精品解析：重庆市沙坪坝区2026年初中适应性监测数学试题

2026年初中适应性监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “数字人民币”的应用场景逐步扩大．若转入6元记作元，则转出5元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 5元 D. 6元 2. 为铭记历史传承文化，沙坪坝区将每年的3月30日设立为“沙磁文化日”．下列文字图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形内接于．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查某新能源汽车电池使用的寿命情况 B. 调查重庆游客对洪崖洞景点的喜爱情况 C. 调查沙坪坝区所有学生运动的时间情况 D. 调查全班同学某天家务劳动的次数情况 6. 已知反比例函数（）的图象经过点，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 7. 石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶格结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有14个碳原子，第②个图中有18个碳原子，第③个图中有22个碳原子，…，按照此规律，第⑥个图中碳原子的个数是（ ） A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 8. 今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球．受此影响，该机车订单逐月增长．三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆．设这两个月订单的平均月增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式：，其中，为正整数，（，1，…，）且均为整数，．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式中有且仅有3个单项式； ②当，时，满足条件的所有整式的和为； ③当，时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为3． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 实数3的相反数是______． 12. 当光从空气斜射入水中时，光的传播方向会发生变化，这种现象叫作光的折射．如图，一束光线沿方向斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．若，，，则的度数是____． 13. 若为正整数，且满足，则_____． 14. 《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》是我国古代极具代表性的数学著作．某学校拟从这3部著作中随机选取2部作为校本课程的学习内容，恰好选中《九章算术》和《周髀算经》的概率是___． 15. 如图，是的直径，弦于点．以，为邻边构造平行四边形，连接交于点，过点作交于点，垂足为点．若，，则的长度为________． 16. 一个四位数，满足，，将的百位数字替换成组成一个新的四位数，将的十位数字替换成组成另一个新的四位数，记．若，则的值为____；若能被9整除，且，则满足条件的的最大值为_____． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 18. 学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小渝进行了拓展性研究．她发现：作平行四边形一组对边中任意一边的垂直平分线，与另外一组对边所在的直线交于两点，这两交点与被垂直平分的边的两个端点恰能构成一个菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．请根据她的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）第一步：构造垂直平分线． 如图，在平行四边形中，请你利用尺规作图，作的垂直平分线，分别交，所在的直线于，两点，垂足为点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形， ． ，． 是的垂直平分线， ①，． ②（） ． 又， 四边形是③． 又， 四边形是菱形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 在首个全民阅读周到来之际，沙坪坝区某中学开展了“读经典名著，建书香校园”的主题阅读竞赛活动．从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的主题阅读竞赛成绩（百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：七年级10名学生竞赛成绩是：67，74，77，78，83，87，87，91，96，100． 八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据是：85，86，86，86． 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 85 众数 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___，___，___； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的主题阅读竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生300人，八年级有学生400人，请估计该校七、八年级参加此次主题阅读竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． （1）求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ （2）实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 22. 如图1，在矩形中，，连接，过点A作于点E．设，． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）上述函数的图象如图2所示．若x取任意实数，请直接在图2中补全函数的大致图象； （3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；②在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大；③在自变量的取值范围内，当时，函数y取得最大值2；当时，函数y取得最小值．其中正确的是________；（写出所有正确结论的序号） （4）若将题目中“”改成“（k为常数且）”，此时y关于x的函数表达式是________；一般地，当为常数且，x取任意实数时，类比初中阶段函数的研究过程，探究此类函数的相关性质．（直接写出一条性质即可） 23. 科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行水质监测．如图，，，，在同一平面内，，是智能船的水质监测基站．位于的正东方向，位于的正北方向20米处，位于的北偏东方向20米处，且位于的北偏西方向上．（参考数据：，） （1）求，之间的距离；（结果保留小数点后一位） （2）甲，乙两船同时分别从，出发沿，方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是．当两船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离基站有多远？（结果保留小数点后一位） 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 25. 在中，，，点是上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，点在边上，，连接．若，求的长度； （2）如图2，点是的中点，，点在边上，点在射线上，连接，，．若，．求证：； （3）点在直线上，，点在边上，且．是直线上一点，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到．当取最小值时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中适应性监测 数学试题 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 参考公式：抛物线（）的顶点坐标为，对称轴为． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. “数字人民币”的应用场景逐步扩大．若转入6元记作元，则转出5元记作（ ） A. 元 B. 元 C. 5元 D. 6元 【答案】B 【解析】 【分析】正负数可用来表示一对具有相反意义的量，已知转入的记法，即可推出转出的记法． 【详解】解：因为题目规定转入元记作元，说明转入用正数表示，转入和转出是相反意义的量，所以转出应该用负数表示， 所以转出元记作元． 2. 为铭记历史传承文化，沙坪坝区将每年的3月30日设立为“沙磁文化日”．下列文字图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个图形的一部分，沿着一条直线对折后两部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．根据轴对称图形的定义逐项分析即可． 【详解】解：．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形，故该选项不符合题意． 3. 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 4. 如图，四边形内接于．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质：对角互补，即可解答． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴． 5. 下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（ ） A. 调查某新能源汽车电池使用的寿命情况 B. 调查重庆游客对洪崖洞景点的喜爱情况 C. 调查沙坪坝区所有学生运动的时间情况 D. 调查全班同学某天家务劳动的次数情况 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．调查新能源汽车电池寿命具有破坏性，不适合普查，故不符合题意； B．调查重庆游客对洪崖洞的喜爱情况，调查范围大，人数多，适合抽样调查，故不符合题意； C．调查沙坪坝区所有学生运动时间，范围广，人数多，适合抽样调查，故不符合题意； D．调查全班同学某天家务劳动的次数，范围小，人数少，适合进行全面调查，符合题意． 6. 已知反比例函数（）的图象经过点，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将已知点坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴将，代入解析式得 ∴ 7. 石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶格结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有14个碳原子，第②个图中有18个碳原子，第③个图中有22个碳原子，…，按照此规律，第⑥个图中碳原子的个数是（ ） A. 30 B. 34 C. 38 D. 42 【答案】B 【解析】 【分析】根据前三个图形可得第n个图形中，碳原子的个数为个，再进一步求解即可． 【详解】解：第1个图形中有个碳原子， 第2个图形中有个碳原子， 第3个图形中有个碳原子， 按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为个， 当时，． 8. 今年三月，重庆某机车在国际顶级赛事中夺冠，让“重庆制造”惊艳全球．受此影响，该机车订单逐月增长．三月份的订单是0.8万辆，预计五月份的订单将达到4万辆．设这两个月订单的平均月增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据月增长率依次推导得到五月份订单量的表达式，结合已知五月份订单量即可列出方程． 【详解】解：∵三月份订单量为万辆，平均月增长率为， ∴四月份订单量为万辆， ∴五月份订单量为万辆， 又∵预计五月份订单量为万辆， ∴可列方程为． 9. 如图，正方形的边长是2，是边上一点，连接，平分交于点，连接．若，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方形的性质得到，，设，则，作交于G，证明，得到，，证明，得到，则，根据勾股定理求出x的值，即可求出的长度． 【详解】解：∵正方形的边长是2， ∴，， 设，则， 作交于G， ∵平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴． 10. 已知整式：，其中，为正整数，（，1，…，）且均为整数，．下列说法： ①当时，满足条件的所有整式中有且仅有3个单项式； ②当，时，满足条件的所有整式的和为； ③当，时，若关于的方程有两个不相等的实数根，则满足条件的所有整式的最高次项的系数和为3． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】依次验证三个说法，根据题干给出的整式系数条件，分别找出每种情况的所有整式，再判断说法是否正确． 【详解】解：先明确题干条件：为正整数， 且为整数（ ），． 验证①： 当时，，是正整数， ． 单项式满足，此时 ，得正整数 ，共3个单项式，故①正确． 验证②： 当，，为正整数，分和： 时， ， ，得 ，，，对应 ； 时， ， ， ∵， ∴， ∵为正整数， ∴必为完全平方数， ∴ ，则， ， 所有组合对应 ； 将所有相加： ，故②正确． 验证③： 当，， ，为正整数， ，得， ，故 ，逐个判断： 1. ，方程， ，两根相等，不符合； 2. ，方程，，符合，最高次系数为； 3. ，方程，，两根相等，不符合； 4. ，方程，，符合，最高次系数为； 所有符合条件的最高次项的系数和为，故③错误． 综上，正确的说法有2个． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 实数3的相反数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：实数3的相反数是． 12. 当光从空气斜射入水中时，光的传播方向会发生变化，这种现象叫作光的折射．如图，一束光线沿方向斜射入水面，在点处发生折射，沿方向射入水中．若，，，则的度数是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，由题意可知A、C、B在同一直线，即，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵一束光线沿方向斜射入水面，在点处发生折射， ∴A、C、B在同一直线， ∴， ∴． 13. 若为正整数，且满足，则_____． 【答案】10 【解析】 【分析】先化简给定的二次根式表达式，再估算无理数的大小，确定表达式介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解： 即 ∴ 即 为正整数，且满足 14. 《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》是我国古代极具代表性的数学著作．某学校拟从这3部著作中随机选取2部作为校本课程的学习内容，恰好选中《九章算术》和《周髀算经》的概率是___． 【答案】 【解析】 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：将《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》分别记为A，B，C， 用列表法列举出从3部著作中选择2部所能产生的全部结果： A B C A B C 由表中可以看出，所有可能的结果有6种，并且这6种结果出现的可能性相等， 所有可能的结果中，满足条件的结果有2种，即，， 所以恰好选中《九章算术》和《周髀算经》的概率是． 15. 如图，是的直径，弦于点．以，为邻边构造平行四边形，连接交于点，过点作交于点，垂足为点．若，，则的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，求出线段长度，再根据等面积法算出，再根据算出半径，最后根据算出即可． 【详解】解：连接，，过作交于， ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设圆的半径为，则， 在中， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 又∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 16. 一个四位数，满足，，将的百位数字替换成组成一个新的四位数，将的十位数字替换成组成另一个新的四位数，记．若，则的值为____；若能被9整除，且，则满足条件的的最大值为_____． 【答案】 ①. 30 ②. 2870 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，整式加减的应用正确理解新定义的规律是解题的关键． 【详解】解：由题意知，当时，，则， ∴当时，， ∴，， ∴； 由题意可知， ， ∴， ∴， ∴， ∵能被9整除， ∴只需要是的倍数， 设（为整数）， ∵，， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∵为整数， ∴当时，的最大负整数为， 此时，不是完全平方数， ∴的情况不成立， ∴的值为； ∴当时，得， ∴， ∵为最大值，则， ∴， ∵， ∴， ∴最大为，此时 ∴满足条件的最大值为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 求不等式组的所有整数解． 【答案】所有整数解为0，1，2，3 【解析】 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 18. 学习了平行四边形与菱形的相关知识后，小渝进行了拓展性研究．她发现：作平行四边形一组对边中任意一边的垂直平分线，与另外一组对边所在的直线交于两点，这两交点与被垂直平分的边的两个端点恰能构成一个菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．请根据她的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）第一步：构造垂直平分线． 如图，在平行四边形中，请你利用尺规作图，作的垂直平分线，分别交，所在的直线于，两点，垂足为点，连接，（不写作法，保留作图痕迹）． （2）第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形， ． ，． 是的垂直平分线， ①，． ②（） ． 又， 四边形是③． 又， 四边形是菱形． 【答案】（1） 如图，，，，，即为所求； （2） 证明：四边形是平行四边形， ． ，． 是的垂直平分线， ，． （） ． 又， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据题干要求作图即可； （2）根据垂直平分线的性质、全等三角形的判定方法、平行四边形的判定方法补全证明过程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 在首个全民阅读周到来之际，沙坪坝区某中学开展了“读经典名著，建书香校园”的主题阅读竞赛活动．从七、八年级学生中各随机抽取10名学生的主题阅读竞赛成绩（百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息：七年级10名学生竞赛成绩是：67，74，77，78，83，87，87，91，96，100． 八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据是：85，86，86，86． 年级 七年级 八年级 平均数 84 84 中位数 85 众数 86 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中___，___，___； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的主题阅读竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生300人，八年级有学生400人，请估计该校七、八年级参加此次主题阅读竞赛成绩不低于90分的学生人数共是多少？ 【答案】（1），， （2）八年级学生的主题阅读竞赛成绩较好．理由：八年级学生的主题阅读竞赛成绩的中位数85.5分大于七年级学生的主题阅读竞赛成绩的中位数85分（答案不唯一，合理即可）； （3）170人 【解析】 【分析】（1）根据众数、中位数的定义及扇形统计图计算即可； （2）根据表格中的数据判断即可； （3）分别求出校七、八年级参加此次主题阅读竞赛成绩不低于90分的学生人数，相加即可． 【小问1详解】 解：七年级10名学生竞赛成绩中87出现次数最多， ∴； 八年级10名学生，中位数是第5，6名学生竞赛成绩的中位数， A、B共（人），八年级10名学生竞赛成绩在C组中的数据是：85，86，86，86， 则第5名学生竞赛成绩为85，第6名学生竞赛成绩为86， ∴； D组人数为（人）， ∴D组百分比为 ∴； 【小问2详解】 解：八年级学生的主题阅读竞赛成绩较好． 理由：八年级学生的主题阅读竞赛成绩的中位数85.5分大于七年级学生的主题阅读竞赛成绩的中位数85分； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计该校七、八年级参加此次主题阅读竞赛成绩不低于90分的学生人数共是170人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ． ， 原式． 21. 列方程解下列问题： 为提高新质生产力，某机器人科技公司计划投入一笔资金对甲，乙两类生产线进行改造升级．经测算，改造1条甲类生产线比改造1条乙类生产线需多投入10万元，改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元． （1）求该科技公司计划改造1条甲类，1条乙类生产线分别需投入多少万元？ （2）实际改造过程中，两类生产线的改造费用较测算均有所增加．改造1条甲类生产线增加的费用是改造1条乙类生产线增加的费用的3倍，180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同，求实际改造1条乙类生产线增加的费用是多少万元？ 【答案】（1）该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元 （2）2万元 【解析】 【分析】（1）设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元，根据“改造2条甲类生产线和3条乙类生产线共需投入120万元”列方程求解即可； （2）设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元，根据“180万元全部用于改造甲类生产线的数量和110万元全部用于改造乙类生产线的数量相同”列分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入万元，则改造1条乙类生产线需投入万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 则改造1条乙类生产线需投入（万元）． 答：该科技公司计划改造1条甲类生产线需投入30万元，改造1条乙类生产线需投入20万元； 【小问2详解】 解：设实际改造1条乙类生产线增加的费用是万元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：实际改造1条乙类生产线增加的费用是2万元． 22. 如图1，在矩形中，，连接，过点A作于点E．设，． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）上述函数的图象如图2所示．若x取任意实数，请直接在图2中补全函数的大致图象； （3）在“x取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；②在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大；③在自变量的取值范围内，当时，函数y取得最大值2；当时，函数y取得最小值．其中正确的是________；（写出所有正确结论的序号） （4）若将题目中“”改成“（k为常数且）”，此时y关于x的函数表达式是________；一般地，当为常数且，x取任意实数时，类比初中阶段函数的研究过程，探究此类函数的相关性质．（直接写出一条性质即可） 【答案】（1）（） （2） 画图如下： （3）①② （4）（）；当时，函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；当时，函数图象是中心对称图形，对称中心是原点（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理，求得，再根据面积法，即可求得答案； （2）设点是函数第一象限上一点，证明点也在该函数的图像上，即得函数的图象是中心对称图形，其第三象限部分与第一象限部分的图形关于原点对称，据此即可画出图形； （3）由（2）的图象可知，①②正确；证明，即可判断③的正误； （4）类似（1）的方法，即可求得y关于x的函数表达式；类似于（2）的推理，即可探究函数的性质． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， （）； 【小问2详解】 解：设点是函数第一象限上一点， 则， 令，则， 点也在该函数的图像上， 点与关于原点对称， 函数的图象是中心对称图形，其第三象限部分与第一象限部分的图形关于原点对称， 【小问3详解】 解：由（2）可知，函数图象是中心对称图形，对称中心是原点，故①正确； 由（2）的图象可知，在自变量的取值范围内，y随x的增大而增大，故②正确； 当时，， ， ， ； 当时，， ， ， ， ③错误； 综上所述，正确的是①②； 【小问4详解】 解：若将题目中“”改成“（k为常数且）”， 由（1）知，， ， （）； 当为常数且，x取任意实数时，当时，函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；当时，函数图象是中心对称图形，对称中心是原点． 【点睛】根据函数关系式探究函数的性质，往往从对称性，增减性，最值，所在象限等角度思考． 23. 科技赋能环保，智慧守护自然，嘉陵江重庆段的某一水域采用智能船进行水质监测．如图，，，，在同一平面内，，是智能船的水质监测基站．位于的正东方向，位于的正北方向20米处，位于的北偏东方向20米处，且位于的北偏西方向上．（参考数据：，） （1）求，之间的距离；（结果保留小数点后一位） （2）甲，乙两船同时分别从，出发沿，方向进行水质监测，甲，乙两船的速度之比是．当两船相距20米时，甲船检测到疑似被污染的水样，准备立即返回基站，求此时甲船距离基站有多远？（结果保留小数点后一位） 【答案】（1）34.6米 （2）11.5米 【解析】 【分析】（1）过点作交的延长线于点，在中，分别求出米，米．可得米，在中，由勾股定理可得米； （2）如图，甲、乙两船分别在，处时，连接，当时，过点作于点．根据米可得，得出可判断是等边三角形，得到米；设，则，，，在中求出，．得出．在中根据勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点作交的延长线于点， 则， 在中，，米， （米），（米）， 米， （米）， 在中，（米）， 答：之间的距离约为34.6米． 【小问2详解】 解：如图，甲、乙两船分别在，处时，连接，当时，过点作于点． ， ， ， ． ， 又， ∴， 是等边三角形， 米， 设，则，，， 在中，，， ． 在中，， ． 解这个方程，得， （不合题意，舍去）． 答：此时甲船距离基站约为11.5米． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点是直线上方该抛物线上的一动点，过点作于点，过点作轴交于点，交轴于点．点、是轴上两动点，点在点上方，且，连接，．当的周长取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）在（2）的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新的抛物线，是新抛物线对称轴上纵坐标为2的点，是新抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点的坐标为，的最小值为 （3）符合条件的点的坐标为或， 由（2）知是等腰直角三角形， ∴， ∴将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于将该抛物线向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， ∴平移后新抛物线的表达式为， ，，， 设直线的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为 ①当点N在下方时， ， 如图2，过点作交新抛物线于点 设直线的表达式为， 代入得： 解得： ∴直线的表达式为 由，得， （不合题意，舍去） 当时，， ； ②当点在上方时， 如图3，当时，交于L， ∵， ∴， 设， 则， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 由，得， （不合题意，舍去）， ∴， 综上，符合条件的点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式可得，进而得出是等腰直角三角形，求出，可知当取最大值时，的周长取最大值，然后利用二次根式的性质求出取最大值时点的坐标即可，然后将点向下平移1个单位长度得到点，利用轴对称求最短路径的方法进行解答即可； （3）首先求出直线的表达式，然后分情况讨论：①当点N在下方时，②当点在上方时，分别求出直线及的解析式，再与新抛物线进行联立求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入中， 得， 解得， 该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 在中，令 解得， 直线过点，， 直线的表达式为，且 轴，， ， 在中，， 的周长为： 设（），则 ， 当时，取得最大值，则的周长取得最大值 此时点的坐标为 如图1，将点向下平移1个单位长度得到点，则点的坐标为，连接 ， 四边形是平行四边形 即 作点关于轴的对称点，连接，则 当，，三点共线时，取最小值为 的最小值为 又， 的最小值为 点的坐标为，的最小值为； 【小问3详解】 略 25. 在中，，，点是上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接． （1）如图1，点在边上，，连接．若，求的长度； （2）如图2，点是的中点，，点在边上，点在射线上，连接，，．若，．求证：； （3）点在直线上，，点在边上，且．是直线上一点，将沿所在直线翻折到所在的平面内，得到．当取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至点K，使得，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴， ∴， ∵，D是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）因为是等腰直角三角形，，所以先利用勾股定理求出的长度．因为绕A逆时针旋转得到，所以，又，可推出，进而证明，得到，从而得出．先求出的长度，再在中用勾股定理求出的长度． （2）因为D是中点，是等腰直角三角形，所以，，．因为，可考虑构造全等三角形，在上截取，证明，得到．结合已知角的关系，推导与的关系，再证明，得到，进而证明． （3）因为，所以，先确定点H的位置．由翻折可知，所以点P在以H为圆心，1为半径的圆上，根据点与圆的位置关系，当H、P、E三点共线时，取最小值．结合，旋转得到，分析相关角度和线段长度，进而求出的面积． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，， 由旋转得：，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，​， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把放在平面直角坐标系中，顶点在原点，所在直角为x轴， 则， ∴， ∵，，点D在直线上运动， ∴点E在直线上运动，直线与直线成角， ∴，设垂足为L， 过点H作于点J，过点D作于点I， 则， ∵， ∴四边形是矩形， 当点D在中点时，，， ∴点E在点L位置， 此时，， ∴， ∵， ∴， 由轴对称知，， ∴点P在以H为圆心，以1为半径的圆上运动， 当点E在点J位置，且点P在上时， ，最小， 此时， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 两边平方得， 化简得， 解得（舍去），， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $