专题02 等边三角形与线段垂直平分线重难点题型专训（5个知识点+10大题型+6大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 聚焦等边三角形与线段垂直平分线，构建"知识点-题型-拓展"三阶训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |5个知识点|每个配2道即时训练|判定定理（3角等/60°等腰）、中垂线性质（距离相等/外心）|从概念（定义）到性质（对称性/角度）到判定（边/角关系）递进| |10大题型|含尺规作图/最短路径等|尺规作图三步法、最短路径对称转化法|题型覆盖性质应用（计算）、判定证明、作图操作、实际应用| |6拓展训练|翻折问题等综合题|动态几何分类讨论、折叠全等转化|从单一性质（求长度/角度）到综合应用（翻折/外心）提升难度|

专题02 等边三角形与线段垂直平分线重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+6拓展训练+自我检测） 题型一 等边三角形的性质 题型二 等边三角形的判定 题型三 等边三角形的判定和性质 题型四 线段垂直平分线的性质 题型五 线段垂直平分线的判定 题型六 作已知线段的垂直平分线 题型七 作垂线(尺规作图) 题型八 作等腰三角形(尺规作图) 题型九 已知外心的位置判断三角形的形状 题型十 最短路径问题 拓展训练一 根据等边三角形的性质求长度 拓展训练二 根据等边三角形的性质求角度 拓展训练三 根据垂直平分线的性质求长度 拓展训练四 根据垂直平分线的性质求周长 拓展训练五 根据垂直平分线的性质求角度 拓展训练六 等边三角形中翻折问题 知识点一：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西贺州·期中）以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）． A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 2．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，括号内可填：________（填一个条件即可）． 知识点二：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为______． 知识点三：尺规作图 过一点作已知线段的垂线 【即时训练】 1．（2026·广东·一模）观察下图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是_____________的交点． 知识点四：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·天津河西·期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 2．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 知识点五：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，则长为___________． 【经典例题一 等边三角形的性质】 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026·山东济宁·一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为_____． 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 3．（25-26七年级下·四川·期中）在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系． 在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系． (1)同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数； (2)请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数； (3)猜想与的关系，并证明与的关系． 【经典例题二 等边三角形的判定】 【例1】（25-26七年级下·上海宝山·阶段练习）在如图的方格纸中，A，B，C是三个格点．在点A从右向左平移的过程中，点A，B，C围成的图形，不可能出现的是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【例2】（25-26八年级上·甘肃庆阳·月考）已知的三边长为，且满足，则此三角形一定是________． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） ①关于某直线对称的两个三角形是全等三角形； ②圆的直径是圆的对称轴； ③有两个角是的三角形是等边三角形； ④顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是______． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【经典例题三 等边三角形的判定和性质】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形纸上像这样剪出一个，下列说法错误的是（   ） A．的面积是正方形面积的一半 B． C．的周长是正方形周长的 D．是等边三角形 【例2】（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在等边三角形纸片中，，是边的三等分点，分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，若剪下的的周长是，则的长为_____． 1．（25-26七年级下·四川南充·月考）如图，在中，，，将沿翻折，点A恰好落在点C处，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D．12 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为4，分别以A和E为圆心，4为半径作和交于点P，此时阴影部分的周长为 ________． 3．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【经典例题四 线段垂直平分线的性质】 【例1】（2025·广西防城港·模拟预测）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．17 【例2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）在中，已知，的垂直平分线分别交，于点D、E，连接，若的周长为24，则的周长为_______． 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，其面积等于36，的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点．点在线段上，则周长的最小值为（   ） A．6 B．10 C．15 D．16 2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，将等边折叠，使得点C恰好落在边上的点D处，折痕为，M为折痕上一动点，若，则周长的最小值是______． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，．    (1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，连接，求的度数． 【经典例题五 线段垂直平分线的判定】 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为9.6，则 的面积为（　　）    A．96 B．48 C．38 D．24 【例2】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接以下说法：①，②，③．④中，正确的是_________． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，在下列结论中： ①； ②； ③连接，则所在的直线为的对称轴； ④四边形的面积与的面积相等． 其中正确的是________（填写所有正确结论的序号） ．    3．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【经典例题六 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（24-25八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段的垂直平分线，并简要说明作图方法（不要求证明）____________________． 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线分别与相交于点D，E，连接． 若的周长为16，，则的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为______． 3．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【经典例题七 作垂线(尺规作图)】 【例1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线，交于点．则的周长为________． 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图所示，用尺规作等腰三角形，使，，高，下列作图顺序正确的是（    ） ①作线段，使． ②作线段的垂直平分线，交于点 ③在上作线段，使． ④连接． A．④③②① B．②①④③ C．①②④③ D．①②③④ 2．（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中， （1）的面积等于_______； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 【经典例题八 作等腰三角形(尺规作图)】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【例2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 2．（2025·山东淄博·二模）如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知．要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；（2）只需作出满足要求的一个图形即可． (1)点在直线上，在图①中作，使得，且点，分别在，上； (2)点在直线外，在图②中作，使得，且点，分别在，上． 【经典例题九 已知外心的位置判断三角形的形状】 【例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 【例2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在中，边、的垂直平分线交于点．则下列结论一定成立的有（   ）个． ①．②点在的垂直平分线上．③④⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，点是外心，，是的中点， （1）连接，则______； （2）若，是边上的高，则的大小为______． 3．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【经典例题十 最短路径问题】 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 2．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是_____________． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【拓展训练一 根据等边三角形的性质求长度】 【例1】（2026·安徽安庆·一模）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，是等边三角形的高，是延长线上一点，且．若，则的长是____． 1．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，是等边三角形，是的平分线，延长到点，使得．若，求的长． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 3．（24-25七年级下·上海崇明·月考）如图，在四边形中，将绕点顺时针旋转得到，此时，，三点恰好共线．若已知，． (1)求的长； (2)求证：平分． 【拓展训练二 根据等边三角形的性质求角度】 【例1】（2026·浙江·模拟预测）如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，和都是等边三角形，连接，相交于点，则的度数是__________． 1．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，在等边三角形中，D是边上一点，以为边作等腰三角形，使，，交于点F，． (1)求的度数； (2)求的度数． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在等边中，为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点． (1)若，求的度数； (2)当点在边上运动时，的大小是否变化，如果变化，请说明理由，如果不变，请求出它的度数． 3．（24-25七年级上·福建泉州·月考）（1）如图 1，如果 与直线所成的锐角为，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线上，这样的等腰三角形能画_______个． （2）如图 2，在 中，，若存在过点的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求的度数． （3）想一想：如图 3， 中，，，过顶点作一条直线交线段于点， 直线能把分割出一个等腰三角形，直接写出的度数．    【拓展训练三 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，E，若，的周长为17，则的长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．1 【例2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，，．以点为圆心，以长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为________． 1．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，，连接． (1)是等边三角形吗？为什么？ (2)若的长为2，求的长． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期中）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，，求的长； (2)若的周长为，，求的长． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为．    (1)求的长； (2)连接，，，若的周长为，求的长． 【拓展训练四 根据垂直平分线的性质求周长】 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，连接AD．若的周长为18，，则的周长为（    ） A．24 B．30 C．32 D．36 【例2】（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在△中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、．若，△的周长为20，则△的周长为______． 1．（25-26八年级上·福建南平·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，已知，的周长等于． (1)求的周长； (2)尺规作图，在射线上求作一点F，使等于的周长．（不写作法，保留作图痕迹） 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 【拓展训练五 根据垂直平分线的性质求角度】 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在锐角中，直线l为的垂直平分线，平分，直线l与射线交于点P，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为___；的度数为___． 1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，为直角，且，若垂直平分，点为直线上的任意一点，当周长最小时，则的度数为_____． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【拓展训练六 等边三角形中翻折问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，把一块含角的三角板沿一条直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置，下列说法正确的是（   ） A．将绕着点顺时针旋转得到 B．将绕着点逆时针旋转得到 C．将绕着点顺时针旋转得到 D．将绕着点逆时针旋转得到 【例2】（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为_______． 1．（24-25八年级上·天津·期中）如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． (1)若，则　 　． (2)若，　 　；　 　； (3)当点在运动过程中，设，求． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）折纸与证明： 折纸是日常生活中常见的活动，折纸也能为证明提供思路和方法，下面是两个同学的折纸活动： (1)小明在一张长方形的纸片上任意画一条线段（如图1），将纸片沿折叠得到（如图2），他说这是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； (2)小华先把一张正方形的纸片对折后再展开，折痕为（如图3），然后将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B（如图4），最后沿折叠（如图5），得到（如图6），他说这是等边三角形，你同意吗？请说明理由． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在直角三角形中，，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形 ； （2）直接写出与之间的数量关系为 ，并给出证明； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，，，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4），请直接写出的周长为 ； 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围     成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分，，，，，请你帮丁师傅算一下需要买 米的栅栏． A基础训练 1．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）如图，直线，是等边三角形，点，分别在直线，上，交直线于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从地运动到地，他们所走的路程分别记为．对于，它们之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，已知，直线与直线，分别交于，两点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（2026·广东佛山·一模）如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 7．（24-25八年级上·山东德州·月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有________（填序号）． 8．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，，交于点D，点E在线段的延长线上．给出下列结论：①；②；③平分；④；⑤图中共有6对全等三角形；⑥．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；再分别以A，C两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．直线与直线交于点O，连接，则的大小为______． 10．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，中，．现有两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点到达点时，点同时停止运动．点运动_________s后，可得到等边三角形． C 培优训练 11．（25-26八年级上·山西忻州·期末）如图，是等边三角形、是中线，延长至点，使、连接．判断的形状，并说明理由． 12．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点．      (1)求证：； (2)若的周长为42，，求的长． 13．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图是某小区内部便民店面的平面示意图，其中为快递驿站，为社区门诊，为烟酒店，为果蔬店．物业部门为方便小区居民生活，现作出如下调整，请按要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）． (1)修建一条小路（点在上），使社区门诊到所在直线的距离最短； (2)在的内部修建一处休息椅，使得休息椅到，，三个店面的距离相等，请确定休息椅的位置． 14．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 15．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，点为平面内一动点（点，，三点不共线），连结、． (1)如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点，连结（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转90°得到，连结． 求证：． 小龙同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长到点，使，连结， 在利中， ， ， ，________． ， ∴_______， ， ， 由旋转得：，， ，， ， ________， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 等边三角形与线段垂直平分线重难点题型专训 （5个知识点+10大题型+6拓展训练+自我检测） 题型一 等边三角形的性质 题型二 等边三角形的判定 题型三 等边三角形的判定和性质 题型四 线段垂直平分线的性质 题型五 线段垂直平分线的判定 题型六 作已知线段的垂直平分线 题型七 作垂线(尺规作图) 题型八 作等腰三角形(尺规作图) 题型九 已知外心的位置判断三角形的形状 题型十 最短路径问题 拓展训练一 根据等边三角形的性质求长度 拓展训练二 根据等边三角形的性质求角度 拓展训练三 根据垂直平分线的性质求长度 拓展训练四 根据垂直平分线的性质求周长 拓展训练五 根据垂直平分线的性质求角度 拓展训练六 等边三角形中翻折问题 知识点一：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·广西贺州·期中）以下列各数为边长的三角形是等边三角形的是（　　）． A．2，2，3． B．2，3，3 C．2，4，5 D．4，4，4 【答案】D 【分析】此题考查等边三角形的判定，关键是根据等边三角形的三边相等解答．根据等边三角形的性质和判定解答即可． 【详解】解：A、2，2，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意； B、2，3，3是等腰三角形，不是等边三角形，不符合题意； C、2，4，5是不等边三角形，不符合题意； D、4，4，4是等边三角形，符合题意； 故选：D． 2．（2026七年级下·上海·专题练习）如图，括号内可填：________（填一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，关键掌握三条边相等的三角形是等边三角形，有一个角等于度的等腰三角形是等边三角形． 根据，结合等边三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：三条边相等的三角形是等边三角形，三个内角是的三角形是等边三角形， ①如图，添加或时， ∵， ∴，即是等边三角形； ②添加或或时， ∵，， ∴是等边三角形； 故答案为：（答案不唯一）． 知识点二：等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形；也称为正三角形。 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）下列命题中是真命题的是（    ） A．等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．有一个角对应相等的两个等腰三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的性质及等边三角形的判定对各选项逐一判断后即可确定答案． 【详解】解：A、等边三角形一条边上的高线也是该条边上的中线，正确，故A符合题意； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，故B不符合题意； C、等腰三角形可能的锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，故C不符合题意； D、有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定全等，故D不符合题意． 故选：A． 2．（25-26八年级上·广西崇左·月考）在8个点形成的格点图中，每一点与其相邻的点之间的距离都等于1，那么图中以格点为顶点的等边三角形的个数为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了等边三角形，解题的关键是掌握等边三角形的定义． 根据等边三角形的定义进行求解即可． 【详解】解：连接相邻的点， 图中等边三角形有：共8个， 故答案为：8． 知识点三：尺规作图 过一点作已知线段的垂线 【即时训练】 1．（2026·广东·一模）观察下图中尺规作图的痕迹，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了尺规作图，由垂线的作图方法即可作出判断． 【详解】解：由作图痕迹可知，，所以B是正确的，符合题意． 2．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，用尺规作图过直线l上一点P作已知直线l的垂线，图中的点C是_____________的交点． 【答案】分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径所画两弧 【分析】本题主要考查了尺规图作过直线上一点作已知直线的垂线，根据过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法解答即可，熟练掌握过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法是解决此题的关键． 【详解】过直线l上一点P作已知直线l的垂线的作法如下： ①以P为圆心，以适当的长为半径画弧，两弧交在直线l上点P的两旁为，； ②分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C； ③过点C、P作直线，则直线为所求作的直线； 故答案为：分别以A、B为圆心，以大于长为半径所画两弧． 知识点四：线段的垂直平分线 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质： ①垂直平分线垂直且平分其所在线段． ②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　 ③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 求做线段AB的垂直平分线 作法： （1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点； （2）作直线CD，CD即为所求直线． 要点归纳： 作弧时的半径必须大于AB的长，否则就不能得到交点了． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·天津河西·期末）如图，地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在(   ) A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】A 【分析】本题考查中垂线的性质．根据到线段两端点距离相等的点在线段的中垂线上，即可得出结果． 【详解】解：∵猫所在的位置到A、B、C三个点的距离相等， ∴猫应该蹲守在三边垂直平分线的交点处； 故选A． 2．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，连接，，，则，依据是___________ 【答案】线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】解：由作图过程可知，直线是线段的垂直平分线， ∴． 知识点五：垂直平分线的性质与判定 1.命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB．1. P 1. A 1. B 1. l 1. C 证明：∵ l⊥AB，∴∠PCA =∠PCB． 　　 又 AC =CB，PC =PC，∴ △PCA ≌△PCB（SAS），∴ PA =PB． 2.命题：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 求证：如图，若PA＝PB，则点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：（1）当点P在线段AB上时， ∵PA=PB，∴点P为线段AB的中点，显然此时点P在线段AB的垂直平分线上； （2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB，∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C，∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线，此时点P也在线段AB的垂直平分线上. 3.线段垂直平分线的作法 ①折叠法：折叠找出线段AB的垂直平分线， ②度量法：用刻度尺量出线段的中点，用三角尺过中点画垂线； ③尺规法： （1） 分别以点A、B为圆心，以大于AB的一半长为半径画弧交于点E 、F； （2） 过点E 、F作直线，则直线EF就是线段AB的垂直平分线。 4.总结 【即时训练】 1．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，在，已知点在上，且，则点在（   ） A．的垂直平分线上 B．的平分线上 C．的中线上 D．的垂直平分线上 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定，到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， 故选：A． 2．（2025·贵州遵义·模拟预测）如图，在中，分别以点、点为圆心，大于的长为半径画弧交于两点，过这两点的直线交于点，连接，若，则长为___________． 【答案】5 【分析】根据垂直平分线上的性质解答即可． 【详解】解：由题意知点在的垂直平分线上， 则． 【经典例题一 等边三角形的性质】 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，点、分别是等边边、上的点，已知，连接、交于点．则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等边三角形的性质得，，再证明得到，则，然后根据三角形外角定理计算的度数． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 在和中 ∴， ∴， ∴． 【例2】（2026·山东济宁·一模）如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为_____． 【答案】 【分析】连接，，，根据正六边形的性质可得，则为等边三角形，再根据切线的性质得，于是可得，利用正六边形的边长等于它的半径可得正六边形的边长，同理可得正六边形的边长，依此规律计算即可； 【详解】解：如图，连接，，， 六边形是正六边形， ， 为等边三角形， 正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ， ， 正六边形边长为， 同理可得：正六边形的边长为， 正六边形的边长为， 正六边形的边长． 1．（25-26八年级上·湖南常德·期末）如图，在等边中，于点D，，点P是上一个动点，E是边的中点，在点P运动的过程中，的最小值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，最短线段问题，将的最小值转化为线段的长是解题关键．由等边三角形的性质可得垂直平分，则，当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为，再结合三角形面积求解即可． 【详解】解：如图，连接、， ∵是等边三角形，， ∴， ∴垂直平分，， ∵点P是AD上一个动点， ∴， ∴， 即当点P为与的交点时，取得最小值，最小值为， ∵在等边中，E是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值是8． 故选：B． 2．（2026七年级下·江苏泰州·专题练习）一个正方形和两个等边三角形的位置，如图所示，若，则________． 【答案】 【分析】设围成的小三角形为，分别用表示出的三个内角，再利用三角形的内角和等于列式整理即可得解． 【详解】解：如图， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·四川·期中）在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系． 在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系． (1)同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数； (2)请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数； (3)猜想与的关系，并证明与的关系． 【答案】(1) (2)见解析，为等腰直角三角形， (3)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及特殊化到一般化的数学探究方法．解题的关键是利用角平分线定义表示出与，再结合三角形内角和定理推导与的关系； （1）通过等边三角形的特殊内角计算角平分线夹角； （2）构造等腰直角三角形验证规律； （3）由三角形内角和定理、角平分线定义即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴． ∵、是角平分线， ∴， ∴． 在中， ． （2）解：构造等腰直角三角形，， 则． ∵、是角平分线， ∴， ∴． 在中，． 故为等腰直角三角形时，． （3）证明：∵、平分、， ∴， ∴． 在中，． 在中， ． 即． 【经典例题二 等边三角形的判定】 【例1】（25-26七年级下·上海宝山·阶段练习）在如图的方格纸中，A，B，C是三个格点．在点A从右向左平移的过程中，点A，B，C围成的图形，不可能出现的是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】C 【分析】根据钝角三角形、直角三角形、等边三角形、等腰三角形的定义和性质，结合平移特点分析即可． 【详解】解：如图： 根据平移特点点A，B，C可以围成钝角三角形、直角三角形、等腰三角形，不能围成等边三角形． 【例2】（25-26八年级上·甘肃庆阳·月考）已知的三边长为，且满足，则此三角形一定是________． 【答案】等边三角形 【分析】本题主要考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性可求出的值，根据边长可判断三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中真命题的个数是（    ） ①关于某直线对称的两个三角形是全等三角形； ②圆的直径是圆的对称轴； ③有两个角是的三角形是等边三角形； ④顶角和底角相等的等腰三角形是等边三角形． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据轴对称的性质、对称轴的定义和圆的基本概念、等边三角形的判定，逐一判断每个命题的真假，统计真命题个数即可． 【详解】① 根据轴对称的性质，关于某直线对称的两个图形全等，因此关于某直线对称的两个三角形是全等三角形，故①是真命题； ② 对称轴的定义是直线，圆的直径是线段，正确表述是直径所在的直线是圆的对称轴，故②是假命题； ③ 三角形内角和为，若三角形有两个角是， 第三个角为，三个内角都相等，因此该三角形是等边三角形，故③是真命题； ④ 等腰三角形两个底角相等，且这个等腰三角形顶角与底角相等， 这个三角形三个内角都相等， ∴这个三角形的每个内角都是，因此该三角形是等边三角形，故④是真命题； 综上，真命题共个． 2．（24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，点，在的同侧，，，，点为的中点，若，则的最大值是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了轴对称的性质和两点之间选段最短．作点关于的对称点，点关于的对称点，证明为等边三角形，利用两点之间，线段最短即可解决问题． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ∴，，，，， ∵点为的中点，， ∴ ， ， ， ， 为等边三角形， ∴ ， 的最大值为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西榆林·期中）如图，在中，，过点A作，交边于点D，且，延长使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及等边三角形的判定； （1）由题意易得，，然后根据三角形外角的性质可进行求解； （2）由题意易得，，然后根据等边三角形的判定定理可进行求证． 【详解】（1）解：， ． ， ． ． ， ． ． ； （2）证明：， ， ， ． 是等边三角形． 【经典例题三 等边三角形的判定和性质】 【例1】（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，在正方形纸上像这样剪出一个，下列说法错误的是（   ） A．的面积是正方形面积的一半 B． C．的周长是正方形周长的 D．是等边三角形 【答案】A 【分析】根据题意可得，再根据垂直平分线的性质可得，证明为等边三角形，逐一判断即可． 【详解】解：如图， 根据第一步可得垂直平分， ， 根据第二步可得，，， ， 为等边三角形，故D正确， ， ， ，故B正确； 的周长为，正方形周长为， 的周长是正方形周长的，故C正确； 根据勾股定理可得， 的面积， 正方形面积为， 的面积是正方形面积的，故A错误． 【例2】（25-26八年级上·贵州黔南·期中）如图，在等边三角形纸片中，，是边的三等分点，分别过点，沿着平行于，方向各剪一刀，若剪下的的周长是，则的长为_____． 【答案】6 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，首先证明为等边三角形，结合的周长是可得，再根据，是边的三等分点易得，进而可得答案． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴， ∵，是边的三等分点， ∴， ∴． 故答案为：6． 1．（25-26七年级下·四川南充·月考）如图，在中，，，将沿翻折，点A恰好落在点C处，若，则的长为（    ） A．3 B．6 C． D．12 【答案】B 【分析】由直角三角形两锐角互余求出，由折叠得，求出，由三角形内角和定理得，得是等边三角形，故可得． 【详解】解：在中，，， ∴； 由折叠得， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 2．（2026·江苏苏州·模拟预测）莱洛三角形广泛应用于建筑、工业、包装等方面，某数学兴趣小组在学习了莱洛三角形的知识后获得灵感，设计了如图2的美丽图形，爱思考的小聪提出以下问题：如图3，正五边形的边长为4，分别以A和E为圆心，4为半径作和交于点P，此时阴影部分的周长为 ________． 【答案】 【分析】连接，，可证明是等边三角形，得到，根据弧长公式求出和的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接，， 由作图方法可知， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为，的长为， ∴阴影部分的周长为． 3．（24-25八年级上·广东珠海·期中）如图，都是等边三角形，，交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质详解； （2）利用，得到，进而得到； （3）在上截取，连接，通过证明，则，，再证是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵和都是等边三角形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：令、交于点，、交于点，如下图所示： 由（1）知，， ∴， ∴， ∴； （3）证明：在上截取，连接， 由（1）知：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 【经典例题四 线段垂直平分线的性质】 【例1】（2025·广西防城港·模拟预测）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交于点，连接．若的周长为10，，则的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．17 【答案】D 【分析】先根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得，再根据三角形的周长公式求解即可得． 【详解】解：由题意可知，垂直平分， ， 的周长为10， ， ，即， ， 则的周长为． 【例2】（25-26八年级上·广西来宾·期末）在中，已知，的垂直平分线分别交，于点D、E，连接，若的周长为24，则的周长为_______． 【答案】14 【分析】根据三角形的周长求出，然后根据垂直平分线的性质，得到，进而得到的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵，的周长为24， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长． 1．（25-26八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在中，，其面积等于36，的垂直平分线分别交边于点．若点为边的中点．点在线段上，则周长的最小值为（   ） A．6 B．10 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的性质，三线合一，连接，得到，，根据三角形的面积求出的长，根据周长，以及，求出最小值即可． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，点D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴周长， ∴周长的最小值为15； 故选：C． 2．（25-26八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，将等边折叠，使得点C恰好落在边上的点D处，折痕为，M为折痕上一动点，若，则周长的最小值是______． 【答案】８ 【分析】本题考查了等边三角形的性质，翻折变换，几何最值问题，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．利用轴对称的性质：连接，周长为，由，求出，若周长最小，只要最小，即三点共线即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将等边折叠，使点落在边上的点处，折痕为， 根据翻折的性质，折痕是线段的垂直平分线， ∴点关于直线对称， ∴， 在等边中，，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴要使的周长最小，只需使的值最小·， 当点三点共线时，， 周长的最小值为， 故答案为：8． 3．（25-26八年级上·河南商丘·期末）如图，在中，，．    (1)尺规作图：作边的垂直平分线，分别交，于点，．（要求：保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图中，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了基本尺规作图—线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上作图步骤和性质． （1）利用线段垂直平分线的作法进行作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，根据等边对等角得出，然后利用三角形内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）：如图，即为所求；    （2）解：如图所示，   垂直平分线段， ， ． ， ， ． 【经典例题五 线段垂直平分线的判定】 【例1】（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，中，，是边的中线，点E是上的动点，点F是边上的动点，若的最小值为9.6，则 的面积为（　　）    A．96 B．48 C．38 D．24 【答案】B 【分析】作，由，得到是等腰三角形，结合是边的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，与中垂线的判定性质定理得到，根据垂线段最短，得到，结合的最小值为，得到，根据三角形面积公式，即可求解， 本题考查了等腰三角形的判定，三线合一，中垂线的性质与判定，垂线段最短，解题的关键是：得到边上的高即为的最小值． 【详解】解：连接，作，垂足为，连接，    ∵， ∴是等腰三角形， ∵是边的中线， ∴，， ∴是的中垂线， ∴， ∵， ∴， ∵的最小值为， ∴， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图，在等边三角形中，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点N，连接以下说法：①，②，③．④中，正确的是_________． 【答案】①②③④ 【分析】只要证明，是等边三角形，垂直平分线段即可一一判断． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵线段沿翻折，得到线段， ∴，故②正确， ∴，故①正确， ∴垂直平分线段， ∵， ∴， ∴，故③正确， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，故④正确， 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形就解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 1．（24-25八年级上·湖南怀化·期中）如图，四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，以下四个结论，正确的有（      ） ①；②；③平分；④四边形的面积． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查中垂线的判定和性质，根据，，得到垂直平分，分割法求面积，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴点，点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，故①②正确； 无法得到平分，故③错误； 四边形的面积为；故④正确； 故选C． 2．（24-25七年级下·福建三明·期末）如图，在中，，、分别为边、上的点，与相交于点，，在下列结论中： ①； ②； ③连接，则所在的直线为的对称轴； ④四边形的面积与的面积相等． 其中正确的是________（填写所有正确结论的序号） ．    【答案】①②③ 【分析】可利用证明①；由全等三角形的性质及等腰三角形的性质可得，进而可证明②；利用线段垂直平分的判定可得是的垂直平分线，进而可判定③；当时，利用三角形的中线的性质可得，再证明可得，进而可证明④． 【详解】解：在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故②正确； 点在的垂直平分线上， ， 点在的垂直平分线上， 直线是的垂直平分线， 即所在的直线为的对称轴，故③正确； ④当时，则， 在和中， ， ， ， ， 由于缺乏条件，故不能判定，故④错误， ∴正确的有①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定，三角形的面积，等腰三角形的判定与性质，灵活运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（25-26八年级上·河北邯郸·期中）如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2)点O 在的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为10； （2）解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【经典例题六 作已知线段的垂直平分线】 【例1】（24-25八年级上·云南昆明·期末）如图，在中，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线交于点D，交于点O，连接，若的周长比的周长大则的长为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是熟练掌握线段的垂直平分线的作法．利用基本作图得到垂直平分，则，，利用等量代换得到的周长，再利用的周长比的周长大14得到，从而得到的长． 【详解】解：由作图得垂直平分， ，， 的周长， 的周长，的周长比的周长大14， ， ， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B均为格点，请利用无刻度直尺作出线段的垂直平分线，并简要说明作图方法（不要求证明）____________________． 【答案】 图见解析；连接格点，交于点，再找到格点，使得，然后作直线 【分析】本题考查了作已知线段的垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的判定定理是解题的关键． 连接格点，交于点，再找到格点，使得，然后作直线即可． 【详解】解：如图，连接格点，交于点，则点为的中点，再找到格点，使得，然后作直线，则即为所求作， 故答案为：连接格点，交于点，再找到格点，使得，然后作直线． 1．（25-26八年级上·云南昆明·期末）如图，在已知的中，按以下步骤作图： ①分别以点B和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点； ②作直线分别与相交于点D，E，连接． 若的周长为16，，则的周长为（   ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】本题考查基本作图、线段垂直平分线性质、三角形周长等知识，解题的关键是学会转化，把的周长转化为求来解决． 由作图知，直线垂直平分线段，进而可得，，则，由此可解． 【详解】解：由作图知，直线垂直平分线段， ，， ， 的周长为16， ， ， 即的周长为11， 故选：D． 2．（25-26八年级上·河北邢台·月考）如图，观察尺规作图的痕迹，若，，则的周长为______． 【答案】14 【分析】本题考查作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质． 由作图痕迹，结合线段垂直平分线的性质，可得，结合已知，等量代换，即可得的周长． 【详解】解：由作图痕迹可知，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·福建南平·月考）如图，已知，． (1)用直尺和圆规作出边的中垂线，交于点，交于点，标出点、的位置；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的基础上；连接，若，的周长是25，将的周长分成，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为5 【分析】本题考查尺规作图（垂直平分线）和线段垂直平分线的性质． （1）如图，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点作直线分别交、于点、，则直线就是的垂直平分线； （2）连接，设，，则，由题意列出方程，解得，再由的周长是25，即可求解． 【详解】（1）解：边的中垂线，如图1即为所求； （2）解：如图2，，连接， 由作图知，， 设，，则， ∵的周长是25，将的周长分成， ∴， 即， 解得：， ∴，即， 解得：， ∴的长为5． 【经典例题七 作垂线(尺规作图)】 【例1】（25-26八年级上·河南鹤壁·期末）如图，在中，，D为的中点，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，M为直线上任意一点．若，面积为10，则长度的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称-最短路径问题．连接，交直线于点N，设交于点G，当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ∵，D为的中点， ∴， ∵，面积为10， ∴， 解得． 故选：A． 【例2】（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线，交于点．则的周长为________． 【答案】11 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴的周长为． 1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图所示，用尺规作等腰三角形，使，，高，下列作图顺序正确的是（    ） ①作线段，使． ②作线段的垂直平分线，交于点 ③在上作线段，使． ④连接． A．④③②① B．②①④③ C．①②④③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的高所在的直线即为底边的垂直平分线，作图时应先确定底边，再作垂直平分线确定顶点位置，最后连接两边． 【详解】∵ 要作等腰三角形 ，使 ，且底边上的高 ， ∴ 根据等腰三角形“三线合一”性质，顶点 必在底边 的垂直平分线上， 正确的作图步骤如下： 第一步：作线段 ，使 （对应步骤①）； 第二步：作线段 的垂直平分线 ，交 于点 （对应步骤②）； 第三步：在 上作线段 ，使 ，从而确定顶点 （对应步骤③）； 第四步：连接 ，即为所求作的三角形（对应步骤④）． 故正确的作图顺序是①②③④． 故选：D． 2．（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中， （1）的面积等于_______； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 【答案】 以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求 【分析】本题主要考查了尺规作图-作轴对称点． ()根据三角形的面积公式即可求解； ()利用轴对称找最短路径， 周长，为定点，需使最小，即分别作关于的对称点，连线与的交点即为． 【详解】（）解：∵在中，， ∴； 故答案为：； （）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点； 以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点； 分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点； 连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 故答案为：以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 3．（25-26七年级下·江苏镇江·期中）折纸是一种将纸张折成各种形状的艺术活动，折纸与自然科学结合在一起，发展了折纸几何学，成为了现代几何学的一个分支．折纸过程中的折痕相当于图形的对称轴，可以作一对对应点连线段的垂直平分线得到． 【操作体验】如图1，在中，，①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧；②两弧相交于M、N两点，作直线，交于点D，交于点E；③连接． (1)根据上述步骤，用尺规作出直线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)【拓展探究】在综合与实践课上，同学们以“长方形纸片的折叠”为主题开展探究活动：如图2，①将长方形纸片对折，使与重合，得到折痕，展平纸片；②再沿着过点A的直线折叠纸片，使点B的对应点E落在折痕上，展平纸片，得到的新折痕与边交于点F，请用没有刻度的直尺和圆规作出折痕和（保留作图痕迹，不写作法） (3)【拓展探究】连接、、、，若，则______．若，则______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5； 【分析】（1）根据题干中作图步骤进行作图即可； （2）先作的垂直平分线，即为折痕，以点A为圆心，为半径画弧，交于一点，该点即为点E，连接，作的垂直平分线，交于点F； （3）根据折叠得出，根据三角形内角和定理得出，根据平角得出，最后根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求作的直线； （2）解：如图，、即为所求； （3）解：根据折叠可得：，， ∴； 根据折叠可得：，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题八 作等腰三角形(尺规作图)】 【例1】（25-26八年级上·江苏南通·期末）利用直尺和圆规作，使，以下作法正确的是（   ） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图，根据基本尺规作图，利用等角对等边和线段垂直平分线的性质、平行线的性质推理解答即可． 【详解】解：图①中，则，符合题意； 图②中，不符合题意； 图③中根据平行线和角平分线的作图可得，则，符合题意； 图④中作图为垂直平分线，可得，不符合题意； 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·山东聊城·期末）问题：如图1，已知为钝角三角形，，用尺规作的高． 作法：如图2，①分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点；②连接；③延长交于点．线段即为的高． 判定为高的依据是________． 【答案】三线合一 【分析】本题主要考查了尺规作图、等边三角形的判定与性质，由尺规作图可知是等边三角形，由等边三角形的性质可知，可证平分，根据等腰三角形的三线合一定理可证为的高． 【详解】解：分别以点，为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 平分， (三线合一)， 是的高． 故答案为：三线合一． 1．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，是甲、乙、丙三位同学用尺规作图的方法作等腰，下列说法正确的是（    ） A．甲、乙正确，丙错误 B．甲、丙正确，乙错误 C．乙、丙正确，甲错误 D．甲、乙、丙都正确 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可． 【详解】解：甲图：以点为圆心，为半径作弧，交于点， ∴， ∴为等腰三角形， 乙图：作的垂直平分线，交于点， ∴， ∴为等腰三角形， 丙图：所作的， ∴， ∴是等腰三角形， ∴甲、乙、丙都正确． 故选：D． 2．（2025·山东淄博·二模）如图，已知，点B为AN上一点．用尺规按如下过程作图：以点A为圆心，以任意长为半径画弧，交AN于点D，交AM于点E；以点B为圆心，以AD长为半径作弧，交AB于点F；以点F为圆心，以DE长为半径作弧，交前面的弧于点G，连接BG并延长交AM于点C，则______． 【答案】110°/110度 【分析】根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°，再根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：根据作法得：∠ABC=∠MAN=55°， ∵∠BCM=∠MAN+∠ABC， ∴∠BCM=110°． 故答案为：110° 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作一个角等于已知角，三角形外角的性质，熟练掌握作一个角等于已知角的作法，三角形外角的性质是解题的关键． 3．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知．要求：（1）用直尺和圆规作图，保留作图痕迹；（2）只需作出满足要求的一个图形即可． (1)点在直线上，在图①中作，使得，且点，分别在，上； (2)点在直线外，在图②中作，使得，且点，分别在，上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图与应用设计作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）过点P作于点N，以P为圆心，为半径作弧交于点M，连接，即为所求； （2）过点P作于点J，交于点K，以J为圆心，为半径作弧交于点F，以P为圆心，为半径作弧交于点E，连接，即为所求 【详解】（1）解∶如图，即为所求 （2）解∶如图，即为所求 【经典例题九 已知外心的位置判断三角形的形状】 【例1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知是的外心，，分别是，的中点，连接，，分别交于点，．若，，，则的面积为（     ） A．72 B．96 C．120 D．144 【答案】B 【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE，根据三角形外心的定义，可得PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，进而求得AF，DF，AD的长度，可知△ADF是直角三角形，即可求出△ABC的面积． 【详解】如图，连接AF，AD，AE，BE，CE， ∵点E是△ABC的外心， ∴AE=BE=CE， ∴△ABE，△ACE是等腰三角形， ∵点P、Q分别是AB、AC的中点， ∴PE⊥AB，QE⊥AC， ∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC， ∴AF=BF=10， AD=CD=8， 在△ADF中，∵， ∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°， ∴S△ABC= ， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形外心的定义，勾股定理逆定理等知识点，解题的关键是得到△ADF是直角三角形． 【例2】（24-25七年级下·上海奉贤·期中）如图，O为△ABC的外心，△OCP是等边三角形，OP与AC相交于点D，连接OA．若∠BAC=70°，AB=AC，则∠ADP的度数为_________． 【答案】85°/85度 【分析】根据题意利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出∠OAC=∠OCA=35°，进而结合三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：∵O为△ABC的外心，∠BAC=70°，AB=AC， ∴∠OAC=35°，AO=CO， ∴∠OAC=∠OCA=35°， ∴∠AOC=110°， ∵△OCP为正三角形， ∴∠COP =60°， ∴∠AOP=∠AOC -∠COP =50°， ∴∠ADP=∠OAD+∠AOD=85°． 故选：85°． 【点睛】本题主要考查三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出∠OAC=∠OCA=35°是解题的关键． 1．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：如图，在中，边、的垂直平分线交于点．则下列结论一定成立的有（   ）个． ①．②点在的垂直平分线上．③④⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，根据线段垂直平分线的判定定理、外心的概念判断即可． 【详解】解：边、的垂直平分线交于点， ，①正确； ， 点在的垂直平分线上，②正确； 边、的垂直平分线交于点， 点是的外心， ，③正确； 不一定等于，④错误； 不一定是的平分线， 不一定等于，⑤错误； 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，点是外心，，是的中点， （1）连接，则______； （2）若，是边上的高，则的大小为______． 【答案】 30°/30度 23°/23度 【分析】（1）连接OC，由点是外心得OA=OB=OC，从而可以得到，，，再根据即可求出答案． （2）先求出利用等腰三角形的性质求出=90°-30°=60°，进而求出，然后利用三角形的内角和定理求出，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：（1）如图1，连接OC， 点是外心， OA=OB=OC， ，，， ，， ． 故答案为：30°； （2）如图2，连接OC， OB=OC，是的中点， =30°，，， =90°-30°=60°， ， ，，，，， ， ， 是边上的高， ． 故答案为：23°． 【点睛】本题考查了三角形的外心性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 3．（2025·河北石家庄·三模）如图，在中，，点D从点B出发沿向点C运动，点E从点C出发沿向点B运动，点D和点E同时出发，速度相同，到达C点或B点后运动停止．    (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据点D和点E同时出发，速度相同，得出，即可用证明； （2）根据，得出，即可求解； （3）分别求出当时，和当时，的度数，即可解答． 【详解】（1）证明：∵点D和点E同时出发，速度相同， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当时，，    当时，，    ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角形的定义和三角形的外心，解题的关键是掌握等腰三角形等边对等角；全等三角形的判定方法和全等三角形对应边边相等；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【经典例题十 最短路径问题】 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在正方形网格中，点，为格点，点为直线上的动点，则使的值为最小的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了作轴对称图形，轴对称最短线段问题，掌握轴对称图形的性质是解题的关键． 根据轴对称图形的性质作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，即为所求； 【详解】解：如图所示：作点A关于直线l的对称点；连接，与直线l相交于点，点即为所求； 故选：B． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）在村庄和村庄之间有一条河流，河岸平行于河岸，为了出行方便，村民决定在河流上建造一座桥（桥梁垂直于河岸建造），使得，两个村庄间的行走路径最短．上面是村民在纸上所画的示意图，图中，，则此示意图是_____的（填“正确”或“不正确”）． 【答案】正确 【分析】本题考查了平移的性质，两点之间线段最短，关键是任取其他位置修桥（垂直于河岸），通过等量代换，把路径最短问题转化为两点之间线段最短． 任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，，利用平移的性质把行走路径转化为比较与的大小，根据两点之间线段最短，可得最短路径． 【详解】解：如图，任取其他位置修桥（垂直于河岸），连接，，． ，， 可看作由平移所得， ， ． 同理，， ． 中，， ， ， 原示意图是正确的． 故答案为：正确． 1．（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向路同侧的两个城镇铺设燃气管道．在两个城镇之间有一个生态保护区（长方形），燃气管道不能穿过该区域．下面有四种铺设管道路径的方案： 方案1：过点P作于点E，连接，，则铺设管道的路径是 方案2：连接并延长交l于点F，连接，则铺设管道的路径是 方案3：作点P关于l的对称点，连接交l于点G，连接，，则铺设管道的路径是 方案4：作点Q关于l的对称点，连接交l于点H，连接，，则铺设管道的路径是 其中铺设管道路径最短的方案是（   ） A．方案 B．方案 C．方案 D．方案 【答案】C 【分析】本题考查了作轴对称最短路线问题，运用轴对称，将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点之间线段最短，来实现最短路线的求解． 【详解】解：作点关于的对称点，连接交于点，连接， ∴, ∴, ∵长度不变， ∴此时管道路径最短， ∴最短路径为:, 这正好对应方案的作法． 2．（24-25八年级下·广西北海·期中）如图，在中，，，的面积为12，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P是线段上的一个动点，则的周长的最小值是_____________． 【答案】7 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据中垂线的性质，得到，进而得到，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在中，，于点D， ∴， 连接，如图， ∵直线垂直平分， ∴， ∴，当且仅当点为与的交点时取等号， ∵，，的面积为， ∴， 解得：， ∴的周长 故答案为： 7． 3．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【详解】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【拓展训练一 根据等边三角形的性质求长度】 【例1】（2026·安徽安庆·一模）如图，在等边三角形中，为的中点，，与关于点中心对称，连接，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，中心对称图形的性质等知识点． 根据等边三角形三线合一的性质和勾股定理得到线段的长度，根据中心对称图形的性质得到的长度，根据勾股定理得到的长度． 【详解】解：∵为等边三角形，为的中点， ∴是边上的高，，，， ∴，， ∴在中，， ∵与关于点中心对称， ∴，，， ∴， ∴在中，． 【例2】（25-26八年级上·江苏常州·期末）如图，是等边三角形的高，是延长线上一点，且．若，则的长是____． 【答案】6 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角定理等知识点． 先由等边三角形得到，，然后证明，再由求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，是等边三角形，是的平分线，延长到点，使得．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义． 根据等边三角形的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的判定和性质得到，即可求出的长． 【详解】解：是等边三角形， ． 平分 ． ． ， ． ． 2．（25-26八年级上·云南曲靖·月考）如图，在中，，，点是外一点，且，过点作分别交，于点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2)5 【分析】本题主要考查的等边三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理是解题的关键． （1）由，，得是等边三角形，根据平行线的性质及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，交于点，由，，得是线段的垂直平分线，根据等边三角形三线合一得，再根据平行线的性质得，根据等角对等边得，即可求解． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ，， 是等边三角形． ． ， ，． ． 是等边三角形． （2）如图，连接，交于点， ，， 是线段的垂直平分线． ． 又， ． ， ． ． ． ． 由（1）知是等边三角形， ． ． 3．（24-25七年级下·上海崇明·月考）如图，在四边形中，将绕点顺时针旋转得到，此时，，三点恰好共线．若已知，． (1)求的长； (2)求证：平分． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据旋转的性质可得，，，推出是等边三角形，据此求解即可； （）由是等边三角形，则，由旋转性质可知，推出，即可证明平分． 【详解】（1）解：由旋转性质可知，，，， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴平分． 【拓展训练二 根据等边三角形的性质求角度】 【例1】（2026·浙江·模拟预测）如图所示，和都是等边三角形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质得，，，再结合角的转换可证明，得．结合，推出，再由内角和得，最终由三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵ ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题以共顶点等边三角形为模型，通过“”全等实现角度转化，将已知角与目标角建立关联，再结合三角形内角和定理完成求解，凸显了全等变换在几何角度计算中的核心作用． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，和都是等边三角形，连接，相交于点，则的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键； 通过证明三角形全等得到角的关系，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：如图，设与相交于点． 和都是等边三角形， ，，， ， 即． 在和中 ， ． 又， ． 故答案为：． 1．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）如图，在等边三角形中，D是边上一点，以为边作等腰三角形，使，，交于点F，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、三角形内角和定理与外角的性质； （1）根据等边三角形的性质可得，由于，求得的度数，进而求出的度数； （2）由三角形内角和定理求出的度数，由外角的性质得到的度数，可用减去得到． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ， 又∵ ∴． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·期中）如图，在等边中，为边上的一点，线段与关于直线对称，连接并延长交直线于点． (1)若，求的度数； (2)当点在边上运动时，的大小是否变化，如果变化，请说明理由，如果不变，请求出它的度数． 【答案】(1)； (2)大小不变，为． 【分析】（）由等边三角形的性质可得，，由轴对称的性质得，， 然后由等腰三角形的性质即可求解； （）分当点在右边时和当点在左边时两种情况，然后通过轴对称的性质，三角形的外角性质等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 由轴对称的性质得：，， ∴，， ∴； （2）解：如图，当点在右边时， 设， 则由（）知：，， ∵， ∴， ∴； 如图，当点在左边时， 设， 则由（）知：，， ∵， ∴， ∴， ∴的大小不变，为． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． 3．（24-25七年级上·福建泉州·月考）（1）如图 1，如果 与直线所成的锐角为，以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线上，这样的等腰三角形能画_______个． （2）如图 2，在 中，，若存在过点的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求的度数． （3）想一想：如图 3， 中，，，过顶点作一条直线交线段于点， 直线能把分割出一个等腰三角形，直接写出的度数．    【答案】（1）2；（2）的度数为或或或；（3）的度数为或或或或 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，再结合该等腰三角形有一个角为或可知，以为圆心，为半径画弧，交于两点，即可得到结论； （2）分情况讨论：若当，可得，再讨论当时，时，当时；若当，时；若当，时；分别根据等腰三角形的性质即可得到结论； （3）分情况讨论：当时，当时，当时，当时，当时，分别根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）∵ 与直线所成的锐角为， ∴当以为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线上时，该等腰三角形有一个角为或， 当角为时，该等腰三角形为等边三角形，这样的三角形只有1个，即以为圆心，为半径画弧，交直线上点左侧，如图；    当角为时，该等腰三角形为钝角三角形，这样的三角形也只有1个，即以为圆心，为半径画弧，交直线上点左侧，如图；    即：以为圆心，为半径画弧，交直线于两点； 故这样的等腰三角形能画2个， 故答案为：2； （2）如图，当，    ∴， ∴， ∴①当时，； ②当时，； ③当时，，则； 如图，当，时，    ∵， ∴， ∴， 如图，当，时，    ∵， ∴， ∴， 综上所述，存在过点的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，的度数为或或或． （3）①如图，当时，    ∵， ∴， ②如图，当时，    ∵， ∴，则， ③如图，当时，    ∵， ∴，则， ④如图，当时，    ∵， ∴，则， ⑤如图，当时，    ∵， ∴，则， 综上所述，的度数为或或或或． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 【拓展训练三 根据垂直平分线的性质求长度】 【例1】（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，分别以顶点A，B为圆心，大于长为半径画弧（弧所在圆的半径均相等），两弧相交于点M，N，连接，分别与边相交于点D，E，若，的周长为17，则的长为（   ） A．7 B．10 C．12 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图作垂直平分线、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图可知是的垂直平分线可得，再根据的周长得，进而完成解答． 【详解】解：由题意可知，是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为17， ∴的周长 ， ∴ ， ∵ ∴． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，，．以点为圆心，以长为半径作弧；再以点为圆心，以长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图，作线段等于已知线段，线段垂直平分线的判定与性质，根据作图过程得到垂直平分是解答的关键．连接，，设与相交于，根据作图步骤可得，，得到垂直平分，则，，然后利用三角形的面积求得的长，即可解答． 【详解】解：如图所示，连接，，设与相交于， 根据作图步骤可得，， 垂直平分，则，， 由得： ， ， 故答案为：． 1．（24-25八年级下·山东枣庄·期末）如图，在中，，，是边上的中线，分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，，连接． (1)是等边三角形吗？为什么？ (2)若的长为2，求的长． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先运用三角形内角和性质算出，因为是的垂直平分线，所以，则，故，再结合在中，，是边上的中线，即可作答; （2）因为是的垂直平分线，则，结合，，得，因为，得，因为是等边三角形，得，，即可作答． 【详解】（1）解：是等边三角形． 理由是：在中，，，， 以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，．作直线分别交，于点，， 是的垂直平分线， ， ， ． 在中，，是边上的中线， ， ， 是等边三角形； （2）解：由（1）知，是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的三线合一，三角形内角和性质，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2．（25-26八年级上·江西南昌·期中）已知：如图，是的边的垂直平分线，与，分别相交于点，，连接． (1)若，，求的长； (2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再求出即可求解； （2）先根据的周长为求出，由线段垂直平分线的性质得，进而可求出的长． 【详解】（1）解：垂直平分， ， ，， ， ． （2）解：的周长为，， ， 垂直平分， ， ． 3．（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点，与相交于点，的周长为．    (1)求的长； (2)连接，，，若的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可得到答案． 【详解】（1）是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线， ， 的周长为， ， ，即； （2）   是线段的垂直平分线， ， 是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为，， ， ． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【拓展训练四 根据垂直平分线的性质求周长】 【例1】（25-26八年级上·河南许昌·期末）如图，在中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，连接AD．若的周长为18，，则的周长为（    ） A．24 B．30 C．32 D．36 【答案】B 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为18， ， ，即， ， 的周长为30， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在△中，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点；作直线分别交、于点、．若，△的周长为20，则△的周长为______． 【答案】30 【分析】本题考查作图基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．证明△的周长可得结论． 【详解】解：垂直平分线段， ，， ， △的周长， △的周长． 故答案为：30． 1．（25-26八年级上·福建南平·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，已知，的周长等于． (1)求的周长； (2)尺规作图，在射线上求作一点F，使等于的周长．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)22 (2)见解析 【分析】本题考查垂直平分线的性质，作一条线段等于已知线段． （1）根据垂直平分线的性质得到，从而由的周长等于可得到，即可求解； （2）以点C为圆心，的长为半径作弧，交射线于点F，则，即点F为所求． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴． （2）解：如图，点F为所求． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，分别垂直平分和，交于M，N两点，与相交于点F． (1)若，则的度数为 ； (2)若，则的度数为 ；（用含α的代数式表示） (3)连接，的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理及等腰三角形的性质．熟练掌握以上知识并且恰当的运用等量代换是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质可得，则，，根据三角形内角和定理即可求出的度数． （2）根据线段垂直平分线的性质可得，则，．在中根据三角形内角和定理即可求出的值．在中，又由，即可求出的值． （3）根据线段垂直平分线的性质可得．由的周长，可得．由的周长，可得，由此可得，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵中，， ∴． ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （2）解：∵分别垂直平分和， ∴， ∴． 又∵中，， ∴， 即， ∴． 在中，， ∵， ∴ ． 故答案为：． （3）解：如图，连接， ∵的周长， ∴． 又∵， ∴， 即； ∵的周长， ∴， ∴； ∵分别垂直平分和， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练五 根据垂直平分线的性质求角度】 【例1】（25-26八年级上·山西朔州·期中）如图，在锐角中，直线l为的垂直平分线，平分，直线l与射线交于点P，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由垂直平分线的性质可得，则，再结合角平分线的定义，得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：直线l为的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接．若，，则的度数为___；的度数为___． 【答案】 /76度 /52度 【分析】先利用角平分线的定义得到，再根据三角形内角和计算出，可得，接着根据线段垂直平分线的性质得，则，然后计算即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理，熟练运用这些性质与定理是解题的关键． 1．（25-26八年级上·浙江金华·月考）如图，已知，，若和分别垂直平分和，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质．利用三角形内角和定理得到，结合垂直平分线的性质得到，，再根据来计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和分别垂直平分和， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东东莞·期中）如图，在中，为直角，且，若垂直平分，点为直线上的任意一点，当周长最小时，则的度数为_____． 【答案】/30度 【分析】因为是定值，则的周长最小即最小，是的垂直平分线，，所以，当 A， P， C 三点共线时，最小，最小值为的长度，此时 P 为与的交点．根据等边对等角，，而，则的度数． 【详解】解：连接， ∵是定值， ∴的周长最小即最小 ∵是的垂直平分线， ∴， ∴ 当 A， P， C 三点共线时，最小，最小值为的长度，此时 P 为与的交点， ∵为直角，且， 则， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查中垂线的性质，对称求最小值，等边对等角，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键． 3．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见（1） (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 【拓展训练六 等边三角形中翻折问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，把一块含角的三角板沿一条直角边翻折到的位置，然后沿斜边翻折到的位置，下列说法正确的是（   ） A．将绕着点顺时针旋转得到 B．将绕着点逆时针旋转得到 C．将绕着点顺时针旋转得到 D．将绕着点逆时针旋转得到 【答案】B 【分析】根据题意，得是等边三角形，根据旋转变换的三要素解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的三要素的应用，熟练掌握判定和性质，旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是等边三角形， ， 故将绕着点逆时针旋转得到， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·广东江门·期中）已知等边中，点分别在边上，把沿直线翻折，使点落在点处，分别交边于点，若，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质、等边三角形的性质、三角形的内角和定理等知识点，掌握折叠的性质及三角形内角和定理是解题关键．由题意可得，由折叠可知，又，所以，得出，进而根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴． 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 1．（24-25八年级上·天津·期中）如图，已知是等边三角形中边上一点，将沿直线翻折得到，连接并延长交直线于点． (1)若，则　 　． (2)若，　 　；　 　； (3)当点在运动过程中，设，求． 【答案】(1)； (2)，； (3)． 【分析】本题考查了翻折的性质，等边对等角，等边三角形的性质，掌握这些性质是解题的关键． （）根据等边三角形的性质得，然后通过折叠性质可得，从而求解； （）根据等边三角形的性质得，则有，又，则，再由三角形的外角定理求解； （）同（）理求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）折纸与证明： 折纸是日常生活中常见的活动，折纸也能为证明提供思路和方法，下面是两个同学的折纸活动： (1)小明在一张长方形的纸片上任意画一条线段（如图1），将纸片沿折叠得到（如图2），他说这是等腰三角形，你同意吗？请说明理由； (2)小华先把一张正方形的纸片对折后再展开，折痕为（如图3），然后将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B（如图4），最后沿折叠（如图5），得到（如图6），他说这是等边三角形，你同意吗？请说明理由． 【答案】(1)同意，理由见解析 (2)同意，理由见解析 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）由折叠的性质知，，证出，则可得出结论； （2）由折叠的性质证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：同意，理由如下： 如图： ∵纸片为矩形，则， ∴， 由折叠的性质知，， ∴， ∴为等腰三角形； （2）解：同意，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠得， 由折叠得为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在直角三角形中，，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形 ； （2）直接写出与之间的数量关系为 ，并给出证明； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，，，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4），请直接写出的周长为 ； 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围     成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分，，，，，请你帮丁师傅算一下需要买 米的栅栏． 【答案】（1）（2），证明见详解（3）（4） 【分析】（1）由折叠得，即可求解； （2）由全等三角形的性质得，，，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，，，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得，即可求解； （4）将沿翻折，使点C落在边上的E处，连结，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠得 ， 故答案为：； （2）， 证明：由折叠得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）由折叠得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为：， 故答案为：； （4）将沿翻折，使点C落在边上的E处，连结， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 丁师傅算一下需要买栅栏 （）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角性质，等边三角形的判定及性质等；掌握折叠的性质，全等三角形的性质 ，等边三角形的判定及性质是解题的关键． A基础训练 1．（25-26八年级下·安徽宿州·期中）如图，直线，是等边三角形，点，分别在直线，上，交直线于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明，，再结合角的和差运算即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 2．（24-25八年级下·安徽宿州·月考）如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可． 【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且， ，平分，垂直平分线段， 故正确， 条件不足，无法求出的度数，故错误； 故选：C． 3．（2026·广东深圳·一模）如图，甲、乙、丙三人分别沿图中所示的路线从地运动到地，他们所走的路程分别记为．对于，它们之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】设的长度为， ， 是等边三角形， 根据等边三角形的性质得，； 同理和是等边三角形， 设的边长为， 可得，， 根据等边三角形的性质得，； 丙路程中，延长与，交于点（如图）， ，两边同加得， ， ， ， ， 综上所述，． 4．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）如图，已知，直线与直线，分别交于，两点，分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线，交直线于点，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作图可判断垂直平分，则利用线段垂直平分线的性质得到，所以，进而可得结果． 【详解】解：∵， ∴， 根据基本作图可知：垂直平分， ∴， ∴， ∴， ． 5．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，点为的外心，为正三角形，与相交于点，连接．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用外心的性质，得到OA是∠BAC的平分线，OA=OC，利用等腰三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质计算即可． 【详解】∵为的外心，，， ∴OA是∠BAC的平分线， ∴， ∵，∴， ∴， ∵为正三角形， ∴， ∴， 又∵为的外角， ∴． 故选A． 【点睛】本题考查了三角形外心的意义，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上性质并灵活计算是解题的关键． B 提高训练 6．（2026·广东佛山·一模）如图，点D、E、F是等边三角形边上的点，满足．连接，写出符合题意的三个不同类型的正确结论：________． 【答案】，，是等边三角形（答案不唯一） 【分析】根据等边三角形得到，，结合已知条件可得，即可证明，那么，那么可得到是等边三角形． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 7．（24-25八年级上·山东德州·月考）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形是一个筝形，其中，，得到如下结论：①；②；③，其中正确的结论有________（填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题考查垂直平分线的判定、全等三角形的判定，根据垂直平分线的判定得出是的垂直平分线，根据证明，即可得解．解题的关键是掌握：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 【详解】解：∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴①②正确， 在和中， ， ∴， ∴③正确， ∴正确的结论有①②③． 故答案为：①②③． 8．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）如图，已知，，交于点D，点E在线段的延长线上．给出下列结论：①；②；③平分；④；⑤图中共有6对全等三角形；⑥．其中正确的结论是________．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③④⑤⑥ 【分析】本题考查垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形全等的判定，根据，得到，，即可得到，平分，，即可得到6对全等三角形，即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴平分， 在与中， ∵， ∴， 同理可得，，，，，， ∴， 故答案为：①②③④⑤⑥． 9．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，，分别以A，B两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N；再分别以A，C两点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q．直线与直线交于点O，连接，则的大小为______． 【答案】/140度 【分析】本题考查作图-基本作图，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理等知识，连接．证明，推出，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接， 由作图可知垂直平分线段垂直平分线段， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，中，．现有两点分别从点、点同时出发，沿三角形的边运动，已知点的速度为，点的速度为．当点到达点时，点同时停止运动．点运动_________s后，可得到等边三角形． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形中的动点问题，熟练掌握等边三角形中的动点问题是解题的关键； 设运动时间为后可得到等边三角形，由题可知是等边三角形，则只需考虑即可得到等量关系，求解即可. 【详解】解：设运动时间为后可得到等边三角形， 则有 解得 即时为等边三角形 故答案为：4 ． C 培优训练 11．（25-26八年级上·山西忻州·期末）如图，是等边三角形、是中线，延长至点，使、连接．判断的形状，并说明理由． 【答案】等腰三角形，见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握以上性质． 根据等边三角形的性质以及三线合一得出角的度数，再根据三角形的外角定理和等边对等角得出，最后根据等角对等边得出结论即可． 【详解】解：是等腰三角形．理由如下： 是等边三角形， ． 是中线， ． ， ． ， ． ． ． 是等腰三角形． 12．（25-26八年级上·河南许昌·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点．      (1)求证：； (2)若的周长为42，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为13． 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，是的垂直平分线，推出，据此即可证明结论； （2）由题意得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的垂直平分线， ， ∵，D为线段的中点， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴； （2）解：∵的周长为42，， ∴， ∴， ∴的长为13． 13．（25-26八年级上·河北沧州·期末）如图是某小区内部便民店面的平面示意图，其中为快递驿站，为社区门诊，为烟酒店，为果蔬店．物业部门为方便小区居民生活，现作出如下调整，请按要求完成尺规作图（保留作图痕迹，不必写作法）． (1)修建一条小路（点在上），使社区门诊到所在直线的距离最短； (2)在的内部修建一处休息椅，使得休息椅到，，三个店面的距离相等，请确定休息椅的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了垂线段最短的性质和线段垂直平分线的性质，熟练掌握垂线段最短和线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）要使社区门诊到直线的距离最短，根据垂线段最短的性质，过点作直线的垂线，垂足即为点即可． （2）要使休息椅到、、三点的距离相等，点应为线段和线段的垂直平分线的交点，因为到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，分别作线段和的垂直平分线交于点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 14．（25-26八年级上·广东湛江·期中）如图，在中，，点、分别从点、点同时出发，沿的边运动，已知点的速度是，点的速度是，当点第一次到达点时，、同时停止运动．    (1)点、同时运动几秒后，、两点重合？ (2)点、同时运动几秒后，可得到等边？ (3)点、在边上运动时，能否得到以为底边的等腰，如果能，请求出此时、运动的时间． 【答案】(1)9秒 (2)3秒 (3)能；12秒 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）设点M、N运动t秒后，M、N两点重合，表示出M、N的运动路程，N的运动路程比M的运动路程多，列出方程求解即可； （2）设点M、N运动t秒后，得到等边三角形，表示出，的长，根据，只要，三角形就是等边三角形，列式计算即可； （3）根据证明得，列式计算即可． 【详解】（1）解：设运动时间为秒，、两点重合，则：，解得， ∴点、同时运动9秒时，、两点重合； （2）解：设运动时间为秒， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点、同时运动3秒时，可得到等边三角形； （3）解：如图，∵， ∴，    ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 此时运动的时间为12秒． 15．（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在中，，，点为平面内一动点（点，，三点不共线），连结、． (1)如图1，用尺规作线段的垂直平分线，交于点，连结（不写作法，保留作图痕迹）． (2)如图2，在（1）的条件下，将绕点顺时针旋转90°得到，连结． 求证：． 小龙同学的证明过程如下，请你帮他完成填空： 证明：延长到点，使，连结， 在利中， ， ， ，________． ， ∴_______， ， ， 由旋转得：，， ，， ， ________， ， ， ， ． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查作图-旋转变换、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形、作图—基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）根据全等三角形的判定与性质填空即可． 【详解】（1）解：如图，点E，线段即为所求． （2）证明：延长到点，使，连结， 在和中， ， ， ，． ， ∴， ， ， 由旋转得：，， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $