专题01 相交线重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

专题01 相交线重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 两点确定一条直线 题型二 对顶角的概念 题型三 对顶角相等 题型四 垂线的定义理解 题型五 定理与证明 题型六 画垂线 题型七 垂线段最短 题型八 点到直线的距离 拓展训练一 角度计算综合 拓展训练二 垂线段的实际应用 拓展训练三 相交线的规律探究 知识点一：对顶角 1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角. （1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点； （2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是对顶角的判断，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角,解题关键是准确理解定义，正确判断．根据对顶角的概念判断即可． 【详解】解：A、与不是对顶角； B、与不是对顶角； C、与是对顶角； D、与不是对顶角； 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝_______． 【答案】36°/36度 【分析】根据对顶角相等即可求解． 【详解】由题意得，为对顶角， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质，即两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，且对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 知识点二：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 2．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，计划把河中的水引到村庄C中，为了使所用水管最短，可以先引，垂足为M．然后沿铺设水管．这样做的依据是______． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：把河中的水引到村庄C中，可过点引于，然后沿铺设水管，这样做的依据是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 知识点三：垂线的画法 如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】根据垂线的定义可直接得出答案． 【详解】解：由垂线的定义可知，直线， 因此垂线经过的点是点C， 故选C． 【点睛】本题考查垂线，解题的关键是掌握垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角时，即两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一直线的垂线，交点叫垂足． 2．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，某农场在灌溉时要把水渠中的水引到点，为使渠道最短，农场工作人员过点向渠岸作垂线于点，则点即为使得所挖渠道最短的位置．其数学依据是 __________．    【答案】垂线段最短 【分析】根据垂线段最短即可求解． 【详解】直线外一点与直线上所有的点的连线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解题的关键． 【经典例题一 两点确定一条直线】 【例1】（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】本题考察了直线的性质：两点确定一条直线，关键是按照一定的顺序寻找． 找到同时经过其中个点的直线的条数即可求解． 【详解】解：如图所示： 故同时经过其中个点的直线有条． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线_____． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题考查的是直线的性质，熟知两点确定一条直线是解题的关键． 根据直线的性质解答即可． 【详解】解：经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，能解释这一实际应用的数学知识是两点确定一条直线， 故答案为：两点确定一条直线． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有（    ）． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】C 【分析】利用网格作图即可. 【详解】如图： 在同一直线上的三个点有A、B、C；B、E、K；C、H、E；D、E、F；D、H、K，共5组， 故选：C 【点睛】此题考查了直线的有关概念，在网格中找到相应的直线是解答此题的关键. 2．（24-25七年级上·广西贵港·期末）平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是________． 【答案】15条 【分析】根据两点确定一条直线，则通过画图发现每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，排除重合的条数，即可求得结果． 【详解】解：因为每个点都可以和其他5个点画一条直线，共可以画6×5=30（条）直线，但互相之间又有重合的直线，所在实际条数为30÷2=15（条）． 故答案为：15条． 【点睛】此题考查了两点确定一条直线，读懂题意，找出规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【答案】(1)①6，②； (2) 【分析】本题考查了线段的条数问题，与线段中点有关的线段和差计算． （1）①根据两点确定一条线段进行求解即可；②根据线段的和差关系求解即可； （2）先由线段中点的定义得到，则，据此可得． 【详解】（1）解：①图中的线段有共6条线段， 故答案为：6； ②由题意得，， 故答案为：；； （2） D线段的中点，， ， ， ， ． 【经典例题二 对顶角的概念】 【例1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】根据对顶角的概念可知， 选项是对顶角， 故选：． 【例2】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，余角和补角，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 根据对顶角相等得出，再根据互为余角的定义得出，即可求出的度数． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， ∵与互余， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，熟知对顶角的定义是解题的关键． 根据对顶角的定义来判断，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，然后即可求解． 【详解】解：根据对顶角的定义可知，只有C中和属于对顶角， 故选：C． 2．（24-25七年级下·上海·期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 【答案】72 【分析】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角． 【详解】解：①两条直线相交共2对对顶角； ②三条直线相交，在2对的基础上再加4对，共6对； ③四条直线相交，在6对的基础上再加6对，共12对； ④五条直线相交，在12对的基础上再加8对，共20对； 即对顶角的对数为，2，6，12，20……， 以此类推，当n条直线相交时，对顶角的总对数为：  ； 根据n条直线相交于一点，构成对对顶角的规律可知， 当时，=（92-9）=72（对）， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及n条直线相交于一点，构成对顶角的规律，注意对顶角是两条直线相交而成的四个角中，没有公共边的两个角． 3．（24-25七年级下·河北邢台·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 【经典例题三 对顶角相等】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查直角的定义和对顶角，根据题意得，结合已知得即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴， 故选：B． 【例2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和相交于点，和互余，若，则_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质和互余的定义，熟练掌握对顶角相等及互余两角的和为是解题的关键．根据对顶角相等，先求出的度数，再利用互余的定义，用减去的度数即得到的度数． 【详解】解：∵直线和相交于点， ∴′． ∵和互余， ∴−−′′． 故答案为：′． 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用对顶角的性质确定的度数，再根据角平分线的定义，得出与的数量关系，进而计算出的度数． 【详解】解：直线与相交于点， ． 平分， ． ， 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查余角的定义与性质，角平分线的定义，对顶角的性质，掌握角的和差计算是解题关键． （1）先由垂直关系找到的一个余角，再利用角平分线和对顶角相等的性质，推导出另外两个余角； （2）先通过角的和差求出的度数，再根据（1）的结论，直接得到的度数． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故的余角是、、． 答：、、． （2）解：，， ， 根据（1）可知，， ． 答：． 【经典例题四 垂线的定义理解】 【例1】（11-12七年级上·海南海口·期末）如图，于点O，若，则图中互余的角共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【答案】B 【分析】本题考查了垂直、余角：和为的两个角互为余角，熟练掌握余角的定义是解题关键．先根据垂直的定义可得，则可得，，再根据等量代换可得，，然后根据余角的定义即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴与是一对互余的角，与是一对互余的角， ∵， ∴，， ∴与是一对互余的角，与是一对互余的角， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线相交于点，，射线，则的度数为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了垂线，首先根据题意作出图形，根据条件求得的度数，根据对顶角相等得，然后根据垂直的定义得，再分两种情况讨论即可得出答案． 【详解】解：如图， ，， ， ， 又， ， ； 当点在的延长线上时，， 的度数为或． 故答案为：或． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义，根据垂直定义，同角的余角相等，角平分线定义逐一排除即可，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、题中没有说明是平分线，故与不一定相等，该选项错误，不符合题意； 、∵，， ∴， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（24-25七年级下·上海闵行·周测）如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，邻补角，正确求出的度数是解题的关键． 先根据垂直的定义得到，再结合已知条件求出，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角度和差，角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是掌握角的和差． （1）根据垂直得出直角，然后根据等量代换即可求解； （2）根据垂直得出直角，根据角平分线得出，然后根据平角以及角的和差即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 即； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【经典例题五 定理与证明】 【例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）用___________的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 【答案】推理 【分析】根据定理的定义进行求解即可． 【详解】解：用推理的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 故答案为：推理． 【点睛】本题主要考查了定理的定义，熟知定理的定义是解题的关键． 1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 【答案】A 【分析】本题考查的是命题和定理，根据公理的概念判断即可． 【详解】解：“同位角相等，两直线平行”是基本事实，是公理， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 3．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【答案】见解析． 【分析】根据生活实例，言之有理即可． 【详解】具体例子很多，如象棋比赛中，有关游戏规则就相当于其公理． 【点睛】此题主要考查公理的定义、特点，解题的关键是根据实际生活找到例子．设计这一习题的目的在于，让学生更好地体会公理化思想． 【经典例题六 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画________条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查垂线的概念，熟练掌握垂线的作图是解题的关键，根据垂线的概念作图即可得到答案． 【详解】解：垂线的作图步骤：将三角尺的一条直角边与重合，另一条直角边过点后沿该直角边画直线，可得直线的垂线， ∴C选项的画法正确， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)，垂线段最短 【分析】本题考查网格中计算三角形的面积、作垂线、垂线段最短，解决本题的关键是根据网格准确作图． （1）利用割补法求解可得的面积； （2）根据线的定义，结合网格作图即可得； （3）根据垂线段最短即可完成填空． 【详解】（1）解：． （2）解：如图所示． （3）解：， （垂线段最短）． 故答案为：，垂线段最短． 【经典例题七 垂线段最短】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段，利用垂线段最短是解题关键． 从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，根据垂线段最短，可得答案． 【详解】解：如图，，点是边上的动点， ，即． ， 的长不可能为． 故选：A． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，P是边上一动点，将沿折叠，点B落在处，交于D，则的最大值为____． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，折叠问题，根据题意得出当时，最小，最大，再根据面积法求出，根据折叠得：，进而可得出答案． 【详解】解：当时，最小，最大， ∵，，，， ∴，即， ∴， 根据折叠得：， ∴． 故答案为：． 1．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 2．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则_______________（选填“≥”“＝”或“≤”），根据是______________． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线距离的定义和垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：∵A为直线l外一点，B是直线l上一点，点A到l的距离为5， ∴当时，， ∵垂线段最短， ∴当不与直线l垂直时，， ∴． 故答案为：；垂线段最短． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上． (1)过点作的平行线； (2)过点作线段的垂线，交于点； (3)点是线段与网格线的交点，连接，比较线段的大小：_____，理由是______． 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)图见详解，，垂线段最短． 【分析】此题考查了作图-平行线；作图-垂线；线段的长短比较； （1）根据作图-平行线结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线结合题意画图即可求解； （3）根据垂线段最短比较线段大小即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图， 由图可知，，理由是：垂线段最短． 【经典例题八 点到直线的距离】 【例1】 （25-26八年级上·安徽安庆·期末）定义：平面内的直线与相交于点，对于该平面内任意一点，点到直线，的距离分别为，，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，距离坐标为的点的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，先明确距离坐标的含义，即到直线距离为2、到直线距离为3的点，再根据“到一条直线距离为定值的点在两条平行于该直线的直线上”，分析两组直线的交点个数即可． 【详解】解：∵到直线距离为2的点，在两条平行于的直线上， 到直线距离为3的点，在两条平行于的直线上， 又∵与相交， ∴上述两组直线共有4个交点， ∴距离坐标为的点的个数是4个， 故选：C． 【例2】 （24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 【答案】 垂线段最短 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，由，求出，然后根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离是，点到的距离是， ∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， ∴， 故答案为：，，垂线段最短． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了点到直线的距离和三角形面积公式的理解，根据过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，逐项分析即可，熟练掌握点到直线的距离和三角形面积公式是解题的关键． 【详解】解：①点在运动过程中，使直线的点有两个，说法错误，只有一个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小，说法正确； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍，说法错误，因为点在线段点左边或在点右边时，但点不是线段中点，不能使三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离，说法正确． 综上，正确的是②④， 故答案为：②④． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 【拓展训练一 角度计算综合】 【例1】（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的关系，角平分线的定义，垂直的定义以及对顶角的性质．运用以上知识点求出的度数，再根据角的和差关系得出所求角的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ． 故选． 【例2】（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，直线，相交于点，，垂足为点，．    （1）的度数为______； （2）若平分，则的度数为______，的度数为______． 【答案】 /度 /度 /度 【分析】（1）根据垂直的定义得出，再由对顶角相等得出，结合图形，即可求解． （2）由（1）及角平分线得，结合图形利用邻补角求解即可． 【详解】解：， ， ， ； 故答案为：． （2）平分， ， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】题目主要考查角平分线及角度的计算，结合图形，找准各角之间的关系是解题关键． 1．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质，角平分线的计算，理解垂直定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 因为所以，再根据平分，得出，即可得出答案． 【详解】解：， ∴， ∵平分 ∴ ∵反射角与入射角相等 ∴ 故选：C． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知，若，则的度数是___________°． 【答案】35 【分析】此题考查垂直的定义，余角的计算，根据垂直的定义得到，由此得到． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：35． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了余角的定义，对顶角，熟知度数之和为的两个角互为余角是解题的关键． （1）由余角的定义即可得到，再根据对顶角相等即可求解； （2）由余角的定义得到，求得，由题意求得，由平角的定义即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵与互余，， ∴， ∵与是对顶角， ∴； （2）解：∵与互余， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【拓展训练二 垂线段的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】先明确 “垂线段最短”、“两点之间线段最短” 的区别，再逐一分析每个说法对应的数学知识：“垂线段最短”：直线外一点到直线的所有线段中，垂线段长度最短；“两点之间线段最短”：两点之间的所有连线中，线段最短． 【详解】解：①把弯曲的河道改成直道，缩短航程，运用的是 “两点之间线段最短”，不是 “垂线段最短”； ②在渠岸边上找使，沿挖水沟最短，运用的是 “垂线段最短”（到直线的垂线段最短）； ③∵ ，∴ 是点 到直线的垂线段，根据 “垂线段最短”，，两车速度相同，甲车路程更短，所以甲车先到城，运用的是 “垂线段最短”． 因此，运用 “垂线段最短” 的是②③． 故选：C． 【点睛】本题考查了 “垂线段最短” 与 “两点之间线段最短” 的概念，解题关键是区分两种性质的适用场景：“两点之间线段最短” 适用于两点间的连线，“垂线段最短” 适用于直线外一点到直线的线段． 【例2】（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 1．（25-26六年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 【答案】(1)沿走，两点之间线段最短，画图见解析 (2)沿走，垂线段最短，画图见解析 (3)沿走，垂线段最短，画图见解析 【分析】本题考查了两点之间线段最短，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，连接，则沿走，两点之间线段最短； （2）理解题意，过点作直线，沿走，垂线段最短． （3）理解题意，过点A作直线，沿走，垂线段最短． 【详解】（1）解：连接，如图所示： 依题意，沿走，两点之间线段最短． （2）解：过点作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． （3）解：过点A作直线，如图所示， 依题意，沿走，垂线段最短． 2．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．，，中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩？ 【答案】的长度可以算作跳远的成绩． 【分析】本题考查垂线段的性质，理解跳远成绩的本质是“落点到起跳线的垂线段长度”是解题关键． 根据垂线段的性质，依次判断，，是否符合要求． 【详解】解：：起点不在起跳线上，不符合要求； ：不垂直于起跳线，不符合要求； ：起点在起跳线上且垂直于起跳线，符合要求． 答：的长度可以算作跳远的成绩． 3．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）小华站在长方形操场的左侧处． (1)若要到操场的右侧，怎样走最近？在图①中画出所走路线，并说明理由； (2)若要到操场对面的处，怎样走最近？在图②中画出所走路线，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短和两点之间线段最短的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据垂线段最短解答； （2）根据两点之间线段最短解答． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求．理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （2）解：如图②，线段即为所求．理由：两点之间线段最短． 【拓展训练三 相交线的规律探究】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1是光的反射规律演示图，图2为模型图，是入射光线，是反射光线，法线，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了垂直定义，余角的性质．先求得，再利用余角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 【例2】 （2025·四川乐山·二模）如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．若，则的度数为______． 【答案】/30度 【分析】此题主要考查了角的计算，垂直的定义，由，得，再根据得，据此可求出的度数，准确识图，理解垂直的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． (1)若，试探究，的位置关系，并说明理由． (2)若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般） 【答案】(1)，理由见解析 (2)成立，邻补角的两条角平分线互相垂直 【分析】（1）根据，求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案； （2）根据∠BOC求出∠AOC的度数，根据角平分线得到∠EOC与∠COF的度数，即可得到答案． 【详解】（1）解：．理由如下： 因为， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． （2）解：成立．理由： 因为， 所以． 因为平分，平分， 所以，， 所以， 所以． 规律：邻补角的两条角平分线互相垂直． 【点睛】此题考查了几何图形中角度的和差计算，角平分线的计算，正确理解图形中各角的位置关系进行和差计算是解题的关键，还考查了由特殊到一般的解题思想． 2．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 【答案】规律探究：2；6；12；归纳总结：；规律应用：1560对 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． （1）两条直线相交于一点，数一数即可得出成2对对顶角；三条直线相交于一点，数一数即可得出6对对顶角，4条直线相交于一点，数一数即可得出12对对顶角； （2）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． （3）根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：（1）对图形进行点标注．    图①中对顶角有与，与，共2对； 图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为： 2；6；12； （2）①，②，③， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． （3）由归纳总结可知条直线相交于一点共有对对顶角， 当时，共有条对顶角． 3．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）某数学兴趣小组学习“两点确定一条直线”后，想继续探究平面内有3点、4点……n点时，过两点画直线的情况，并进行了以下操作探究： (1)【操作·思考】画出下面两种情况的所有直线： ①当3点在同一条直线上时，如图1 ②当3点不在同一条直线上时，如图2 (2)【思考·提升】类比以上方法，继续探究不在同一条直线上的4点、5点、6点……画直线的情况．总结规律解决问题：过在同一平面内的10个点最多可作多少条直线？过在同一平面内的n个点最多可作多少条直线？ (3)【提升·拓展】某校组织了“迎新”活动． ①七年级举行单循环篮球赛，全年级8个班共打了几场比赛？ ②有50人参加了本次“迎新”活动，活动结束后参与人员需互送贺卡，共送出了多少张贺卡？ 【答案】(1)见解析 (2)过在同一平面内的10个点最多可作条直线，过在同一平面内的n个点最多可作条直线； (3)①全年级8个班共打了场比赛；②共送出了张贺卡． 【分析】本题考查了直线、射线、线段，本题是探索规律题，有理数混合运算的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）①根据两点确定一条直线画图即可；②根据两点确定一条直线画图即可； （2）根据过不在同一直线上的3个点的直线有3条，过不在同一直线上4个点的直线有6条，过不在同一直线上5个点的直线有10条，按此规律，即可得到平面内有n个点，可画的直线数，即可解答； （3）①根据单循环赛制列式计算即可；②根据每个人送出张贺卡，列式计算即可． 【详解】（1）解：如图1， 当3点在同一条直线上时，可以画出1条直线； 如图2， 当3点不在同一条直线上时，可以画出3条直线； （2）解：过在同一直线上的3个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的4个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的5个点，一共可以画条直线； 过在同一直线上的6个点，一共可以画条直线； ； 则过在同一直线上的n个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的3个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的4个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的5个点，一共可以画条直线； 过不在同一直线上的6个点，一共可以画条直线； ； 则过不在同一直线上的n个点，一共可以画条直线； 综上，过在同一平面内的10个点最多可作条直线，过在同一平面内的n个点最多可作条直线； （3）解：①（场） 答：全年级8个班共打了场比赛； ②（张） 答：共送出了张贺卡． A基础训练 1．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 【答案】D 【分析】根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可． 【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短； 因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm， 所以三条线段的最短的是2 cm， 所以点P到直线l的距离不超过2 cm． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短． 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可，理解垂线段最短是正确解答的关键． 【详解】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是垂线段最短， 故选： 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角的定义、余角的定义等知识点，掌握对顶角和余角的定义成为解题的关键．根据对顶角的性质可判定A、B选项，再根据余角的定义可判定C、D选项． 【详解】解：由对顶角的定义可知∠1和∠2不是对顶角，∠3和∠4也不是对顶角，即A、B选项不符合题意； ∵，， ∴，即C选项符合题意； ∵， ∴，即D选项不符合题意． 故选C． 4．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线，熟知直线的性质--两点确定一条直线是解答本题的关键． 根据直线的性质--两点确定一条直线解答即可． 【详解】解：生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是：两点确定一条直线， 故选：A． 5．（24-25七年级下·上海闵行·周测）跨物理学科    如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求一个角的余角与补角、垂直、对顶角相等，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先求出，再求出，根据垂直的定义可得，从而可得，最后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：B． B 提高训练 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意两点画直线，最多可以画_____________________条． 【答案】 【分析】如果所有点都不在同一直线上，当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…找到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成条直线，即可求得点A、B、C在同一条直线上，最多可以画条直线． 【详解】如果所有点都不在同一直线上， 当仅有两个点时，最多可连成1条直线； 当有3个点时，最多可连成1+2=3条直线； 当有4个点时，最多可连成1+2+3=6条直线； 当有5个点时，最多可连成1+2+3+4=10条直线； …； 可以得到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成条直线， 已知点A、B、C在同一条直线上， 则点A、B、C任意两点的连线都是同一条直线， 故最多可以画条直线． 故答案为：． 【点睛】本题考查了探究图形类规律以及直线的性质：两点确定一条直线．注意讨论点共线及不共线的情况，不要漏解． 7．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，直线与相交于点，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题考查了垂线的定义，对顶角相等，先根据垂直的定义求出的度数，进而根据对顶角相等得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线，相交于点，，若，为过点的一条射线，使得，则的度数为_______________． 【答案】或 【分析】根据垂直的条件和对顶角相等求出，再根据平角的定义得出，然后根据题意画出图形，分两种情况讨论即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ①当与在的同侧时，如图， ， ， ， ②当与在的异侧时，如图， ， ， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 【点睛】本题是角度的和差计算，考查平角和周角的定义，垂直的定义，对顶角相等，运用了分类讨论的思想，掌握角的相关知识是解题的关键． 9．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，在河旁边有一村庄，现要修建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在点______处（从A、B、C、D四点中选择填空）． 【答案】C 【分析】本题考查了垂线段最短的应用，根据图中知道，且由在所有线段中，垂线段最短，进行作答即可． 【详解】解：由图得出， 故为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在点处． 故答案为：C． 10．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有_______________（填序号）    【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了垂直的定义，点到线段的距离．根据垂直的定义可判断①；根据垂线的性质可判断②不正确；根据点到直线的距离可判断③④⑤⑥． 【详解】解：①∵， ∴；故①说法正确； ②，由垂线的性质知与不垂直；故②说法错误； ③点C到的垂线段是线段的长度；故③说法错误； ④点A到的距离是线段的长度；故④说法正确； ⑤线段的长度是点C到的距离；故⑤说法正确； ⑥线段的长度是点C到的距离；故⑥说法错误； 综上：正确的是：； 故答案为：①④⑤． C 培优训练 11．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，直线、相交于点，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查垂直的定义，对顶角，角的和差关系等，解题的关键是综合运用上述知识． 根据垂直的定义可得，从而得到，再根据对顶角相等解答即可． 【详解】解：， ． ， ， ． 12．（24-25七年级上·上海闵行·随堂练习）如图所示，建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，请你利用所学过的知识，说说其中的道理． 【答案】两点确定一条直线 【分析】本题可根据直线的性质来解释建筑工人砌墙时拉直线的原理．本题主要考查了直线的性质：两点确定一条直线，熟练掌握两点确定一条直线是解题的关键． 【详解】解：∵ 建筑工人在两个墙角的位置分别立一根木桩，这两个木桩相当于两个点．两点确定一条直线． ∴ 在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，理由是两点确定一条直线． 13．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）如图，，垂足为．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据垂直的定义，等量代换思想证明即可． 本题考查了垂直的定义，等量代换，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】证明： ． ， ． 14．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）古城黄冈的旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋波”便是其八景之一．如图，你能设计出一种测量“柏子古塔”外墙底部的底角（图中）大小的方案吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了对顶角相等的定义，熟悉其知识点是解题的关键. 【详解】解：能； 如图，分别延长至点， 量出的度数，． 15．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，说明如何量出点到直线的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段的长度即可； 乙同学：过点无法向直线作垂线，所以无法量出点到直线的距离； 丙同学：过点作直线的垂线，垂线和直线不相交，所以不能量出点到直线的距离． 请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法． 【答案】不同意，过程见解析． 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离为点到直线垂线段的长度作图，即可求解． 【详解】解：不同意． 正确做法：延长，过点作，交的延长线于点， 则的长即为点到直线的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3拓展训练+自我检测） 题型一 两点确定一条直线 题型二 对顶角的概念 题型三 对顶角相等 题型四 垂线的定义理解 题型五 定理与证明 题型六 画垂线 题型七 垂线段最短 题型八 点到直线的距离 拓展训练一 角度计算综合 拓展训练二 垂线段的实际应用 拓展训练三 相交线的规律探究 知识点一：对顶角 1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角. （1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点； （2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建南平·期末）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝_______． 知识点二：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即时训练】 1．（25-26七年级上·江苏南通·期末）如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（24-25七年级下·江西上饶·期中）如图，计划把河中的水引到村庄C中，为了使所用水管最短，可以先引，垂足为M．然后沿铺设水管．这样做的依据是______． 知识点三：垂线的画法 如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线. 【即时训练】 1．（24-25七年级下·河北邢台·期中）如图，若过点P画直线l的垂线，则垂线经过的点是（    ）    A．点A B．点B C．点C D．点D 2．（24-25七年级下·山西太原·期中）如图，某农场在灌溉时要把水渠中的水引到点，为使渠道最短，农场工作人员过点向渠岸作垂线于点，则点即为使得所挖渠道最短的位置．其数学依据是 __________．    【经典例题一 两点确定一条直线】 【例1】（25-26七年级上·上海闵行·课后作业）如图所示，网格纸上有八个点同时经过其中3个点的直线有（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【例2】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）墨斗被认为是“百作手艺祖师爷”鲁班的发明，是木匠用来弹、放各种线记的重要工具，以其“绳之以墨”的功能成为了文人墨客心中正直的化身．如图，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线_____． 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）如图，在方格纸中，点A，B，C，D，E，F，H，K中，在同一直线上的三个点有（    ）． A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 2．（24-25七年级上·广西贵港·期末）平面上有6个点，其中任意3个点都不在同一条直线上，若经过每两点画一条直线，则一共可以画出的直线条数是________． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）如图点B，D在线段上． (1)填空： ①图中有 条线段． ② ． (2)若D线段的中点，点B在点D的右侧，且，求线段的长． 【经典例题二 对顶角的概念】 【例1】（24-25七年级下·辽宁沈阳·月考）下列、是对顶角的（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知与是对顶角，且与互余，那么______． 1．（24-25七年级下·甘肃甘南·月考）下列图形中，和互为对顶角的是（   ） A．B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有______对． 3．（24-25七年级下·河北邢台·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【经典例题三 对顶角相等】 【例1】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线、相交于点O，，垂足为点O，，则为（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，直线和相交于点，和互余，若，则_________． 1．（2026·陕西咸阳·模拟预测）如图，直线、相交于点，在内部作射线，若，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______．（写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． 【经典例题四 垂线的定义理解】 【例1】（11-12七年级上·海南海口·期末）如图，于点O，若，则图中互余的角共有（   ） A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 【例2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）直线与直线相交于点，，射线，则的度数为_____． 1．（25-26七年级上·福建泉州·期末）如图，于点，射线在内，，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海闵行·周测）如图，直线AB，CD相交于点E，，垂足为E．如果，那么的度数为________________． 3．（25-26七年级上·吉林·月考）如图，直线相交于点，． (1)若，求的度数； (2)若平分，求的度数； 【经典例题五 定理与证明】 【例1】（25-26八年级上·上海闵行·期中）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【例2】（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）用___________的方法判断为正确的命题叫做定理．定理可以作为判断其他命题真假的依据． 1．（24-25七年级下·湖北黄石·月考）“同位角相等，两直线平行”是（　　） A．公理 B．定理 C．定义 D．待证的命题 2．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 3．（24-25八年级上·上海闵行·课后作业）现实生活中的交流、游戏等活动，也得选定一些大家认可的结论、规则作为出发点，这不正是《原本》的思想吗！试找出几个这样的生活实例，与同伴进行交流． 【经典例题六 画垂线】 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川成都·期末）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画________条直线与直线l相垂直． 1．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）利用三角尺，过直线l外的点P作直线l的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北沧州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是__________． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·月考）如图网格图中每个小正方形的边长为1，三角形的三个顶点都在格点上， (1)求的面积； (2)过点作的垂线，垂足为； (3)用或填空： ___________，理由是___________． 【经典例题七 垂线段最短】 【例1】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）在，，，，．点是边上的动点，则的长不可能为（   ） A．2.5 B．3.5 C．4 D．4.5 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，，P是边上一动点，将沿折叠，点B落在处，交于D，则的最大值为____． 1．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）为直线外一点，为直线上一点，点到直线的距离为，则_______________（选填“≥”“＝”或“≤”），根据是______________． 3．（24-25七年级下·山西晋中·期中）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点均在格点上． (1)过点作的平行线； (2)过点作线段的垂线，交于点； (3)点是线段与网格线的交点，连接，比较线段的大小：_____，理由是______． 【经典例题八 点到直线的距离】 【例1】 （25-26八年级上·安徽安庆·期末）定义：平面内的直线与相交于点，对于该平面内任意一点，点到直线，的距离分别为，，则称有序非负实数对是点的“距离坐标”根据上述定义，距离坐标为的点的个数是（ ） A． B． C． D． 【例2】 （24-25七年级下·广东广州·期中）如图，，于，，，，则点到的距离是______，点到的距离是______，的依据是______． 1．（25-26七年级上·江苏南京·期末）如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 2．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，点是直线上的一个动点，点是直线外一定点，现给出以下结论： ①点在运动过程中，使直线的点有两个； ②若，当点从出发，沿射线的方向运动时，先变大再变小； ③若，则三角形的面积是三角形的面积的倍； ④当时，线段的长度就是点到直线的距离．其中正确的是___________．(写出所有正确结论的序号) 3．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【拓展训练一 角度计算综合】 【例1】（2025七年级上·上海闵行·专题练习）如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·河北保定·月考）如图，直线，相交于点，，垂足为点，．    （1）的度数为______； （2）若平分，则的度数为______，的度数为______． 1．（25-26七年级上·辽宁本溪·期末）如图是光的反射定律示意图，，，分别是入射光线、反射光线和法线，其中反射角与入射角相等，于点O．若平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，已知，若，则的度数是___________°． 3．（25-26七年级上·河南洛阳·期末）如图，已知直线相交于点O，与互余． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【拓展训练二 垂线段的实际应用】 【例1】（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）有下列说法：①如图①，把弯曲的河道BCA改成直道BA，可以缩短航程；②如图②，把渠水引到水池C中，可以在渠岸AB边上找到一点D，使，沿CD挖水沟，水沟最短；③如图③，甲、乙两辆汽车分别从A，B两地沿道路AC，BC同时出发开往C城，其中．若两车速度相同，则甲车先到C城．其中运用“垂线段最短”这个数学知识的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例2】 （24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是_______． 1．（25-26六年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，火车站、码头分别位于，两点，直线和分别表示河流与铁路． (1)从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由． (2)从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由． (3)从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由． 2．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在测量跳远成绩的示意图中，直线l是起跳线．，，中哪一条线段的长度可以算作跳远的成绩？ 3．（25-26七年级下·上海闵行·单元测试）小华站在长方形操场的左侧处． (1)若要到操场的右侧，怎样走最近？在图①中画出所走路线，并说明理由； (2)若要到操场对面的处，怎样走最近？在图②中画出所走路线，并说明理由． 【拓展训练三 相交线的规律探究】 【例1】（24-25七年级下·河南商丘·月考）如图1是光的反射规律演示图，图2为模型图，是入射光线，是反射光线，法线，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】 （2025·四川乐山·二模）如图是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线，是入射角，是反射角，．若，则的度数为______． 1．（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）如图，点为直线上一点，为一射线，平分，平分． (1)若，试探究，的位置关系，并说明理由． (2)若为任意角，（）中，的位置关系是否仍成立？请说明理由，由此你发现了什么规律？（数学思想链接：从特殊到一般） 2．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）观察系列图形，补全探究过程． 【规律探究】如图1，有2条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图2，有3条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角；如图3，有4条直线相交于一点，则图中共有____________对对顶角． 【归纳总结】若有n条直线相交于一点，则可形成____________对对顶角． 【规律应用】若有40条直线相交于一点，则可形成几对对顶角． 3．（25-26七年级上·贵州六盘水·期末）某数学兴趣小组学习“两点确定一条直线”后，想继续探究平面内有3点、4点……n点时，过两点画直线的情况，并进行了以下操作探究： (1)【操作·思考】画出下面两种情况的所有直线： ①当3点在同一条直线上时，如图1 ②当3点不在同一条直线上时，如图2 (2)【思考·提升】类比以上方法，继续探究不在同一条直线上的4点、5点、6点……画直线的情况．总结规律解决问题：过在同一平面内的10个点最多可作多少条直线？过在同一平面内的n个点最多可作多少条直线？ (3)【提升·拓展】某校组织了“迎新”活动． ①七年级举行单循环篮球赛，全年级8个班共打了几场比赛？ ②有50人参加了本次“迎新”活动，活动结束后参与人员需互送贺卡，共送出了多少张贺卡？ A基础训练 1．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是  (    ) A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm 2．（24-25七年级下·陕西西安·月考）如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段，理由是（ ） A．垂线段最短 B．两点之间的所有连线中线段最短 C．经过两点有且只有一条直线 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 3．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，下列结论正确的是（    ）    A．与是对顶角 B．与是对顶角 C． D． 4．（2025七年级上·上海闵行·专题练习）数学源于生活，用于生活，我们要会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界，例如，生活中木匠弹墨线、打靶瞄准、拉绳插秧等场景，就反映了直线的一个基本事实是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．垂线段最短 D．两点之间，线段最短 5．（24-25七年级下·上海闵行·周测）跨物理学科    如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线，反射光线与水平线的夹角，则平面镜与水平线的夹角的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角）（   ） A． B． C． D． B 提高训练 6．（24-25七年级上·江苏南京·期末）平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意两点画直线，最多可以画_____________________条． 7．（24-25七年级下·湖南永州·期末）如图，直线与相交于点，则的度数为________． 8．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线，相交于点，，若，为过点的一条射线，使得，则的度数为_______________． 9．（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，在河旁边有一村庄，现要修建一个码头．为了使该村庄到码头的距离最短，码头应建在点______处（从A、B、C、D四点中选择填空）． 10．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，，于D，有以下结论：①：②与互相垂直；③点C到的垂线段是线段；④点A到的距离是线段的长度；⑤线段的长度是点C到的距离：⑥线段的长度是点D到的距离，其中正确的有_______________（填序号）    C 培优训练 11．（24-25七年级上·甘肃天水·期末）如图，直线、相交于点，，．求的度数． 12．（24-25七年级上·上海闵行·随堂练习）如图所示，建筑工人在砌墙时，经常在两个墙角的位置分别立一根木桩，在两根木桩之间拉一根线，沿着这条线砌墙就可以把墙砌直，请你利用所学过的知识，说说其中的道理． 13．（2025八年级上·上海闵行·专题练习）如图，，垂足为．求证：． 14．（24-25七年级上·上海闵行·课后作业）古城黄冈的旅游资源十分丰富，“桃林春色，柏子秋波”便是其八景之一．如图，你能设计出一种测量“柏子古塔”外墙底部的底角（图中）大小的方案吗？ 15．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，说明如何量出点到直线的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段的长度即可； 乙同学：过点无法向直线作垂线，所以无法量出点到直线的距离； 丙同学：过点作直线的垂线，垂线和直线不相交，所以不能量出点到直线的距离． 请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法． 学科网（北京）股份有限公司 $