第十八章 等腰三角形重难点检测卷-2024-2025学年七年级数学下册重难点专题提升精讲精练（沪教版2024）

第十八章 等腰三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级下册第十八章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，是的角平分线，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的三线合一性质进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴是等腰三角形， ∵是的角平分线， ∴ 故选：B． 2．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，则此时点P就是使的值最大的点，连接，根据等腰直角三角形的性质可得到，根据轴对称的性质和等腰三角形的性质可推出是等边三角形，进而即可得到结论． 【详解】解：如图，作点A关于直线的对称点，连接交于P，连接， ∴， ∴， ∴点P就是使的值最大的点， 已知为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边对等角和三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是关键．根据三角形外角的性质得，根据，得，所以． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 故选：D． 4．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，若，则的周长为13，则长为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换的性质、等腰三角形的判定，解题的关键是利用折叠不变性进行线段的转换． 根据翻折的性质可知：，，，根据得出，进而求出，再根据的周长为13，求出，即可得出． 【详解】解：根据翻折的性质可知：，，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 的周长为13， ，即， ， ， ， ， 故选B． 5．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上运动（与点B，C不重合），连接，直线为的垂直平分线，连接．若，则的周长比的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，根据题意易证是等边三角形，得到，由，求出，再根据垂直平分线的性质可得，求出的周长为，的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵直线为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为，的周长为， ∴． 故选：D． 6．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，以为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边在外侧作等腰直角三角形，…，如此继续，得到个等腰直角三角形，若图中的面积是1，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，根据等腰直角三角形的性质得出，；；；⋯⋯继而推出的面积． 【详解】解：在等腰中，, 又 ∴ ∴， ∴； 同理，； ； ⋯⋯ ∴． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，是基础知识要熟练掌握．注意分类讨论思想的应用． 分两种情况：当腰长为4或9时，再根据三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边去掉一种情况即可． 【详解】当腰长为4，底长为9时；，不能构成三角形； 当腰长为9，底长为4时；，能构成三角形； 故等腰三角形的周长为：． 故答案为：22． 8．（23-24七年级下·上海闵行·期末）在中，， 当为等腰三角形时， 度 【答案】64或76或52 【分析】本题考查等腰三角形的性质，分成当为顶角时，和是底角且相等；当为底角时，若是顶角；当为底角时，若也是底角，分别求解即可． 【详解】解：当为顶角时，此时和是底角且相等，； 当为底角时，若是顶角，； 当为底角时，若也是底角，； 故答案为：64或76或52． 9．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查等腰三角形的判定和平行线的性质，解题的关键是灵活运用平行的性质、翻折变换的性质来分析、解答．证明；运用平行的性质证明，即可解决问题． 【详解】解：如图， 由题翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 即重合部分（阴影部分）是等腰三角形， 故答案为：等腰． 10．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，因为是边上的中线，所以是等腰三角形，平分，结合，即可作答． 【详解】解：∵在中，是边上的中线， ∴是等腰三角形，平分， ∵， ∴ 故答案为： 11．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．则的周长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质等．首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，可证得；同理可得，根据的周长公式，求解即可． 【详解】解：∵， ， 平分， ， ， ， 同理， ∵，， ∴的周长为： ． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，是等边三角形，边长为4，面积为，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短路径问题，等边三角形的性质，理解“两点之间线段最短”是解题的关键， 连接，与交于点P，首先由等腰三角形三线合一性质得到，然后利用得到就是的最小值，然后求出，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：连接，与交于点P， 是等边三角形，是边上的高， ， ， ，即就是的最小值， 是等边三角形，边长为4，面积为，点E是边的中点， ， ，即， ∴， 的最小值是． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 【答案】1或3/3或1 【分析】此题考查了等边三角形的性质和判定．此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用． 由等边的边长为，点是的中点，可求得的长，然后，可得为等边三角形，分析为等边三角形即可求得答案． 【详解】解：∵等边的边长为，点是的中点， ∴， ∴当是等腰三角形时，可得三角形为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵动点的速度为/秒， ∴当从时，，当从时，． 故答案为：1或3． 14．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，D为内一点，平分，，若，则 ．    【答案】5 【分析】延长与交于点E，由题意可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出，，根据，即可推出的长度． 【详解】解：延长与交于点E，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论． 15．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，交于点，在边上有一点，连接，，是以为底的等腰三角形，且，若，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的定义和全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质．由等腰三角形的定义得到，证明，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 16．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及平行线的性质，根据已知条件，、分别平分、，且，可得，，根据等角对等边得出，，根据即可求得．利用边角关系并结合等量代换来推导证明是本题的特点． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴ 故答案为：2． 17．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形和等腰三角形的性质，数字规律的探究，正确找出等边三角形边长的数字规律是解题的关键． 根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质，可得出等边三角形边长的规律，进而得出答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ， ， 以此类推，的边长为． 故答案为：． 18．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，直线m是线段的垂直平分线，点C是直线m上位于上方的一动点，连接和，以为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形，过点D作，交直线于点E，交直线于点F，连接，与直线m交于点G，连接．则在点C运动的过程中，以下结论：①，②，③直线垂直平分线段，④，⑤中，正确的是 （请填入正确的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，数形结合分析思想是解题的关键． 根据垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质可判定①；根据等腰直角三角形，直角三角形边的关系可判定②；如图所示，延长交于点，过C作，则，可证，得到，则有，再证，则，，可判定③；由，可得不全等于，可判定④；根据，得到为等腰直角三角形，则，由是等腰直角三角形，得到，由因为，所以得到，可判定⑤；由此即可求解． 【详解】解：∵直线m是的垂直平分线， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵在中，， ∴，故②不正确，符合题意； 如图所示，延长交于点，过C作，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 设直线m交于点O，则， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分线段，故③正确，符合题意； ∵， ∴不全等于，故④错误，不符合题意； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确，符合题意； 综上，①③⑤正确， 故答案为：①③⑤． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24七年级下·上海闵行·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，求腰的长． 【答案】6 【分析】本题考查等腰三角形，三角形的三边关系，分类讨论：或，然后根据三角形三边关系即可得出结果． 【详解】是等腰三角形，底边， ． 当时，，根据三角形三边关系，此时，，不构成三角形，不符合题意．    当时，“是“倍长三角形”， 所以当等腰是“倍长三角形”，腰的长为6. 20．（23-24七年级下·虹口·阶段练习）如图，在中，，，垂足为点，点、在上，连接、、、．若，求图中阴影部分的面积． 【答案】6 【分析】先利用等腰三角形的三线合一性质可得是的垂直平分线，从而可得从而可得图中阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 即图中阴影部分的面积为6． 21．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图：中，，为边的中点，．    (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一的性质以及余角的性质即可求解； （2）根据三角形面积公式，以及三角形中线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵，D为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵D为边的中点， ∴． 【点睛】考查了等腰三角形的性质以及三角形面积，关键是熟悉等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． 22．（24-25七年级下·上海崇明·课后作业）如图，，连接，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点E，连接．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，证明，推出，可得结论． 【详解】解：连接，如图． 因为的垂直平分线相交于点E， 所以． 又因为， 所以， 所以． 23．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）【示例】（1）在等腰三角形中，若，求的度数． 分析：都可能是顶角或底角，因此需要分类，据此可求出___________． 【应用】（2）若等腰三角形周长为，则__________． 【拓展】（3）如图，将一个边长为、、的直角三角形与另一个三角形拼成一个等腰三角形，图就是其中的一种拼法，请你画出其他可能的情形（不少于种），并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度（每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号） 【答案】（1）；（2）、或；（3）见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质：等边对等角、等边对等角等知识点，理解题意、弄清问题中对所作图形的要求成为解答本题的关键． （1）都可能是顶角或底角，因此需要分是顶角、为底角且为顶角、为底角且为底角三种情况解答； （2）都可能是底或腰，因此需要分为底、为腰且为腰、为腰且为底三种情况解答即可； （2）将一个边长为、、的直角三角形拼上一个三角形后拼成一个等腰三角形，据此画出图形即可． 【详解】解：（1）当为顶角时， 当为底角且为顶角时， 为底角且为底角时， 故答案为：或； （2）当为底边，为腰时，； 当为腰，为腰时，； 当为腰，为底边时，； 综上所述，的长度是、或， 故答案为：、或； （3）如图所示，共有6种情况． 24．（23-24七年级下·上海静安·期末）数学课上，老师出示了如下框中的题目． 如图，在等边中，点E在边上，点D在边的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并证明． 小红与同桌小明谈论后，进行了如下回答： (1)特殊入手，探索结论如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系．直接写出结论： ________．（填“>”“<”或“=”）           图1 (2)特例启发如图2，试确定线段与的大小关系，并证明．           图2 (3)拓展结论，设计新题在等边中，点E在射线上，点D在直线上，且．若的边长为2，，在图3中补画出图形，并求的长．         图3 【答案】(1) (2)，证明过程见详解 (3)补全图见详解， 【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等； （1）由等边三角形的性质及三角形的外角得，由等腰三角形的性质得，即可得证； （2）过点作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，由全等三角形的性质得，即可得证； （3）过点作交的延长线于，同理可以求解； 掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能构建全等三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：是等边三角形， E为的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：； 证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ； （3）解：补全图，如下， 过点作交的延长线于， 由（2）同理可证：， ， ， ， ． 25．（2024七年级下·上海长宁·阶段练习）某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题： 【探究】如图1，中，若，，点是的中点，试探究边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中（已作），　　，（中点定义） （　　） （2）探究得出的取值范围是　　； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3）见解析 【分析】（1）根据对顶角相等，证明三角形全等，进行作答即可； （2）根据全等三角形的性质以及三角形的三边关系进行求解即可； （3）延长到，使，证明，得到，推出，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：延长到点，使， 在和中， ，（对顶角相等），（中点定义）， ， 故答案为：对顶角相等；； （2）解：， ， ，即， ∴ 故答案为：； （3）证明：延长到，使， 由（1）得，， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．熟练掌握倍长中线法构造全等三角形，是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 等腰三角形重难点检测卷 （满分100分，考试时间120分钟，共25题） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：七年级下册第十八章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（23-24七年级下·上海嘉定·期末）如图，在中，是的角平分线，则的长是（   ） A．6 B．5 C．4 D．无法确定 2．（23-24七年级下·上海奉贤·期末）如图，已知为等腰直角三角形，，，点为射线上的动点，当为最大值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）春游有着悠久的历史，其源自远古农耕祭祀的迎春习俗，《尚书·大传》曰：“春，出也，万物之出也．”小丽和家人到公园踏春，帐篷撑起后如图①，为更好的将帐篷固定，需在四个角分别另加一根固定绳，从前面看到的平面图形如图②所示．已知，现测得，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·上海嘉定·阶段练习）如图所示三角形纸片中，，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，若，则的周长为13，则长为（　　） A． B． C． D．1 5．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在中，，点D 在边上运动（与点B，C不重合），连接，直线为的垂直平分线，连接．若，则的周长比的值为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·上海松江·期中）如图，以为直角边作等腰直角三角形，再以为直角边在外侧作等腰直角三角形，…，如此继续，得到个等腰直角三角形，若图中的面积是1，则的面积是（   ）    A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24七年级下·上海普陀·阶段练习）等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 ． 8．（23-24七年级下·上海闵行·期末）在中，， 当为等腰三角形时， 度 9．（24-25七年级下·上海徐汇·阶段练习）如图，把一张对边平行的纸条如图折叠，重合部分（阴影部分）是 三角形． 10．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，在中，是边上的中线．若，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·上海杨浦·阶段练习）如图，中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．则的周长是 ． 12．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，是等边三角形，边长为4，面积为，是边上的高，E是的中点，P是上的一个动点，则的最小值是 ． 13．（23-24七年级下·上海奉贤·期中）如图，等边的边长为，点Q是的中点，若动点P以/秒的速度从点A出发沿方向运动设运动时间为t秒，连接，当是等腰三角形时，则t的值为 秒． 14．（23-24七年级下·上海青浦·期末）如图，D为内一点，平分，，若，则 ．    15．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）如图，在四边形中，对角线，交于点，在边上有一点，连接，，是以为底的等腰三角形，且，若，，则 ． 16．（23-24七年级下·上海长宁·阶段练习）如图，的平分线与的外角的平分线相交于点F，过点F作交于点D，交于点E，若，，则的长为 ． 17．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，点，，，…在射线上，点，，，…在射线上，，，，…均为等边三角形，若，则的边长为 ． 18．（23-24七年级下·上海长宁·期末）如图，直线m是线段的垂直平分线，点C是直线m上位于上方的一动点，连接和，以为直角边，点C为直角顶点，在直线m的左侧作等腰直角三角形，过点D作，交直线于点E，交直线于点F，连接，与直线m交于点G，连接．则在点C运动的过程中，以下结论：①，②，③直线垂直平分线段，④，⑤中，正确的是 （请填入正确的序号）． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（23-24七年级下·上海闵行·期中）定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，底边的长为3，求腰的长． 20．（23-24七年级下·虹口·阶段练习）如图，在中，，，垂足为点，点、在上，连接、、、．若，求图中阴影部分的面积． 21．（23-24七年级下·上海金山·期中）如图：中，，为边的中点，．    (1)求证：； (2)若，，求的面积． 22．（24-25七年级下·上海崇明·课后作业）如图，，连接，线段的垂直平分线与线段的垂直平分线交于点E，连接．试说明：． 23．（23-24七年级下·上海杨浦·期中）【示例】（1）在等腰三角形中，若，求的度数． 分析：都可能是顶角或底角，因此需要分类，据此可求出___________． 【应用】（2）若等腰三角形周长为，则__________． 【拓展】（3）如图，将一个边长为、、的直角三角形与另一个三角形拼成一个等腰三角形，图就是其中的一种拼法，请你画出其他可能的情形（不少于种），并在图上标出所拼成等腰三角形的腰的长度（每种情形用一个图形单独表示，并用①、②、③…编号） 24．（23-24七年级下·上海静安·期末）数学课上，老师出示了如下框中的题目． 如图，在等边中，点E在边上，点D在边的延长线上，且，试确定线段与的大小关系，并证明． 小红与同桌小明谈论后，进行了如下回答： (1)特殊入手，探索结论如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系．直接写出结论： ________．（填“>”“<”或“=”）           图1 (2)特例启发如图2，试确定线段与的大小关系，并证明．           图2 (3)拓展结论，设计新题在等边中，点E在射线上，点D在直线上，且．若的边长为2，，在图3中补画出图形，并求的长．         图3 25．（2024七年级下·上海长宁·阶段练习）某校数学课外兴趣小组活动时，老师提出如下问题： 【探究】如图1，中，若，，点是的中点，试探究边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证： 证明：延长到点，使 在和中（已作），　　，（中点定义） （　　） （2）探究得出的取值范围是　　； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，且．求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $$