3.1 函数的概念和表示法 -课件2025-2026学年湘教版八年级数学下册

3.1.1 变量与函数 第三章 一次函数 湘教版2024把八年级下册 学习目标： 1.了解变量与常量的意义. 2.了解函数的相关概念,会判断两个变量是否具有函数关系. 3.能根据简单的实际问题写出函数解析式,并根据函数解析式求函数值. 学习重点： 概括并理解函数概念中的单值对应关系 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 情境导入 万物皆变 行星在宇宙中的位置随时间的变化而变化. 气温随海拔的变化而变化. 汽车匀速行驶，行驶路程随行驶时间的变化而变化. 世界处在不停地运动变化中，如何研究这些运动变化规律呢?数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化。 新知探究 思 考 看图回答： (1)这天的0时、4时和14时的气温分别为多少？ (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 问题1：下图是某气象站用自动温度记录仪描出的某一天的气温曲线，探究下面几个问题。 温度T随着时间t的变化而变化． 15℃,10℃,20℃. 20℃,10℃ 4-14时的气温在逐渐升高, 0-4时和14-24时的气温在逐渐降低 研究者研究声音在空气中传播的速度（简称声速）与气温之间的关系时，通过实验得到了几组气温x与声速y对应的数值： 观察思考： ①气温每升高5℃，声速加快______m/s. ②声音在空气中传播的________随着________的变化而变化. 速度y 气温x 3 x/℃ -10 -5 0 5 10 15 20 y/(m/s) 325.36 328.36 331.36 334.36 337.36 340.36 343.36 问题2： 某型无人机以120km/h的速度做匀速飞行，则其飞行的路程y(km)与飞行时间 x(h)之间的关系式为y=120x.该型无人机飞行的路程随飞行时间的变化而变化吗？ 观察思考： ①______________随___________的变化而变化. ②当无人机的飞行时间x取定一个值时，其飞行路程y有______（唯一或不唯一）的值与它对应. 飞行路程y 飞行时间x 唯一 问题3： 新知探究 上述三个问题中，哪些量是变化的？哪些量是不变的？ 问题（1）中时间t、气温T，问题（2）中气温x、声速y，问题（3）中飞行时间 x、飞行的路程 y等都是会发生变化的量 . 问题（3）中无人机匀速飞行的速度是固定不变的量. 新知探究 总结归纳 在某一变化过程中，取值会发生变化的量称为变量，取值固定不变的量称为常量（或常数）. 变量与常量 注意： 1.判断一个量是不是变量关键是看在变化过程中，这个量是否可以取不同的数值； 2. π是一个无理数，属于常量. 例题讲解 议一议 如图，△ABC 底边 BC (设 BC = а) 上的高是 h. 当三角形的顶点 C 沿底边所在直线向点 B 运动时，三角形的面积 S 会发生变化吗？ 若发生变化，则在变化过程中，哪些是常量？哪些是变量？ B C A C C C 高 h 是常量 底边长 a 和面积 S 都是变量 面积s随底边长a的变化而变化. 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 请指出下列问题中的常量与变量. 1.汽油的价格是7.4 元/升,加油x L,车主加油付油费y 元. 2.小明看一本200 页的小说,看完这本小说需要t 天,平均每天所看的页数为n. 3.用长为40 cm的绳子围矩形,围成的矩形一边长为x cm,其面积为S cm2. 常量：7.4 ； 变量：x，y y=7.4x 常量：200 ； 变量：t，n n= 常量：40 ； 变量：x，S S=x(20-x) 用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系,是描述函数的常用方法.这种式子叫做函数的解析式. 由上可知，可用图象、列表、关系式来表示变量之间的关系. 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 问题3:请尝试给函数下一个定义. 数学的概念应该怎么获得？ “可以从大量同类事物的不同例证中找到它们的共同的关键特征。” ——选摘自《数学概念的获得》一文 新知探究 小组讨论: 问题1：上述每个问题中，有几个变量？ 问题2：上述每个问题中，这些变量是怎样变化的？ 问题3：当一个变量取一个确定的值时，对应的另一个变量的取值是否唯一确定？ 都有两个变量. 在两个变量中，一个变量随着另一个变量变化而变化. 是唯一确定. 函数 函数的概念： 一般地，如果变量 y 随着变量x 而变化，对于 x 取的每一个值，y 都有唯一的一个值与它对应，那么称 y 是 x 的函数（function），记作：y=f (x). 自变量 因变量 新知哦... 因变量是自变量的函数 函数不是数，是一种对应关系 函数的概念 生成概念... 结论： 在一个变化过程中， ①自身发生变化的量叫作自变量； ②因自变量变化而变化的量叫作因变量. 原因 结果 例题讲解 例1 下列函数中，y是x的函数吗？ 是 不是 是 是 不是 新知探究 说一说 下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数. （1） y：正方形的周长；x：这个正方形的边长. （2） y：矩形的面积；x：这个矩形的宽. （3） y：一个正数的平方根；x：这个正数. （4） y：一个正数的算术平方根；x：这个正数. y是x的函数 y是x的函数 y不是x的函数 y不是x的函数 判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应. 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 知识拓展:函数发展史 (几何量→解析表达式所给出的→对应关系) 例2 汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子. 例题讲解 函数的解析式与自变量范围 (2)自变量x取-10时函数有意义吗？ 指出使函数有意义的自变量x的取值范围. (3)汽车行驶200 km时,油箱中还有多少油? 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 4.汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子. 解:(1)函数关系式为: y=50-0.1x 叫做函数的解析式 0.1x表示的意义是什么？ 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 4.汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子. 解:(1)函数关系式为: y=50-0.1x (2)指出自变量x的取值范围. (2) 由x≥0及50-0.1x≥0 得　 0≤x≤500 ∴自变量的取值范围是0≤x≤500. 汽车行驶里程,油箱中的油量均不能为负数! <归纳> 确定自变量的取值范围时,不仅要考虑使函数解析式有意义, 而且还要注意各变量所代表的实际意义. 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 5.汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油,那么油箱中的油量y(单位:L)随行驶里程x(单位:km)的增加而减少,平均耗油量为0.1L/km. (1)写出表示y与x的函数关系的式子. 解:(1)函数关系式为: y=50-0.1x (2)指出自变量x的取值范围. (2) 自变量的取值范围是0≤x≤500. (3)汽车行驶200 km时,油箱中还有多少油? (3)当x=200时,函数y的值为y=50-0.1×200=30 因此,当汽车行驶200 km时,油箱中还有油30L. 跟踪训练 在考虑两个变量间的函数关系时，还应注意自变量的取值范围. 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 C 1.下列说法中，不正确的是（ ） A.函数不是数，而是一种对应关系 B.正方形的面积是边长的函数 C.一天中时间是温度的函数 D.一天中温度是时间的函数 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 3.下列各表达式不是表示y是x的函数的是( ) C 2.下列曲线中，能表示y是x的函数的是( ) A 能力提升题 新知应用  归纳：判断一个变量是否是另一个变量的函数，关键是看当一个变量确定时，另一个变量是否有唯一确定的值与它对应. 一个 x 值有两个 y 值与它相对应 新知探究 说一说 下列各组给出了两个变量x和y，判断y是不是x的函数. （1） y：正方形的周长；x：这个正方形的边长. （2） y：矩形的面积；x：这个矩形的宽. （3） y：一个正数的平方根；x：这个正数. （4） y：一个正数的算术平方根；x：这个正数. y是x的函数 y是x的函数 y不是x的函数 y不是x的函数 判断两个变量是否有函数关系，要同时满足两个条件： （1）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化； （2）自变量x每取一个确定的值，函数y都有唯一的值与之对应. 5.求下列函数中自变量x的取值范围： （1） y＝3x－1 （2） y＝2x2＋7 （3） y= （4） y= (1)因为x取任意实数， 都有意义，所以x的取值范围是任意实数． (2)因为x取任意实数， 　　 都有意义，所以x的取值范围是任意实数． (3)因为x+2不等于0时， 才有意义，所以 x的取值范围是: (4)因为x≥2时， 才有意义，所以x的取值范围是x≥2 ． 新知应用 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 函数 实际 问题 抽象 研究 对象 常量 变量 相 对 性 研究 变量间的关系 图像 表格 关系式 归纳 你能从数学知识，数学方法，数学思想三个方面谈谈自己本节课的收获吗？ 课堂小结 情境创设 新知探究 牛刀小试 课堂小结 课后作业 思考： 通过本节学习可知，函数的表示方法不只有解析式法，还有图像法和图表法。那我们是否可以根据函数解析式画出该函数的图像呢？ 艾宾浩斯记忆曲线 生活处处有数学，科学记忆不用愁！ Lavf60.16.100 $