专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训（2个知识点+7大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年沪教版（五四制）七年级数学下册重难点专题提升精讲精练

专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 不等式组的方案选择问题 题型二 不等式组的经济问题 题型三 不等式组的分配问题 题型四 不等式组的工程问题 题型五 不等式组的行程问题 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 题型七 用一元一次不等式解决几何问题 拓展训练一 新定义问题 拓展训练二 不等式（组）的综合应用 知识点一：经济与方案问题 经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 设购买苹果的质量为x千克，则购买香蕉的质量千克，购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，购买这两种水果的总费用少于500元，由此列不等式组即可． 【详解】解：设购买苹果的质量为x千克，由购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克， ∴购买香蕉的质量千克， ∵购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克， ∴， ∵苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克，购买这两种水果的总费用少于500元， ∴， ∴可列不等式组为， 故选：A ． 2．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 【详解】解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 知识点二：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）某种药品的包装盒上贴有如表标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（   ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度： A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的实际应用，根据题意温度要满足大于等于零下2摄氏度且小于等于5摄氏度，据此求解即可． 【详解】解：∵贮藏温度：，， ∴只有符合要求， 故选；D． 2．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围 ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用．由实际问题中的不等关系列出不等式，理解题意是解题关键．根据题意列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意知，，即， 故答案为：． 【经典例题一 不等式组的方案选择问题】 【例1】（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 【详解】解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 【详解】解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某一农家计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围城一个面积为的矩形园子．现有可用的篱笆总长为 (1)若取园子的长、宽都为整数（单位：），一共有几种围法？ (2)若要使长的篱笆恰好用完，应怎样围？ 【答案】(1)一共有种围法：垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为；垂直于墙的一边的长为为，平行于墙的一边的长为；垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为； (2)应使垂直于墙的一边的长为，平行于墙的一边的长为． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用、解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出不等式组． 设园子的长为，宽为，根据墙长，围成矩形的园子面积为，列出方程和不等式，求出，的值，即可得出答案； 根据得出的结果，选取垂直于墙的一边的长为为，平行于墙的一边的长为时，正好使长的篱笆恰好用完． 【详解】（1）解：设园子平行于墙的长为，垂直于墙的长为， 根据题意得：， 园子的长、宽都是整数米，且， 可得（不符合题意，舍去）或或或或(不符合题意，舍去)或（不符合题意，舍去）， 一共有种围法：垂直于墙的一边的长为时，平行于墙的一边的长为；垂直于墙的一边的长为为，平行于墙的一边的长为；垂直于墙的一边的长为为时，平行于墙的一边的长为； （2）解：，，， 要使长的篱笆恰好用完，则垂直于墙的一边的长为为，平行于墙的一边的长为． 2．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 【答案】(1)A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元 (2)该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元，根据学校预算资金为1900元，若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件，根据A型运动器材按原价的八折销售，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，结合（1）的结果，列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设A型运动器材每件的价格为x元，则B型运动器材每件的价格元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：A型运动器材每件的价格为25元，B型运动器材每件的价格为30元； （2）设购买A型运动器材y件，则购买B型运动器材件， 由题意得：， 解得：， 为正整数， 该学校共有3种不同的购买方案：①购买A型运动器材50件，购买B型运动器材30件；②购买A型运动器材51件，购买B型运动器材29件；③购买A型运动器材52件，购买B型运动器材28件． 3．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）项目式学习： 【项目主题】 选择最省钱的租车方案． 【项目背景】 某校决定组织七年级师生前往平塘县“中国天眼”景区，开展以“科技向未来，筑梦新时代”为主题的研学活动． 【数据收集】 ①七年级师生共450人，交通费用支出预算不超过7400元． ②某租车公司有A、B两种客车可供选择，A种客车每辆有30个座位，B种客车每辆有45个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A种客车数量/辆 租用B种客车数量/辆 租金总费用/元 2 3 3100 1 2 1900 【问题解决】 利用以上数据解决下列问题： (1)A，B两种客车每辆的租金分别是多少元？ (2)本次研学准备租用A，B两种客车共12辆，若每个师生都有座位，求出所有满足条件的租车方案，并找出最省钱的方案． 【答案】(1)500元，700元 (2)方案一：租用A种客车5辆，B种客车7辆；方案二：租用A种客车6辆，B种客车6辆；方案二更省钱 【分析】（1）设A，B两种客车每辆的租金分别是x元，y元，根据公司租车记录单上的部分信息，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设本次研学准备租用A种客车辆，则租用B种客车辆． 根据交通费用支出预算不超过7400元，以及每个师生都有座位列出关于m的不等式组，求出m的范围，再结合m为正整数，求出m 的值，即可得由几种方案，再求出每种方案所需费用，即可找出最省钱的方案． 【详解】（1）解：设A，B两种客车每辆的租金分别是x元，y元， 根据题意，得， 解得． 答：A，B两种客车每辆的租金分别是500元，700元． （2）解：设本次研学准备租用A种客车辆，则租用B种客车辆． 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的取值为5或6． 共有两种符合条件的租车方案： 方案一：租用A种客车5辆，B种客车7辆，费用为（元）； 方案二：租用A种客车6辆，B种客车6辆，费用为（元）， ， 方案二更省钱． 【点睛】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用，认真审题，找准等量关系和不等量关系是解题的关键． 【经典例题二 不等式组的经济问题】 【例1】（24-25七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系，列出不等式组是解题的关键； 根据题意，设购买篮球个，则排球为个，总费用不超过3600元，即 ；篮球数量不少于排球数量的一半，即 ． 【详解】解：∵购买篮球个，则排球为个， 总费用为 ，且不超过3600元， ∴ ； 又∵篮球数量不少于排球数量的一半， ∴ ； 故不等式组为 ， 故选：C． 【例2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式解应用题，根据题意求出两次购买西红柿的平均价格，列出不等式求解即可得到答案．读懂题意，准确求出两次购买西红柿的平均价格是解决问题的关键． 【详解】解：第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿， 第一次花费元； 第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿， 第二次花费元； 两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元， ， 解得， 恰好是整数， ， 故答案为：． 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 【详解】解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 【答案】(1)种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． (2)2种进货方案，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程和一元一次不等式组的实际应用，准确找出数量关系是解题的关键． （1）利用“、两种礼盒单价比为”，设单价为元，单价为元．依据“单价和为210元”，列方程，求解，进而得出、的单价． （2）设购进种礼盒个，根据“恰好用去4800元”表示出种礼盒数量．结合“种礼盒最多36个”，“种礼盒数量的倍不超过种礼盒数量”，列出不等式组，求出的取值范围．根据礼盒个数为正整数，对在取值范围内取值验证，确定符合条件的值，从而得出进货方案数量． 【详解】（1）解：设种礼盒的单价为元，种礼盒的单价为元，根据题意得 解得． 则种礼盒的单价为（元）， 种礼盒的单价为（元）． 答：种礼盒的单价为120元，种礼盒的单价为90元． （2）设购进种礼盒个，购进种礼盒个，根据题意得， ， 解得． ∵两种礼盒个数均为正整数， ∴为正整数，即是的倍数． 当时，（符合条件）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（不是整数，舍去）； 当时，（符合条件）． ∴购进A种礼盒13个，购进种礼盒36个，或种礼盒16个，购进种礼盒32个，共有种进货方案． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某学校计划购买一批平板电脑装备智慧教室．已知有、两种型号的平板电脑可供选择，且型号的单价比型号贵元．经测算，若学校花费元单独购买型平板电脑或单独购买型平板电脑，则购买到的型平板电脑的数量是型的倍． (1)、型平板电脑的原价各是多少元？ (2)实际购买时，恰逢“国家补贴”优惠期，两种型号的平板电脑单价均降价元销售，学校决定花费不超过元装备台平板电脑，且为了良好的实际体验效果要求型号的平板数量不超过型号的两倍，问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)、型平板电脑的原价各是元与元 (2)共有四种购买方案 【分析】本题考查了分式方程与一元一次不等式的应用，根据题意列出方程和不等式是解题的关键； （1）设、型平板电脑的原价各是元、元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验，即可求解． （2）设购买型平板电脑台，购买型平板电脑台，根据题意得出不等式，根据为正整数，得17、18、19、20，求得对应的方案，即可求解． 【详解】（1）解：设、型平板电脑的原价各是元、元 根据题意：    解之得， 经检验，是所列方程的解且符合题意．   答：、型平板电脑的原价各是2500元与2000元 （2）解：补贴后，、型平板电脑的原价各是2000元与1500元 设购买型平板电脑台，购买型平板电脑台 ∴购买总价为 由题意得：    ∴ 又∵为正整数，得17、18、19、20，对应的分别是33、32、31、30 答：共有四种购买方案，分别是： ①购买型平板电脑17台，购买型平板电脑33台 ②购买型平板电脑18台，购买型平板电脑32台 ③购买型平板电脑19台，购买型平板电脑31台 ④购买型平板电脑20台，购买型平板电脑30台 【经典例题三 不等式组的分配问题】 【例1】（24-25七年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）春雨中学七年级（1）班和七年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． 设预定每组分配人，根据两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人，列出不等式方程组求解即可． 【详解】解：设预定每组分配人，根据题意可得： 解得： ∵为整数， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【详解】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 【答案】(1)A型50元，B型100元； (2)A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元，根据若采购A型10件，B型5件，需要1000元；若采购A型5件，B型3件，需要550元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件，根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，根据两种纪念品一共花费4000元，列出二元一次方程，整理得，再根据采购A型纪念品的数量不少于B型纪念品数量的6倍，且不超过B型纪念品数量的8倍，得出，解得，然后求出正整数解，即可得出答案． 【详解】（1）解：设采购A型纪念品每件需x元，采购B型纪念品每件需y元， 依题意得： ， 解得：， 答：采购A型纪念品每件需50元，采购B型纪念品每件需100元； （2）解：设A种纪念品采购m件，B种纪念品采购n件， 由题意得：， 整理得：， 由题意可知，， ∴， 解得：， ∵n为正整数 ∴n为8或9或10， 当时，； 当时，； 当时，； ∴A型纪念品采购64件、B型纪念品采购8件或A型纪念品采购62件、B型纪念品采购9件或A型纪念品采购60件、B型纪念品采购10件． 3．（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【答案】任务一：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒．任务二：分装方案1：精包装14个，简包装70个；分装方案2：精包装10个，简包装75个；分装方案3：精包装6个，简包装80个；分装方案4：精包装2个，简包装85个；理由见解析 【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用； 任务一：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒，列二元一次方程组求解即可； 任务二：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）．依题意可列出，再结合m，n，为正整数，进一步解答即可． 【详解】任务一： 解：设精包装销售了x盒，简包装销售了y盒． ， 解这个方程组，得 答：精包装销售了80盒，简包装销售了50盒． 任务二： 解：设分装时使用精包装m个，简包装n个（m，n为正整数）． 依题意得： ， 由①得． 将代入②． 得， 解得：； ∵， ∴， ∴， ∵m，n，为正整数， ∴或或或； ∴，或，或，或，． 分装方案1：精包装14个，简包装70个； 分装方案2：精包装10个，简包装75个； 分装方案3：精包装6个，简包装80个； 分装方案4：精包装2个，简包装85个； 【经典例题四 不等式组的工程问题】 【例1】（24-25七年级下·重庆北碚·期末）校园景观升级工程，若由甲工程队单独完成所需天数是由乙工程队单独完成所需天数的1.5倍；若甲工程队单独做3天后，再由乙工程队单独做6天，恰好完成该工程的，甲，乙工程队每天的施工费用分别为0.6万元和1万元． (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？（列方程解应用题） (2)若甲工程队先做a天后有事离场，再由乙工程队完成余下工程，若要完成全部工程的施工费用不超过15.4万元，且乙工程队的施工天数大于8天，求a的值．（天数为整数） 【答案】(1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需24天和16天 (2)9 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式组的应用．理解题意，找出数量关系，列出等式或不等式是解题关键． （1）设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成此项工程需要天，根据题意可列出关于x的分式方程，求解并检验即可解答； （2）根据题意可列出关于a的一元一次不等式组，求解，再结合天数为整数分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设乙单独完成此项工程需要x天，则甲单独完成此项工程需要天， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 天， 答：单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需24天和16天； （2）解：∵甲工程队先做a天，完成工作量为， ∴乙工程队需要完成， ∴乙工程队需要天完成． 根据题意得： ， 解得： ， ∵天数为整数， ∴为整数，为整数， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意， 综上可知． 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． (1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ (2)已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 【答案】(1)甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里； (2)甲队8个月，乙队3个月； 【分析】（1）设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，根据题意列式求解即可得到答案； （2）根据总费用不超过万元列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：设甲队每月施工x公里，设乙队每月施工y公里，由题意可得， ， 解得：， 答：甲队每月施工9公里，设乙队每月施工6公里； （2）解：由题意可得， 且、均为正整数， 解得， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴最低的施工方案是：甲队8个月，乙队3个月； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是根据题意得到等量关系式列式． 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务． （1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数； （2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围． 【答案】（1）A队原来平均每天维修课桌60张；（2）6≤2y≤28． 【分析】中考中的不等式一般是和方程一块考查的．类型有方案等．一般为利用方程求量，然后用所求的量在自变量取值范围内求解． 【详解】解：⑴ 设C队原来平均每天维修课桌x张， 根据题意得：， 解这个方程得：x=30， 经检验x=30是原方程的根且符合题意， 2x=60 答：A队原来平均每天维修课桌60张． ⑵ 设C队提高工效后平均每天多维修课桌x张， 施工2天时，已维修（60+60+30）×2=300（张）， 从第3天起还需维修的张数应为（300+360）=660（张） 根据题意得：3(2x+2x+x+150)≤660≤4(2x+2x+x+150) 解这个不等式组得:3≤x≤14 ∴6≤2x≤28 答：A队提高工效后平均每天多维修的课桌张数的取值范围是：6≤2x≤28 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元， (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ (3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数） 【答案】(1)甲需25天，乙需50天 (2)甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元； (3)20天或21天 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次方程和不等式组的应用，根据已知数量关系正确列式是解题关键． （1）设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天，根据题意列分式方程求解，检验后即可得到答案； （2）设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元，根据题意列一元一次方程求解即可； （3）设甲工程队施工天数为天，甲工程队完成了此工程的，则乙工程队完成了此工程的，所用时间为天，根据题意列一元一次不等式组求解即可 【详解】（1）解：设单独完成此项工程，甲需工x天，则乙需2x天， 由题意得：，． 解得， 检验：当时，，原分式方程的解为， 故甲需25天，乙需50天； （2）解：设乙每天的施工费用为y万元，则甲每天的施工费用为万元， 由题意得：， 解得， ， 故甲每天的施工费用为万元，乙每天的施工费用为1.2万元； （3）解：设甲工程队施工天数为天，则甲工程队完成了此工程的，乙工程队完成了此工程的， 乙工程队所用时间为天， ， 解得：， 甲工程队施工天数为20天或21天． 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元． ①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？ ②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？ 【答案】（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天；（2）①不够用，需追加预算2万元；②甲工程队至少需要施工40天 【分析】（1）设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量=工作效率×工作时间列方程求解； （2）①根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断； ②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天，分别根据完成工作量为1，施工总费用不超预算列不等式组可得结论． 【详解】解：（1）设甲队单独完成这项工程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要1.5x天． 根据题意，得：， 解得 x＝60． 经检验，x＝60是原方程的根． ∴1.5x＝60×1.5＝90． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天； （2）①设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， ， 解得：y＝36， 36×（2.5+2）＝162（万元）， ∵162＞160， ∴不够， 需追加162﹣160＝2（万元）， 答：不够用，需追加预算2万元； ②设甲工程队需要施工a天，乙工程队需要施工b天， 根据题意得：， 由得：2b＝180﹣3a， 把2b＝180﹣3a代入得：2.5a+180﹣3a≤160， a≥40， ∴甲工程队至少需要施工40天． 【点睛】此题主要考查了分式方程的应用、不等式组的应用，根据题意列出方程或不等式组是解题的关键． 【经典例题五 不等式组的行程问题】 【例1】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了圈时，他的运动里程数小于，设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出的取值范围，再根据，代入求出的取值即可． 【详解】解：由图可得，小华跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了圈时，他的运动里程数小于， 设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，根据题意，得， 解得， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴整数， 即他一共跑的圈数是17， 故选：D． 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 1．（2025·湖北荆门·二模）某市一种出租车起步价是5元（路程在3km以内均付5元），达到或超过3km，每增加0.5km加价0.7元（不足0.5km按0.5km计）．某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费14.8元，那么甲地到乙地的路程是多少？ 【答案】甲地到乙地的路程大于9.5km且不超过10km． 【分析】根据起步价与超过3千米以后的车费的和是支付的车费，设出未知数，列出不等式组解答即可． 【详解】设从甲地到乙地的路程是xkm， 根据题意，得：14.8﹣0.7＜5+1.4（x﹣3）≤14.8， 解得：9.5＜x≤10， 答：甲地到乙地的路程大于9.5km且不超过10km． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式在实际中的应用，注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际；理清题意是采用分段函数解决问题的关键． 2．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通过路段的1.2倍． (1)求李老师通过路段的平均速度． (2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通过地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围． 【答案】(1)李老师通过路段的平均速度为 (2)李老师通过路段的速度应大于小于 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用． （1）设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为，利用时间路程度数，结合李老师用2小时通过路段，可列出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油，根据“李老师要在中午前通过地，同时通过地时燃油未耗尽”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设李老师通过路段的平均速度为，则李老师通过路段的平均速度为， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：李老师通过路段的平均速度为； （2）解：共，． 设李老师在路段的平均时速为，则每100公里耗油， 根据题意得：， 解得：． 答：李老师在路段的平均时速大于小于． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【经典例题六 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·上海闵行·月考）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元／块的价格售出60块，第二个月开始降价，以500元／块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.3万元．这批电话手表至少有（    ） A．99块 B．100块 C．101块 D．102块 【答案】C 【分析】设总手表数为x块，根据销售额超过53000元列出不等式，求解即可． 本题考查了根据题意列不等式，熟练掌握根据题意列出不等式是解题的关键． 【详解】解：设这批电话手表有x块 ∵ 第一个月销售额为元， 第二个月销售额为元， 总销售额为元， 且总销售额元， ∴ ， 化简得：， ∴， ∴， ∵ x为整数， ∴ x至少为101． 因此，这批电话手表至少有101块． 故选：C ． 【例2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图为万达影城的价目表．某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买 盒爆米花． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式在实际消费场景的应用；先确定电影票的固定花费，再根据饮料和爆米花的优惠方式，设出爆米花数量，结合总奖金限制列不等式，通过求解不等式得出爆米花的最大数量． 【详解】解：设可买盒爆米花．由题意得， ， 解得， ∴最大为 ． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）某工厂计划采购两种型号的设备加工原材料，每台型设备比每台型设备每月的加工量少4吨．若每月内加工36吨原材料所需型设备的数量与加工52吨原材料所需型设备的数量相同． (1)求每台型和型设备的月加工量； (2)该工厂共采购12台这两种型号的设备，计划用一个月时间加工一批原材料．若一半的原材料用型设备加工，则一个月后剩余2吨；另一半的原材料用型设备进行加工，则型设备提前完成．若要求采购型设备不少于5台，请根据计算说明该公司有哪几种采购方案． 【答案】(1)每台型设备的月加工量为9吨，每台型设备的月加工量为13吨 (2)该公司有2种采购方案，方案1：采购5台型设备，7台型设备；方案2：采购6台型设备，6台型设备 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设每台型设备的月加工量为吨，则每台型设备的月加工量为吨，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设采购台型设备，则采购台型设备，一半的原材料量是吨，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每台型设备的月加工量为吨，则每台型设备的月加工量为吨，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：每台型设备的月加工量为9吨，每台型设备的月加工量为13吨； （2）解：设采购台型设备，则采购台型设备，一半的原材料量是吨，根据题意得： ， 解得：， 又且为正整数， 可以为5，6， 该公司有2种采购方案， 方案1：采购5台型设备，7台型设备； 方案2：采购6台型设备，6台型设备． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）第十五届上海闵行运动会在广州开幕，吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，寓意“喜气洋洋，团圆和美”，商店用1800元购进吉祥物“喜洋洋”和用3000元购进吉祥物“乐融融”． (1)求吉祥物“乐融融”和“喜洋洋”的购进单价 (2)该商店将吉祥物“乐融融”的售价定为95元／件，全部售出后总利润不低于1280元．求吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为多少元？ 【答案】(1)吉祥物“乐融融”的购进单价为75元，吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是90元 (2)吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为114元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解数量关系正确列式求解是关键． （1）设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元，结合题意列分式方程求解即可； （2）设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元，分别计算出购进“乐融融”和“喜洋洋”的件数，再根据全部售出后总利润不低于1280元，列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设吉祥物“乐融融”的购进单价为元，则吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是元， 根据题意得：， 解得， 经检验是分式方程的解， ， 答：吉祥物“乐融融”的购进单价为75元，吉祥物 “喜洋洋”的购进单价是90元； （2）解：设吉祥物“喜洋洋”每件的售价为元， 购进“喜洋洋”（件）， 购进“乐融融”（件）， 根据题意得， 解得， 答：吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为114元． 3．（25-26八年级上·四川德阳·期末）【综合与实践】：根据表中的事件背景和素材，完成问题任务． 背景 中国“低空经济”作为战略新动能迅猛崛起，彰显高质量发展新活力．依托自主创新的科技突破，国产无人机正深度赋能社会治理与公共服务，以前沿技术切实提升人民生活品质． 素材1 我市某生态农业公司欲购进，两种型号的植保无人机用来喷洒农药，型机比型机平均每小时少喷洒2公顷农田，型机喷洒公顷农田所用时间与型机喷洒公顷农田所用时间相等． 素材2 若该生态农业公司共购进架无人机，型无人机5万元/架，型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买型和型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】任务1：种型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，种型号无人机平均每小时喷洒公顷地；任务2：购买型无人机架，购买型无人机架，才能使总成本最低，最低成本为万元 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元一次不等式， （1）设种型号无人机平均每小时喷洒公顷地，则种型号无人机平均每小时喷洒公顷地，根据型机喷洒公顷农田所用时间与型机喷洒公顷农田所用时间相等，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购买型无人机架，则购买型无人机架，公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式再根据总成本最低，即可得出结果． 【详解】解：（1）设种型号无人机平均每小时喷洒公顷地，则种型号无人机平均每小时喷洒公顷地， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：种型号无人机平均每小时喷洒8公顷地，种型号无人机平均每小时喷洒10公顷地； （2）设购买型无人机架，则购买型无人机架， 由题意得：， 解得：， 型无人机5万元/架，型无人机6万元/架， 取最大值时，总成本最低， ， ，. 最低成本为：（万元）， 答：购买型无人机架，购买型无人机架，才能使总成本最低，最低成本为万元． 【经典例题七 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（   ） 用法用量：口服，每天．分次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用每天服用的最低剂量除以最多次数，用最高剂量除以最少次数． 【详解】解：每天最少服用30药品，最多服用3次，则每次最少服用， 同理每天最多服用60药品，最少服用2次，则每次最多服用. ∴x=10，y=30， 故选：D. 【点睛】本题考查一元一次不等式，关键是理解题意，用最小的药品剂量除以最大的次数得到每次最小的服用量，用最大的药品剂量除以最小的次数得到每次最大的服用量． 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    【答案】或 【分析】根据题意，第一次和第二次操作后，通过列不等式并求解，即可得到的取值范围；第三次操作后，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】根据题意，第一次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： ∴ ∵ ∴第一次操作，剩下的长方形宽为：，长为：； 第二次操作，当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ 当剩下的长方形宽为：，长为：时，得： 解得： ∴ ∵在第次操作后，剩下的长方形恰为正方形，且 ∴第三次操作后，当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； 当剩下的正方形边长为：时，得： 解得： ∵ ∴符合题意； ∴的值为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程不等式、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程不等式、一元一次方程的性质，从而完成求解． 1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 【答案】(1)1.8；3；4.2 (2) (3)至少需要黑色地砖60块 【分析】本题考查的是图形的变化规律，从图形中找出砖块的变化规律是解题的关键． （1）根据上述图形计算即可； （2）根据（1）中的规律，可知：当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时，； （3）由题可知，，求解即可． 【详解】（1）解：图1的长为：； 图2的长为：； 图3的长为：； 故答案为：1.8；3；4.2； （2）解：根据（1）中的规律，可知： 当图案的长为．当黑色地砖块数为为正整数）时， ， 故答案为：； （3）解：由题可知，， ， （块， 至少需要黑色地砖块60块． 2．（24-25七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    【答案】能，或 【分析】分两段考虑：①点P在上，②点P在上，分别用含t的式子表示出的面积，再由建立不等式，解出t的取值范围即可． 【详解】解：分两种情况： ①当点P在上时，如图1所示：    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； ②当点P在上时，    假设存在的面积满足条件，即运动时间为t秒，则 解得： 又∵P在上运动，， ∴； 综上，存在这样的t，使得的面积满足条件，此时或． 【点睛】此题考查了三角形面积的计算、不等式的解法，注意结合动点问题，分情况讨论解题是关键． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解：，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 【拓展训练一 新定义问题】 【例1】 （2025·贵州遵义·三模）定义一种运算：，现有两个满足该运算条件的式子：和，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出不等式组，解不等式组即可． 【详解】解：根据题意得， ， 解不等式组得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了不等式组的应用，解题关键是准确理解题意，列出不等式组． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）＝1； ②（2x）＝2（x）； ③若（﹣1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）； 其中正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 【答案】①③④ 【分析】对于①、④可直接判断，②可用举反例法判断，③我们可以根据题意所述利用不等式判断． 【详解】解：①∵﹣≤1.493＜1+，∴(1.493)＝1，故①符合题意； ②(2x)≠2(x)，例如当x＝0.3时，(2x)＝1，2(x)＝0，故②不符合题意； ③若(x﹣1)＝4，则4﹣≤x﹣1＜4+，解得：9≤x＜11，故③符合题意； ④m为非负整数，故(m+2013x)＝m+(2013x)，故④符合题意； 综上可得①③④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用和理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题可得解． 1．（24-25七年级下·北京·期中）定义一种新运算“ab”的含义为：当a≥b时，ab2b；当a＜b时，ab2a．例如：31212，6（5）2612． （1）填空：53_________； （2）如果3x22x522x5，求x的取值范围； （3）如果：2x32x16，求x的值． 【答案】（1）6（2）x≥7（3）x的值为1或0 【分析】（1）根据当a≥b时，ab＝2b；当a＜b时，ab＝2a，可以求得所求式子的值； （2）根据当a≥b时，aΨb＝2b；当a＜b时，aΨb＝2a，可知3x−2≥2x＋5，从而可以求得x的取值范围； （3）根据当a≥b时，ab＝2b；当a＜b时，ab＝2a，利用分类讨论的方法，可以求得x的值． 【详解】（1）由题意可得，53＝2×3＝6， 故答案为：6； （2）∵（3x−2）（2x＋5）＝2×（2x＋5）， ∴3x−2≥2x＋5， 解得，x≥7 ∴x的取值范围是x≥7； （3）当2x−3≥−2x−1时，即x≥， ∵（2x−3）（−2x−1）＝−6， ∴2×（−2x−1）＝−6， 解得，x＝1； 当2x−3＜−2x−1时，即x＜， ∵（2x−3）（−2x−1）＝−6， ∴2×（2x−3）＝−6， 解得，x＝0； 由上可得，x的值为1或0． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论； （2）首先将看作一个整体，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围； （3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解不等式组，得：， 由不等式组整数解恰有2个得，，则， 故； （3）∵，为整数，设，为整数， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴，1，2， 则，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键． 3．（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读理解： 材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，． 材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对． (1)_______， _______； (2)如果，求满足条件的所有整数x； (3)若线性数的值为1，求x的值． 【答案】(1)3， (2)，， (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，不等式组的应用，理解题意是解题的关键 （1）由题意知，，，计算求解即可； （2）由，可得，计算求解，然后作答即可； （3）由题意知，，即，由表示不大于a的最大整数，可得，则，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， 解得，， ∴满足条件的所有整数x为，，； （3）解：由题意知，， ∴， ∴， 由题意知，表示不大于a的最大整数， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴． 【拓展训练二 不等式（组）的综合应用】 【例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉上海闵行的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【答案】490块 【分析】本题考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意，建立不等式组求解是解题的关键． 设70块坯布可以打卷，根据“若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余”建立不等式组求解即可． 【详解】解：设70块胚布可以打卷， 则由题意得 解得， 所以整数 所以坯布数量块． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）用如图1所示的长方形和正方形纸板，制作如图2所示的竖式和横式两种长方体无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，且． (1)若要制作两种纸盒共个，则至少可以制作多少个竖式无盖纸盒？ (2)已知在制作两种纸盒时，长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，求两种纸盒各做了多少个． 【答案】(1)20 (2)当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式(组)是解题的关键． （1）设制作x个竖式无盖纸盒，则制作个横式无盖纸盒，根据制作两种纸盒使用的正方形纸板不超过80张，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论； （2）设横式无盖纸盒做了个，则竖式无盖纸盒做了个，根据长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，即可用含的代数式表示出值，结合的取值范围即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设制作x个竖式无盖纸盒，则制作个横式无盖纸盒， ∴ ∴解得， ∴x的最小值为20 答：至少可以制作20个竖式无盖纸盒； （2）设横式无盖纸盒做了个，则竖式无盖纸盒做了个， 依题意得： 又， ， 解得：， 又为正整数， 可以为，，， 当时，； 当时，； 当时，． 答：当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒；当时，可以制作个横式无盖纸盒，个竖式无盖纸盒． 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元 (2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元 【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元； （2）解：设购买本型相册，则购买本型相册， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为10，11，12， ∴该社团共有3种购买方案， 方案1：购买10本型相册，5本型相册； 方案2：购买11本型相册，4本型相册； 方案3：购买12本型相册，3本型相册． 选择购买方案1所需费用为（元）； 选择购买方案2所需费用为（元）； 选择购买方案3所需费用为（元）， ， ∴方案1所需费用最少． 答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 【答案】(1)87本 (2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书 【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解． （1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度艺术类图书的厚度小于等于建立不等式求解； （2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本，根据题意建立不等式组求解整数解即可． 【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：， 解得：x， 又∵x为正整数， ∴． ∴艺术类图书最多还可以摆放87本 （2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放本， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为34，35， ∴共有2种摆放方案， 方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书； 方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书． 3．（24-25七年级下·湖北·期末）某工厂用A、B两种原料组装成C、D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件． (1)现有A原件162个，B原件340个．若组装C、D两种产品共100个，设组装C产品x个． ① 根据题意，完成下面表格： C（件） D（件） A个 x B个 ② 按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有A原件162个，B原件a个，组装C、D两种产品，A、B两种原件均恰好用完．已知，求a的值． 【答案】(1)①见解析；②C产品38个，D产品62个；C产品39个，D产品61个；C产品40个，D产品60个； (2)，，303 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）①设组装C产品x个，则组装D产品个，根据组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件，进行解答即可； ②根据A原件162个，B原件340个列出不等式组，解不等式组即可 （2）设组装C产品m件，组装D产品n件，根据题意得出：，求出，根据为正整数，，即可得出答案． 【详解】（1）解：①设组装C产品x个，则组装D产品个，根据题意得： C产品需要A件x个，需要B件个，D产品需要A件个，需要B件个，填表如下： C（件） D（件） A个 x B个 ②∵现有A原件162个，B原件340个， ∴， 解得：， ∴组装方案有：C原件38个，D原件62个； C原件39个，D原件61个； C原件40个，D原件60个； （2）解：设组装C产品m件，组装D产品n件，根据题意得： ， 得：， ∴， ∵为正整数，， ∴，，303． A基础训练 1．（24-25七年级下·浙江杭州·）设表示不超过的最大整数，比如，，，若，，，则可以取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】分别求出x，y，z的范围，即可求出x-y+z的范围，从而解决本题. 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴5或6或7， 故选C. 【点睛】本题是对不等式知识的综合考查，准确根据题意列出不等式是解决本题的关键. 2．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据运算程序，第一次运算结果，第二次运算结果列出不等式组，然后求解即可．读懂题目信息，理解运算程序并列出不等式组是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，x的取值范围是． 故选：C． 3．（2025·江苏南京·二模）如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为50公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 故选：B． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（    ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，理解题意、找准不等关系成为解题的关键． 设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料．再根据不等关系“至少含有4200单位的维生素C”和“购买原料的费用不超过72元”列出不等式组即可． 【详解】解：设所需甲种原料的质量为，则需乙种原料． 根据题意，得：． 故选：C． 5．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人，根据480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍建立方程可求出甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人，据此可判断①；设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆，根据所有客车的载客量要大于等于240以及两种客车都要租用建立不等式组求出m的取值范围，进而确定m可以取的值，即可确定方案，进而求出每个方案的费用，据此可判断②③④． 【详解】解：设甲客车的载客量为x人，乙客车的载客量为人， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴甲客车的载客量为45人，乙客车的载客量为30人， ∴若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为人，故①正确； 设租用甲客车m辆，则租用乙客车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值可以为4或5， 当时，，此时租车费用为元， 当时，，此时租车费用为元， ∴共有2种租车方案，且两种租车方案的费用不相同，租车最低费用是2160元，故②③正确，④不正确， 故选：B． B 提高训练 6．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）把43个苹果分给若干个学生，除一名学生分得的苹果不足3个外，其余每人均分得6个苹果，求学生的人数．若设学生有x人，则可以列出不等式组为 ． 【答案】 【分析】设学生数为x，则每人6个有一人分得的不足3个，可得两个不等关系：剩余苹果数=苹果数-（x-1）个人每人分6个＜3；剩余苹果数=苹果数-（x-1）个人每人分6个≥0．根据这两个不等关系就可以列出不等式组． 【详解】设学生有x人， 由题意得：． 故答案为． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的关系，此题的不等关系是：0≤剩余苹果数＜3． 7．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【答案】 42 6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 8．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系汽车若干辆．如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有 名． 【答案】48 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设联系汽车x辆，则参加次活动的团员志愿者有名，根据“如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之取其正整数值即可得出结论． 【详解】解：：设联系汽车辆，则参加此次活动的团员志愿者有名． 根据题意，得 解得． 因为为正整数， 所以． 所以参加此次活动的团员志愿者有（名）． 故答案为：48． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件： （1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数； （2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数； （3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数． 若去过普陀山的人数为4，则去过峨眉山的人数的最大值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．设去过峨眉山的人数为x，根据给定的三个条件，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】解：设去过峨眉山的人数为x人，去过五台山的人数为y人， 由题意得：， ∵x，y为整数， 由可得， 结合，可得， 即， 又∵， ∴， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为6， ∴去过峨眉山的人数的最大值为6． 故答案为：6． 10．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则下列说法：①；②；③杯子中仅放小铁块，依次放入，放到第8个，水就会溢出；④若杯子中仅放小玻璃球，至少放11个，水才会溢出，正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查的是一元一次方程及一元一次不等式（组）的应用，解此类题目的关键是读懂图意，找出相等关系和不等关系列方程及不等式．由体积变为，可得，即可判断①；接着依次放入个相同的小铁块，直到放入第个后，发现有水溢出，得，即可判断②；根据，杯中装有的水，取特殊值计算即可判断③；设可以放个，杯子的水会溢出，列出一元一次不等式求解即可判断④． 【详解】解：由装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，得，则①正确； 体积由变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出，得， 解得，则②正确； 杯子中仅放小铁块，， 取，， 所以放入8个小铁块，水不一定溢出，则③不正确； 若杯子中仅放小玻璃球，设可以放个，杯子的水会溢出， 则，解得，则④正确． 故答案为：①②④． C 培优训练 11．（24-25七年级下·重庆江北·期末）为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，计划组织初中部1200名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号的客车可以租用，已知1辆大型客车和2辆中型客车可以载乘客105人，2辆大型客车和1辆中型客车可以载乘客135人． (1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？ (2)该校计划租用两种型号的客车共27辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2倍，请求出所有的租车方案？ 【答案】(1)一辆大型客车可以载乘客55人，一辆中型客车可以载乘客25人 (2)租用大型客车18辆，则租用中型客车9辆 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设一辆大型客车可以载乘客x人，一辆中型客车可以载乘客y人，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设租用大型客车m辆，则租用中型客车辆，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆大型客车可以载乘客x人，一辆中型客车可以载乘客y人，根据题意得： ， 解得：， 答：一辆大型客车可以载乘客55人，一辆中型客车可以载乘客25人； （2）解：设租用大型客车m辆，则租用中型客车辆，根据题意得： ， 解得：， ∵m为整数， ∴，此时， 答：租用大型客车18辆，则租用中型客车9辆． 12．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 【答案】(1)乙队需要16个月完成 (2)方案一：甲队作6个月，乙队作4个月；方案二：甲队作7个月，乙队作4个月．方案一最省钱，费用为126万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和不等式组是解答本题的关键． （1）设完成本项工程的工作总量为1，由题意可知，从而得出x=15． 即单独完成这项工程需要15个月． （2）根据工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工列出方程组，得出a的取值范围，确定工程方案，再求出费用即可． 【详解】（1）设乙队需要x个月完成，根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的根 答：乙队需要16个月完成； （2）根据题意得：， 解得 方案一：甲队作6个月，乙队作4个月，万元； 方案二：甲队作7个月，乙队作4个月，万元； 所以方案一最省钱，费用为126万元． 13．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 【答案】(1) (2)且且． 【分析】本题考查了列不等式，正确找出不等量关系是解题关键． （1）先求出所需乙种原料的质量为，再根据要求含有4200单位以上的维生素列出不等式即可得； （2）先求出所需乙种原料的质量为，再根据含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，列出不等式即可得． 【详解】（1）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素， ∴． （2）解：∵现配制这种饮料，所需甲种原料的质量为， ∴所需乙种原料的质量为， ∵要求含有4200单位以上的维生素，购买甲、乙两种原料的总费用低于72元， ∴且且． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如表格所示． 类型 进价（单位：万元/辆） 售价（单位：万元/辆） A型 27 B型 (1)若该公司购买A，B这两种型号的车刚好用去501万元，求购买A，B两种型号汽车各多少辆？ (2)为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润不低于万元又不超过22万元，公司共有几种购车方案，并说明使公司能获得最大利润的购车方案及最大的利润是多少万元？ 【答案】(1)购买A种型号的汽车5辆，购买B种型号的汽车15辆 (2)一共有三种方案：方案一、购买A种型号的汽车10辆，购买B种型号的汽车10辆；方案二、购买A种型号的汽车11辆，购买B种型号的汽车9辆；方案一、购买A种型号的汽车12辆，购买B种型号的汽车8辆；当购买A种型号的汽车10辆，购买B种型号的汽车10辆时所获利润最大，最大为22万元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）设购买A种型号的汽车x辆，购买B种型号的汽车y辆，根据购买A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆一共花去501万元建立方程组求解即可； （2）设购买A种型号的汽车m辆，则购买B种型号的汽车辆，根据所得利润不低于万元又不超过22万元建立不等式组求出m的正整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：设购买A种型号的汽车x辆，购买B种型号的汽车y辆， 由题意得，， 解得， 答：购买A种型号的汽车5辆，购买B种型号的汽车15辆； （2）解：设购买A种型号的汽车m辆，则购买B种型号的汽车辆， 由题意得，， 解得， ∵m为正整数， ∴m的值为10或11或12， 当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴一辆B种型号的汽车比一辆A种型号的汽车的利润大， ∴要使总利润最大，则B种型号的汽车要最多， ∴当当，时，总利润最大，最大为万元； 答：一共有三种方案：方案一、购买A种型号的汽车10辆，购买B种型号的汽车10辆；方案二、购买A种型号的汽车11辆，购买B种型号的汽车9辆；方案一、购买A种型号的汽车12辆，购买B种型号的汽车8辆；当购买A种型号的汽车10辆，购买B种型号的汽车10辆时所获利润最大，最大为22万元． 15．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是数学解决问题的一种方法．同样，我们也可以运用这种方法解决生活中的问题，也就是将生活中实际问题转化成数学问题，建构出几何模型，利用所建构的几何模型知识解决生活中的实际问题．如：图1是营养搭配说明（该营养含甲、乙、丙、丁四种营养），根据图中的甲、乙、丙、丁四种营养份量关系，设计了图（用四个长方形分别表示甲、乙、丙、丁四种营养），其中四个长方形面积的大小可描述相应营养份量的多少． 请根据上述信息回答下列问题： (1)根据图1中的营养搭配说明，判断甲种营养和丙种营养份量之间的大小关系，并说明理由． (2)将图2中的四个小长方形简化成一个大长方形，其中的四种营养区块均为长方形（如图所示）．若要符合图的营养搭配说明，图中大长方形的长为，宽为，是否存在可能同时为正整数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)甲种营养份量与丙种营养份量一样多，见解析 (2)，可能同时为正整数； 【分析】本题主要考查了等量代换思想、二元一次方程的整数解、一元一次不等式的应用以及数形结合思想，熟练掌握根据图形面积关系建立方程和不等式，并在正整数范围内求解是解题的关键． （1）根据“甲、乙营养份量合计占总量一半”和“丙、丁营养份量合计占总量一半”，结合“乙、丁营养份量一样多”，通过等量代换判断甲、丙营养份量的关系． （2）先根据图形尺寸和营养份量关系列出方程，再结合“甲营养份量比乙少”的条件得到不等式，最后在正整数范围内筛选出符合条件的、值． 【详解】（1）解：甲种营养份量与丙种营养份量一样多． 理由：∵甲种营养份量与乙种营养份量合计占总份量的一半， ∴丙种营养份量与丁种营养份量合计也占总份量的一半． ∵乙种营养份量与丁种营养份量一样多， ∴甲种营养份量与丙种营养份量一样多． （2）解：∵甲种营养份量与乙种营养份量合计占总份量的一半， ∴丙种营养与丁种营养所在长方形的长为， 乙种营养所在长方形的宽为． ∵乙种营养份量与丁种营养份量一样多， 甲种营养份量与丙种营养份量一样多， ∴，． ∴． ∵，，且假设，同时为正整数， ∴，或，或，． ①当时，．此时，． ②当时，． 此时不符合甲种营养份量比乙种营养份量少． ③当时，． 此时不符合甲种营养份量比乙种营养份量少． 综上所述：，可能同时为正整数，，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式的应用重难点题型专训 （2个知识点+7大题型+2拓展训练+自我检测） 题型一 不等式组的方案选择问题 题型二 不等式组的经济问题 题型三 不等式组的分配问题 题型四 不等式组的工程问题 题型五 不等式组的行程问题 题型六 用一元一次不等式解决实际问题 题型七 用一元一次不等式解决几何问题 拓展训练一 新定义问题 拓展训练二 不等式（组）的综合应用 知识点一：经济与方案问题 经济问题： 常见等量关系： 利润=售价-成本. 利润率=（售价-成本）/成本 X100%. 售价=成本X（1+利润率） 【即时训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元/千克，香蕉的单价为8元/千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为x千克，依题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是 ． 知识点二：用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 【即时训练】 1．（24-25七年级下·安徽阜阳·月考）某种药品的包装盒上贴有如表标签．若要存放该药品，则下列温度符合要求的是（   ） 用法用量：每天不少于，不超过，分次服用 药品规格：/粒 贮藏温度： A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖南常德·期中）如下，是某药品说明书的一部分，设每天服用这种药品的剂量为，则x的取值范围 ． 用法用量：口服 每次： 每天：次 【经典例题一 不等式组的方案选择问题】 【例1】（24-25七年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【例2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有 种具体的运输方案． 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某一农家计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围城一个面积为的矩形园子．现有可用的篱笆总长为 (1)若取园子的长、宽都为整数（单位：），一共有几种围法？ (2)若要使长的篱笆恰好用完，应怎样围？ 2．（24-25八年级上·重庆江北·期末）为了提高学生的体育活动参与度，增强学生的身体素质，某学校决定购买A型和B型两种运动器材来布置体育活动室．学校预算资金为1900元，且B型运动器材每件的价格是A型运动器材每件价格的倍．若用1000元购买A型运动器材，剩余的资金购买B型运动器材，则购买到的A型运动器材的数量比B型运动器材的数量多10件． (1)分别求出A型和B型运动器材每件的价格； (2)购买当日恰逢促销，A型运动器材按原价的八折销售．已知该学校实际需要购买A型和B型两种运动器材共80件，要求总费用不超过预算，其中购买B型运动器材的资金不低于830元，那么该学校共有哪些不同的购买方案？ 3．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）项目式学习： 【项目主题】 选择最省钱的租车方案． 【项目背景】 某校决定组织七年级师生前往平塘县“中国天眼”景区，开展以“科技向未来，筑梦新时代”为主题的研学活动． 【数据收集】 ①七年级师生共450人，交通费用支出预算不超过7400元． ②某租车公司有A、B两种客车可供选择，A种客车每辆有30个座位，B种客车每辆有45个座位． ③下表是该公司租车记录单上的部分信息： 租用A种客车数量/辆 租用B种客车数量/辆 租金总费用/元 2 3 3100 1 2 1900 【问题解决】 利用以上数据解决下列问题： (1)A，B两种客车每辆的租金分别是多少元？ (2)本次研学准备租用A，B两种客车共12辆，若每个师生都有座位，求出所有满足条件的租车方案，并找出最省钱的方案． 【经典例题二 不等式组的经济问题】 【例1】（24-25七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·河北邯郸·二模）淇淇第一次以5元/千克的价格买了2千克西红柿，第二次以元/千克的价格买了4千克西红柿，两次购买西红柿的平均价格每千克大于5元且小于6元，若恰好是整数，则 ． 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 2．（24-25七年级下·上海嘉定·期末）母亲节前夕，某店主从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为，单价和为210元． (1)求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ (2)该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进B种礼盒最多36个，A种礼盒数量的2倍不超过B种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由． 3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）某学校计划购买一批平板电脑装备智慧教室．已知有、两种型号的平板电脑可供选择，且型号的单价比型号贵元．经测算，若学校花费元单独购买型平板电脑或单独购买型平板电脑，则购买到的型平板电脑的数量是型的倍． (1)、型平板电脑的原价各是多少元？ (2)实际购买时，恰逢“国家补贴”优惠期，两种型号的平板电脑单价均降价元销售，学校决定花费不超过元装备台平板电脑，且为了良好的实际体验效果要求型号的平板数量不超过型号的两倍，问有哪几种购买方案？ 【经典例题三 不等式组的分配问题】 【例1】（24-25七年级下·四川成都·月考）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）春雨中学七年级（1）班和七年级（2）班的同学外出参观，将两班的所有学生分成8组，如果每组人数比预定每组人数多1人，那么学生总数将超过100人；如果每组人数比预定每组人数少1人，那么学生总数将不到90人．则预定每组学生有 人． 1．（24-25七年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 2．（24-25八年级上·浙江金华·期末）某商店决定采购A、两种型号的纪念品，若采购A型10件，型5件，需要1000元；若采购A型5件，型3件，需要550元． (1)求采购A型，型两种纪念品每件各需多少元？ (2)考虑到市场需求，要求采购A型纪念品的数量不少于型纪念品数量的6倍，且不超过型纪念品数量的8倍，若两种纪念品一共花费4000元，求A型、型纪念品各采购几件？ 3．（2025·广西玉林·一模）近年来，在有关部门的领导下，融安县大力推进金桔产业发展，通过政策扶持，资金投入，技术创新等多措并举，不断提升融安县金桔的知名度和美誉度． 请你根据以下学习素材，完成下列两个任务： 学习素材 素材一 某果农合作社组织成员对融安县金桔进行采摘和销售，为满足不同客户需求，采用礼盒装和普通袋装两种包装方式． 素材二 精包装 简包装 每盒10斤，每盒售价300元 每袋8斤，每袋售价210元 问题解决 任务一 在某次销售活动中，共卖出了1200斤融安县金桔，销售总收入为34500元，请问精包装和简包装各销售了多少份？ 任务二 现在需要对700斤融安县金桔进行分装，既有精包装也有简包装，且恰好将这700斤金桔整盒（袋）分装完．每个精包装礼盒的成本为5元，每个简包装礼盒的成本为3元．若要将购买包装的成本控制在280元以内，请你设计出一种符合要求的分装方案，并说明理由． 【经典例题四 不等式组的工程问题】 【例1】（24-25七年级下·重庆北碚·期末）校园景观升级工程，若由甲工程队单独完成所需天数是由乙工程队单独完成所需天数的1.5倍；若甲工程队单独做3天后，再由乙工程队单独做6天，恰好完成该工程的，甲，乙工程队每天的施工费用分别为0.6万元和1万元． (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？（列方程解应用题） (2)若甲工程队先做a天后有事离场，再由乙工程队完成余下工程，若要完成全部工程的施工费用不超过15.4万元，且乙工程队的施工天数大于8天，求a的值．（天数为整数） 【例2】（24-25七年级下·福建厦门·期末）“厦一高速”项目工程建设已近尾声，其中某施工路段总长公里，若由甲、乙两工程队合做6个月可以完成，若甲工程做4个月，乙工程队做9个月也可以完成． (1)甲、乙两队每月的施工路段各是多少公里？ (2)已知甲队每月施工费用为万元，乙队每月施工费用为9万元，按要求该工程总费用不超过万元，现由甲队做个月，乙队做个月（、均为正整数）恰好完成施工，请你设计施工费用最低的施工方案． 1．（2025·河南平顶山·模拟预测）某校原有600张旧课桌急需维修，经过A、B、C三个工程队的竞标得知，A、B的工作效率相同，且都为C队的2倍，若由一个工程队单独完成，C队比A队要多用10天．学校决定由三个工程队一齐施工，要求至多6天完成维修任务．三个工程队都按原来的工作效率施工2天时，学校又清理出需要维修的课桌360张，为了不超过6天时限，工程队决定从第3天开始，各自都提高工作效率，A、B队提高的工作效率仍然都是C队提高的2倍．这样他们至少还需要3天才能完成整个维修任务． （1）求工程队A原来平均每天维修课桌的张数； （2）求工程队A提高工作效率后平均每天多维修课桌张数的取值范围． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多0.8万元， (1)单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？ (2)甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？ (3)甲、乙两工程队合做，若要完成全部工程的施工费不超过52万元，且乙工程队的施工天数大于6天，直接写出甲工程队施工天数．（天数为整数） 3．（2025七年级下·浙江·专题练习）某项工程，乙队单独完成所需天数是甲队单独完成所需天数的1.5倍；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天刚好如期完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为2.5万元，乙队每天的施工费用为2万元，工程预算的施工费用为160万元． ①若在甲、乙工程队工作效率不变的情况下使施工时间最短，问安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？ ②若要求施工总费用不超预算又要如期完工，问甲工程队至少需要施工几天？ 【经典例题五 不等式组的行程问题】 【例1】（24-25七年级下·北京·期末）小华在公园的环形跑道（周长大于）练习长跑，从起点出发按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，每跑软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前的记录如图所示．小华一共跑了且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是（    ） A．14圈 B．15圈 C．16圈 D．17圈 【例2】（24-25七年级下·上海闵行·假期作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ． 1．（2025·湖北荆门·二模）某市一种出租车起步价是5元（路程在3km以内均付5元），达到或超过3km，每增加0.5km加价0.7元（不足0.5km按0.5km计）．某乘客坐这种出租车从甲地到乙地，下车时付车费14.8元，那么甲地到乙地的路程是多少？ 2．（24-25八年级上·重庆渝中·期末）“元旦节”假期最后一天，李老师驾车从老家沿高速路回主城，途中依次经过四地，其中和路程均为为高速出口，且在出口旁有加油站，的路程为．李老师用2小时通过路段，其中通过路段的平均速度是通过路段的1.2倍． (1)求李老师通过路段的平均速度． (2)李老师所驾驶汽车的“最佳油耗时速”为（以此速度行驶时油耗最低），以“最佳油耗时速”行驶，每100公里耗油为，速度每增加，每100公里耗油增加．当他经过地时的时间为上午9：30，发现此时油箱里还剩余燃油．若李老师要在中午12：00前通过地，同时通过地时燃油未耗尽，求他在路段的平均时速的取值范围． 3．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【经典例题六 用一元一次不等式解决实际问题】 【例1】（25-26七年级下·上海闵行·月考）某经销商销售一批电话手表，第一个月以550元／块的价格售出60块，第二个月开始降价，以500元／块的价格将这批电话手表全部售出，销售总额超过了5.3万元．这批电话手表至少有（    ） A．99块 B．100块 C．101块 D．102块 【例2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图为万达影城的价目表．某社团20人去此影城看电影，打算用比赛奖金1000元购买电影票、爆米花与饮料．若要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，则最多可买 盒爆米花． 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）某工厂计划采购两种型号的设备加工原材料，每台型设备比每台型设备每月的加工量少4吨．若每月内加工36吨原材料所需型设备的数量与加工52吨原材料所需型设备的数量相同． (1)求每台型和型设备的月加工量； (2)该工厂共采购12台这两种型号的设备，计划用一个月时间加工一批原材料．若一半的原材料用型设备加工，则一个月后剩余2吨；另一半的原材料用型设备进行加工，则型设备提前完成．若要求采购型设备不少于5台，请根据计算说明该公司有哪几种采购方案． 2．（25-26八年级上·贵州遵义·期末）第十五届上海闵行运动会在广州开幕，吉祥物是“喜洋洋”和“乐融融”，寓意“喜气洋洋，团圆和美”，商店用1800元购进吉祥物“喜洋洋”和用3000元购进吉祥物“乐融融”． (1)求吉祥物“乐融融”和“喜洋洋”的购进单价 (2)该商店将吉祥物“乐融融”的售价定为95元／件，全部售出后总利润不低于1280元．求吉祥物“喜洋洋”每件的最低售价应为多少元？ 3．（25-26八年级上·四川德阳·期末）【综合与实践】：根据表中的事件背景和素材，完成问题任务． 背景 中国“低空经济”作为战略新动能迅猛崛起，彰显高质量发展新活力．依托自主创新的科技突破，国产无人机正深度赋能社会治理与公共服务，以前沿技术切实提升人民生活品质． 素材1 我市某生态农业公司欲购进，两种型号的植保无人机用来喷洒农药，型机比型机平均每小时少喷洒2公顷农田，型机喷洒公顷农田所用时间与型机喷洒公顷农田所用时间相等． 素材2 若该生态农业公司共购进架无人机，型无人机5万元/架，型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒公顷农田，那么该公司如何购买型和型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【经典例题七 用一元一次不等式解决几何问题】 【例1】（24-25七年级下·江苏南京·期末）某种药品说明书上，贴有如图所示的标签，则一次服用这种药品的剂量范围是，则的值分别为（   ） 用法用量：口服，每天．分次服用． 规格：□□□□□□ 贮藏：□□□□□□ A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·江苏淮安·期末）将长为6，宽为a（a大于3且小于6）的长方形纸片按如图①所示的方式折叠并压平，剪下一个边长等于长方形宽的正方形，称为第一次操作；再把剩下的长方形按如图②所示的方式折叠并压平，剪下边长等于此时长方形宽的正方形，称为第二次操作；如此反复操作下去…若在第n次操作后，剩下的长方形恰为正方形，则操作终止．当时，a的值为 ．    1．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图是由黑白两种正方形地砖拼成的图案，且每块正方形地砖边长为0.6m． (1)按图示规律，图1的长为______m，图2的长为______m，图3的长为______m； (2)设图案的长为，当黑色地砖块数为n（n为正整数）时，______（用含n的代数式表示）； (3)若要使不小于72m，则至少需要黑色地砖多少块? 2．（24-25七年级下·江苏·周测）如图：在长方形中，，，动点P从点A出发，先以的速度沿A→B，然后以的速度沿B→C运动，到C点停止运动，设点P运动的时间为t秒，是否存在这样的t，使得的面积？如果能，请求出t的取值范围；如果不能，请说明理由．    3．（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【拓展训练一 新定义问题】 【例1】 （2025·贵州遵义·三模）定义一种运算：，现有两个满足该运算条件的式子：和，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·福建泉州·期中）新定义：对非负数x“四舍五入”到个位的值记为（x）．即当n为非负整数时，若n﹣≤x＜n+，则（x）＝n．如（0.46）＝0，（3.67）＝4．给出下列关于（x）的结论： ①（1.493）＝1； ②（2x）＝2（x）； ③若（﹣1）＝4，则x的取值范围是9≤x＜11； ④当x≥0，m为非负整数时，有（m+2013x）＝m+（2013x）； 其中正确的结论有 （填写所有正确的序号）． 1．（24-25七年级下·北京·期中）定义一种新运算“ab”的含义为：当a≥b时，ab2b；当a＜b时，ab2a．例如：31212，6（5）2612． （1）填空：53_________； （2）如果3x22x522x5，求x的取值范围； （3）如果：2x32x16，求x的值． 2．（24-25七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 3．（24-25七年级下·福建宁德·期中）阅读理解： 材料一，对于任意实数a，我们规定表示不大于a的最大整数．例如：，，． 材料二：对于任意实数，我们定义一种新运算，等式右边是通常的四则运算，由这种运算得到的数我们称之为线性数，记为，其中叫做线性数的一个数对． (1)_______， _______； (2)如果，求满足条件的所有整数x； (3)若线性数的值为1，求x的值． 【拓展训练二 不等式（组）的综合应用】 【例1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）绍兴柯桥不仅是历史悠久的鱼米之乡，还是享誉上海闵行的“轻纺之都”，其纺织服装产业畅销海内外．已知某纺织公司员工在生产过程中需要打卷一批规格相同的绣花坯布，若70块坯布打一卷，则刚好打完；若60块坯布打一卷，则需多打一卷且还有不超过18块坯布剩余．求出这批坯布的块数． 【例2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）用如图1所示的长方形和正方形纸板，制作如图2所示的竖式和横式两种长方体无盖纸盒．现有正方形纸板张，长方形纸板张，且． (1)若要制作两种纸盒共个，则至少可以制作多少个竖式无盖纸盒？ (2)已知在制作两种纸盒时，长方形纸板和正方形纸板都恰好用完，求两种纸盒各做了多少个． 1．（2025·四川绵阳·模拟预测）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种： ①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售． ②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售． 若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元． (1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？ (2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案． 2．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约，艺术类图书每本厚约． (1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？ (2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？ 3．（24-25七年级下·湖北·期末）某工厂用A、B两种原料组装成C、D两种产品，组装一件C产品需1个A原件和4个B原件；组装一件D产品需2个A原件和3个B原件． (1)现有A原件162个，B原件340个．若组装C、D两种产品共100个，设组装C产品x个． ① 根据题意，完成下面表格： C（件） D（件） A个 x B个 ② 按两种产品的生产件数来分，有哪几种生产方案？ (2)若有A原件162个，B原件a个，组装C、D两种产品，A、B两种原件均恰好用完．已知，求a的值． A基础训练 1．（24-25七年级下·浙江杭州·）设表示不超过的最大整数，比如，，，若，，，则可以取值的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作运行了两次就停止，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·二模）如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为50公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期中）用甲乙两种原料配制成某种饮料，已知每千克的这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如表所示：现配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，且购买原料的费用不超过72元．设所需甲种原料，则可列不等式组为（    ） 原料 甲 乙 维生素 600单位 100单位 原料价格 8元 4元 A． B． C． D． 5．（2025·山东泰安·二模）学校根据上级文件要求，打算安排七、八年级师生进行研学活动．某班两位同学关于租车方案讨论如下： 现有甲、乙两种类型的客车，已知每辆甲车的载客量要比乙车多15人，在无空座的情况下，480人需要乙种客车的数量是360人需要甲种客车数量的2倍． 对，你的问题我可以用列方程来解决． 若我们安排七、八年级的240名师生集体外出活动，可以租用甲、乙种客车共6辆（要求两种类型的客车都要租），一次将全部师生送到指定地点． 不过甲车的租用费用比乙车的贵120元，每辆甲种客车的租金为400元． 根据他们的对话得到以下四个结论： ①若租用4辆甲型客车与3辆乙型客车，则总载客量为270人；②共有两种租车方案； ③租车最低费用是2160元；④两种方案的租车费用一样多． 其中正确的结论是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②④ B 提高训练 6．（24-25七年级下·上海闵行·单元测试）把43个苹果分给若干个学生，除一名学生分得的苹果不足3个外，其余每人均分得6个苹果，求学生的人数．若设学生有x人，则可以列出不等式组为 ． 7．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 8．（2025七年级下·上海闵行·专题练习）某校团委组织团员志愿者在重阳节乘车前往敬老院慰问孤寡老人，参加的团员志愿者不足50名，联系汽车若干辆．如果每辆车坐6人，那么剩下18人无车可坐；如果每辆车坐10人，那么其余的车坐满后，仅有一辆车不空也不满，则参加此次活动的团员志愿者有 名． 9．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）某兴趣小组去过五台山、普陀山、峨眉山、九华山这四大名山的人数同时满足以下三个条件： （1）去过五台山的人数多于去过峨眉山的人数； （2）去过峨眉山的人数多于去过普陀山的人数； （3）去过普陀山的人数的2倍多于去过五台山的人数． 若去过普陀山的人数为4，则去过峨眉山的人数的最大值为 ． 10．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是，则下列说法：①；②；③杯子中仅放小铁块，依次放入，放到第8个，水就会溢出；④若杯子中仅放小玻璃球，至少放11个，水才会溢出，正确的是 ．（填序号） C 培优训练 11．（24-25七年级下·重庆江北·期末）为了培养新时代综合素养优秀人才，学校计划开展跨学科教学活动，计划组织初中部1200名师生开展以“行走中的课堂”为主题的研学活动．某租车公司有大型和中型两种型号的客车可以租用，已知1辆大型客车和2辆中型客车可以载乘客105人，2辆大型客车和1辆中型客车可以载乘客135人． (1)一辆大型客车和一辆中型客车分别可以载乘客多少人？ (2)该校计划租用两种型号的客车共27辆，其中大型客车数量不超过中型客车的数量的2倍，请求出所有的租车方案？ 12．（2025·湖南永州·模拟预测）习近平总书记高度重视水污染防治工作，将其作为生态文明建设和环境保护的关键环节，提出一系列新理念、新思路和新举措，为解决污水问题提供了根本遵循．祁阳市某河流防污治理工程已正式启动，由甲队单独做5个月后，乙队再加入合作2个月就可以完成这项工程．已知若甲队单独做需要8个月可以完成． (1)乙队单独完成这项工程需要几个月？ (2)已知甲队每月施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程总费用不超过141万元，工程必须在一年内竣工（包括12个月），为了确保经费和工期，采取甲队做个月（为整数），乙队做4个月分工合作的方式施工，请问有哪几种施工方案并求出最省钱的方案费用？ 13．（24-25七年级下·上海闵行·课后作业）应用意识 用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素C的含量及购买这两种原料的价格如表所示： 甲种原料 乙种原料 维生素C的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有4200单位以上的维生素C． (1)请列出x应满足的不等式； (2)如果要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，那么请列出x应满足的所有不等式． 14．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）某汽车销售公司计划购买并销售A型和B型两种型号的新能源汽车共20辆．这两款汽车每辆车的进价和售价如表格所示． 类型 进价（单位：万元/辆） 售价（单位：万元/辆） A型 27 B型 (1)若该公司购买A，B这两种型号的车刚好用去501万元，求购买A，B两种型号汽车各多少辆？ (2)为了保证将这20辆车全部售出后，所得利润不低于万元又不超过22万元，公司共有几种购车方案，并说明使公司能获得最大利润的购车方案及最大的利润是多少万元？ 15．（25-26八年级上·山东济宁·期末）数形结合是数学解决问题的一种方法．同样，我们也可以运用这种方法解决生活中的问题，也就是将生活中实际问题转化成数学问题，建构出几何模型，利用所建构的几何模型知识解决生活中的实际问题．如：图1是营养搭配说明（该营养含甲、乙、丙、丁四种营养），根据图中的甲、乙、丙、丁四种营养份量关系，设计了图（用四个长方形分别表示甲、乙、丙、丁四种营养），其中四个长方形面积的大小可描述相应营养份量的多少． 请根据上述信息回答下列问题： (1)根据图1中的营养搭配说明，判断甲种营养和丙种营养份量之间的大小关系，并说明理由． (2)将图2中的四个小长方形简化成一个大长方形，其中的四种营养区块均为长方形（如图所示）．若要符合图的营养搭配说明，图中大长方形的长为，宽为，是否存在可能同时为正整数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $