第十八章 等腰三角形重难点检测卷（压轴卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 等腰三角形单元重难点检测卷，覆盖全章知识，通过基础辨析、动态探究、综合应用三级梯度设计，适配单元复习，强化推理能力与几何直观。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|等边三角形判定、垂直平分线性质|基础概念辨析，如第1题多维度考查等边三角形判定| |填空题|12/24|尺规作图（垂直平分线）、动态问题（动点/旋转）|分层设空，如第13题结合动点考查等腰三角形分类讨论| |解答题|7/64|翻折变换、类比探究（如迁移运用）|综合应用，如第25题通过翻折构造全等培养推理意识，第16题轴对称求最小值体现空间观念|

第十八章 等腰三角形重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：等腰三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级上·贵州黔西南·期中）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个角等于的等腰三角形 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的判定条件、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的定义和判定是解题的关键． 根据等边三角形的定义和判定逐项分析即可解答． 【详解】解：A． 三个角都相等的三角形一定是等边三角形，故A选项不符合题意； B．有两个角等于的三角形，那么第三个角也为，一定是等边三角形，故B选项不符合题意； C．一边上的高也是该边上的中线，则该三角形是等腰三角形，但不一定是等边三角形，故C选项符合题意； D．有一个角等于的等腰三角形，则其他两个角也均为，一定是等边三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在中，垂直平分，若，则的周长等于（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【分析】本题重点考查了线段的垂直平分线的性质定理，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，熟练掌握垂直平分线的性质定理是解题的关键．由垂直平分线的性质定理，得到，的周长为，等量代换其周长为，进而完成求解． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴的周长为， 故选：C． 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，，根据等腰三角形以及三角形内角和定理求出，进而求出，根据垂直的定义计算即可． 【详解】解：∵， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的判定，一元一次方程的应用． 设运动时间为，表示出，的长，由得到，从而，即可得到关于t的方程，求解即可． 【详解】解：设运动时间为，则 ，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 解得． 故选：A． 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，将沿边向右平移得到（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F），再将绕点逆时针旋转至点与点重合，则下列说法错误的是（   ） A．是等边三角形 B． C．平移的距离为2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握是解题关键． 由平移的性质和旋转的性质可证是等边三角形，判断A；由，得，判断B；由，，得，判断C；由，得，判断D． 【详解】解：∵将向右平移得到， ∴， ∵将绕点D逆时针旋转至点E，C重合， ∴， ∴是等边三角形， ∴A正确： ∵， ∴， ∴B正确； ∵，， ∴， ∴C正确； ∵， ∴， ∴D不正确． 故选：D． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，则符合要求的作图痕迹是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查尺规作图——作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据垂直平分线的尺规作图方法得到A，B，C选项所作的都是垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角进行判断即可．选项D由作图无法得到点D的特征，即可判断． 【详解】解：A、由作图痕迹为点在线段的垂直平分线上，则，因此，无法得到，故此选项不符合题意． B、作图痕迹为点在线段的垂直平分线上，则，因此，如图，故此选项符合题意． C、作图痕迹为点在线段的中点，无法得到，故此选项不符合题意． 、由作图无法得到点D的特征，无法得到，故选项不符合题意． 故选：B． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则______． 【答案】3 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据“等角对等边”可得，进而可得答案． 【详解】解：在中，， ， ， ， 故答案为：3． 8．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知：在中，，平分，若，则________，与的位置关系是________． 【答案】 4 垂直 【分析】本题主要考查等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线三线互相重合性质、熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：在中，∵，平分， ∴是底边的中线和高， 即，且． ∵， ∴． 故答案为：4；垂直． 9．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图①，衣架杆．若衣架收拢时，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 【答案】18 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形，再进一步求解即可． 【详解】解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∴A，B两点之间的距离是． 故答案为：． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结，若，，则的周长为______． 【答案】9 【分析】由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则的周长为，即可得出答案． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ， 的周长为． 11．（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F，若，， ______． 【答案】9 【分析】本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．由角平分线与平行线易得，从而得到，同理可得，再根据即可得答案． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 故答案为：9． 12．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，的周长为，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与，交于D，E两点，若，则的周长为______．    【答案】 【分析】本题考查作图-做垂线，线段的垂直平分线的性质等知识，根据线段的垂直平分线的判定和性质解决问题即可． 【详解】解：由作图可知，垂直平分线段， ∴，， ∵，， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，．已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设． （1）当P点是的中点时，则的度数为_________； （2）当是等腰三角形时，的度数为_________． 【答案】 /60度 或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理；能根据等腰三角形的腰的不同进行分类讨论是解题的关键． （1）由三线合一得到，进而求解即可； （2）分类讨论：当时，当时，当时，即可求解． 【详解】解：（1）当P点是的中点时， ∵， ∴，即， ∵， ∴ 故答案为：． （2）当时，如下图： ，， ， ， 当时，如下图： ，， ， ， ； 当时，此时点P与点B重合，点D与点A重合，， 题干要求，故该情况不存在． 故答案为：或． 14．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，，，点D在边上，将沿直线翻折得到，若，则__________． 【答案】2 【分析】此题考查了折叠的性质、等角对等边等知识，根据折叠的性质和垂直得到，，即可得到，则，即可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∵将沿直线翻折得到， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：2 15．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，分别以点 A、C 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线分别交 于点 D、E，若，的周长为，则的周长为 _________． 【答案】 【分析】本题主要考查了作图和垂直平分线的性质，熟练掌握作图是解题的关键．根据题意得到垂直平分，利用等量代换即可得到答案． 【详解】解：由题意得垂直平分， ， ∵的周长为， 即 的周长． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为______．    【答案】8 【分析】本题考查轴对称-最短路线问题，在上截取，连接，推出的最小值为的长，以及是等边三角形，得到，再求出的长即可． 【详解】解：在上截取，连接，    ∵是等边三角形，， ∴所在的直线是的对称轴，， ∴点M，点关于对称， ∴， ∴， ∴的最小值为的长， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为8． 故答案为：8． 17．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 ______ 【答案】①②③④ 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，根据等边三角形的性质和旋转的性质，得到，即可得到是等边三角形判断①；根据，得到，判断②；将的周长转化为，判断③；根据三角形的外角和角的和差关系判断④即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴是等边三角形；故①正确； ∵， ∴；故②正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∵的周长；故③正确； ∵， 又∵， ∴；故④正确； 故答案为：①②③④． 18．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是______．    【答案】 【分析】根据题意知，故当点P与点D重合时，的最小值等于的长，根据的长度即可得到周长的最小值． 【详解】解：连接，设交于D，    ∵垂直平分， ∴， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵， ∴周长的最小值是． 故答案为：． 【点睛】此考查了垂直平分线的性质、最短路径等知识，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解． 【详解】解：、、为等腰三角形的三边长，且周长为，， 分两种情况： 当为腰长时，底边， ， 不能构成三角形，故为腰长舍去； 当为底边时，腰长， 为底边，6为腰长符合三角形的三边关系， ， 综上所述，． 20．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，量出的长，就可算出河的宽度，你知道为什么吗？ 【答案】见解析 【分析】根据三角形外角的性质可得，然后根据等角对等边即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形等角对等边，熟练掌握以上知识点是解本题的关键． 21．（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 【答案】①；②；③1；④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质）；⑤等角对等边；⑥ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 依据“”判定和全等得，再根据等角对等边得，然后根据即可得出． 【详解】证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴1（④全等三角形的对应角相等（或全等三角形的性质））． ∴（⑤等角对等边）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 故答案为：（1）；（2）；（3）1；（4）全等三角形的对应角相等；（5）等角对等边；（6）． 22．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， （1）根据等边三角形的性质证明，即可求解； （2）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解； （3）过点D作，交于点G，可证为等边三角形，再证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 理由如下：如图3，过点D作，交于点G， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 23．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知．    (1)如图1，请在直线上求作点，使点满足最小； (2)在（1）中用到以下哪些数学知识？______________（填上所有正确选项） A．垂线段最短        B．两点之间线段最短       C．三角形两边之和大于第三边 D．角平分线上的点到角两边的距离相等    E．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 (3)如图2，过点求作一直线，使得上任取一点（异于点），满足，请用尺规作图，作出直线：并证明你所作的直线满足“上任取一点（异于点），均有”的结论．（说明：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②表示的周长，表示的周长．） 【答案】(1)点位置见解析 (2)B、C、E (3)图见解析；理由见解析 【分析】（1）根据“将军饮马”模型，作点关于直线的对称点，连接交直线于，此时有最小值，即可确定点位置； （2）在“将军饮马”模型中运用到：“两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”，即可得到答案； （3）延长到，使，连接，作的垂直平分线，在直线上取一点（异于），连接、、，根据对称性、三角形两边之和大于第三边即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，作点关于直线的对称点，连接交直线于，    则点位置如图所示，此时的值最小． （2）解：由（1）可知用到的知识有：两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 故答案为：B、C、E． （3）解：如图2中，直线即为所求：    理由：延长到，使，连接，作的垂直平分线，在直线上取一点（异于），连接、、， 在中， ，， 根据对称性可知：，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了对称性，两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，熟练掌握并能够运用以及模型“将军饮马”是解题的关键． 24．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图①，且，，，点E为上一点，将沿直线翻折，使点B落在边上，记作点F． (1)当，时， ． (2)当时，如果再将图①中的沿直线向右翻折，使点A落在射线上，记作点G，当线段时，请根据题意画出图形，并求出m的值． (3)在（2）的条件下，连接，再将沿直线翻折，得到，直线交射线于点H，若的面积为a，请直接写出的长(用含有a的代数式表示)． 【答案】(1)2 (2)图见解析，；图见解析， (3)或 【分析】本题是四边形综合题，折叠的性质，平行线的性质． （1）根据折叠的性质可得，从而求出结论； （2）分两种情况：当点G在点D的左边时；当点G在点D的右边时；分别画出图形，根据，可列关于m的方程求解； （3）根据（2）中结论，由折叠的性质可得， ，再根据代入计算即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：2； （2）解：分以下两种情况： 如图，当点G在点D的左边时， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 解得； 如图，当点G在点D的右边时， 由折叠的性质可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵沿直线翻折得到， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 分以下两种情况： 如图，当时，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，即， ∴； 如图，当时，， 由折叠的性质可得，， ∴， ∴，即， ∴， 综上所述，或． 25．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在直角三角形中，，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形 ； （2）直接写出与之间的数量关系为 ，并给出证明； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，，，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4），请直接写出的周长为 ； 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围     成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分，，，，，请你帮丁师傅算一下需要买 米的栅栏． 【答案】（1）（2），证明见详解（3）（4） 【分析】（1）由折叠得，即可求解； （2）由全等三角形的性质得，，，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得，即可求解； （3）由全等三角形的性质得，，，由三角形外角的性质及等腰三角形的性质得，即可求解； （4）将沿翻折，使点C落在边上的E处，连结，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠得 ， 故答案为：； （2）， 证明：由折叠得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （3）由折叠得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为：， 故答案为：； （4）将沿翻折，使点C落在边上的E处，连结， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 丁师傅算一下需要买栅栏 （）， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形外角性质，等边三角形的判定及性质等；掌握折叠的性质，全等三角形的性质 ，等边三角形的判定及性质是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 等腰三角形重难点检测卷（压轴卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：等腰三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级上·贵州黔西南·期中）下列三角形中，不一定是等边三角形的是（   ） A．三个角都相等的三角形 B．有两个角等于的三角形 C．一边上的高也是该边上的中线的三角形 D．有一个角等于的等腰三角形 2．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在中，垂直平分，若，则的周长等于（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 3．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，中，，，点P从B处向A处运动，每秒，点Q从A处向C处运动，每秒，其中一个动点到达端点后，另一个点停止运动，当时，运动时间为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，在中，，，，将沿边向右平移得到（点A、B、C的对应点分别是点D、E、F），再将绕点逆时针旋转至点与点重合，则下列说法错误的是（   ） A．是等边三角形 B． C．平移的距离为2 D． 6．（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中，为钝角，用直尺和圆规在边上确定一点D，使，则符合要求的作图痕迹是（   ）． A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在中，，，则______． 8．（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知：在中，，平分，若，则________，与的位置关系是________． 9．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图①，衣架杆．若衣架收拢时，，如图②，则此时A，B两点之间的距离是______． 10．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）如图，在中，按以下步骤作图：分别以点和点为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连结，若，，则的周长为______． 11．（25-26八年级上·广东惠州·月考）如图，在中，，和的平分线分别交于点G，F，若，， ______． 12．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，的周长为，根据图中尺规作图的痕迹，直线分别与，交于D，E两点，若，则的周长为______．    13．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，．已知的顶点P是线段上一点，经过顶点C，与交于点D，，设． （1）当P点是的中点时，则的度数为_________； （2）当是等腰三角形时，的度数为_________． 14．（24-25八年级上·重庆巫山·期末）如图，在中，，，点D在边上，将沿直线翻折得到，若，则__________． 15．（24-25七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图，在中，分别以点 A、C 为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点 M、N，作直线分别交 于点 D、E，若，的周长为，则的周长为 _________． 16．（24-25八年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在等边三角形中，平分，在、边上分别取点M、N，使，，在上有一动点P，则的最小值为______．    17．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 ______ 18．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则周长的最小值是______．    三、解答题（7小题，共64分） 19．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知、、为的三边长．若为等腰三角形，且周长为，已知，求的值． 20．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图所示，量出的长，就可算出河的宽度，你知道为什么吗？ 21．（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，与相交于点．． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴①（垂直的定义）． 在和中， （已证）， （已知） ②（已知）， ∴． ∴（④）． ∴（⑤）． 又∵（已知）， ∴⑥（等式的性质）， 即． 22．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，为等边三角形，点D在边上． (1)【基本图形】如图1，以为一边作等边，连接．可得． (2)【迁移运用】如图2，点F是边上一点，以为一边作等边三角形．求证：． (3)【类比探究】如图3，点F是边的延长线上一点，以为一边作等边三角形．试探究线段三条线段之间存在怎样的数量关系，请写出你的结论并说明理由． 23．（25-26八年级上·福建厦门·期中）已知．    (1)如图1，请在直线上求作点，使点满足最小； (2)在（1）中用到以下哪些数学知识？______________（填上所有正确选项） A．垂线段最短        B．两点之间线段最短       C．三角形两边之和大于第三边 D．角平分线上的点到角两边的距离相等    E．线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 (3)如图2，过点求作一直线，使得上任取一点（异于点），满足，请用尺规作图，作出直线：并证明你所作的直线满足“上任取一点（异于点），均有”的结论．（说明：①尺规作图，保留作图痕迹，不写作法；②表示的周长，表示的周长．） 24．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知：如图①，且，，，点E为上一点，将沿直线翻折，使点B落在边上，记作点F． (1)当，时， ． (2)当时，如果再将图①中的沿直线向右翻折，使点A落在射线上，记作点G，当线段时，请根据题意画出图形，并求出m的值． (3)在（2）的条件下，连接，再将沿直线翻折，得到，直线交射线于点H，若的面积为a，请直接写出的长(用含有a的代数式表示)． 25．（25-26八年级上·吉林长春·期中）【问题背景】小明遇到这样一个问题：如图1，在直角三角形中，，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形 ； （2）直接写出与之间的数量关系为 ，并给出证明； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，，，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4），请直接写出的周长为 ； 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围     成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分，，，，，请你帮丁师傅算一下需要买 米的栅栏． 学科网（北京）股份有限公司 $