10.2 消元——解二元一次方程组 课件2025－2026学年人教版数学七年级下册

第十单元 二元一次方程组 10.2 解二元一次方程组 旧知回顾 1. 什么叫二元一次方程组？二元指的是什么？一次又指的是什么？ 2. 什么叫二元一次方程组的解？它与二元一次方程的解有什么区别？ 5. 看一个例子： 已知 是关于x、y的二元一次方程3x-ky=1 的解，则k= . 3. 什么叫解方程？如何解一元一次方程？有哪几个步骤？ 将 代入二元一次方程3x-ky=1⇒9-4k=1⇒k=2 这是二元一次方程 这是一元一次方程 4. 将方程2x+3y=4改写成用含有x的代数式表示y、用含有y的代数式表示x的形式. 新课引入 类似于一元一次方程，由一元一次方程得到它的解的过程叫作解一元一次方程，由二元一次方程组得到它的解的过程叫作解二元一次方程组. 尝试解这个二元一次方程组： 对于方程①，给出未知数x的若干个数值，计算出y的值，得到若干组解： x -3 0 1 2 3 ... y ... 对于方程②，给出未知数x的若干个数值，计算出y的值，得到若干组解： x 1 2 3 4 5 ... y ... 观察可知： 既满足方程①也满足方程②，所以方程组的解是 . 14/3 8/3 2 4/3 2/3 2 9/4 5/2 11/4 3 小试牛刀 已知关于x、y的二元一次方程组 ，填写下面的表格，并找出该方程组的解. 对于方程①，给出未知数x的若干个数值，计算出y的值，得到若干组解： x -3 0 1 2 3 ... y ... -16/3 -1/3 4/3 3 14/3 对于方程②，给出未知数x的若干个数值，计算出y的值，得到若干组解： x 1 2 3 4 5 ... y ... 6 3 0 -3 -6 观察可知： 既满足方程①也满足方程②，所以方程组的解是 . 那么如何解二元一次方程组呢？看前面的例子，3x-ky=1是关于x、y的二元一次方程(无法直接求解)，通过代入以后，得到关于k的一元一次方程9-4k=1，再求解这个一元一次方程即可. 方程组求解探究 由于事先无法预知方程组的解，刚才的方法有很大的局限性. 由方程②⇒x=4y-7 ③ 将③代入①得：2(4y-7)+3y=8 解这个方程得 y=2 将y=2代入③ 得x=1 ∴原方程组的解为 改写成用含有x的代数式表示y可不可以？求解过程哪个简单？ 这里能不能代入②? 将y=2代入①或者②可不可以？ 方程组求解探究 再次分析一下刚才方程组的求解方法 由方程②⇒y=9-3x ③ 将③代入①得：5x-3(9-3x)=1 解这个方程得 x=2 将x=2代入③ 得y=3 ∴原方程组的解为 第一步：改写成代入消元的形式 原来的二元方程被改成了一元方程， 这个过程叫作消元. 这里消元采用的方法叫作代入法. 第二步：代入另一个方程(达到消元的目的)，并求解其中一个未知数的值. 第三步：求解另一个未知数的值，从而得到方程组的解. 第一步的改写有什么讲究？ 小试牛刀 对于(2)：将①代入②⇒-6+2b=10⇒b=8... 对于(3)：由①知2a=7+3b ③ 将③代入②⇒7+3b+5b=15⇒b=1... 对于(4)：由②知3x=22-2y ③ 将③代入①⇒2(22-2y)-5y=-1⇒y=5... 三种形式的二元一次方程组适合于用代入消元法求解： 方程组用含一元一次方程、未知数的系数为 ，相同未知数的系数相等或成倍数关系. 运用代入消元法求解下列方程组. (1) (2) (3) (4) 小试牛刀 1. 已知x、y满足条件 ，求(a-5b-5)2027的值. 2. 由方程组 ，可得x与y的关系是 . 3. 若关于x、y的二元一次方程组 的解互为相反数，求k的值. 4. 某班级开展学科竞赛活动需要购买篮球和排球作为奖品. 第一次购买3个篮球和1个排球花费380元，第二次购买2个篮球和3个排球花费440元. 求篮球和排球的单价分别是多少元. 5. 为举办"我和我的祖国"文艺汇演，学校为七年级(1)班表演诗朗诵的5名男生和3名女生租用演出服的总费用是190元；为七年级(2)班表演小合唱的11名男生和12名女生租用演出服的总费用是580元. 如果每套男、女生演出服的租用费分别相同，每套男顿号女生演出服的租用费各是多少钱？ 方程组求解再探究 二元一次方程组求解的核心思想是消元，通过消元，将二元方程化成一元方程，体现了划归的思想方法. 前面介绍了代入法可以消元，下面再介绍另外一种消元的方法——加减法. 解方程组： ①+②得 5x=25 ③ ⇒x=5 将x=5代入① ⇒10+5y=20⇒y=2 ∴原方程组的解为 通过加减，消去未知数y，得到关于x得一元一次方程 第一步：通过加减消元 第二步：求解所得的一元一次方程 第三步：求解另一个未知数的值，进而得到方程组的解. 将x=5代入②可以吗？ 方程组求解再探究 解方程组： ①-②得 4a=8 ③ ⇒a=2 将a=2代入① ⇒14+2b=20⇒b=3 ∴原方程组的解为 通过相减消去未知数b，得到关于a的一元一次方程 也可以将a=2代入方程② 通过相加或者相减消去未知数的方法，叫作加减消元法 小试牛刀 对于(1) ①-② 得 3n=9 ⇒ n=3... 对于(2) ①+② 得 7x=28 ⇒ x=4... 对于(3) 代入消元可以. 也可以： ①-②×2 得-9y=-45 ⇒ y=5... 两种情形的二元一次方程组，适合于用加减消元法求解. 相同未知数的系数相等或者互为相反数，或者相同未知数的系数成倍数关系. 解方程组：(1) (2) (3) 小试牛刀 4. 解方程组(1) (2) 1. 已知关于x、y的方程组 ，则y= . 2. 已知a、b满足方程组 ，则3a+b的值为 . 3. 解方程组 ，既可以 消去y，也可以 消去x. 方程组求解又探究 还有其它类型的二元一次方程组，求解时，需要先将某个未知数的系数改成相等或者互为相反数从而进一步消元求解. 解方程组(1) (2) 对于(1) ①×3+②×5⇒9x+10x=18+115⇒x=9 将x=9代入①... 或者 ①×2-②×3⇒-10y-9y=12-69⇒y=3 将y=3代入①... 对于(2) ①×2-②×5⇒4n-35n=18-80⇒n=2 将n=2代入①... 或者 ①×7-②×2⇒35m-4m=63-32⇒m=1 ... 小试牛刀 1. 解方程组 2. 一种商品分别装在大、小两种包装盒内，三大盒、四小盒共装108瓶；五大盒、七小盒共装184瓶. 大、小包装盒每盒各装多少瓶？ 3. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题： 今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两. 问牛、羊各直金几何？ 意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只羊，共值金8两. 那么每头牛、每只羊分别值金多少两？你能解答这个问题吗？ 最后谈方程组求解 二元一次方程组的求解核心思想是消元，消元的具体方法有代入法和加减法. 前面提到的是各种类型的二元一次方程组求解的合适方法，但并不绝对. 一个二元一次方程组的求解，在不考虑方法是否简洁的情况下，既可以用代入消元法，也可以用加减消元法. 分别用代入消元法和加减消元法解下列二元一次方程. (1) (2) (3) 小试牛刀 1. 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件.某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元. 如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？ 2. 2台大型收割机和5台小型收割机同时工作2h共收割小麦3.6hm2，3台大型收割机和2台小型收割机同时工作5h共收割小麦8hm2. 1台大型收割机和1台小型收割机每小时各收割小麦多少公顷？ $