专题04 等腰三角形章末易错必刷题型专训（60题20个考点）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦等腰三角形核心考点，以20个易错模块系统覆盖定义、性质、判定及综合应用，通过60道典型题构建从基础到综合的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形的定义|3题|边长分类讨论|概念辨析→分类思想| |等边对等角|3题|角度计算与旋转综合|性质应用→动态几何| |三线合一|3题|性质证明与实际应用|性质深化→模型构建| |等边三角形性质与判定|6题|面积计算与动点问题|特殊化拓展→综合应用| |线段垂直平分线|6题|性质应用与作图|关联概念→知识迁移| |综合应用|9题|多知识点结合证明|方法整合→逻辑推理|

专题04 等腰三角形章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 等腰三角形的定义】 1．（25-26八年级上·天津·期中）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（    ） A．11 B．14 C．19 D．14或19 2．（25-26八年级上·江苏·期中）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为______． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，已知，把绕着点A顺时针旋转到的位置，使得点D，A，C在同一直线上． 则 ，的对应边是 ；的对应角是 ；上述旋转的旋转角度等于 °．若连结，按边来分类，属于 三角形． 【易错必刷二 等边对等角】 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，借助量角器，可以计算的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点B，D，E在同一条直线上，，则的度数为___________． 6．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，有甲、乙两个三角形．甲三角形的内角分别为，，；乙三角形的内角分别为，，．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数． 【易错必刷三 三线合一】 7．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 8．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 9．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【易错必刷四 根据三线合一求解与证明】 10．（25-26八年级上·北京·期末）如图是屋架设计图的一部分，已知，点D在上．下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 __． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【易错必刷五 根据等边对等角证明】 13．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，若，点在边上，则下列结论中不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 14．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，，点D是的延长线上一点，，则__________． 15．（2025·湖南益阳·三模）如图，与的顶点C 重合，交于点F，已知，． 求证：． 【易错必刷六 根据等角对等边求边长】 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 17．（24-25八年级上·福建莆田·期中）上午9时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为________海里． 18．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，上午时，一条船从海岛出发，以海里小时的速度向正北方向航行，时到达海岛处．在海岛测得灯塔在北偏西的方向上，在海岛测得灯塔在南偏西的方向上，求海岛到灯塔的距离． 【易错必刷七 三角形边角的不等关系】 19．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 20．（25-26八年级上·吉林松原·期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件______．（只需填上一个即可） 21．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）在三角形边长关系的探究课上，老师给超越实践小组的成员每人分发了一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．该实践小组有两位成员制作的三角形三条边的数据（单位：）如下： 超越实践小组成员 第一条边 第二条边 第三条边 欣欣 4 4 4 轩轩 a ________ (1)欣欣制作的三角形每个内角的度数为________． (2)试判断轩轩制作的三角形中a的值能否为3，并说明理由． 【易错必刷八 根据等角对等边证明等腰三角形】 22．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）在中，，，则是（     ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 23．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________· 24．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【易错必刷九 根据等角对等边证明边相等】 25．（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，上午8时，一艘船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达处，从，两点望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离为（   ） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．25海里 26．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，中，分别平分，交于点O，过O点作直线平行于，分别交于点D，E，若，，则的长度为________．    27．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，平分，，垂足为点D，．求证：．    【易错必刷十 等边三角形的性质】 28．（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 29．（2025·湖南常德·二模）如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则__________． 30．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在等边三角形中，的平分线与的平分线相交于，过点作交于点，交于点，，求的长．    【易错必刷十一 等边三角形的判定】 31．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 32．（24-25八年级上·山西大同·月考）小佳同学复习时将三角形按边长的等量关系整理成下表，请帮她在括号内填上一个适当的条件，该条件可以是________．（填写一个条件即可）    33．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，交于点D，交于点E．求证：是等边三角形．    【易错必刷十二 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 34．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 35．（25-26七年级下·上海松江·阶段练习）如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 36．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，且，求及的度数． 【易错必刷十三 线段垂直平分线的性质】 37．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，点，分别在，的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为（    ） A．24cm B．19cm C．17cm D．12cm 38．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，中，，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则最小值为______． 39．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【易错必刷十四 线段垂直平分线的判定】 40．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 41．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______． 42．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点F． (1)若的长为，则的周长为________； (2)若，求的度数； (3)判断点F是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【易错必刷十五 利用垂直平分线求周长】 43．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，若的周长为22，，则的周长为（    ） A．26 B．20 C．18 D．14 44．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与，相交于点D，E，连接．若，的周长为18，则的周长为______． 45．（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 【易错必刷十六 作等腰三角形(尺规作图)】 46．（2025·河北石家庄·一模）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   47．（2025·山东淄博·二模）如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 48．（25-26八年级下·陕西西安·期中）尺规作图：（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 如图，中，，，利用尺规在边上求作一点，使． 【易错必刷十七 作垂线(尺规作图)】 49．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．25 50．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 51．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）尺规作图： 制作一个轴对称的风筝，需要两根支撑的龙骨．一根是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．如图，现在在一张纸上画好了风筝的轮廓，，请在下列操作提示下，用圆规和无刻度的直尺完成以下绘制（无须写出作法，但要保留作图痕迹）： (1)操作1：画出三角形风筝的“主龙骨”； (2)操作2：“副龙骨”经过边上的点，请画出“副龙骨”． 【易错必刷十八 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）】 52．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 54．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【易错必刷十九 等边三角形的判定和性质综合】 55．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度，使点落在边上的点处得到，连接．若，求的度数． 56．（24-25八年级上·吉林·月考）如图，已知等边三角形和等边三角形，P、Q分别为、的中点，试判断的形状并说明理由． 57．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图． (1)如图①，作出一个边长等于的等边三角形； (2)如图②，作出一个周长等于的等边三角形． 【易错必刷二十 等腰三角形的性质与判定综合】 58．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）如图，，是的高，且．试说明是等腰三角形． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，．求证：．（本题求解不得使用全等） 60．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）在中，P是边上的一点，过点P作的垂线，交于点Q，交的延长线于点R．若，求证：是等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 等腰三角形章末易错必刷题型专训（60题20个考点） 【易错必刷一 等腰三角形的定义】 1．（25-26八年级上·天津·期中）已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为8，则它的周长是（    ） A．11 B．14 C．19 D．14或19 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用以及等腰三角形的定义；等腰三角形有两条边相等，需分情况讨论哪边为腰、哪边为底，并验证是否满足三角形三边关系. 【详解】解：设等腰三角形两边长分别为3和8； ①若腰为3，底为8，则三边为3、3、8； ∵ ，不满足两边之和大于第三边，22 ∴ 不能构成三角形； ②若腰为8，底为3，则三边为8、8、3； ∵ ，，满足三边关系， ∴ 可以构成三角形； 周长为. 故选：C. 2．（25-26八年级上·江苏·期中）等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的定义及三角形三边关系，分两种情况并利用三角形的三边关系进行判定是解题的关键．分边长为4的边为腰和边长为8的边为腰两种情况进行讨论，并利用三角形的三边关系进行判断，再计算其周长即可． 【详解】解：当腰长为4时，三角形的三边长为：4、4、8，因为，不满足三角形的三边关系，此时不能构成三角形； 当腰长为8时，三角形的三边长为：8、8、4，，满足三角形的三边关系，其周长为． 故答案为：20． 3．（24-25七年级下·河南南阳·期末）如图，已知，把绕着点A顺时针旋转到的位置，使得点D，A，C在同一直线上． 则 ，的对应边是 ；的对应角是 ；上述旋转的旋转角度等于 °．若连结，按边来分类，属于 三角形． 【答案】；；；；等腰 【分析】本题考查了旋转变换的性质，理解旋转三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度的概念、掌握旋转变换的性质是解题的关键．根据旋转的性质解答即可． 【详解】解： ∵绕着点A顺时针旋转到的位置，点D， A， C在同一直线上， 则；的对应边是；的对应角是； ∴， ∴旋转了； 根据旋转的性质，可知，所以是等腰三角形． 故答案为：；；；；等腰． 【易错必刷二 等边对等角】 4．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，借助量角器，可以计算的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的定义，等腰三角形的性质． 先根据邻补角的定义求出，再根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】如图，连接， 由图可知，， ∴． ∵， ∴． 故选B． 5．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若点B，D，E在同一条直线上，，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质．根据旋转的性质得出，，，推出，即可推出结果． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，有甲、乙两个三角形．甲三角形的内角分别为，，；乙三角形的内角分别为，，．你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出各角的度数． 【答案】能，图见解析； 【分析】根据等腰三角形的两个底角相等，图甲以角的顶点为顶点，向三角形内作的角，图乙以角的顶点为顶点，向三角形内作的角，即可作答． 【详解】：能； 甲图的分法，各角度数标注如图： 乙图的分法，各角度数标注如图： 【点睛】本题考查等腰三角形的性质．熟练掌握等边对等角，是解题的关键． 【易错必刷三 三线合一】 7．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳与，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆．工程人员这种操作方法的依据是（   ） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：根据题意，得，， ∴，即， 故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”， 故选：B． 8．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 9．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，在中，，为中点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形性质，三角形的面积； （1）由等腰三角形的性质“三线合一”，即可得证； （2）由三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：，为中点， ． （2）解：的面积 （）． 【易错必刷四 根据三线合一求解与证明】 10．（25-26八年级上·北京·期末）如图是屋架设计图的一部分，已知，点D在上．下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，垂线的定义，由三线合一定理可判断A、B；由垂线的定义可判断D；由和现有条件无法证明，则可判断C． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴平分， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、由和现有条件无法证明，故此选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 11．（24-25八年级上·浙江嘉兴·期中）李老师在探究等腰三角形“三线合一”性质时，部分板书如图所示，请帮他在横线上填一个适当的结论 __． 【答案】，平分． 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质进行填空即可． 【详解】，， 是等腰三角形， ，平分， 故答案为：，平分． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握等腰三角形“三线合一的性质． 12．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，已知，，与相交于点． 求证：． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形“三线合一”的性质，进行证明即可． 【详解】证明：，，， ， ，又， ． 【易错必刷五 根据等边对等角证明】 13．（24-25七年级下·重庆南岸·期末）如图，若，点在边上，则下列结论中不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质可直接进行排除选项． 【详解】解：∵， ∴，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 与不一定相等， 故A、C、D都是正确的，不符合题意；B选项是错误的，符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 14．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，，点D是的延长线上一点，，则__________． 【答案】2 【分析】根据等边对等角性质，解得，再由三角形外角性质解得，最后根据含30°角直角三角形的性质解题． 【详解】∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查含30°角直角三角形的性质、三角形外角性质、等边对等角性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 15．（2025·湖南益阳·三模）如图，与的顶点C 重合，交于点F，已知，． 求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质、平行线的性质及全等三角形的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后根据“”可判定三角形全等． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴． 【易错必刷六 根据等角对等边求边长】 16．（25-26八年级下·陕西咸阳·月考）如图，点为右侧一点，连接，若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等角对等边，由 可得 ，由 可得 ，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25八年级上·福建莆田·期中）上午9时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为________海里． 【答案】45 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定． 根据“路程＝速度×时间”可求得的长，又由，，可得，即可证得，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】解：根据题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴海里， 即从海岛B到灯塔C的距离是45海里． 故答案为：45海里． 18．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，上午时，一条船从海岛出发，以海里小时的速度向正北方向航行，时到达海岛处．在海岛测得灯塔在北偏西的方向上，在海岛测得灯塔在南偏西的方向上，求海岛到灯塔的距离． 【答案】海岛到灯塔的距离为海里 【分析】根据题意可得：海里，，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用等角对等边即可解答． 【详解】解：由题意得： 海里，， ， ， 海里， 海岛到灯塔的距离为海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【易错必刷七 三角形边角的不等关系】 19．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）“在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大”，根据上述结论，判断下列说法： ①在中，如果，那么 ②在中，如果，且，那么是锐角三角形 ③在中，如果，那么 ④在中，如果，那么是锐角三角形 其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查三角形的边角关系，三角形的分类，等边三角形的判定，掌握知识点是解题的关键． 根据“大边对大角”的性质及三角形内角和定理判断各说法；①③④正确，②错误． 【详解】解：∵在中，， ∴根据大边对大角，对，对，对， ∴，故①正确． ∵且， ∴且， 又∵， ∴， 若，则为钝角三角形，故②错误． ∵， ∴， 又∵最小，对应对角最小， ∴，故③正确． ∵， ∴为等边三角形，所有角均为，为锐角三角形，故④正确． ∴正确的个数为3． 故选C． 20．（25-26八年级上·吉林松原·期末）小明同学复习几种三角形的关系时发现，通过增加特殊的边或者角的条件能得到新的三角形，通过小明整理的思维导图，请帮他在括号内▲处填上一个适当的条件______．（只需填上一个即可） 【答案】或或或或（写一个即可） 【分析】本题考查等边三角形的判定，根据是等腰三角形，且，结合三边相等的三角形是等边三角形、有一个角是的等腰三角形是等边三角形添加条件判定即可得到答案，熟记等边三角形的判定是解决问题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，且， 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 当时，是等边三角形； 故答案为：或或或或（写一个即可）． 21．（25-26八年级上·山西阳泉·期末）在三角形边长关系的探究课上，老师给超越实践小组的成员每人分发了一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．该实践小组有两位成员制作的三角形三条边的数据（单位：）如下： 超越实践小组成员 第一条边 第二条边 第三条边 欣欣 4 4 4 轩轩 a ________ (1)欣欣制作的三角形每个内角的度数为________． (2)试判断轩轩制作的三角形中a的值能否为3，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能为3；见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形三边关系，求不等式组的解集． （1）先判断欣欣制作的三角形是等边三角形，据此求解即可； （2）当a的值为3时，求得三边的长，利用三角形三边关系即可判断； 【详解】（1）解：由题意得三边长都是4， 欣欣制作的三角形是等边三角形， 则每个内角的度数为， 故答案为：； （2）解：欣欣制作的三角形塑料管的长度为， 当a的值为3时，第一条边为3，第二条边为， 则第三条边为， ∵， ∴3，2，7不能构成三角形， ∴轩轩制作的三角形a的值不能为3． 【易错必刷八 根据等角对等边证明等腰三角形】 22．（24-25八年级上·湖南株洲·期末）在中，，，则是（     ） A．钝角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出即可判断． 【详解】在中，，， ∴， ∴是等腰三角形， 故选：B． 23．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，和的平分线交于点，过点作的平行线交于点，交于点，则的周长为_________· 【答案】15 【分析】根据角平分线的定义以及平行线的性质可得，则可得的周长等于的值． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定－等角对等边，将的周长转换为的值是解本题的关键． 24．（2025八年级上·上海·专题练习）如图，平分，且，求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边，首先根据角平分线的定义得出，然后根据平行的性质，得出，，进而得出，即可得证． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，． ∴． ∴为等腰三角形． 【易错必刷九 根据等角对等边证明边相等】 25．（24-25八年级上·广西贵港·期中）如图，上午8时，一艘船从处出发以15海里/小时的速度向正北航行，10时到达处，从，两点望灯塔，测得，，则处到灯塔的距离为（   ） A．15海里 B．20海里 C．30海里 D．25海里 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，三角形的外角性质．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，求出，再根据等角对等边即可求出，利用路程=速度×时间计算即可求出的长度，也就是海岛B与灯塔C相距的距离． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 答：海岛B与灯塔C相距30海里． 故选：C． 26．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，中，分别平分，交于点O，过O点作直线平行于，分别交于点D，E，若，，则的长度为________．    【答案】7 【分析】根据分别平分，得出相应角相等，再根据得出，从而得出，再根据角相等得出边相等． 【详解】解：∵分别平分，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边证明边相等，熟练掌握等角对等边的证明边相等是解题的关键． 27．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，平分，，垂足为点D，．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、等角的余角相等．先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再利用等角的余角相等得到，利用等角对等边即可证得结论． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【易错必刷十 等边三角形的性质】 28．（24-25八年级上·云南·期末）如图，已知为等边三角形，是上一点，是的延长线上一点，且若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，三角形的面积；根据等边三角形的性质得到，，进而得到，再结合，得到，即可求出结果． 【详解】解：是等边三角形， ， ， ，， 边上的高与边上的高相同， ， 的面积为， ， 边上的高与的边上的高相同， ， ， ． 故选：B． 29．（2025·湖南常德·二模）如图，为等边三角形，点D是边的中点，过点D的直线与相交于点E，与的延长线相交于点F，当时，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形和三角形外角的性质是解题的关键．根据等边三角形的性质得到，由可得，再利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：为等边三角形，点D是边的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在等边三角形中，的平分线与的平分线相交于，过点作交于点，交于点，，求的长．    【答案】． 【分析】先利用等角对等边证明，，求得，证明也是等边三角形，再求得，据此即可求解． 【详解】解：，的平分线相交于点， ，， ∵， ，， ，， ，， ， ， ， 为等边三角形， ，， ∵， ，， 为等边三角形， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 【易错必刷十一 等边三角形的判定】 31．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，，点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（    ） A．直角三角形等边三角形直角三角形 B．等边三角形直角三角形等腰三角形 C．等边三角形等腰三角形直角三角形 D．等腰三角形直角三角形等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查三角形，是特殊三角形，特殊三角形只能是直角三角形，等边三角形，由此判断即可解答． 【详解】解：点从点出发，沿射线方向运动，在运动开始后，形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是：直角三角形，等边三角形，直角三角形． 故选：． 32．（24-25八年级上·山西大同·月考）小佳同学复习时将三角形按边长的等量关系整理成下表，请帮她在括号内填上一个适当的条件，该条件可以是________．（填写一个条件即可）    【答案】（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形的判定定理可进行求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，且，， ∴是等边三角形（有一个角为60度的等腰三角形是等边三角形）； 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键． 33．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，在中，，，交于点D，交于点E．求证：是等边三角形．    【答案】见解析 【分析】先求出，再根据垂直的定义得出，进而得出， 再根据三角形的内角和得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定，关键在于能够熟记等边三角形的判定方法． 【易错必刷十二 直线上与已知两点组成等腰三角形的点】 34．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）如图，已知是等边三角形，是边上的任意一点，点在同一条直线上，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边对等角，等边三角形的性质，三角形外角的性质，根据等边三角形的性质得到，由等边对等角和三角形外角的性质可得． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 35．（25-26七年级下·上海松江·阶段练习）如图，点A，D分别在，的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为 ____ ． 【答案】17 【分析】根据“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”得出，，即可求解． 【详解】解：点A，D分别在，的垂直平分线上， ，， ， ， ． 36．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，将绕点顺时针旋转得到．若点、、在同一条直线上，且，求及的度数． 【答案】，． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质和判定，三角形外角的性质．根据旋转的性质可得是等腰直角三角形，所以，得，根据三角形外角性质可得度数，又，则可求． 【详解】解：根据旋转的性质可知，且， 所以是等腰直角三角形． 所以； 根据旋转的性质可得， ． ． ． ∴． 【易错必刷十三 线段垂直平分线的性质】 37．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，点，分别在，的垂直平分线上，，，三点在同一条直线上，如果，，那么四边形的周长为（    ） A．24cm B．19cm C．17cm D．12cm 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，牢记“垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解题的关键． 【详解】解：点，分别在，的垂直平分线上 故选：C． 38．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，中，，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则最小值为______． 【答案】4 【分析】本题考查中垂线的性质．根据中垂线的性质得到，则，根据，得到当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即此时的值最小，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵垂直平分，点为直线上一动点， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长，即此时的值最小， ∴的最小值为4， 故答案为：4． 39．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若的周长为，求的长； (2)试判断点F是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点F是在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质与判定，熟知线段垂直平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得到，根据三角形周长计算公式可推出，据此可得答案； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即； （2）解：点F是在边的垂直平分线上，理由如下： 如图所示，连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F是在边的垂直平分线． 【易错必刷十四 线段垂直平分线的判定】 40．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 【详解】解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 41．（24-25八年级上·湖南张家界·期末）如图，点C、D是线段外的两点，且，，若，，则的面积为______． 【答案】5 【分析】此题考查垂直平分线的判定及四边形的面积，关键是熟练掌握垂直平分线的判定．根据线段垂直平分线的判定得出是线段的垂直平分线，再求解即可． 【详解】解：，， ∴点C，点D在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线， ， 故答案为：5 42．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，、分别垂直平分和，交于、两点，与相交于点F． (1)若的长为，则的周长为________； (2)若，求的度数； (3)判断点F是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点F在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理得到，根据等腰三角形的性质计算即可； （3）连接，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴的周长 ． ∵， ∴的周长为； （2）解：∵， ∴， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：点F在的垂直平分线上，理由如下： 连接， ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 【易错必刷十五 利用垂直平分线求周长】 43．（24-25七年级上·山东济南·期末）如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，若的周长为22，，则的周长为（    ） A．26 B．20 C．18 D．14 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，再结合的周长为22，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∴， ∴的周长为． 44．（24-25八年级下·福建漳州·期末）如图，在中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与，相交于点D，E，连接．若，的周长为18，则的周长为______． 【答案】28 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识．利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题． 【详解】解：根据作图知垂直平分线段， ∴， ∵， ∴，即， ∴的周长， 故答案为：28． 45．（25-26八年级上·广西贺州·期末）如图，已知在中，， (1)尺规作图：作边的垂直平分线分别交于点，交于点；（保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)连接，若的周长为，，则的周长是多少？ 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、尺规作图等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用尺规作图作的垂直平分线即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换得到的周长，再根据题意求得即可解答． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为， ∵的周长为，， ∴， ∴， ∴的周长是25． 【易错必刷十六 作等腰三角形(尺规作图)】 46．（2025·河北石家庄·一模）如图，已知直线l及直线l外一点P，过点P作直线l的平行线，下面四种作法中错误的是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查尺规作图规范和平行线的判定，解题的关键在于明白尺规作图的原理．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A选项利用等腰三角形性质等边对等角，角平分线的定义及内错角相等证明两直线平行， B选项利用同位角相等判定两直线平行， C选项无法判断两直线平行， D选项利用内错角相等即可证明两直线平行， 故选：C． 47．（2025·山东淄博·二模）如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 【答案】110°/110度 【分析】根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°， ∵∠BCM=∠MAN+∠ABC， ∴∠BCM=110°． 故答案为：110° 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，三角形外角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，三角形外角的性质是解题的关键． 48．（25-26八年级下·陕西西安·期中）尺规作图：（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 如图，中，，，利用尺规在边上求作一点，使． 【答案】图见解析 【分析】方法①作上的垂线（延长，以点为圆心，小于长为半径画弧与射线相交，分别以两交点为圆心，任意长为半径画弧，交点与点相连即为上的垂线），将分成和，此时垂线与交点即为点； 方法②可根据三角形内角和定理及等边对等角得，则作的垂直平分线交于点（分别以点、点为圆心，大于为半径画弧，连接交点即为的垂直平分线），也能使； 方法③过点作（以点为圆心，小于长为半径画弧分别与、相交，再以点为圆心，相同半径画弧与相交，再以该交点为圆心，将以点为圆心画弧得到的两交点之间的距离为半径画弧，该弧与以点为圆心画的弧形成交点，连接点与该交点并延长交于点），也能使． 【详解】解：如图，点P即为所求 【易错必刷十七 作垂线(尺规作图)】 49．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线，交于点，连接．若，，则的周长为（   ） A．5 B．10 C．15 D．25 【答案】C 【分析】先根据作图痕迹可得是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质证得即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹，是线段的垂直平分线， ， ∵，， 的周长为． 50．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在直角中，，，，．按以下步骤作图：以点为圆心，长为半径作弧，交于点；分别以点，为圆心，大于的一半为半径作弧，两弧交于点；连接交与点；则______． 【答案】 【分析】本题考查垂线的基本作图，与三角形的高有关的计算． 根据基本作图，可得，利用三角形的面积计算即可． 【详解】解：根据题意，得， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 51．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）尺规作图： 制作一个轴对称的风筝，需要两根支撑的龙骨．一根是对称轴，称之为“主龙骨”，另一根与对称轴垂直，称为“副龙骨”．如图，现在在一张纸上画好了风筝的轮廓，，请在下列操作提示下，用圆规和无刻度的直尺完成以下绘制（无须写出作法，但要保留作图痕迹）： (1)操作1：画出三角形风筝的“主龙骨”； (2)操作2：“副龙骨”经过边上的点，请画出“副龙骨”． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 【分析】（1）分别以，为圆心，以长为半径画弧，连接两个交点，交于，即可画出三角形风筝的“主龙骨”． （2）以点为圆心，交于两点，再分别以两点为圆心，大于二分之一长度为半径画弧交于两点，连接两个交点，交于，即可画出三角形风筝的“副龙骨”． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图所示： 【易错必刷十八 证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）】 52．（24-25八年级上·安徽淮北·月考）如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判断．能正确作出辅助线构造全等三角形是解题关键． 53．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）如图，在等边中，点E在线段的延长线上，点D在直线上，且．若的边长为1，，则 _____． 【答案】4 【分析】过点E作于点F，根据等边三角形的性质及线段的和差推出，，根据直角三角形的性质得出，根据含角的直角三角形的性质推出，根据等腰三角形的性质及线段的和差求解即可． 此题考查了含角的直角三角形的性质，熟记含角的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点F， ∵是等边三角形，边长为1，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：4． 54．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，，平分交于点D．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，然后问题可解． 【详解】证明：如图，在上截取，连接． 的平分线交边于点， ， 在与中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ． 【易错必刷十九 等边三角形的判定和性质综合】 55．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）如图，在中，，将绕点顺时针旋转一定角度，使点落在边上的点处得到，连接．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰（等边）三角形的性质和判定，平行线的性质， 根据旋转的性质得， 根据等腰三角形的性质得，再结合平行线的性质得，然后说明是等边三角形，最后根据得出答案． 【详解】解：由旋转的性质，得 ． ， ， 是等边三角形， ， ． 56．（24-25八年级上·吉林·月考）如图，已知等边三角形和等边三角形，P、Q分别为、的中点，试判断的形状并说明理由． 【答案】是等边三角形．理由见解析 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定，根据题意得到，，，然后结合P、Q分别为、的中点，得到，即可证明出是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形． 理由如下：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∵P、Q分别为、的中点， ∴，即 ∴是等边三角形． 57．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在正六边形中，连接，请用无刻度的直尺，完成下列作图． (1)如图①，作出一个边长等于的等边三角形； (2)如图②，作出一个周长等于的等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图应用与设计，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）连接、，即为所求； （2）连接交于，连接交于，即为所求； 【详解】（1）解：边长为的等边三角形如图所示； ； （2）解：周长等于的等边三角形如图所示； ． 【易错必刷二十 等腰三角形的性质与判定综合】 58．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）如图，，是的高，且．试说明是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和判定以及三角形内角和，掌握利用等角对等边判定等腰三角形是解题的关键．根据题意先用三角形内角和证明，由得，则有，进而，则问题可证． 【详解】解：∵，是的高， ． 又， ． ∵， ∴． ， 即． ． 即是等腰三角形． 59．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）已知：如图，．求证：．（本题求解不得使用全等） 【答案】证明见解析 【分析】本条考查等腰三角形的判定与性质，连接，由得到，再根据，推出，即可得出结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 60．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）在中，P是边上的一点，过点P作的垂线，交于点Q，交的延长线于点R．若，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】根据等腰三角形的判定与性质证明即可． 【详解】证明：∵， ∴． 又∵， ∴． 在和中，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，掌握等边对等角，等角对等边，是解答额本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $