专题03 命题与证明重难点题型专训（2个知识点+8大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题03 命题与证明重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 写出命题的逆命题 题型六 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型七 反证法证明中的假设 题型八 用反证法证明命题 拓展训练一 构造反例 拓展训练二 多条件命题推理证明 知识点一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（　　） A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）命题“若直线，，则直线”是一个______（填“真命题”或“假命题”）． 知识点二：证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·课前预习）在证明过程中可以作为推理根据的是（   ） A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理 C．命题 D．真命题 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）证明“若，则”是假命题的反例可以是______．（写一个即可） 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·期末）下列语句中，是真命题的是（   ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的补角相等 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 1．（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列语句中不是命题的是（    ） A．连接，两点 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 2．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 3．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度？ (2)垂线段最短，对吗？ (3)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (4)同旁内角互补； (5)两个负数，绝对值大的反而小； (6)若两数之和为正数，则这两个数中至少有一个是正数． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期中）命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是___________，结论是____________． 1．（24-25七年级下·云南文山·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 2．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）已知三条不同的直线，，在同一平面内：①；②；③；④．请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论（用“如果……，那么……”的形式，写出命题，例如：如果，，那么），写出一个真命题：________． ∵， ∴，， ∴， ∴． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【经典例题三 判断命题真假】 【例1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 【例2】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题． 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列命题的逆命题是假命题的有________．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 3．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（2025七年级下·河南·专题练习）下列正确的选项是（   ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段AC”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 【例2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果，则”是________命题．（填“真”或“假”） 1．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）要通过举反例说明“如果，那么”是错误的，请写出一组的值：_______，_______． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【经典例题五 写出命题的逆命题】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．两直线平行，同位角相等 D．全等三角形的面积相等 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题___________． 3．（25-26八年级上·河北邢台·月考）写出命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题，并判断其真假． 【经典例题六 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【经典例题七 反证法证明中的假设】 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设___________． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江西宜春·月考）用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：__________________． 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 【经典例题八 用反证法证明命题】 【例1】（2025七年级下·山东·专题练习）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 1．（2025·山西临汾·二模）反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线被直线所截，，那么．”先假设，过点作直线，使，由“同位角相等，两直线平行”，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明的假设是不正确的，于是有，上述材料中的“基本事实”是指（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，内错角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 2．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设_______，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据________，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与________矛盾． 说明假设不成立，所以______． 3．（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【拓展训练一 构造反例】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）对于下列假命题，各举一个反例写在横线上． （1）“如果，那么”是一个假命题； 反例：________________________________； （2）“如果，那么”是一个假命题． 反例：________________________． 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 3．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 【拓展训练二 多条件命题推理证明】 【例1】 （24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，给出下列三个条件：①；②；③．从中选取两个条件，一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题：____________．    【例2】（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是__________，结论是__________如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：__________． 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，有两条直线m、n与直线a相交，已知，根据图形，以a、m、n的两个可能关系分别为条件、结论，写出一个正确的命题如下： ，又___________，___________． 2．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． A基础训练 1．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 2．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）用反证法证明“在同一平面内，若，，则//”，第一步应假设（   ） A．// B．与垂直 C．与不一定平行 D．与相交 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 5．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 B 提高训练 6．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题中，是真命题的是______．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 7．（25-26八年级上·四川眉山·期末）利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 8．（25-26八年级上·上海闵行·单元测试）在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 9．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）填空： （1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是__________________，结论是__________________，这个命题的逆命题的条件是__________________，结论是__________________． （2）命题“如果，那么”的条件是_________，结论是__________________，这个命题的逆命题是__________________． 10．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． C 培优训练 11．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 12．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 15．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 命题与证明重难点题型专训 （2个知识点+8大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 判断是否是命题 题型二 写出命题的题设与结论 题型三 判断命题真假 题型四 举例说明假（真）命题 题型五 写出命题的逆命题 题型六 写出一个命题的已知、求证及证明过程 题型七 反证法证明中的假设 题型八 用反证法证明命题 拓展训练一 构造反例 拓展训练二 多条件命题推理证明 知识点一：定义、命题、基本事实与定理 1. 命题 定义：判断一件事情的语句，叫做命题. 组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 表达形式：可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 2.真命题、假命题 内容 举例 注意 真命题 如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题 ‌对顶角不相等 说明一个命题是真命题，需从已知出发,经过一步步推理，最后得出正确结论 假命题 命题中题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题 ‌相等的角是对顶角 判定一个命题是假命题，只要举出一个例子(反例)，使它符合命题的题设，但不满足结论即可 【即时训练】 1．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）命题是能够判断真假的语句，命题一般都有题设与结论．命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（　　） A．垂直 B．两条直线 C．同一条直线 D．两条直线垂直于同一条直线 【答案】D 【分析】根据命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是两条直线垂直于同一条直线， 故选：D． 【点睛】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论． 2．（24-25七年级下·山西吕梁·期中）命题“若直线，，则直线”是一个______（填“真命题”或“假命题”）． 【答案】假命题 【分析】本题主要考查了判断一个命题的真假．根据平行线的判定，即可求解． 【详解】解：若直线，，则直线或或a与b相交， ∴原命题是假命题． 故答案为：假命题 知识点二：证明 1.概念：根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明. 2.定理：经过证明的真命题称为定理. 3.证明与图形有关的命题的一般步骤： （1）根据题意，画出图形. （2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证. （3）写出证明过程. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·上海闵行·课前预习）在证明过程中可以作为推理根据的是（   ） A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理 C．命题 D．真命题 【答案】B 【解析】略 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）证明“若，则”是假命题的反例可以是______．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一）（a取小于的一个数即可） 【分析】根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的反例可以是：， ∵，但是， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（24-25七年级下·山东淄博·期末）下列语句中，是真命题的是（   ） A．两个锐角的和是钝角 B．同旁内角互补 C．过一点作直线的垂线 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题主要考查真命题的判断，熟练掌握性质定理是解题的关键．根据锐角与钝角的和、同旁内角性质、命题的定义及补角的性质进行判断即可． 【详解】解：两个锐角的和可能是锐角，直角，钝角，故选项A为假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故选项B为假命题； 过一点作直线的垂线不是命题，故选项C错误； 同角的补角相等，故选项D为真命题； 故选D． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·期中）判断下列句子是否是命题： （1）0是偶数；______； （2）两个锐角的和是钝角；______； （3）画两个相等的角；______； （4）同旁内角互补；______； （5）所有的质数都是奇数吗？______； （6）两条直线相交，只有一个交点．______， 【答案】 是命题 是命题 不是命题 是命题 不是命题 是命题 【分析】根据命题的定义，即能够判断真假的陈述句叫做命题，依次对每个句子进行判断，看是否符合命题的特征．本题主要考查了命题的定义，熟练掌握命题是能够判断真假的陈述句这一概念是解题的关键． 【详解】解：（1）0是偶数；是命题； （2）两个锐角的和是钝角；是命题； （3）画两个相等的角；不是命题； （4）同旁内角互补；是命题； （5）所有的质数都是奇数吗？不是命题； （6）两条直线相交，只有一个交点，是命题； 故答案为：（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题；（4）是命题；（5）不是命题；（6）是命题． 1．（25-26八年级上·广西贵港·期末）下列语句中不是命题的是（    ） A．连接，两点 B．对顶角相等 C．等角的补角相等 D．垂线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了命题的定义，理解其定义是解题的关键． 命题是能够判断真假的陈述句，据此分析各选项即可． 【详解】解：A：“连接，两点”是操作指令，无法判断真假，不是命题，故该选项符合题意； B：“对顶角相等”是命题，故该选项不合题意； C：“等角的补角相等”是命题，故该选项不合题意； D：“垂线段最短”是命题，故该选项不合题意． 故选：A． 2．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）判断下列句子是不是命题（填“是”或“不是”） ①对顶角相等；（       ） ②画一个角等于已知角；（       ） ③两直线平行，同位角相等；（       ） ④a，b两条直线平行吗？（       ） 【答案】是，不是，是，不是 【分析】本题考查命题的定义，根据命题的定义，命题是可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，分析每个句子是否符合这一定义即可． 【详解】解：①“对顶角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ②“画一个角等于已知角”是动作描述，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； ③“两直线平行，同位角相等”是陈述句，且可以判断真假（真），因此是命题； ④“a，b两条直线平行吗？”是疑问句，不是陈述句，无法判断真假，因此不是命题； 故答案为：是，不是，是，不是． 3．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）下列句子是命题吗？若是，指出它的条件与结论，并判断它是否为真命题． (1)一个角的补角比这个角的余角大多少度？ (2)垂线段最短，对吗？ (3)如果两条直线相交，那么它们只有一个交点； (4)同旁内角互补； (5)两个负数，绝对值大的反而小； (6)若两数之和为正数，则这两个数中至少有一个是正数． 【答案】(1)不是命题， (2)不是命题， (3)是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，真命题 (4)是命题，条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，假命题 (5)是命题，条件：两个数是负数，结论：绝对值大的那个数反而小，真命题 (6)是命题，条件：两数之和为正数，结论：这两个数中至少有一个是正数，真命题 【分析】本题考查的是命题的定义，以及命题的真假判断，根据命题的定义先判判出哪些是命题，再把命题的题设写在“如果”后面，结论放在“那么”后面，据此写出命题的条件和结论即可． （1）是疑问句，不是命题； （2）是疑问句，不是命题； （3）先判断是命题，再写成如果那么的形式，据此写出已知和结论，并判断真假； （4）先判断是命题，再写成如果那么的形式，据此写出已知和结论，并判断真假； （5）先判断是命题，再写成如果那么的形式，据此写出已知和结论，并判断真假； （6）先判断是命题，再写成如果那么的形式，据此写出已知和结论，并判断真假； 【详解】（1）解：是疑问句，不是命题； （2）是疑问句，不是命题； （3）是命题，条件：两条直线相交，结论：它们只有一个交点，是真命题； （4）同旁内角互补，是命题， 改写成：如果两个角是同旁内角，那么它们互补； 条件：两个角是同旁内角，结论：它们互补，是假命题； 举反例：如下图，是同旁内角，但是并不互补； （5）两个负数，绝对值大的反而小，是命题； 改写成：如果两个数是负数，那么绝对值大的那个数反而小， 条件：两个数是负数，结论：绝对值大的那个数反而小，是真命题； （6）若两数之和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，是命题； 改写成：如果两数之和为正数，那么这两个数中至少有一个是正数， 条件：两数之和为正数，结论：这两个数中至少有一个是正数，是真命题． 【经典例题二 写出命题的题设与结论】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期中）命题“对顶角相等”的条件是（    ） A．两个角 B．相等 C．两个角相等 D．两个角是对顶角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的结构及对顶角的定义，命题“对顶角相等”是“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”的简写，因此条件部分是“两个角是对顶角”． 【详解】解：∵命题“对顶角相等”等价于“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”， ∴条件为“两个角是对顶角”， 故选：D． 【例2】（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）命题“两个相等的角是平行线的内错角”中的题设是___________，结论是____________． 【答案】 两个相等的角 这两个角是平行线的内错角 【分析】本题考查命题，解题的关键是能分清一个命题的题设与结论． 命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．该命题可以改写成“如果…那么…”的形式，从而确定题设和结论． 【详解】解：将命题“两个相等的角是平行线的内错角”改写成“如果两个角相等，那么它们是平行线的内错角”， 所以题设是“两个相等的角”，结论是“这两个角是平行线的内错角”． 故答案为：两个相等的角，这两个角是平行线的内错角． 1．（24-25七年级下·云南文山·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两条直线平行于同一条直线，放在“如果”的后面，结论是这两条直线平行，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：两条直线平行于同一条直线，结论为：这两条直线平行， 故选：A． 2．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）已知三条不同的直线，，在同一平面内：①；②；③；④．请你用①②③④所给出的其中两个事项作为条件，其中一个事项作为结论（用“如果……，那么……”的形式，写出命题，例如：如果，，那么），写出一个真命题：________． 【答案】如果，，那么（答案不唯一） 【分析】本题主要考查的知识点是平行线的判定定理，即在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．要根据直线的位置关系(平行、垂直)的性质，选取两个事项作为条件，一个事项作为结论，构造真命题． 【详解】解：如果，那么； 理由：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：如果，那么． 3．（25-26八年级上·河南郑州·期末）命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程． (1)已知：如图，___________，；求证：___________． (2)证明： (3)命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是___________命题（填“真”或“假”）． 【答案】(1)平分，平分； (2)见解析 (3)真 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）根据题意、结合图形写出已知和求证即可； （2）根据平行线的性质和判定证明即可； （3）写出已知和求证，然后证明即可． 【详解】（1）解：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 故答案为：分别交，于，，平分，平分；； （2）证明：平分 平分， ， ， ； （3）命题“如果两条平行直线被第三条直线所截，那么一组同旁内角的角平分线互相垂直”，此命题是真命题， 已知：，被所截，平分，平分，求证：； 证明如下： 如图所示， ∵，被所截，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴． 【经典例题三 判断命题真假】 【例1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题，判断各命题的真假，A、B、C均为真命题，D命题“同旁内角互补”不一定成立，因此是假命题． 【详解】解：∵对顶角相等，∴A是真命题； ∵如果，则，∴B是真命题； ∵正数总是大于负数，∴C是真命题； ∵同旁内角互补的条件是两直线平行，当两直线不平行时，同旁内角不互补，∴D不总是成立，是假命题． 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）命题“如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线”的逆命题是_____________（填“真”或“假”）命题． 【答案】假 【分析】本题考查了命题的真假，平行线的判定、垂直的定义，熟练掌握平行线的判定是解题关键； 逆命题是通过交换原命题的条件和结论而形成的，即“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，该命题才成立，据此判断即可． 【详解】解：原命题的条件是“两条直线平行”，结论是“这两条直线垂直于同一条直线”．逆命题为“如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”．在同一平面内，根据垂直的性质定理，垂直于同一直线的两条直线互相平行，在同一平面内成立，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、相交或异面，因此该逆命题是假命题． 故答案为：假． 1．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）下列命题中，假命题是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查真假命题的判断，平行线的性质与判定，平方的性质，根据平行线的性质与判定定理可判断A、B；根据平方的性质可判断C、D． 【详解】解：A、两直线平行，内错角相等，原命题是真命题，不符合题意； B、内错角相等，两直线平行，原命题是真命题，不符合题意； C、如果，那么，原命题是真命题，不符合题意； D、如果，那么，原命题是假命题，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）下列命题的逆命题是假命题的有________．（填序号） ①对顶角相等；②两直线平行，同旁内角互补；③全等三角形的周长相等；④若，则． 【答案】①③④ 【详解】本题考查逆命题的真假判断，需先写出每个命题的逆命题，再根据数学知识判断其真假． 【分析】解：①对顶角相等的逆命题是“相等的角是对顶角”，该逆命题是假命题，因为相等的角不一定是对顶角（如等腰三角形的底角相等但不是对顶角），符合题意； ②两直线平行，同旁内角互补的逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，该逆命题是真命题，是平行线的判定定理，不符合题意； ③全等三角形的周长相等的逆命题是“周长相等的两个三角形全等”，该逆命题是假命题，因为周长相等的三角形不一定全等（如边长分别为3、4、5和4、4、4的三角形周长均为12但不全等），符合题意； ④若，则的逆命题是“若，则”，该逆命题是假命题，因为时a与b可能互为相反数（如，），符合题意． 综上所述，逆命题是假命题的有①、③、④． 故答案为：①③④． 3．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． (1)互为相反数的两个数的和为零； (2)同旁内角互补． 【答案】(1)如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题 (2)如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键． （1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假； （2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假． 【详解】（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补． 【经典例题四 举例说明假（真）命题】 【例1】（2025七年级下·河南·专题练习）下列正确的选项是（   ） A．命题“同旁内角互补”是真命题 B．“作线段AC”这句话是命题 C．“对顶角相等”是定义 D．说明命题“如果，那么”是假命题的反例是， 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题、真命题、假命题、定义的概念 ，熟练掌握这些概念并能准确运用它们来判断语句的属性是解题的关键．根据命题、真命题、假命题、定义的相关概念，对每个选项逐一进行分析判断． 【详解】解：选项A 命题“同旁内角互补”，只有两直线平行时，同旁内角才互补，若两直线不平行，同旁内角不互补，所以该命题是假命题，A选项错误． 选项B 命题是可以判断真假的陈述句，“作线段”是一个操作指令，不是可以判断真假的陈述句，所以它不是命题，B选项错误． 选项C “对顶角相等”是经过推理证实的真命题，是定理，而定义是对于一个概念的内涵和外延的确切而简要的说明，所以“对顶角相等”不是定义，C选项错误． 选项D 要说明一个命题是假命题，只需举一个反例，即满足命题的条件，但不满足命题的结论． 对于命题“如果，那么” ，当，时，，满足条件，但，不满足结论，所以，是该命题的反例，D选项正确． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·河南驻马店·期末）命题“如果，则”是________命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了命题与定理的知识．举出反例判断该命题是假命题即可． 【详解】解：根据不等式的性质得：“如果，当时，则”， 故原命题为假命题， 故答案为：假． 1．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理：命题的“真”与“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子． 【详解】解：A、满足条件，不满足结论，故A符合题意； B、不满足条件，不满足结论，故B不符合题意； C、满足条件，也满足结论，故C不符合题意； D、不满足条件，不满足结论，故D不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）要通过举反例说明“如果，那么”是错误的，请写出一组的值：_______，_______． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查举反例，根据题意，举出一组反例即可. 【详解】解：当，时，， ∴， ∴， 故如果，那么”是错误的； 故的值可以为， 故答案为：，（答案不唯一） 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）小启和小正在学习《一元一次不等式》这一章节的时候，面对这样一个代数命题：“有两个数和．若．则一定有”，两人提出了如下问题： (1)小启说：“这个命题一看就是假命题．”请你帮他们举一个反例说明． (2)小正说：“这个命题只要加一个条件就正确了，如：有两个数a和b．若，则一定有．”小启说：“这样一改肯定是真命题，可是不太好证明啊．”请你用所学的知识帮助他们证明这个命题． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查举例说明假命题，不等式的性质． （1）根据题意举反例即可； （2）由不等式的性质可得，，即可证得结论． 【详解】（1）解：例如：，，，，，得到． （2）证明：∵， ∴，， ∴． 【经典例题五 写出命题的逆命题】 【例1】（25-26八年级上·河南周口·期末）下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．对顶角相等 B．若，则 C．两直线平行，同位角相等 D．全等三角形的面积相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的逆命题以及判定命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断即可，熟记相关数学结论是解题关键． 【详解】解：A、“对顶角相等”的逆命题为：相等的两个角是对顶角．逆命题是假命题，不符合题意； B、“若，则”的逆命题为：若，则．若，，此时，故逆命题是假命题，不符合题意； C、“两直线平行，同位角相等”的逆命题为：同位角相等，两直线平行．根据平行线的判定定理可知逆命题是真命题，符合题意； D、“全等三角形的面积相等”的逆命题为：面积相等的三角形一定全等，一个直角三角形的面积可以和一个钝角三角形的面积相等，故逆命题是假命题，不符合题意． 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 1．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知命题“如果，那么”，则该命题的逆命题是（    ）． A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】B 【分析】本题考查逆命题，将原命题的条件和结论互换即可． 【详解】解：∵原命题为“如果，那么”， ∴逆命题为如果 ，那么 ， 故选：B 2．（25-26八年级上·浙江台州·期中）写出命题“两直线平行，对顶角相等”的逆命题___________． 【答案】如果对顶角相等，那么两直线平行 【分析】本题考查了写逆命题． 逆命题是通过交换原命题的条件和结论而得到的新命题．原命题“两直线平行，对顶角相等”是一个条件命题，可以表述为“如果两直线平行，那么对顶角相等”． 【详解】解：原命题的条件是“两直线平行”，结论是“对顶角相等”， 交换条件和结论，得到逆命题“如果对顶角相等，那么两直线平行”． 故答案为：如果对顶角相等，那么两直线平行． 3．（25-26八年级上·河北邢台·月考）写出命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题，并判断其真假． 【答案】“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，假命题 【分析】本题主要考查了写出一个命题的逆命题，判断命题真假，把原命题的题设和结论互换作为新命题的题设和结论，新命题即为原命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：命题“如果两个角是直角，那么这两个角相等”的逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是直角”，这是一个假命题． 【经典例题六 写出一个命题的已知、求证及证明过程】 【例1】（24-25七年级下·河北石家庄·月考）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是(   ) A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 【详解】证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 【详解】解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点睛】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 1．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）要证明一个几何命题，一般要经历以下步骤： 试按照以上步骤证明：对顶角相等． 【答案】见解析 【分析】本题考查了证明几何命题，对顶角相等．根据证明几何命题的步骤画图，写出已知求值，再推理证明即可． 【详解】已知：如图，直线与相交于点， 求证：． 证明：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·河南许昌·期中）命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)证明该命题．（要求先画出图形，再写出已知和求证，最后写出证明过程） 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 (2)见解析 【分析】本题考查了命题，命题的改写，命题的证明等知识，掌握这些基础知识是关键． （1）分清命题的题设与结论，按照如果部分后面是题设，那么部分后面是结论的形式改写即可； （2）画出图形，结合图形写出已知、求证，利用平行线的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：改成“如果……那么……”的形式为：在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． （2）已知：如图，是同一平面内的三条直线，且． 求证：． 证明：． ． 又和是同位角， ∴． 3．（24-25七年级下·江苏南京·月考）大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题： 小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行． 小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直． 小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？ 小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题… 数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明（注明理由）；如果是假命题，请举反例画图说明． 下面请你一起完成数学老师所说的任务． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题、平行线的判定与性质，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．证明小明说的命题：如图1（见解析），先根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据平行线的判定即可得证；小丽说的命题，通过画图举出反例即可得． 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行”为真命题． 已知：如图1，，， 求证：， 证明：作直线分别于直线、、相交， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 命题“在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直”为假命题， 如图2，，，而． 【经典例题七 反证法证明中的假设】 【例1】（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）用反证法证明命题“在中，，求证：”时，第一步应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用反证法证明命题时，第一步需要假设原命题的结论不成立，找出原结论的否定即可． 【详解】解：∵ 反证法第一步需假设原结论不成立，原命题结论为， ∴ 结论的否定为，即第一步应假设． 【例2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一”．若用反证法证明“”，则应假设___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了反证法的应用，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤．根据反证法的步骤：第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：反证法证明“”时，应假设原命题不成立，即不小于，因此假设．故答案为． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，求证：，当用反证法证明时，第一步应假设（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：假设结论不成立，则成立． 2．（25-26七年级下·江西宜春·月考）用反证法证明“垂直于同一条直线的两条直线平行”时应首先假设：__________________． 【答案】垂直于同一条直线的两条直线相交 【分析】本题考查了反证法． 反证法需假设原命题结论不成立． 【详解】解：原命题结论为“两条直线平行”， 假设其不成立，即“这两条直线不平行”， 由于不平行则相交， 因此首先假设“这两条直线相交”． 故答案为：垂直于同一条直线的两条直线相交． 3．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生矛盾？ 【答案】(1)反证法 (2)答案见解析 【分析】根据题意，画出图形，结合图形写出已知和求证，再运用反证法证明． 【详解】（1）解：反证法； （2）如下图，直线， 求证： 证明：假设与不平行，则直线与相交， 设它们的交点为P，于是经过点P就有两条直线都和直线平行， 这就与“经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行”相矛盾， 所以假设不能成立，故． 【点睛】本题考查了反证法，解题的关键是掌握反证法的步骤，假设命题的结论不成立，从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾即可． 【经典例题八 用反证法证明命题】 【例1】（2025七年级下·山东·专题练习）用反证法证明命题“在同一平面内，若直线，，则”时，应假设（　　） A． B．a与b不平行 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反证法，解题关键是明确反证法的步骤． 反证法证明命题时，应假设结论的反面成立．结论是，其反面是 与 不平行． 【详解】∵ 反证法需假设结论不成立，结论的反面是与 不平行， ∴ 应假设 与 不平行， 故选 B． 【例2】（24-25七年级下·上海松江·月考）用反证法证明：已知，，是平面内3条不同的直线，如果，，那么． 证明：假设 ，那么它们相交于一点． 因为，，过点的两条直线、都与直线垂直．这与基本事实“ ”矛盾，故假设不成立．所以． 【答案】与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题主要考查了反证法，同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，先假设结论不成立，即假设与不平行，那么它们相交于一点，则可推出过点的两条直线、都与直线垂直，这与“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾，故假设不成立，据此求解即可． 【详解】证明：假设与不平行，那么它们相交于一点． ，，过点的两条直线、都与直线垂直． 这与基本事实“同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾， 故假设不成立． 所以． 故答案为：与不平行；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 1．（2025·山西临汾·二模）反证法是从反方向证明命题的论证方法．如图、想要证明“如果直线被直线所截，，那么．”先假设，过点作直线，使，由“同位角相等，两直线平行”，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明的假设是不正确的，于是有，上述材料中的“基本事实”是指（    ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，内错角相等 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直 【答案】C 【分析】本题考查了反证法，直接利用反证法的基本步骤以及结合平行线的性质分析得出答案． 【详解】解∶根据题意知∶材料中的基本事实是经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故选：C 2．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）反证法是数学中一种常用的证明方法，通常先假设求证的结论是错误的，再由此推导出与已知、公理、定理或条件等相矛盾的结果，从而否定开始的假设，肯定先前求证结论的正确性．在证明“两直线平行，内错角相等”时，采用反证法． 如图1，已知：与是直线，被直线所截得到的一对内错角，，直线，分别与直线相交于点，．求证：． 证明：假设_______，过点N画一条直线，使得， 如图2所示，根据________，可得， 又因为，这样直线、都过点N，这与________矛盾． 说明假设不成立，所以______． 【答案】 内错角相等，两直线平行 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查的是反证法，利用反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 过点N画一条直线，使得，如图2所示，根据内错角相等，两直线平行，可得， 又因为，这样直线、都过点N， 这与过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行矛盾． 说明假设不成立，所以， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，． 3．（25-26七年级下·上海·月考）用反证法证明．如图，已知：直线a、b被直线c所截，，求证：a与b不平行． 证明：假设____________，则根据____________，可得．这与____________矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【答案】；两直线平行，内错角相等； 【分析】利用反证法进行证明，先假设，再证明与原已知条件不符即可． 【详解】证明：假设，则根据两直线平行，内错角相等， 可得． 这与矛盾，故假设不成立，a与b不平行． 【拓展训练一 构造反例】 【例1】（25-26八年级上·吉林长春·期中）举反例说明命题“若，则”是假命题时，可举的反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了判断命题的真假方法—举反例；逐项代入计算比较，即可求解． 【详解】解：对于A、B、C，得到的都是，不符合题意； 对于选项D： ∵，， ， ，， ， ， 故命题“若，则”不成立． 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）对于下列假命题，各举一个反例写在横线上． （1）“如果，那么”是一个假命题； 反例：________________________________； （2）“如果，那么”是一个假命题． 反例：________________________． 【答案】 【解析】略 1．（24-25八年级上·河南鹤壁·期中）能说明“锐角与锐角的和是锐角”是假命题的反例图是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形的外角性质即可判断． 【详解】、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 、是钝角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是假命题，此选项符合题意； 、∠是锐角， 且， 所以此图说明 “锐角，锐角的和是锐角”是真命题，此选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了真假命题、举反例说明一个命题是假命题以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． 2．（2025·江苏泰州·三模）素数是只能被1和它自身整除的自然数，如2，3，5，7，11，…．已知命题“对于任意的自然数n，都是素数”是一个假命题，在说明此命题是假命题时，我们只要举一个反例就行了，例如当n（）的值为________时，不是一个素数． 【答案】 【分析】本题主要考查素数的定义，熟练掌握素数的定义（只能被和它自身整除的自然数）是解题的关键．通过代入不同的自然数（）到中，计算结果并判断是否为素数，找到反例． 【详解】解：当时，，是素数； 当时，，，不是素数． 故答案为： 3．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内． 请你根据下列要求从①，②，③，④中选择三项，其中两项作为条件，另一项作为结论写出命题（用“如果……，那么……”的形式） (1)写出一个真命题． (2)写出一个假命题，并举出反例． 【答案】(1)选择②③作为条件，①作为结论，如果，那么 (2)选择②③作为条件，④作为结论．如果，那么． 反例：如图．如果，那么． 【分析】（1）根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，即可确定选择的条件和结论． （2）根据图形及平行线的判定，平面内，两条直线都跟同一条直线垂直，这两条直线不可能垂直，即可解决写出假命题的问题． 【详解】（1）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． （2）解：选择作为条件，作为结论， 如果，，那么． 反例：如图，如果，，那么． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及命题的真假判断等知识点，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键，这些定理是判断由条件能否推出结论，从而确定命题真假的核心依据． 【拓展训练二 多条件命题推理证明】 【例1】 （24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图，给出下列三个条件：①；②；③．从中选取两个条件，一个作为题设，另一个作为结论，写出一个真命题：____________．    【答案】如果，那么（答案不唯一） 【分析】根据两直线平行，内错角相等，再写出命题即可. 【详解】解：选取①；③， 组成的真命题为：如果，那么； 故答案为：如果，那么. 【点睛】本题考查的是平行线的性质，命题的组成，理解命题的含义并写出真命题是解本题的关键. 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·单元测试）在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是__________，结论是__________如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：__________． 【答案】 同位角相等 两直线平行 两直线平行， 同位角相等 【分析】本题考查命题的基本概念与组成、逆命题，命题是由题设和结论构成．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质和定理． 【详解】解：∵题设是条件，结论是结果， ∴在命题“同位角相等，两直线平行”中，条件是同位角相等，结论是两直线平行， ∴如果把条件作为结论，结论作为条件，我们就可以得到它的逆命题：两直线平行，同位角相等． 故答案为：两直线平行，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 1．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图，有两条直线m、n与直线a相交，已知，根据图形，以a、m、n的两个可能关系分别为条件、结论，写出一个正确的命题如下： ，又___________，___________． 【答案】 或 或 【分析】本题考查命题与定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行．由图形，写出一个真命题． 【详解】解：第一种情况：， 又， ． 第二种情况：， 又， ． 故答案为：①或，②或． 2．（25-26八年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知，．现有2个条件：①；②． (1)请在上述2个条件中选择其中一个作为已知条件，另一个作为结论组成一个真命题，你选择的条件是________，结论是________；（填序号，写出一种即可） (2)证明上述真命题，并写出完整的证明过程和证明依据． 示例：（已知）， 【答案】(1)①，②（或②，①） (2)见解析 【分析】本题考查了垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题干所给条件分析即可得解； （2）根据垂线的定义、余角的定义、平行线的判定与性质证明即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①，结论是②或选择的条件是②，结论是①． （2）证明：方法一：选择的条件是①，结论是②，则证明如下： （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． ，且（已知）， （等量代换）， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 方法二：选择的条件是②，结论是①，则证明如下： （已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （垂直的定义）， （余角的定义）． （等量代换）． （已知）， （等角的余角相等）． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）如图，有下列三个条件：①，②，③． (1)从这三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论组成命题．在保证该命题为真命题的情况下，你选择的条件是　　　，结论是　　　； (2)请写出（1）中你组成的命题的证明过程． 【答案】(1)①②，③；或①③，②；或②③，① (2)证明过程见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质．应用平行线的判定和性质定理时，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．解题时一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （1）三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①； （2）命题一证明：根据得到，接着得到即可证明；命题二证明：根据得到，接着由得到即可证明；命题三证明：根据得到，接着得到即可证明． 【详解】（1）解：命题一：已知①②，求证：③； 命题二：已知①③，求证：②； 命题三：已知②③，求证：①； （2）命题一：已知①②，求证：③ 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题二：已知①③，求证：② 证明：， ， ． ， ， ， ； 命题三：已知②③，求证：① 证明：， ， ． ， ， ， ． A基础训练 1．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）下列说法不正确的是（　　） A．证实命题正确与否的推理过程叫做证明 B．定理是命题，而且是真命题 C．“对顶角相等”是命题，但不是定理 D．要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可 【答案】C 【分析】本题考查了定理于命题的相关知识点，掌握命题，定理和证明的概念是关键. 【详解】解：证实命题正确与否的推理过程叫做证明，故A正确，不符合题意； 定理是命题，而且是真命题，故B正确，不符合题意； 对顶角相等”是命题，此命题是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理，故C错误，符合题意； 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可，故D正确，不符合题意； 故选：C 2．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）用反证法证明“在同一平面内，若，，则//”，第一步应假设（   ） A．// B．与垂直 C．与不一定平行 D．与相交 【答案】D 【分析】根据用反证法证明的方法，首先从命题结论的反面出发，假设命题不正确，可以直接得出答案． 【详解】解：∵反证法证明“在同一平面内，若，，则//”， ∴第一步应假设与不平行，即与相交． 故选：D 【点睛】此题主要考查了用反证法证明的基本步骤，熟知反证法证明题目的一般步骤是解题关键． 3．（24-25八年级上·浙江绍兴·期末）对于命题“若，则”，下面四组关于的值中，能说明它是假命题的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查了假命题，根据假命题的定义逐项判断即可求解，掌握假命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、，时，，但，能说明命题是假命题，该选项符合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 、，时，，且，不能说明命题是假命题，该选项不合题意； 故选：． 4．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）对真命题“平行于同一条直线的两直线平行”的证明过程如图所示，则下列正确的是（   ） 已知：如图，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ． A．①处为两直线平行，同位角相等 B．①处为同位角相等，两直线平行 C．②处为同位角相等，两直线平行 D．②处为两直线平行，同位角相等 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：已知：如图，，． 求证：． 证明：作直线d分别与直线a，b，c相交． ， （两直线平行，同旁内角互补） ， ， ， （同位角相等，两直线平行）． 故选：C． 5．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）老师布置了一项作业，对一个真命题进行证明，下面是小云给出的证明过程：    证明：如图，， ． ， ， ， 已知该证明过程是正确的，则证明的真命题是（    ） A．在同一平面内，若，且，则 B．在同一平面内，若，且，则 C．两直线平行，同位角不相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】阅读证明可以得到答案． 【详解】解：根据证明过程可知，证明的真命题是，且，则， 故选：A． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是能分清命题的题设与结论． B 提高训练 6．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）下列命题中，是真命题的是______．（填序号） 同位角相等；过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；两个锐角之和一定是钝角． 【答案】 【分析】本题考查了判断命题真假，逐一判断各命题的真假：同位角相等需两直线平行才成立，否则不真；符合平行公理，正确；两个锐角之和可能为锐角、直角或钝角，不一定为钝角，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：对于命题，同位角相等的前提是两直线平行，否则不一定相等，因此是假命题； 对于命题，过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，是真命题； 对于命题，锐角定义是小于的角，两个锐角之和可能小于（如，仍为锐角）、等于（如，为直角）或大于但小于（如，为钝角），因此不一定为钝角，是假命题， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川眉山·期末）利用反证法证明命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”，第一步应该假设：______． 【答案】这两条直线不平行 【分析】本题考查了反证法，根据反证法的第一步是假设原命题的结论不成立即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由原命题“同一平面内，平行于同一直线的两条直线平行”的结论是“两条直线互相平行”， 因此反证法第一步应假设结论不成立，即“这两条直线不平行”， 故答案为：这两条直线不平行． 8．（25-26八年级上·上海闵行·单元测试）在讨论“对顶角不相等”是不是命题的问题时，甲说：“这不是命题，因为这句话是错误的．”乙说：“这是命题，因为它作出了判断，只不过这一判断是错误的，所以它是假命题．”由此可判断______的说法是正确的． 【答案】乙 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据命题的定义对两种说法进行判断． 【详解】解：乙的说法正确．因为“对顶角不相等”是一个判断语句，所以它是命题，根据对顶角的性质可得到它是假命题． 故答案为：乙． 9．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）填空： （1）命题“两直线平行，内错角相等”的条件是__________________，结论是__________________，这个命题的逆命题的条件是__________________，结论是__________________． （2）命题“如果，那么”的条件是_________，结论是__________________，这个命题的逆命题是__________________． 【答案】 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 如果，则． 【分析】本题考查了命题的组成部分（条件和结论）以及逆命题的概念，解题的关键是明确命题中“如果”引导的部分是条件，“那么”引导的部分是结论，逆命题则是将原命题的条件和结论互换得到的命题． （1）对于给定命题，先分离出条件和结论，条件是命题成立的前提，结论是由条件推出的结果；再通过交换原命题的条件和结论得到逆命题，进而确定逆命题的条件和结论． （2）同样先找出原命题的条件（“如果”后的部分）和结论（“那么”后的部分）；再将条件和结论互换，得到该命题的逆命题． 【详解】解：（1）命题“两直线平行，内错角相等”可改写为“如果两直线平行，那么内错角相等”． 因此，条件是“两直线平行”，结论是“内错角相等”． 其逆命题是“如果内错角相等，那么两直线平行”，所以逆命题的条件是“内错角相等”，结论是“两直线平行”． （2）命题“如果那么”中， 条件是“”，结论是“”． 将条件和结论互换，得到逆命题是“如果那么”． 故答案为：（1）两直线平行；内错角相等；内错角相等；两直线平行； （2）如果那么． 10．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）如图，E是，CD外一点，．求证：． 证明：_________ _________， （等量代换）． _________． 【答案】 已知 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查利用三角形外角的性质，平行线的性质和判定定理进行证明，能灵活运用定理进行推理是解题的关键． 根据已知条件和三角形的外角性质和平行线的判定结合证明步骤即可得出答案． 【详解】（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， （等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行） ． 故答案为：已知；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；内错角相等，两直线平行． C 培优训练 11．（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）用举反例的方法说明下列命题是假命题： (1)如果，则； (2)相等的两个角一定是对顶角； (3)如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查举反例说明命题是假命题，熟练掌握相关定义和性质是解题的关键： （1）根据不等式的性质，举出即可； （2）举出，但与不是对顶角，即可； （3）举出一个是同旁内角但是不互补的反例即可． 【详解】（1）解：当时，，说明“如果，则”是假命题； （2）解：如图，，但与不是对顶角； 说明“相等的两个角一定是对顶角”是假命题； （3）解：如图，与是同旁内角，但与不互补． 说明“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”是假命题． 12．（25-26八年级上·上海闵行·课后作业）已知：如图，直线，直线分别与直线，交于点G，H，和是同位角．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行公理的应用，同位角相等两直线平行，用反证法证明命题，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 假设 ．过点 G作直线 ，使 ，推得，得出与平行公理矛盾，从而假设 不成立，得出结论成立． 【详解】证明：假设 ． 过点 G作直线 ， 使 ． 因为， 由平行线判定定理（同位角相等，两直线平行）， 可知 ． 又已知 ，则过 G有两条直线和都平行于， 这与平行公理（过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行）矛盾． 因此假设 不成立， 所以 ． 13．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题． (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． (2)证明见解析 【分析】此题考查命题与定理问题，平行线的判定和性质、对顶角相等知识，分情况证明是解题的关键． 根据题意，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，分三种情况根据平行线的判定和性质及对顶角相等进行证明． 【详解】（1）解：命题1：若，，则． 命题2：若，，则． 命题3：若，，则． （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴ 第二种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ 第三种情况： 已知：，， 求证： 证明：如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·月考）补全下列推理过程： 如图，，，，试说明． 解：∵，，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（____________）． ∴（____________）． ∵（已知）， ∴____________（等量代换）． ∴（____________）． 【答案】答案见详解； 【分析】本题考查证明补充条件，根据条件与结论因果关系直接填写即可得到答案； 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（　同位角相等，两直线平行　）， ∴（　两直线平行，同位角相等　）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（　内错角相等，两直线平行　）． 15．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）已知：如图，在中，D，E是边上的两点，G是边上的一点，连接并延长，交的延长线于点F．从以下三个条件中选两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明：①平分；②；③． 条件：_______，结论：_______．（填序号） 证明： 【答案】见解析，证明见解析 【分析】本题考查命题的证明，先选择条件和结论，再根据平行线的性质和判定，角平分线的定义，以及三角形的外角的性质，进行证明即可． 【详解】解：当条件是①平分，②；结论是③时： 证明：平分， ． ， ，． ； 当条件是①③，结论是②时： 证明：平分， ． ∵， ∴， ∴， ∴； 当条件是②③，结论是①时： ， ，． ， ， ∴平分． 学科网（北京）股份有限公司 $