角的意义，三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等得出，再根据已知条件得出，根据内错角相等，两直线平行即可判断； （2）先根据两直线平行，同旁内角互补得出，再根据平角的意义及角的和差得出，最后根据三角形内角和定理求解即可； （3）先求出，再根据平角的意义及三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：（1）理由：如图 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 故答案为：． （2）如图 ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，即． （3）如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 当时， ∴ 解得： 7．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【答案】(1)3 (2)7，图见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，规律总结，列代数式，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据题中的作图方法，在图5中作图即可解答； （2）根据题中的作图方法，在图6中，利用网格作图即可解答； （3）根据题中呈、、时，能看到的蜡烛个数，总结出规律即可解答． 【详解】（1）解：如图，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像，继续作出关于的对称点均为， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见3个完整的蜡烛； 故答案为：3； （2）解：如图，即为所求， ∴当两面镜子呈夹角时，镜中能看见7个完整的蜡烛； 故答案为：7； （3）解：∵当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角时，镜中能看见个完整的蜡烛； 当两面镜子呈夹角，且为整数时，镜中能看见个完整的蜡烛； 故答案为：． 【经典例题二 根据平移性质求周长与面积问题】 8．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质，关键是面积的转换； 由平移可把阴影部分的面积转换成四边形的面积即可． 【详解】四边形沿方向平移得到四边形， ∴，，，， ∴， ∴． 9．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图所示，在直角三角形中，，，，将沿方向向右平移得到，若，． (1)求向右平移的距离的长； (2)求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，进而根据，即可求解； （2）根据平移的性质可得，，进而根据四边形的周长公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵将沿方向向右平移得到， ∴， ∵，． ∴ （2）∵将沿方向向右平移得到， ∴， ∴四边形的周长为． 10．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，在两个相同的长方形、中，边、完全重合，边、在一条直线上，，，长方形不动，将长方形沿射线方向平移，速度为每秒，时间为t． (1)请分别求出和时两个长方形重叠部分的面积； (2)当为何值时，重叠部分的面积等于长方形面积的一半？ 【答案】(1)时，两个长方形重叠部分的面积为；时两个长方形重叠部分的面积为 (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，动点问题，平移的性质； （1）根据题意得出和时，长方形的位置，进而求得两个长方形重叠部分的面积； （2）同（1）的方法，分类讨论，根据重叠部分的面积等于长方形面积的一半建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图， 当时，， ∴两个长方形重叠部分的面积为， 当时，如图， ， ∴两个长方形重叠部分的面积为， （2）解：长方形面积为 当时，在的左侧， 两个长方形重叠部分的面积为， 解得： 当时，在的右侧，有重叠部分 ∴， 两个长方形重叠部分的面积为， 解得： 综上所述，或时，重叠部分的面积等于长方形面积的一半 11．（24-25七年级上·上海崇明·期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的A、B、C三个顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）已知点F在格点上，将三角形ABC平移，得到三角形DEF，使A与D，B与E，C与F分别对应，画出三角形DEF； （2）连接AD，连接CF、BE，若AD＝m，则四边形CFEB的周长是多少？（用含m的式子表示） 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据平移的性质画出三角形即可； （2）结合（1）根据AD＝m，即可求出四边形CFEB的周长． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）根据图形平移的性质，因为，所以， 又因为，所以四边形的周长等于． 【点睛】本题考查了作图－平移变换，解决本题的关键是根据平移的性质画出三角形． 12．（24-25七年级上·上海宝山·期末）利用直尺画图： (1)利用图1中的网格，过点P画直线的平行线和垂线； (2)把图2中三条线段通过平移使三条线段、、首尾顺次相连组成一个三角形； (3)如果图2中的方格的边长为单位1，那么图2中组成的三角形的面积等于______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是作图平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点以及垂直的格点作出即可； （2）将平移使点B和点E重合，将平移使点D和点F重合即可； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）如图所示， （2）如图所示， （3）图2中组成的三角形的面积． 13．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）千年古镇佛堂首条过江隧道（朝阳路隧道）施工场地上，看到如图1所示的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆（行人）向左或向右行驶（行走），为其作出正确的向导．请利用如图2所示的正方形网格，解决下列问题： (1)如图2网格中是该安全标志的某一部分图形，请画出该部分图形向右平移4格后的图形，并标注的对应点； (2)完成（1）后，图2中线段与的关系是 ． (3)求折线在平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)24 【分析】本题考查了平移作图以及平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移的性质，画出该部分图形向右平移4格后的图形，即可求解； （2）根据平移的性质即可求解； （3）根据2个平行四边形的面积和，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， （2）根据平移的性质可得：与平行且相等 故答案为：平行且相等． （3）折线在平移过程中扫过的面积为四边形． 14．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 【经典例题三 根据旋转的性质求解综合应用】 15．（25-26七年级上·上海金山·期中）在如图所示的正方形网格中，和的顶点均在格点上，易证，可经过一次旋转后与完全重合． (1)请你在图形中确定旋转中心的位置； (2)请直接写出旋转角（）的大小． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了作图确认旋转中心、旋转角，牢记相关的知识点是解题的关键． （）连接，，再分别作两线段的中垂线，两中垂线的交点即为所求； （）通过观察网格图得出结论即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）解：由图可知，， ∴旋转角． 16．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都在格点． (1)在图（1）中，点D在边上，先画的中线，再连接，并画线段绕点E旋转的对应线段； (2)在图（2）中，先画的高，再画线段绕点A逆时针旋转的对应线段． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题考查利用网格作图，平行线分线段成比例定理，旋转的性质； （1）连接，与从上往下第5条网格横线的交点即为中点E，连接即为所求；连接并延长与点B所在的网格横线相交于F，连接即为所求； （2）利用网格结合三角形的高的定义作出，取点B绕点A逆时针旋转得到点，取点C绕点A逆时针旋转得到点，连接，过点A作的垂线，交于点M，则即为所求. 【详解】（1）解：如图所示：与从上往下第5条网格横线的交点即为中点E，连接即为所求， 连接，连接并延长与点B所在的网格横线相交于F，连接即为所求， 由平行线分线段成比例定理可得为、中点 ∴四边形为平行四边形， ∴、即为所求. （2）解：如图所示：连接与交于H，则为的高， 取点B绕点A逆时针旋转得到点，取点C绕点A逆时针旋转得到点，连接，过点A作的垂线，交于点M，则即为所求， 由网格可知， ∵，， ∴，， ∴，， 即，， 同理可得， ∴在与中 ∴， ∴， 综上：、即为所求. 17．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出以点为旋转中心，逆时针旋转后得到； (2)在（）的条件下，请求出的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，以点为旋转中心，逆时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积为 ． 18．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)在图1中画出向左平移5个单位长度后的图形，记作，并写出点的坐标； (2)在图2中画出绕点逆时针旋转90°后的图形，记作，并写出点的坐标； (3)将（2）中的向下平移6个单位长度得到，若直接旋转得到，则旋转中心点的坐标是 ． 【答案】(1)作图见解析，点的坐标 (2)作图见解析，点的坐标 (3) 【分析】本题考查了作图：旋转变换、平移变换，坐标与图形，熟练掌握旋转以及平移的性质是解此题的关键． （1）根据平移变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出； （2）根据旋转变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出结果； （3）根据平移得到，再根据直接旋转得到，确定出旋转中心即可得解； 【详解】（1）向左平移5个单位长度后，得到，，，如图所示： ； （2）绕点逆时针旋转90°后形成，如图所示： ； （3）向下平移6个单位长度得到，则绕点旋转成，如图所示： ； 故答案是：． 19．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，正方形中，点E是线段延长线上一点，连接，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为 ． (2)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． （1）根据平移的性质和平行四边形的面积公式计算即可； （2）根据旋转的性质画出图形得出旋转中心和角度即可． 【详解】（1）解：线段扫过的平面部分的面积为：， 故答案为：； （2）解：①如图，旋转中心：边的中点O，顺时针旋转； ②如图，旋转中心：点D，顺时针旋转； ③如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转； ④如图，旋转中心：正方形对角线交点G，顺时针旋转． 20．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)画出与关于原点成中心对称； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出； (3)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出平移后的，直接写出边在平移过程中扫过的面积______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，7 【分析】本题考查作图—旋转变换，作图—平移变换，中心对称变换，平移的性质，坐标与图形等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质、旋转的性质，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用中心对称变换的性质分别作出的对应点，顺次连接即可得到； （2）利用旋转变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得到； （3）利用平移变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得到，边在平移过程中扫过的面积为两个平行四边形的面积，由此求解即可． 【详解】（1）解；如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3）解：∵是的边上一点，经平移后点的对应点为， 向左平移4个单位长度，在向上平移1个单位长度得到， 如图，即为所求， 边在平移过程中扫过的面积为． 21．（2025·上海金山·模拟预测）李老师在课堂上提出一个问题： 如图（1），在直角三角形纸片中，，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． 下面是某个数学小组的讨论片段． 小明：先证明，再根据相似三角形的对应边的比例关系，列出方程，求得正方形的边长，即可求得阴影部分的面积． 小芳：小明的方法比较麻烦，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度至的位置，如图（2），就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解决问题． (1)根据小芳的方法，旋转角的度数为______； (2)请选择小芳的方法，写出详细的求解过程． 【答案】(1) (2)30 【分析】本题主要考查了旋转的性质、正方形的性质等知识点，掌握旋转的性质成为解题的关键． （1）由题意可得旋转后线段的对应边与重合，然后结合正方形的性质即可解答； （2）由旋转的性质得、、，再说明旋转后，C，，B共线，即阴影部分的面积；再证明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得旋转后线段的对应边与重合， ∵四边形是正方形， ∴,即, ∴小芳的方法，旋转角的度数为． 故答案为：． （2）解：由旋转的性质得：，，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴旋转后，C，，B共线， ∴阴影部分的面积， ∵， ∴， ∴， ∴图1中阴影部分的面积为30． 【经典例题四 旋转中的角度问题】 22．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． (1)哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ (2)指出图中的对应线段和对应角； (3)求的度数． 【答案】(1)点D是旋转中心，旋转角是 (2)对应线段为和，和，和；对应角为和，和，和； (3) 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质，熟知旋转前后的对应线段和对应角相等是解答的关键． （1）根据已知，结合图形和正方形的性质可得结论； （2）由旋转性质可得结论； （3）根据旋转角的度数求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转一个角度后成， ∴点D是旋转中心，旋转角； （2）解：由旋转性质得：对应线段为和，和，和； 对应角为和，和，和； （3）解：∵，， ∴． 23．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)若，请你求出的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质，关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转的性质得到，，因此得到，即可证明平分； （2）根据旋转的性质得出，，，进而得出，根据，得出即； （3）设，得出，，进而列出，可得出答案． 【详解】（1）绕点顺时针旋转得到， ，， 得， 平分； （2），理由如下： 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ， ， 中：， 即； （3）设（由（1）、（2）得） ， ， （由（2）得） ， ， ， 解得： 24．（2025·上海闵行·模拟预测）已知，如图，，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．连接BC，OA，OC，过点O作于点D． (1)依题意补全图形； (2)求的度数． 【答案】(1)作图见解析； (2)∠DOC=15°． 【分析】（1）由题意，只要过点O作于点D即可． (2) 过点A作AE⊥BO于E，由题意可得∠1=30°，∠2=15°，∠3=15°，证明AD=DC，可得到∠DOC=∠AOD，从而得解． 【详解】（1）解：由题意可以补全图形如下： （2）解：如图，过点A作AE⊥BO于E， ∴∠AEB=90∘， ∵∠ABO=150°，∴∠1=30°，∠BAE=60°， 又∵BA=BO， ∴∠2=∠3=15°， ∴∠OAE=75°， ∵∠BAC=90°， ∴∠4=75°， ∴∠OAE=∠4， ∵OD⊥AC于点D， ∴∠AEO=∠ADO=90°， 在△AOE和△AOD中， ， ∴△AOE≌△AOD， ∴AE=AD， 在Rt△ABE中，∠1=30°， ∴AE=AB， 又∵AB=AC， ∴AE=AD=AB=AC， ∴AD=CD， 又∵∠ADO=∠CDO=90°， ∴OA=OC， ∴∠DCO=∠4=75°， ∴∠DOC=15°． 【点睛】本题考查旋转的综合应用，熟练掌握旋转的性质、三角形全等的判定和性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形和直角三角形的性质是解题关键． 25．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，中，，，点D是上一点，点M是上一动点，连接，将绕点M顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，猜想，和有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点M不与点A重合时，连接，求的度数； (3)若，，请直接写出当长度达到最小时的长 【答案】(1)；理由见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，解一元二次方程以及垂线段最短等知识，灵活构造全等三角形，证明，是解答本题的关键． （1）证明，即可证明； （2）过点M作，交于点N，按照（1）的方法同理证明，问题即可作答； （3）过点M作，交于点G，根据，可得，再根据垂线段最短可知，当时，最短，再结合勾股定理以及等腰直角三角形的性质即可作答． 【详解】（1），理由： 根据旋转的性质有：，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）过点M作，交于点N，如图， ∵中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 根据旋转的性质有：，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）过点M作，交于点G，如图， 在（2）中已求得， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，最短， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴在等腰中，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：（时，无法满足，故舍去）， ∴，即， ∴． 26．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图1，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)画图见解析；或 (3)；理由见解析 【分析】本题考查了作图旋转变换，余角的定义和性质以及角平分线，关键是明确同角的余角相等，灵活运用角的和差关系进行计算． （1）根据直角三角形的性质即可解决问题； （2）分两种情况画图，根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据角平分线定义与角的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，当与重合时， 三角形和三角形，，，，， ，； （2）如图3，， ， 如图4，， ， 综上所述：度数为或； （3），理由如下： 如图2，平分， ， 平分， ， ． 27．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，平面直角坐标系中，已知、、．    (1)将△ABC经过平移后得到，若点的坐标为，在图中画出； (2)顶点坐标为____________，的坐标为____________， (3)将绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是____________，旋转角的度数是___________． 【答案】(1)图形见详解 (2)， (3)， 【分析】本题考查了平移的性质和旋转的性质，能正确读出各个点的坐标是解答此题的关键． （1）根据点和点的坐标得出规律，再画出图形即可； （2）根据图象得出即可； （3）根据两三角形的顶点的坐标，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：顶点坐标为，顶点坐标为， 故答案为：，； （3）解：从图象可知：，，，，，， 将绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是，旋转角的度数是， 故答案为：，． 28．（2025·上海松江·模拟预测）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【答案】(1)①；；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，角度的计算； （1）①根据旋转的性质，角度的计算即可求解； ②根据旋转的性质，角度的计算，即可求解； （2）根据旋转的性质即可求解． 【详解】（1）解：①∵，四边形是正方形， ∴， ； ②∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【经典例题五 中心对称图形规律问题】 29．（2025七年级上·上海·专题练习）下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题：    (1)是轴对称图形的有 　 　，是中心对称图形的有 　 　（分别用图形的代码填空）． (2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律． 【答案】(1)①②③④⑤，①③⑤ (2)见解析 【分析】（1）中心对称图形：图形绕某一点旋后与原来的图形重合；轴对称图形：沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合； （2）花瓣个数的奇偶性影响了图形的对称性． 【详解】（1）解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义可知： 是轴对称图形的有①②③④⑤，是中心对称图形的有①③⑤． 故答案为：①②③④⑤；①③⑤． （2）解：规律：当“花瓣”是偶数个，既是中心对称图形，也是轴对称图形； 若花瓣是奇数个，则是轴对称图形． 【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．掌握相关定义是解题关键． 30．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，正方形点阵中，点A与点B关于点O成中心对称． (1)标出点O，在点阵中任选一格点C（不与A、B、O重合），作出C关于O的中心对称点D；若点A坐标为A（-2，4），请写出你作出的D点坐标； (2)指出以A、B、C、D为顶点的四边形形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析，（0，0）； (2)平行四边形． 【分析】（1）由中心对称的性质作图即可； （2）由中心对称的性质即可判断． 【详解】（1）如图： 若点A坐标为A（-2，4）,则． （2）平行四边形 理由：由中心对称，有 ∴四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】本题考查中心对称、平行四边形的性质，熟练掌握中心对称的性质是解题关键． 31．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边的中点处，求的周长． 【答案】14 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据折叠的性质可得，，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形的周长公式计算即可得． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴的周长为． 32．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 【答案】125. 【分析】表格中一共有25个数，通过观察可发现，以表格中心的5为中心点，其他每个数与其中心对称位置的数之和均为10，,的数一共有12组，再加上表格中心的5，即可巧妙求解. 【详解】解：∵(1+9)+(2+8）+（3+7）+（4+6）+…+（8+2）+（3+7）+（4+6）+（5+5）+（6+4）+5 =10×12+5 =120+5 =125 ∴这组数和为125． 【点睛】本题利用了表格中位置的中心对称关系，发现了数和数之间的关系，从而采取更为巧妙的方式进行了求和. 33．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求解； （2）过点作轴于点H，由题意易得，则有，然后根据勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称， ∴， 同理可得， ∴， ∴； 故答案为； （2）过点作轴于点H，如图所示： ∵△OA1B1是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标、等边三角形的性质、中心对称的性质及勾股定理，熟练掌握上述知识是解题的关键． 34．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析， 【分析】（1）由题意确定点，，的位置，再连线即可； （2）根据中心对称的性质求解即可； （3）作点关于轴的对称点，连接，交轴的交点即为所求的点． 【详解】（1）解：如图所示：   即为所求； （2）解： 由与关于点成中心对称，如图所示，则与是对称点， ，， 点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为， 故答案为：； （3）解：如图所示：   点即为所求，． 【点睛】本题考查作图轴对称变换、轴对称最短路线问题、中心对称，熟练掌握轴对称与中心对称的性质是解答本题的关键． 35．（24-25七年级上·上海金山·月考）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【答案】(1)15 (2) (3)24不是，28是，理由见解析 【分析】( 1 )根据规律求出即可； ( 2 )利用规律，解决问题即可； ( 3)利用(2)中结论求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：15 （2）由题意得： ， ， ， ， ， …… ∴． 故答案为： （3）24不是三角形数，28是三角形数， 理由：∵ 6和8相差2， 不符合等式中因数与相差1的规律， ∴24不是三角形数； 又∵， ∴， ∴， ∴28是三角形数． 【点睛】本题考查中心对称，列代数式，规律型∶图形的变化类等知识，解题的关键是利用数形结合找出规律． 【经典例题六 轴对称折叠问题】 36．（24-25七年级上·上海虹口·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【答案】（1）经过对称中心；（2）见解析；（3）经过两个中心对称图形的对称中心；（4）见解析 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据中心对称图形的性质解答即可； （2）连接，交于点，作直线即可； （3）根据（2）总结规律即可； （4）把几何图形分割成两个矩形，分别作出两个矩形的对称中心，，作直线即可． 【详解】解：（1）一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； （2）如图，直线即为所求； （3）由两个中心对称图形组合成的图形，经过两个中心对称图形的对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过两个中心对称图形的对称中心； （4）如图，直线即为所求． ． 37．（24-25七年级上·上海·期末）如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． (1)求的度数； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． （1）根据折叠的性质可得，，则，由此即可得； （2）根据折叠的性质可得，，再根据线段的和差可得，由此即可得． 【详解】（1）解：由折叠的性质得：，， ∵在长方形中，， ∴， ∴． （2）解：∵在长方形纸片中，，， ∴由折叠的性质得：，， ∴， ∴． 38．（24-25七年级上·上海普陀·期中）在纸面上画有一根数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与2 表示的点重合，则3表示的点与数_____________表示的点重合； (2)若表示的点与 3 表示的点重合，回答以下问题： 7表示的点与数___________表示的点重合； 若数轴上两点之间的距离为 (点在点的左侧，)，且两点经折叠后重合，则用含的代数式分别表示点、点在数轴上表示的数． 【答案】(1) (2)；②：，： 【分析】本题主要考查了折叠的性质、利用数轴上的点表示有理数，找到折痕点是解此题的关键． （1）由题意得出−2表示的点与2 表示的点关于原点对称，即可得解； （2）根据题意得出−1表示的点与 3 表示的点关于点1对称，再进行计算即可得解． 【详解】（1）解：表示的点与2 表示的点重合， 表示的点与2 表示的点关于原点对称， 3表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； （2）解：①表示的点与 3 表示的点重合， 对称点为：， 表示的点与 3 表示的点关于点1对称， ， 7表示的点与数表示的点重合， 故答案为：； ②由①可得表示的点与 3 表示的点关于点1对称， 数轴上两点之间的距离为 (点在点的左侧，)，且两点经折叠后重合， 点表示的数为，点表示的数为． 39．（24-25七年级上·上海长宁·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点A落在点G处，平分 (1)如图1，若与重合，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及平角的定义解答即可； （2）根据折叠的性质可得，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可； （3）根据折叠的性质可得，用的代数式分别表示出和，再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可． 【详解】（1）解：由折叠可知， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【点睛】该题主要考查了翻折变换及其应用问题，灵活运用翻折变换的性质是解题的关键． 40．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）（1）如图1，将一张三角形纸片沿着折叠，使点C落在边上的处，若，则__________，其中是的__________线． （2）如图2，将一张三角形纸片沿着折叠（点D，E分别在边，上），点A落在点的位置，若，则__________． （3）如图3，将长方形纸片沿着和折叠成图示的形状，和重合． ①求的度数． ②如果，求的度数．    【答案】（1），角平分；（2）；（3），． 【分析】（1）根据折叠的性质可得，即可求解； （2）根据三角形的内角和定理可得，根据折叠的性质可得，进而可求出； （3）①根据折叠的性质可得，，因此；由①的结论代入即可求解． 【详解】（1）根据折叠可得， ∴是的平分线，。 故答案为：，角平分 （2）∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴． 故答案为： （3）①由折叠，知，， ∴． ②由①知，， ∴． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的内角和定理，掌握折叠的性质是解题的关键． 41．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图①，在中，，，，，点是边上（不与底，重合）的一个动点，连接． （1）当线段把分成两个周长相等的三角形时，的长是多少？ （2）将沿直线折叠，当点恰好落在边上的处时，的长是多少？动手折一折并在图②中画出符合题意的图形． （3）当时，将绕点顺时针旋转的度数至的位置，连接，如图③，试判断线段和的位置关系并说明理由． 【答案】（1）6；（2）3，图见解析；（3）线段AB垂直平分线段EF，理由见解析 【分析】（1）设EC＝x．根据EC＋AC＝EB＋AB，构建方程求出x，可得结论． （2）图形如图所示，设EC＝EC′＝m．利用面积法构建方程求出m即可． （3）如图③中，结论：线段AB垂直平分线段EF．证明DE＝DF，AB⊥EF即可． 【详解】解：（1）设EC＝x，则BE＝8−x， ∵线段AE把△ABC分成两个周长相等的三角形， ∴AC＋AE＝AB＋EB， ∴6＋x＝8−x＋10， ∴x＝6， ∴当线段AE把△ABC分成两个周长相等的三角形时，CE的长是6． （2）图形如图所示，设EC＝EC′＝m． 由翻折的旋转可知AC＝AC′＝6，∠C＝∠AC′E＝90°， ∵S△ABC＝S△AEC＋S△ABE， ∴×6×m＋×10×m＝×6×8， ∴m＝3， ∴EC＝3． （3）如图③中，结论：线段AB垂直平分线段EF． 理由：由旋转的旋转可知，AD＝AC，∠CDF＝∠C＝90°，∠CAE＝∠DAF， ∵EC＝3， 由（2）可知，△ACE沿直线AE折叠，点C与D重合， ∴∠ADE＝∠C＝90°， ∴∠EDF＝180°， ∴E，D，F共线， ∵ED＝EC，DF＝EC， ∴DE＝DF， ∵AE＝AF， ∴AD⊥EF， ∴线段AB垂直平分线段EF． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了翻折变换，旋转变换，三角形面积，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是学会利用参数，利用面积法构建方程解决问题，属于中考常考题型． 42．（24-25七年级上·上海静安·期末）【问题情境】 如图1，在长方形中，，点在边上移动． 【提出问题】 （1）点是的中点，点是的中点，求线段的长． 【解决问题】 点在边上移动，点在边上移动，将长方形按图2所示的方式折叠，，为折痕，点落在处，点落在处，点，，始终在同一直线上． （2）若，求的度数： 【深入探究】 （3）当点在边上移动到图3的位䈯时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不变化， 【分析】本题考查了线段中点的有关计算、翻折问题及角平分线的有关计算， （1）根据线段中点定义及线段的和差计算即可； （2）由翻折得角平分线，根据角平分线的定义结合平角度数为180度即可解决； （3）根据（2）中计算方法推理说明即可． 【详解】解：（1）点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ， ； （2）折叠， ，， ， ， ， ； （3）不变化， 折叠， ，， ， ， ， 即． 【经典例题七 轴对称中作图问题】 43．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）（1）把三角形按作出变化后的图形． （2）把梯形绕下底左边的顶点顺时针旋转，画出旋转后的图形并作出原来梯形的对称轴． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，轴对称图形的性质，旋转的性质等内容，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用相似三角形的性质进行画图即可； （2）利用旋转的性质画图，然后根据轴对称图形的性质找出对称轴即可． 【详解】解：（1）画图如下： （2）画图如下： 44．（24-25七年级上·上海金山·期末）请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 (1)如图1，在四边形中，，； (2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查画对称轴，解题的关键是熟练掌握对称轴的定义． （1）过点和点作直线即可； （2）连接，，交于点，过点和点作直线即可． 【详解】（1）解：如图，直线为所求， 证明：连接，作直线， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴直线为线段的垂直平分线， ∴直线为轴对称图形的对称轴． （2）解：如图，直线为所求， 证明：连接，，交于点，作直线，交于点， ∵、、均为等边三角形， ∴，，，，，， ∴，，，，，， ∴点为的中点，，，， ∴ ∴，， ∴，， ∴， ∴直线为线段和线段的垂直平分线， ∴直线为轴对称图形的对称轴． 45．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作出该图形的对称轴l． (2)在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接两组对应点，进而交点连接即可； （2）连接两组对应点，进而交点连接，找到对称轴，再通过对称轴找到相应的对称点即可． 【详解】（1）解：如图，直线l为所求作． （2）如图，点F为所求作． 46．（24-25七年级上·上海静安·期中）如图①，和的顶点都在正方形网格中正方形格子的顶点上，我们把这样的三角形叫做“格点三角形”． (1)在图①的正方形网格中，格点和格点关于某条直线成轴对称，请画出图1中的对称轴． (2)请你利用轴对称的原理在图②，图③，图④中分别画出一个位置不同且与成轴对称的格点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． （1）根据轴对称图形的概念可得其对称轴； （2）根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形． 【详解】（1）解：如图所示，直线l（点划线）即为所求． ； （2）解：如图所示，即为所求． ． 47．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.    (1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴； (2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案； （2）根据轴对称的性质，对称线交点在对称轴上，结合，，，找到交点即可得到答案； 【详解】（1）解：由轴对称的性质可得， ∵，，， ∴与，与，关于对称轴对称， 连接即可得到对称轴，如图所示，    （2）解：由轴对称的性质可得， ∵，， ∴与关于对称轴对称， 连接交于一点，相交于一点，连接两点得到直线即为对称轴，如图所示； 【点睛】本题考查作对称轴及轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握：对称线交点在对称轴上． 48．（25-26七年级上·上海青浦·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，也在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)画出绕点按顺时针方向旋转后所得的； (3)与组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)与组成的图形是轴对称图形，画对称轴见解析． 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，旋转变换，轴对称的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据轴对称的性质，作出各对应点即可求解； （）将，，，沿点顺时针旋转即可得出对应点，然后连接即可； （）利用轴对称图形性质，画出对称轴即可． 【详解】（1）解：如图，作点，，关于直线对称，所以即为所求； （2）解：如图，作点，，，沿点顺时针旋转，所以即为所求； （3）解：与组成的图形是轴对称图形，作对称轴如图， 所以直线即为所求． 【经典例题八 中心对称的性质综合应用】 49．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，在等腰直角中，，，的边在水平直线上，将沿着水平方向向右平移6个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度得到，此时恰好落在直线上． (1)的长度为________个单位长度； (2)可以由经过两次旋转得到，我们可以先将绕点旋转，再将旋转后得到的三角形绕某点旋转就可以得到，请在图1中画出第一次旋转后的三角形和第二次旋转中心的位置； (3)还可以由经过两次轴对称得到，请在图2中画出第一次轴对称后的三角形和两条对称轴（只要求画出符合条件的一种情况即可，保留作图痕迹）． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，画轴对称图形和画旋转图形，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平移的性质可得，据此可得答案； （2）如图所示，延长到使得，在上截取，则为第一次的旋转图形，连接二者交于O，点O即为所求； （3）以过点且垂直于的直线为对称轴作的轴对称图形，再以垂直平分的直线为对称轴即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求． 50．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，点和的三个顶点都在方格图的格点上，请画出，使和关于点成中心对称． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置．根据网格结构找出点A、、关于点的对称点、、的位置，然后顺次连接即可． 【详解】解：如图所示． 51．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出将向右移动4个单位长度后的三角形； (2)在图2中画出与成中心对称且顶点都在格点上的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查网格内平移作图，作已知图形关于某点对称的图形： （1）将的顶点分别向右移动4个单位长度，顺次连接即可； （2）选择点A为对称中心，利用格点找出点B，C关于点A的对称点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 52．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)15 (3)平行四边形，理由见解析 【分析】（1）根据中心对称的性质，对称中心在线段AD、CF上，则连接AD和CF，它们的交点即为对称中心O； （2）根据中心对称的两个三角形全等可得到△DEF各边的长，然后计算△DEF的周长； （3）根据中心对称的性质得OA=OD，OC=OF，则根据平行四边形的判定方法可判断四边形ACDF为平行四边形． 【详解】（1）如图，点O为所作： （2）∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴△ABC≌△DEF， ∴DF=AC=6，DE=AB=5，EF=BC=4， ∴△DEF的周长=4+5+6=15； （3）四边形ACDF为平行四边形．理由如下： ∵△ABC和△DEF关于点O成中心对称， ∴OA=OD，OC=OF， ∴四边形ACDF为平行四边形． 【点睛】本题考查了中心对称的性质．也考查了平行四边形的判定．熟练掌握中心对称的性质和平行四边形的判定方法是解答本题的关键． 53．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查利用轴对称图形和中心对称图形的定义设计图案，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，并熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键 （1）根据轴对称图形的定义画出图形即可； （2）根据中心对称图形的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是轴对称图形 （2）如下图，4个涂阴影的小三角形组成的图形是中心对称图形． 54．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出与关于原点O成中心对称的； (2)画出将先向左平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图-旋转变换，平移变换，解决本题的关键是掌握旋转和平移的性质． （1）根据旋转的性质即可作关于点O成中心对称的； （2）根据平移的性质即可将向左平移7个单位，再向下平移4个单位作出平移后的． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 55．（25-26七年级上·上海金山·开学考试）如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）判断出时间的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断的位置，再根据，构建方程求解； （3）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点在线段上，或在线段上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当时，， 故答案为：； （2）解：当时，不重合， 当重合时，， ； （3）解：当时，或， 解得，或， （4）解：当点在上时，连接，如图甲所示， ， ， ∵， ∴， 解得； 当点在上时，如图乙所示， ， ， ， 解得； 综上所述，的值为或． 56．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点，，对应； (2)画出三角形绕点按逆时针方向旋转后的图形，记作三角形，其中点，，分别与点、、对应； (3)将三角形绕点按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点按逆时针方向旋转得三角形．小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确，请描述这个运动过程；如果认为不正确，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)小明的观点正确，即三角形经过一次运动（绕点顺时针旋转）就能和三角形重合 【分析】本题考查作图-旋转变换，中心对称，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （3）利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：正确． 由题意可得到顺时针旋转，到逆时针旋转， 则到顺时针方向旋转， 三角形绕点按顺时针方向旋转得到三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 图形的运动章末56道压轴题型专训（8大题型） 题型一 轴对称中的光线反射问题 题型二 根据平移性质求周长与面积问题 题型三 根据旋转的性质求解综合应用 题型四 旋转中的角度问题 题型五 中心对称图形规律问题 题型六 轴对称折叠问题 题型七 轴对称中作图问题 题型八 中心对称的性质综合应用 【经典例题一 轴对称中的光线反射问题】 1．（24-25七年级·上海杨浦·课后作业）小明家中客厅的南北长度是，在客厅西墙上装了一面很大很大的镜子，客厅的门在东墙.某日小敏去小明家，刚进门就说：“呀，你家客厅好大呀，估计有50多平方米吧？”小明说：“没有，不足30平方米.”请你解释，两人的估算怎么会差别如此之大？究竟谁说错了呢？ 2．（24-25七年级上·上海崇明·期中）如图，是两面互相平行的镜面，一束光线照射到镜面上，反射光线为，则．用尺规作出，使得． 3．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）判断说理：元旦联欢会上，七年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 4．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图,(1)  A、B、C三点表示3个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校与3个村庄的距离相等，请你在图中用尺规作图确定学校的位置．(保留作图痕迹,不写画法) （2）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A，B两城镇供气．泵站修在什么地方，可使所用的输气管线最短? 5．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图1，是平面镜，若入射光线与水平镜面夹角为，反射光线与水平镜面夹角为，则；当入射光线与镜面垂直时，反射光线也与镜面垂直，即．这个过程称为一次反射． (1)如图2，有两块足够长的平面镜，一束光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出的光线与光线平行，当时，___________，___________； (2)如图3，有两块足够长的平面镜，一束与镜面平行的光线射到平面镜上，经过两次反射后，射出光线与镜面平行，求度数； (3)在（2）的条件下，不改变入射光线与平面镜的夹角的大小，将绕点顺时针旋转一定度数后（与重合前停止），能否使光线经过三次或四次反射后，最终射出光线与镜面或平行，若能请求出度数；若不能请说明理由． 6．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）综合与实践：科学研究发现，射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等（如图1中，）．七年级某学习小组围绕该结论开展主题学习活动． 【生活案例】 （1）如图2是潜望镜工作原理示意图，潜望镜中的两面镜子，是平行放置的，光线经过镜子，两次反射后得到光线．则与的位置关系是______． 【变式思考】 （2）如图3，调整镜子，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 【拓展运用】 （3）调整图3中的镜子使，重合，并改变它们的角度，光线经过镜子，两次反射后得到光线．若，求两面镜子夹角的度数． 7．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）将两面镜子用胶带连在一起，并打开呈夹角时，在中间放置一个蜡烛，在镜中能看见5个完整的蜡烛（如图1）．你知道为什么吗？ 我们可以把两面镜子用直线、代替，设蜡烛放置于点，作出点关于、的对称点为，即为两个镜中的像（如图2）．继续作出关于的对称点为（如图3），最后作出关于的对称点，均为（如图4），这样，我们就作出了点在两面镜子中的5个像． (1)如图5，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛； (2)如图6，当两面镜子呈夹角时，镜中能看见_______个完整的蜡烛．请你借助网格完成作图，并标注相应的字母； (3)试猜想，若两面镜子呈夹角，且为整数时，理论上在镜中能看见_______个完整的蜡烛． 【经典例题二 根据平移性质求周长与面积问题】 8．（25-26七年级上·上海杨浦·单元测试）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点，若，，，求阴影部分的面积． 9．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图所示，在直角三角形中，，，，将沿方向向右平移得到，若，． (1)求向右平移的距离的长； (2)求四边形的周长． 10．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，在两个相同的长方形、中，边、完全重合，边、在一条直线上，，，长方形不动，将长方形沿射线方向平移，速度为每秒，时间为t． (1)请分别求出和时两个长方形重叠部分的面积； (2)当为何值时，重叠部分的面积等于长方形面积的一半？ 11．（24-25七年级上·上海崇明·期末）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，三角形ABC的A、B、C三个顶点都在格点（网格线的交点）上． （1）已知点F在格点上，将三角形ABC平移，得到三角形DEF，使A与D，B与E，C与F分别对应，画出三角形DEF； （2）连接AD，连接CF、BE，若AD＝m，则四边形CFEB的周长是多少？（用含m的式子表示） 12．（24-25七年级上·上海宝山·期末）利用直尺画图： (1)利用图1中的网格，过点P画直线的平行线和垂线； (2)把图2中三条线段通过平移使三条线段、、首尾顺次相连组成一个三角形； (3)如果图2中的方格的边长为单位1，那么图2中组成的三角形的面积等于______． 13．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）千年古镇佛堂首条过江隧道（朝阳路隧道）施工场地上，看到如图1所示的向导标识，它是道路施工安全标志，表示车辆（行人）向左或向右行驶（行走），为其作出正确的向导．请利用如图2所示的正方形网格，解决下列问题： (1)如图2网格中是该安全标志的某一部分图形，请画出该部分图形向右平移4格后的图形，并标注的对应点； (2)完成（1）后，图2中线段与的关系是 ． (3)求折线在平移过程中扫过的面积． 14．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【经典例题三 根据旋转的性质求解综合应用】 15．（25-26七年级上·上海金山·期中）在如图所示的正方形网格中，和的顶点均在格点上，易证，可经过一次旋转后与完全重合． (1)请你在图形中确定旋转中心的位置； (2)请直接写出旋转角（）的大小． 16．（25-26七年级上·上海嘉定·期中）如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的顶点都在格点． (1)在图（1）中，点D在边上，先画的中线，再连接，并画线段绕点E旋转的对应线段； (2)在图（2）中，先画的高，再画线段绕点A逆时针旋转的对应线段． 17．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，的顶点坐标分别为，，． (1)请画出以点为旋转中心，逆时针旋转后得到； (2)在（）的条件下，请求出的面积． 18．（25-26七年级上·上海闵行·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． (1)在图1中画出向左平移5个单位长度后的图形，记作，并写出点的坐标； (2)在图2中画出绕点逆时针旋转90°后的图形，记作，并写出点的坐标； (3)将（2）中的向下平移6个单位长度得到，若直接旋转得到，则旋转中心点的坐标是 ． 19．（24-25七年级上·上海嘉定·阶段练习）如图，正方形中，点E是线段延长线上一点，连接，，． (1)将线段沿着射线方向运动，使得点A与点B重合，用代数式表示线段扫过的平面部分的面积为 ． (2)将三角形绕平面内某一点顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合，请在备用图中画出符合条件的4种情况，并写出旋转中心、旋转角． 20．（24-25七年级上·上海普陀·期末）如图，在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为（正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度）． (1)画出与关于原点成中心对称； (2)以坐标原点为旋转中心，将逆时针旋转，得到，画出； (3)是的边上一点，经平移后点的对应点为，请画出平移后的，直接写出边在平移过程中扫过的面积______． 21．（2025·上海金山·模拟预测）李老师在课堂上提出一个问题： 如图（1），在直角三角形纸片中，，，．四边形是正方形，求图中阴影部分的面积． 下面是某个数学小组的讨论片段． 小明：先证明，再根据相似三角形的对应边的比例关系，列出方程，求得正方形的边长，即可求得阴影部分的面积． 小芳：小明的方法比较麻烦，只要将绕点E逆时针旋转一定的角度至的位置，如图（2），就能将阴影部分转化到一个三角形里，从而轻松解决问题． (1)根据小芳的方法，旋转角的度数为______； (2)请选择小芳的方法，写出详细的求解过程． 【经典例题四 旋转中的角度问题】 22．（24-25七年级上·上海杨浦·单元测试）在正方形中，点E在上，点F在上，，按顺时针方向旋转一个角度后成，如图所示． (1)哪一个点是旋转中心，旋转角度等于多少？ (2)指出图中的对应线段和对应角； (3)求的度数． 23．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． (1)求证：平分； (2)试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； (3)若，请你求出的度数． 24．（2025·上海闵行·模拟预测）已知，如图，，线段BA绕点A逆时针旋转90°得到线段AC．连接BC，OA，OC，过点O作于点D． (1)依题意补全图形； (2)求的度数． 25．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，中，，，点D是上一点，点M是上一动点，连接，将绕点M顺时针旋转得到，连接． (1)如图1，当点M与点A重合时，连接，猜想，和有怎样的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点M不与点A重合时，连接，求的度数； (3)若，，请直接写出当长度达到最小时的长 26．（24-25七年级上·上海奉贤·期末）在同一平面内，三角形和三角形，，，，．三角形保持不动，三角形绕点顺时针旋转，即． (1)如图1，当与重合时，写出和的度数； (2)三角形从（1）中的图1位置开始旋转，在旋转过程中，两个三角形有一组边互相平行时，画出图形，写出相应的度数； (3)如图2，若和分别是和的平分线，写出的大小，并说明理由． 27．（24-25七年级上·上海宝山·期末）如图，平面直角坐标系中，已知、、．    (1)将△ABC经过平移后得到，若点的坐标为，在图中画出； (2)顶点坐标为____________，的坐标为____________， (3)将绕点沿顺时针方向旋转后得到，则点的坐标是____________，旋转角的度数是___________． 28．（2025·上海松江·模拟预测）某校数学兴趣小组将两个边长不相等的正方形和正方形按照图方式摆放，点，，在同一条直线上，点在上． (1)操作与发现 如图2，将正方形绕点逆时针旋转． ①当时，求，，的度数； ②正方形旋转过程中，你发现与的有何数量关系？与的有何数量关系？请直接写出你发现的结论，不需要证明． (2)类比探究 如图3，将正方形绕点顺时针旋转．上面②中你发现的结论是否仍然成立？请说明理由． 【经典例题五 中心对称图形规律问题】 29．（2025七年级上·上海·专题练习）下面是由半径相同的圆组成的花瓣，观察图形，回答下列问题：    (1)是轴对称图形的有 　 　，是中心对称图形的有 　 　（分别用图形的代码填空）． (2)若“花瓣”在圆中是均匀分布的，试根据（1）小题的结果总结“花瓣”的个数与花瓣图形的对称性（轴对称或中心对称）之间的规律． 30．（24-25七年级上·上海长宁·期末）如图，正方形点阵中，点A与点B关于点O成中心对称． (1)标出点O，在点阵中任选一格点C（不与A、B、O重合），作出C关于O的中心对称点D；若点A坐标为A（-2，4），请写出你作出的D点坐标； (2)指出以A、B、C、D为顶点的四边形形状，并说明理由． 31．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）如图，中，，，点D为边上一点，将沿折叠，点B恰好落在边的中点处，求的周长． 32．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）有一组数排成方阵，如图所示，试计算这组数的和．小明想了想，方阵象正方形，正方形是轴对称图形，又是中心对称图形，能否利用轴对称和中心对称的思想来解决方阵的计算问题呢？小明试了试，竞得到了非常巧妙的方法，你能试试看吗？ 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 5 6 7 8 9 33．（2025·上海奉贤·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称． （1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为　 　，　 　，　 　； （2）连接A1B2，求A1B2的长． 34．（24-25七年级上·上海青浦·期中）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标为，，，各顶点的坐标为，，．    (1)在图中作出关于轴对称的图形； (2)若与关于点成中心对称，则点的坐标是______； (3)在轴上找一点，使得最小，并写出点的坐标．（不写解答过程，直接写出结果） 35．（24-25七年级上·上海金山·月考）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： (1)如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数（表示第n个三角形数），由图形可得，，，， ； (2)为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，∴ ；（用含n的代数式表示） (3)根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【经典例题六 轴对称折叠问题】 36．（24-25七年级上·上海虹口·期中）【问题探究】 （1）如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图①可总结规律：一个中心对称图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． （2）图②是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图②的阴影部分分成面积相等的两部分．（不写画图过程，保留画图痕迹） 【总结规律】 （3）由两个中心对称图形组合成的图形，______的直线将它分成面积相等的两部分． 【拓展应用】 （4）如图③是一块农田的平面图，要分给两户村民种植（分成面积相等的两部分），请你帮助他们用一条直线分开．（不写画图过程，保留画图痕迹） 37．（24-25七年级上·上海·期末）如图所示，在长方形纸片中，，，点E在边上，将沿折叠，点C恰巧落在边上的点F处，点G在上，将沿折叠，点A恰好落在线段上的点H处． (1)求的度数； (2)求的值． 38．（24-25七年级上·上海普陀·期中）在纸面上画有一根数轴，现折叠纸面． (1)若表示的点与2 表示的点重合，则3表示的点与数_____________表示的点重合； (2)若表示的点与 3 表示的点重合，回答以下问题： 7表示的点与数___________表示的点重合； 若数轴上两点之间的距离为 (点在点的左侧，)，且两点经折叠后重合，则用含的代数式分别表示点、点在数轴上表示的数． 39．（24-25七年级上·上海长宁·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，点A落在点G处，平分 (1)如图1，若与重合，求的度数； (2)如图2，若，求的度数； (3)如图3，若，求的度数（用的式子表示）． 40．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）（1）如图1，将一张三角形纸片沿着折叠，使点C落在边上的处，若，则__________，其中是的__________线． （2）如图2，将一张三角形纸片沿着折叠（点D，E分别在边，上），点A落在点的位置，若，则__________． （3）如图3，将长方形纸片沿着和折叠成图示的形状，和重合． ①求的度数． ②如果，求的度数．    41．（24-25七年级上·上海静安·期末）如图①，在中，，，，，点是边上（不与底，重合）的一个动点，连接． （1）当线段把分成两个周长相等的三角形时，的长是多少？ （2）将沿直线折叠，当点恰好落在边上的处时，的长是多少？动手折一折并在图②中画出符合题意的图形． （3）当时，将绕点顺时针旋转的度数至的位置，连接，如图③，试判断线段和的位置关系并说明理由． 42．（24-25七年级上·上海静安·期末）【问题情境】 如图1，在长方形中，，点在边上移动． 【提出问题】 （1）点是的中点，点是的中点，求线段的长． 【解决问题】 点在边上移动，点在边上移动，将长方形按图2所示的方式折叠，，为折痕，点落在处，点落在处，点，，始终在同一直线上． （2）若，求的度数： 【深入探究】 （3）当点在边上移动到图3的位䈯时，的大小是否发生变化？如果不变，求出的度数；如果变化，请说明理由． 【经典例题七 轴对称中作图问题】 43．（2025七年级上·上海长宁·专题练习）（1）把三角形按作出变化后的图形． （2）把梯形绕下底左边的顶点顺时针旋转，画出旋转后的图形并作出原来梯形的对称轴． 44．（24-25七年级上·上海金山·期末）请你利用无刻度直尺画出下列图形的对称轴 (1)如图1，在四边形中，，； (2)如图2，三个等边三角形如图所示放置，且点、、在一条直线上． 45．（24-25七年级上·上海宝山·阶段练习）已知图1、图2都是轴对称图形，请仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)在图1中，作出该图形的对称轴l． (2)在图2中，E为上一点，在上作一点F，使得． 46．（24-25七年级上·上海静安·期中）如图①，和的顶点都在正方形网格中正方形格子的顶点上，我们把这样的三角形叫做“格点三角形”． (1)在图①的正方形网格中，格点和格点关于某条直线成轴对称，请画出图1中的对称轴． (2)请你利用轴对称的原理在图②，图③，图④中分别画出一个位置不同且与成轴对称的格点． 47．（24-25七年级上·上海杨浦·课后作业）请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写画法，保留作图痕迹.    (1)如图①，四边形中，，，，画出四边形的对称轴； (2)如图②，四边形中，，，画出边的垂直平分线. 48．（25-26七年级上·上海青浦·开学考试）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，也在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)画出绕点按顺时针方向旋转后所得的； (3)与组成的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请画出对称轴． 【经典例题八 中心对称的性质综合应用】 49．（24-25七年级上·上海闵行·期中）如图，在等腰直角中，，，的边在水平直线上，将沿着水平方向向右平移6个单位长度，再沿竖直方向向上平移3个单位长度得到，此时恰好落在直线上． (1)的长度为________个单位长度； (2)可以由经过两次旋转得到，我们可以先将绕点旋转，再将旋转后得到的三角形绕某点旋转就可以得到，请在图1中画出第一次旋转后的三角形和第二次旋转中心的位置； (3)还可以由经过两次轴对称得到，请在图2中画出第一次轴对称后的三角形和两条对称轴（只要求画出符合条件的一种情况即可，保留作图痕迹）． 50．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，点和的三个顶点都在方格图的格点上，请画出，使和关于点成中心对称． 51．（24-25七年级上·上海虹口·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，每个小正方形的边长为1个单位长度，的三个顶点都在格点上． (1)在图1中画出将向右移动4个单位长度后的三角形； (2)在图2中画出与成中心对称且顶点都在格点上的三角形． 52．（24-25七年级上·上海松江·期中）如图，和关于点成中心对称． (1)找出它们的对称中心； (2)若，，，求的周长； (3)连接，，试判断四边形的形状，并说明理由． 53．（24-25七年级上·上海宝山·期中）如图1，都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，将其中四个小等边三角形涂上阴影． (1)请在图2中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是轴对称图形； (2)请在图3中再将两个小三角形涂上阴影，使得阴影部分的图形是中心对称图形． 54．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)画出与关于原点O成中心对称的； (2)画出将先向左平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度后的． 55．（25-26七年级上·上海金山·开学考试）如图，在长方形中，，．点P从点A出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，沿以每秒1个单位的速度向点B运动，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)当点P在边上运动时，______（用含t的代数式表示）； (2)当点P与点Q重合时，求t的值； (3)当时，求t的值； (4)若点P关于点B的中心对称点为点，直接写出的面积是面积的一半时t的值． 56．（2025七年级上·上海杨浦·专题练习）如图，已知点O与三角形． (1)画出三角形关于点O成中心对称的图形，记作三角形，其中点A、B、C分别与点，，对应； (2)画出三角形绕点按逆时针方向旋转后的图形，记作三角形，其中点，，分别与点、、对应； (3)将三角形绕点按顺时针方向旋转得三角形，再将三角形绕点按逆时针方向旋转得三角形．小明认为，三角形经过一次运动就能和三角形重合，他的观点正确吗？如果认为正确，请描述这个运动过程；如果认为不正确，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $