第十八章 等腰三角形重难点检测卷（提高卷）-2025-2026学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版五四制）

**基本信息** 等腰三角形单元提高卷，覆盖全章重难点，通过25道题（100分）考查几何直观与推理能力，适配八年级单元复习，融合各地期末真题与创新情境。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/12|等腰三角形周长、等边三角形判定|结合北京海淀期中题，基础概念辨析| |填空题|12/24|底角计算、垂直平分线性质、折叠周长|含黑龙江哈尔滨期中题，注重几何直观| |解答题|7/64|证明、动点最值、旋转综合（如24题等边三角形旋转）|山东潍坊模拟题改编，突出推理能力与应用意识|

第十八章 等腰三角形重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：等腰三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 2．（25-26八年级上·北京·月考）下列三角形： ①有两个角等于； ②有一个角等于的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 3．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，连接，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（    ） A． B． C． D． 6．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·江西吉安·月考）在等腰三角形中，有一个角为，则底角为____________． 8．（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知等腰三角形的两边长为、，则它的周长为________________． 9．（24-25八年级下·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分，，，则的周长为_______． 10．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，点为上一点，且，连接，，则的度数为_____________． 12．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 13．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 14．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为______ 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，若周长为19，则的周长是_______________． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有__．（填入序号） 17．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则．其中正确的为___________．（填序号） 18．（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中， （1）的面积等于_______； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，于点．点在边上，交的延长线于点，求证：是等腰三角形． 20．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 21．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 22．（25-26八年级上·北京房山·期末）下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 23．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案： (1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ． (2)请根据数学知识说明理由： ． 24．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE． （1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？　　；（直接写出结果） （2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在点D运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在，请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由． 25．（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十八章 等腰三角形重难点检测卷（提高卷） （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：等腰三角形全章内容； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（25-26八年级下·北京海淀·期中）等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为（    ） A．8 B．9 C．9或12 D．12 【答案】D 【分析】需分情况讨论，①当为腰长，为底边长时，②当为腰长，为底边长时，验证能否构成三角形后计算周长即可． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，2，5无法构成三角形，此情况舍去． ②当为腰长，为底边长时， ∵， ∴2，5，5可以构成三角形， 则它的周长为． 综上所述，这个等腰三角形的周长为12． 2．（25-26八年级上·北京·月考）下列三角形： ①有两个角等于； ②有一个角等于的等腰三角形； ③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形； ④每边上的高也是这边上中线的三角形． 其中是等边三角形的有（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定方法． 根据等边三角形的判定方法，逐一分析每个描述是否满足等边三角形的条件． 【详解】解：∵①有两个角等于， ∴第三个角为， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵②有一个角等于的等腰三角形， ∴若顶角为，则底角为； 若底角为，则另一个底角为，顶角为， ∴三个角都相等，为等边三角形． ∵③三个外角都相等， 设每个外角为，则每个内角为， ∴三个内角都相等， ∴每个内角为，为等边三角形． ∵④每边上的高也是这边上的中线， ∴对于任意边，高与中线重合， ∴三角形是等腰三角形（例如，边上的高也是中线，则）， 同理，从其他边可得、， ∴三边相等，为等边三角形， ∴①②③④都是等边三角形． 故选：D． 3．（2026·陕西榆林·二模）如图，在中，，点是上一点，连接，，若，，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】首先求出，然后利用等角对等角求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，，则有（    ） A．垂直平分 B．垂直平分 C．是等腰三角形 D．与互相垂直平分 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形的判定，根据垂直平分线的判定定理，逐一分析即可解题． 【详解】解：，， A、B在的垂直平分线上， 即垂直平分（但不一定垂直平分）． ∴不一定是等腰三角形， ∴A，C，D错误，B正确， 故选：B． 5．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，已知平分中的，过点作，点是边的中点，连接，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：延长交的延长线于点，设交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为， 图中两个阴影部分面积之差的最大值为， 故选：B． 6．（2025·山东潍坊·模拟预测）如图，甲、乙、丙三人分别沿不同的路线从A地到B地． 甲：，路程为． 乙：，路程为． 丙：，路程为． 下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定、三角形三边之间关系，解题的关键是通过设的长度为a，结合图形性质分别计算三人的路程并比较． 设，利用等边三角形性质得出甲、乙的路程均为，分析四边形，得出丙的路程小于，比较得出． 【详解】解：设的长度为a， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 同理可得，和是等边三角形，设的边长为m， ∴，， ∴； 如图所示，延长与，交于点I（如图）， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∵， ∴ ∴， 综上所述，． 故选：D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（25-26八年级下·江西吉安·月考）在等腰三角形中，有一个角为，则底角为____________． 【答案】 20度 【分析】分情况讨论已知角是顶角还是底角，结合三角形内角和为排除不符合的情况． 【详解】解：若为底角， 则两底角之和为，这与三角形内角和为矛盾，故只能是顶角， 两底角之和为， 又等腰三角形两底角相等， 底角为． 8．（25-26八年级上·福建厦门·月考）已知等腰三角形的两边长为、，则它的周长为________________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）是解题的关键． 分两种情况讨论等腰三角形的腰长，再根据三角形三边关系判断是否成立，进而计算周长． 【详解】解：情况一：当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 情况二： 当腰长为时， 因为， 所以三边能构成三角形， 周长为， 故答案为：或． 9．（24-25八年级下·陕西榆林·月考）如图，在中，，平分，，，则的周长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，由等角对等边得出，再由等腰三角形的性质得出，最后由周长公式计算即可得解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴，， ∴的周长为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·天津滨海新区·期末）如图，在△中，，是的中点，在的延长线上取点，连接，若，，则为________． 【答案】/20度 【分析】本题考查等腰三角形的三线合一性质，关键是先利用等腰三角形底边上的中线平分顶角的性质求出的度数，再通过角的和差关系计算的度数． 【详解】解：∵在△中，，是的中点， ∴平分， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故答案为：． 11．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，，，点为上一点，且，连接，，则的度数为_____________． 【答案】/度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据等腰三角形的三线合一性质可得：，，再结合等边对等角以及三角形内角和定理可得：，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ， ， ， 故答案为： 12．（25-26八年级上·四川绵阳·期末）如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，由是的垂直平分线，可得，，又的周长为，可得，然后通过的周长为即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∴的周长为， 故答案为：． 13．（25-26八年级下·山东枣庄·月考）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件______使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形，即可求解． 【详解】解：括号内填（答案不唯一）可以使等腰成为等边三角形． 14．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，等边三角形纸片的边长为，点D，E分别在，上，将沿直线折叠，点C落在点处，且点在的外部，则图中三个阴影部分的周长之和为______ 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的性质，折叠问题，关键是由折叠的性质推出． 由折叠的性质得到：，即可得到三个阴影部分的周长的和． 【详解】解：是边长为的等边三角形， ， 由折叠的性质得到：， 三个阴影部分的周长的和， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，若周长为19，则的周长是_______________． 【答案】11 【分析】本题主要考查了尺规作图，线段垂直平分线的性质．由作法得：垂直平分，从而得到，，再结合周长为19，即可求解． 【详解】解：由作法得：垂直平分， ∴，， ∵周长为19， ∴， ∴， ∴的周长是11． 故答案为：11． 16．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有__．（填入序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形判定及性质，三角形周长，平行线性质等．根据题意利用平行线性质可得，后由角平分线定义得，继而判断④和③正确，由三角形周长可得边长相加即，可得②正确，后由角度推出边不一定等，得到①错误，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，故④正确； ∴，故③正确； ∴的周长为：，故②正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴与不一定相等，故①错误． 故答案为：②③④． 17．（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，在中，，是上的点，过点作交于点，交的延长线于点，连接，则下列结论：①；②；③是等边三角形；④若，则．其中正确的为___________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及直角三角形的性质，熟练运用知识点是解此题的关键． 由中，，，以及，继而可得①正确；由①可证得，即可得②正确；易得③是等腰三角形，但不能证得是等边三角形；由若，易求得，则可证得，继而证得． 【详解】解：在中，，， ， ，， ， ，；故①正确； ， ， ；故②正确； ， ， 但不能判定是等边三角形；故③错误； 若， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 18．（25-26八年级上·天津红桥·期末）如图，在中， （1）的面积等于_______； （2）是边的中点，为边上的动点，是边上的动点．当的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出点和点，并简要说明点和点的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）______． 【答案】 以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求 【分析】本题主要考查了尺规作图-作轴对称点． ()根据三角形的面积公式即可求解； ()利用轴对称找最短路径， 周长，为定点，需使最小，即分别作关于的对称点，连线与的交点即为． 【详解】（）解：∵在中，， ∴； 故答案为：； （）如图，以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点； 以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点； 分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点； 连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 故答案为：以点为圆心，长为半径画弧，与的延长线相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点；连接，与相交于点，与相交于点，则点即为所求． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（25-26八年级上·吉林延边·期中）如图，在中，于点．点在边上，交的延长线于点，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由等腰三角形的性质得出，由平行线的性质得出，则可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20．（25-26七年级下·上海闵行·课后作业）如图，在中，，点为边的中点，连接，为上一点，连接．若，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一性质，可求得． 【详解】， ． ，点为边的中点， 平分， ． 21．（25-26七年级下·陕西渭南·月考）如图，在铁路旁边有一村庄，现要建一火车站，使该村庄的人乘火车最方便（即距离最近），请你在铁路边选一点来建火车站，并说明理由．（不写作法） 【答案】见解析，垂线段最短 【分析】过点A作铁路所在直线的垂线，垂足为B，根据垂线段最短可知，点B即为所求． 【详解】解：如图所示，点B即为所求，理由是垂线段最短． 22．（25-26八年级上·北京房山·期末）下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，掌握以上知识是关键． 方法一：证明是等边三角形，即可求解； 方法二：证明是等边三角形，，等量代换即可求解． 【详解】方法一证明：如图，延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 方法二证明：如图，在上截取，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 23．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在立方体纸盒的顶点A处有一只蚂蚁，在另一顶点E处有一粒糖，你能为这只蚂蚁设计一条最短路线，使它沿着立方体表面上的这一条路线爬行，最快捷吃到糖吗？以下提供三个方案： (1)三种方案①、②、③中爬行路线最短的方案是 ；最长的方案是 ． (2)请根据数学知识说明理由： ． 【答案】(1)③；①； (2)三角形的两边之和大于第三边 【分析】（1）根据三种爬行方案，即可求解； （2）根据题意，分别求出三种方案爬行的路程，再根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴爬行路线最短的方案是③；最长的方案是①； 故答案为：③；①； （2）解：根据题意得：方案①爬行的路程为AB+BC+CE， 方案②爬行的路程为AC+CE， 方案③爬行的路程为AE， 如图， 在△ABC中，AB+BC＞AC（三角形的两边之和大于第三边）， ∴AB+BC+CE＞AC+CE， 在△ACE中，AC+CE＞AE（三角形的两边之和大于第三边）， ∴AB+BC+CE＞AC+CE＞AE， 故答案为：三角形的两边之和大于第三边 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键． 24．（24-25八年级上·陕西西安·期末）已知△ABC是边长为4的等边三角形，点D是射线BC上的动点，将AD绕点A逆时针方向旋转60°得到AE，连接DE． （1）如图1，猜想△ADE是什么三角形？　　；（直接写出结果） （2）如图2，猜想线段CA、CE、CD之间的数量关系，并证明你的结论； （3）在点D运动过程中，△DEC的周长是否存在最小值？若存在，请求出△DEC周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）等边三角形；（2）AC+CD＝CE，证明见解析；（3）点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2． 【分析】（1）由旋转变换的性质即可求解． （2）证明△ABD≌△ACE得到BD＝CE，结合△ABC是等边三角形即可求解． （3）△DEC的周长≥BC+DE，且当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小代入数值即可求解． 【详解】（1）由旋转变换的性质可知，AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴△ADE是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）AC+CD＝CE， 证明：由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE， ∴CE＝BD＝CB+CD＝CA+CD； （3）点D在运动过程中，△DEC的周长存在最小值，最小值为4+2， 理由如下：∵△ABD≌△ACE， ∴CE＝BD， 则△DEC的周长＝DE+CE+DC＝BD+CD+DE， 当点D在线段BC上时，△DEC的周长＝BC+DE， 当点D在线段BC的延长线上时，△DEC的周长＝BD+CD+DE＞BC+DE， ∴△DEC的周长≥BC+DE， ∴当D在线段BC上，且DE最小时，△DEC的周长最小， ∵△ADE为等边三角形， ∴DE＝AD， ∴AD的最小值为， ∴△DEC的周长的最小值为4+2． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质与全等三角形的判定与性质等知识点，以及三角形有关的动点问题，理解题意将题目中的线段转化是解题的关键． 25．（25-26八年级上·江西上饶·期末）【课本再现】数学课上，张老师根据数学课本习题改编了一个题目：如图，是的高，，若，，求的长． 小明同学的想法是利用构造全等三角形来解决：将沿折叠，如图1，则点C刚好落在边上的点E处．…… （1）结合小明同学的想法，请直接写出：与的数量关系为 ， ． 【模型应用】 根据上面探究构造全等模型的规律，请解答： （2）如图2，在四边形中，平分，，，，求的长． 【改编拓展】张老师继续启发同学们改编此题，得到下列试题，请同学们解答： （3）如图3，，为的外角的平分线，交的延长线于点D，则线段、、有什么数量关系？请写出你的猜想并证明． 【答案】（1），9；（2）；（3），证明见解析 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由折叠的性质得，，则，进而得到，则有，再利用线段的和差即可求出的长； （2）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差即可求出的长； （3）在上截取，连接，通过证明，得到，，进而得到，则，再利用线段的和差以及线段间的等量代换即可得出结论． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，， ， ， ， 又， ， ； 故答案为：，9； （2）如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ； （3），证明如下： 如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $