陕西2026年中考数学24大题 圆 专题训练

中考圆专题训练 1.如图，过OO外一点A作⊙O的切线，切点为点B,BC为OO的直径，点D为O0上一点，且BD=BA,连接 CD、AD,线段AD交直径BC于点E,交OO于点F,连接BF. C D A B (I)求证：BF=EF; ②若EF=3,0E=5,求00的半径. EB 2 2.如图，AB是OO的直径，点C在OO上，连接AC,BC,过点A作⊙O的切线AM,点D在AM上，连接CD 交OO于点E,连接AB,BE,若∠ADC=∠ABC. M D (I)求证：AC=DC: ②若48=10，m∠4cE=子求CE的长。 3.如图，PA与OO相切于点A,AC为OO的直径，点B在⊙O上，连接PB,PC,且PA=PB. B (I)连接OB,求证：OB⊥PB; (2)若∠APB=60°，PA=25,求图中阴影部分的面积. 4.如图，Rt△ABC中，LACB=90°，CD⊥AB于点D,以CD为直径的O0交BC于点E,交AC于点F,M为线 段DB上一点，ME=MD. C E DMB Q①)求证：ME是00的切线，②若CF3,sinB={,求oM的长 5.如图，ABC内接于OO,AB为O0的直径，过点O作AC的平行线交O0于点D,交BC于点E,点F在BA的 延长线上，连接DF,且∠F=∠B. D (1)求证：DF是O0的切线； (②)若BE=2,sin∠BAC=4, 求AF的长 6.如图，在ABC中，AB=BC,以BC为直径的⊙O与边AC交于点D,过点D作OO的切线，与边AB交于点 E,连接OE. (I)求证：DE⊥AB. 《②)若cosB4,AB=10,求OE的长 7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M,连接AD、BC,过点C作AD的垂线交DA的延长线于点E,延 长CE交BA的延长线于点F. C F M 0 (1)求证：BC=CF; ②若CD=12,AF-子求BN的长 8.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的OO交AC于点D,作OE∥AC交BC于点E,连接DE. D (1)求证：DE是⊙0的切线；(2)若DE=5,DC=6,求AD的长. 9.如图，在ABC中，AB=BC,⊙O与AB相切于点A(点O和C在直线AB同侧)，AC交OO于点D,延长 BD交OO于点E,连接AE和CE,CE交OO于点F,连接AF, A (I)证明：∠AED=∠BCD; (2)①证明：EB平分∠AEF; ②连接DF,若DF-1,DC=,-号求AB的长。 10.如图，己知⊙0是ABC的外接圆，BC为OO的直径，E为BC边上一点，GE⊥BC,交BA的延长线于点G, 交AC于点F,过点A作OO的切线交GE于点D. A G (1)求证：LC=LDAG; ②若an☑DAG，00的半径为13,4G=3,求GE的长 11.如图，OO是四边形ABDC的外接圆，AD是OO的直径，F是AD延长线上一点，连接BC,CF,且 ∠DCF=∠CBD. F (1)求证：CF是⊙0的切线； (2)若AD=10,CD=6,求FC的长. 12.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E,点E是CD的中点，连接OC,过点B作⊙O的切线BF,连接 EF,OC∥FE. A C D E B (I)求证：CD‖BF;(2)若⊙0的半径为6，OE=5,求EF的长. 13.如图，AB为OO的直径，点C在⊙O上，过点C作OO的切线，交AB的延长线于点D,过点B作CD的垂线， 垂足为E,延长EB,交OO于点F, E D (1)求证：AF=2BC: (2)若0A=6,BF=5,求线段DE的长. 14.如图，ABC内接于O0,⊙O的直径AD交BC于点E,过点D作OO的切线DF交AB延长线于点F,且 DF∥BC,连接BD B (1)求证：∠ABC=∠C; (2)已知AC=6,AF=9,求BC的长 15.如图，已知oO是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作oO的切线交OC的延长线于点D,交BC的延 长线于点E (I)求证：∠DAC=∠DCE; 1 2若AB2,sin∠D3求AE的长. D E B 16.如图，在口ABCD中，以AB为直径作⊙O,CD恰好为OO的切线.点M为AB上方⊙O上的点，连接BM、 CM. M D ①求证：∠ABC=45;②若BM=8,sim乙BCM,求BC的长 17.如图，在ABC中，AC=BC,以边BC为直径作OO交AB于点D,DE为OO的切线交AC于点E. D d (1)求证：AC⊥DE; (2)若o0的半径为5cm,AD=8cm,求CE的长， 18.如图，AB和CD为OO的两条直径，点P为AB延长线上一点，连接BE交OC于点F,若弦CE∥AB, ∠P+2LABE=90°. B O (1)求证：PC是O0的切线； (2)若30F=2CF,O0半径为10，求BP的长. 19.如图，⊙0是ABC的外接圆，∠BAC=45°，过点O作DF⊥AB,垂足为E,交AC于点D,交⊙0于点F. 过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G, D G (I)求证：FD=FG; (2)若AB=12,FG=10,求00的半径. 20.如图，OO是ABC的外接圆，AB是OO的直径，过BC上一点D作DE⊥AB于点E,过点C作OO的切线交 ED的延长线于点F. 0 B E (I)求证：∠DCF=∠CDF; ②若D为BC的中点，O0的直径为10，sn∠CDF-号，求CE的长。 21.如图，经过ABC顶点A的OO与边BC相切于点C，点O在边AB上，并与边AB交于点D,连接CD并延长 到点E,连接AE,使得AE∥CB. (1)求证：∠CAB=∠E. (2)若AD=BD=4,求AC的长 参考答案 1.(1)证明见解析； (2)9 【分析】(1)证明∠CDE=∠AEB,进而可得∠AEB=∠CBF,即可求证； (2)连接CF,先证明4F=BF=EF,由EE-3, =。,设BF=EF=AF=3x,BE=2x,则AE=6x,得 EB 2 1 A、公E=1,进而可得sin∠BC℉=smA=3·据此即可求解 本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角函数，余角性质，等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线是解题的 关键。 【详解】(1)证明：AB为⊙0的切线， .∠0BA=90°， .LA+∠AEB=90°， :BC为OO的直径， .∠CDB=90°， .LCDE+∠BDE=90°， BD=BA, .∠BDA=∠A, LCDE=∠AEB, 又：∠CDE=∠CBF, :ZAEB=ZCBF :EF=BF (2)解：连接CF, C D E B :∠0BA=90°， .LAEB+∠A=90°，∠EBF+∠FBA=90°， :∠AEB=∠CBF, ∴.∠FBA=∠A, .AF =BF, :AF =BF EF, EF 3 EB2' 设BF=EF=AF=3x,BE=2x,则AE=6x, sin 4=BE=2x=1 AE 6x 3' :∠BDA=∠A,∠BDA=∠BCF, ∴.∠BCF=∠A, 1 .sin∠BCF=sinA= 3 :BC为O0的直径， .∠CFB=90°， BF 1 ·BC3' :0E=5, .0B=2x+5, .BC=20B=4x+10, 3x1 4x+103' 解得x=2, .0B=2×2+5=9, 即00的半径为9. 2.(1)见解析 (2)cE=910 5 【分析】(1)利用切线的性质和圆周角定理结合等角的余角相等求得LDAC=∠ABC,可得到LDAC=∠ADC,即 可证得AC=DC; (②)先求行40=4E=6,作D1上E于点，求将Dm号，H-兰、的-？利用匀股定型求9 DE=6V 0,证明△ADE∽△CDA,据此计算即可求解. 5 【详解】(1)证明：：AD是⊙0的切线， .∠DAC+∠CAB=∠DAB=90°， AB是OO的直径， .∠ACB=90°， .LDAC+∠ABC=90°， :ZDAC ZABC, ∠ADC=∠ABC, .∠DAC=∠ADC, .AC=DC (2)解：：AE=AE, LACE=∠ABE, tan∠ACE=f. tan ZABE=AE3 BE 4' .设AE=3x,BE=4x, :AB=10, .(3x)2+(4x)2=102, 解得x=2, .AE=6,BE=8, :四边形ABCE是圆内接四边形， .∠ABC=180°-∠AEC, ∠AED=180°-∠AEC, ∠ADC=∠ABC, ∴.∠AED=∠ADE, :AD =AE=6, 作DH⊥AE于点H, M D ·tan∠ACE=DH_3 同，0H-,Ah=4 ·EH=AE-AH=6 :DE =DH2+EH2 9- 5 :∠DAE=90°-∠EAB=∠ABE=∠ACD, :∠ADE=∠CDA, .△ADE∽△CDA, AD_DE CDAD CD=AD: 62 DE 610 =3V10 CE=CD-DE=310-6v10_910 55 3.(1)见解析： a晋 【分析】(1)利用切线性质得OA⊥PA,再通过SSS证明△AOP≌△BOP,从而推出OB⊥PB; (2)先结合已知角度推出相关角的度数，确定△B0C为等边三角形，求出圆的半径，再根据平行线间面积关系， 将阴影部分面积转化为扇形OCB的面积进行计算. 【详解】(1)证明：如图，连接OP, B :PA与⊙0相切， .0A⊥PA, .∠0AP=90°， 在△AOP和△BOP中 OA=OB PA=PB OP=OP △AOP≌△BOP(SSS .∠0BP=∠0AP=90°， .OB⊥PB; (2)解：如图，连接BC, ∠OBP=∠OAP=90°，∠APB=60°， .∠A0B=120°， .∠C0B=60 0B=0C, .△BOC为等边三角形， ∠0CB=60°， 由(1)可知：∠A0P=∠B0P=60°， ∠A0P=∠OCB,OA= PA 23 tan∠AOP5 =2, OP∥BC, SAPCB =SAOCB, 60元×222π S阴影部分=S扇形OCB= 3603 【点睛】本题主要考查圆的切线性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及扇形面积计算，熟 练掌握圆的切线垂直于过切点的半径、全等三角形判定定理、等边三角形判定与性质及扇形面积公式是解题的关键. 4.(1)详见解析 号 【分析】本题主要考查了切线的证明、直径所对的圆周角等于90度、全等三角形的判定与性质、解直角三角形等 知识点.熟练掌握以上知识点是解题的关键. (1)如图：连接OE,利用SSS证明△ODM≌△OEM得到∠OEM=L0DM=90°即可证明ME是⊙0的切线； (2)如图：连接DF,先说明∠B=∠4CD,即sin∠ACD=sinB=年.再根据圆周角定理可得sinLACD=DF, CD:设 DF=4x,CD=5x,由勾股定理可得CD2=DF2+CF2,即(5x=(4x)+32.解答x=1,进而得到CD=5、 5 签军角形的性质可得1=∠2，进而得到4=3；则sin∠OMD=simB=,然后求得 【详解】(1)证明：如图：连接OE, C A DM B 在△ODM与△0EM中， OD=OE OM=OM, DM=EM aODM≌aOEM(SSS). .L0EM=∠0DM=90°， .ME为O0的切线. (2)解：如图：连接DF. ∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°. ·∠B=∠ACD.sinLACD=sinB= 5 :CD为直径， DF .∠CFD=90°，sin∠ACD= CD DF=4x,CD=5x,CD2=DF2+CF2, .(5x)2=(4x)2+32. r=1,CD=5,OD= 2 △ODM≌△OEM, ∠1=∠2. :∠1+∠2=∠3+∠4， 0C=0D, ∠3=∠4， ∴.∠1=∠3， .OM∥BC. sin∠OMD=sinB=4 .OM= 0D25 sin∠OMD-8: 5.(1)见解析 ⑧r- 【分析】本题考查了平行线的性质，切线的判定，三角函数，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键， (1)由题意可得∠C=90°，根据平行线的性质可得∠E0B+∠B=90°，根据∠F=∠B可证0D⊥DF,即可证明 DF是⊙O的切线； 5 (2)根据三角函数求出48=5，根据匀股定理求出4C=3,根据写2 3 2*你 计算即可 【详解】(1)证明：：△ABC内接于OO,AB为O0的直径， ∠C=90°， :DE‖AC, .∠DEB=90°，即∠EOB+∠B=90°， :∠F=∠B,∠FOD=∠EOB, .∠F+∠F0D=90°， .∠ODF=90°，即0D⊥DF, :0D是00的半径， DF是OO的切线； (2)解：：DE∥AC,O是AB的中点，BE=2, ,BE-B0=1 CEAO E是BC的中点， .BC=2BE=4, ·sin∠BAC=BC AB 44 AB 5' .AB=5, 0A=0D= , 在RIAABC中，AC=VAB2-BC2=V52-42=3, .'.sinB=4C 3 AB5' :ZB ZF, 5 ·sinF=OD 2 3 OF 5 +AF 6.(1)见解析 (2)v34 【分析】(1)先利用等腰三角形的性质得到∠A=∠ODC,则OD∥AB,再利用切线的性质得到DE⊥OD,进而可 得结论： (2)过O作OH⊥AB于H,利用余弦定义和勾股定理求得BH=4,OH=3,再利用平行线的性质得到 DE=OH=3,在Rt△ODE中利用勾股定理求解即可. 【详解】(1)解：连接OD, ..AB=BC,OD=OC, .∠A=∠C,∠C=∠0DC, .LA=∠0DC, OD∥AB, :过点D作OO的切线，与边AB交于点E, .DE LOD .DE⊥AB; D AE H B (2)解：过O作0H⊥AB于H, .AB=BC=20B,AB=10, 1 0B=24B=5, ERA0BH中，cosB=, :BM=08omsB=54,则0H=0g-8m:-G:3r :OD∥AB,DE⊥AB,OH⊥AB, .DE =OH=3, 在Rt△0DE中，OD=0B=5, 0E=V0D2+DE2=V52+32=√34. 7.(1)见解析 (2)8 【分析】(I)由题意可得LBCD=LBAD,∠BAD=∠FAE,推出LBCD=LFAE,再根据垂线的定义可得 ∠FEA=90°，∠FMC=∠BMC=90°，利用直角三角形的性质可得LF+LFAE=LB+LBCD=90°，得到∠F=∠B, 即可证明结论； 7 (2)连接0C,设O0的半径为r,则0B=0C=r,AB=2r,求出BF=2r+2,再根据(1)中BC=CF,结合 .7 CDL AB,可得BM-TBF-中4进而求出D4，由垂径定理得到CM=6,利用勾股定理建立方程求解即 可 【详解】(1)证明：“BD=BD, .∠BCD=∠BAD, :∠BAD=∠FAE, :ZBCD=ZFAE, :DE⊥CF,CD⊥AB, .∠FEA=90°，∠FMC=∠BMC=90°， .∠F+∠FAE=∠B+∠BCD=90°， .∠F=∠B, .BC=CF; (2)解：连接0C, E D 设⊙O的半径为r,则0B=0C=r,AB=2r, 7 :BF=2r+2' 由(1)知BC=CF, .△BCF是等腰三角形， :CD⊥AB, :.BM-8F 7 :.MO-BM-OB- 7 :CD⊥AB,CD=I2,AB是⊙O的直径， .CM=6, 在Rta0CM中，OC2=CM2+OM2, .r2=62+ 4 .r= （负值舍去)， 4 :BM=r+7=8. 4 8.(1)见解析 g0号 【分析】(1)连接OD,利用等边对等角和平行线的性质得出LBOE=∠EOD,证明△BOE≌△DOE,得出 ∠0DE=∠ABC=90°，即可证明； (2)连接BD,证明LADB=90°，利用全等得出BE=DE=5,平行线分线段成比例求出CE=BE=5,通过证明 △ABC∽△BDC,列式求出AC,即可求解. 【详解】(1)证明：连接0D, 0----D A0=D0, 2 E C ∠A=∠ADO, :OE∥AC, :∠A=∠BOE,LAD0=∠EOD, .∠BOE=∠EOD, 又：0B=0D,0E=0E, △BOE≌△D0ESAS, LODE=∠ABC=90°， :0D是⊙0的半径， .DE是⊙O的切线； (2)解：连接BD, A :AB为⊙O的直径， D B E ∠ADB=90 △BOE≌△DOE, .BE DE=5 :OE∥AC,B0=AO, 0器1 :CE=BE=5, BC=10, :LABC=∠BDC=90°，∠C=∠C, △ABC∽△BDC, BC CD AC BC AC= C210050 CD6=3' :AD=AC-CD=50-6= 32 3 3 9.(1)见解析 (2)①见解析，②22+2 3 【分析】(1)连接A0并延长交⊙0于点G,连接GD,由切线的性质、同弧所对的圆周角相等及等腰三角形的性质 即可证明； (2)①由(1)的结论知，A,B,C,E四点共圆，由圆周角定理即可证明； ②过点D作DG1EC于点G,作DH⊥EA交射线EA于点，由面积关系得CE=CD AE AD 易证CFDCAE,得Cg=2,从而得CP-=2,由此求得AD=1,4AC=2+1:再证明aADP0a4BC,由相 AE AD 似三角形的性质即可求解。 【详解】(1)证明：连接A0并延长交⊙0于点G,连接GD,如图， 则LADG=90°， 即∠G+∠GAD=90°， :Q0与AB相切于点A, .∠GAB=90°， 即∠GAD+∠BAD=90°， .∠G=∠BAD, AD=AD, :ZG ZAED ∴.∠BAD=∠AED, AB=BC, .∠BAD=LBCD, ∴.∠AED=∠BCD: G B (2)①证明：由(1)的结论知，∠AED=∠BCD, A,B,C,E四点共圆， .LBEC=∠BAD, .:∠BAD=∠AED, .∠BEC=∠AED, EB平分∠AEF; ②解：如图，过点D作DG⊥EC于点G,作DH⊥EA交射线EA于点H, 由①知EB平分∠AEF, :DG=DH,AD=DF=1, S.ADE=AD S.CDE CD' SADE= CE·DH AE S.CDE 1 AE·DG CE CE CD AE AD' :四边形AEFD为圆内接四边形， .∠CFD=180°-∠EFD=∠EAD, :LFCD=∠ACE, .△CFDn△CAE, CE_CD=2, AE FD :cD-2, AD .AD= D=1, √2 AC=CD+AD=√2+1； :∠BAC=∠AED=∠FAD,AD=DF,AB=BC, .∠DFA=∠FAD,∠ACB=∠BAC, .△ADFAABC, D AF AB AC' 即4B=D4C_1x5+25+2 AF 3 3· 2 G A B 10.(1)见解析 (2)GE=21v13 13 【分析】(1)由直径得到∠BAC=90°，推出∠C+∠B=90°，然后结合0B=0A,得到LC+∠0AB=90°，然后由 切线的性质得到∠OAD=90°，等量代换证明即可； (2)推出B-2 ,设AB=2x,AC=3x,利用勾股定理求出AB=2x=4,AC=3x=6,证明出△BAC∽△BEG, AC 3 得到4C、BC G正8G,然后代数求解即可 【详解】(1)解：：BC为⊙0的直径， .LBAC=90°， .LC+∠B=90°， :0B=0A, .LB=∠OAB, .LC+∠0AB=90°， AD与⊙0相切， .∠0AD=90°， .LDAG+∠0AB=90°， :ZC ZDAG (2)解：：∠C=∠DAG, 2 .tan∠C=tan∠DAG= 3 AB 2 03 设AB=2x,AC=3x, ⊙0的半径为√13， BC=213, :∠BAC=90°， .AB2+AC2=BC2, (2x2+3x)2=(23, .x=2, .AB=2x=4,AC=3x=6, .BG=BA+AG=4+3=7, DE⊥BC, .LBEG=90°=∠BAC, :∠B=∠B, .△BAC∽△BEG %即会正 GE 7 ·GE=21v3 13 11.(1)见解析 a 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线是解题的关键. (1)连接0C,根据切线的判定定理，只需要证∠0CA=90°即可； 2证AFCCFD,根瑶相被三角形为应边成比，例仁三5令A=4,CF=认，通过 AF(AF-10)=CF2列方程求解即可. 【详解】(1)证明：连接0C, :0A=0C, :∠DAC=∠OCA, :∠DCF=∠CBD,∠DBC=∠DAC, LDAC=∠DCF=∠OCA, :AD是⊙0的直径， .LDC0+∠0CA=∠DCA=90°， LDCF+∠DC0=90°，即L0CF=90°， OC⊥CF, CF是⊙O的切线： B (2)解：：AD是⊙0的直径， LACD=90°， .AC=VAD2-CD2=V10-62=8, 由(1)知∠DAC=∠DCF, ZAFC=ZCFD, △AFC∽aCFD, :AF=CFAC CFFD CD' AF FC 8 4 CF=AF-106-3' 设AF=4k,CF=3k,AF(AF-10)=CF2,即：4k(4k-10)=(3k), 解得，k=40(k=0不符合题意，舍去)， FC=120 FC的长为120， 7 12.(1)见解析 EF 【分析】(I)根据垂径定理的推论得到AB⊥CD,根据切线的性质得到AB⊥BF,可知CD‖BF; (2)根据平行线的性质得到∠C=∠DEF,∠DEF=∠F,可知∠C=∠F,证明OECEBF,得到OE-OC EB EF 即可求出EF的长， 【详解】(1)证明：“点E是CD的中点，AB是⊙O的直径， .OE⊥CD, 即AB⊥CD, :BF是⊙O的切线， AB⊥BF, ..CDI BF (2)解：：OC∥FE, :LC=∠DEF, :CD∥BF, ∴.∠DEF=∠F, ∠C=∠F, :AB⊥BF,AB⊥CD, :∠0EC=∠EBF=90°， ∴△OEC∽aEBF .OE_Oc EB EF 即56 5+6EF EF=66 5 13.(1)见解析 (2)7v19 10 【分析】(1)连接OC、OF,根据切线的性质得出OC⊥CD,确定∠COD=∠EBD，,再由圆周角定理及等量代换 确定∠A0F=2∠B0C,即可证明； （2)过点0作0G1EF,根据等腰三角形的性质得出GF=BG=BF=25,确定OG=OB-GF-,再 2 由相似三角形的判定和性质即可求解. 【详解】(1)证明：连接0C、OF,如图所示： 根据题意得DC为O0的切线， .OC L CD, :EF⊥CD, .OC∥FE, .∠COD=∠EBD, :∠AOF=2∠OBF,∠DBE=∠OBF, .∠A0F=2∠B0C, :AF=2BC; (2)过点O作OG⊥EF,如图所示： 0B=OF, :GF=BG=1BF=2.5, 2 ·0G=0B2-GF2=119 2 :OC⊥CD,EF⊥CD, :四边形0GEC为矩形， 0C=0A=GE=6,0G∥DE, .BE GE-BG=3.5 :0G∥DE, ∴.△0BG∽ADBE, GB OG 119 BEDE,即2.5 2 3.5DE 解得：DE=7T9 10 14.(1)见解析 (2)4v5 【分析】(I)根据DF是OO的切线，得到AD⊥DF,再根据DF∥BC,得到AD⊥BC,根据AD是OO的直径， 得到BE=CE,得到AD是BC的垂直平分线，即可解答； (2)证明△FBD∽△FDA,根据三角形相似的性质可求出DF的长，再利用等腰三角形三线合一的性质得出 BC=2BE,最后证明△ABE∽△AFD,根据三角形相似的性质，即可解答. 【详解】(1)证明：：DF是⊙O的切线， AD⊥DF, :DF∥BC, AD⊥BC, :AD是O0的直径， :BE =CE, :AD是BC的垂直平分线， :AB=AC, .LABC=∠C; (2)解：BF=AF-AB=AF-AC=3, 由题意可得： ·∠ABD=∠DBF=90° .∠FBD=∠FDA=90° :∠F=∠F, :AFBD∽AFDA, BF DF DF AF .DF2=BF.AF=3×9=27, :DF=3V3, 由题意可得：AD⊥DF, :DF∥BC, BC⊥AD, :BC=2BE, .BE DF, :△ABE∽△AFD, BE AB DF AF' BE 6 即：359' :BE=2V5, :BC=4W3. 15.(1)证明见解析；(2)√2 【分析】(1)由切线的性质可知∠DAB=90°，由直角所对的圆周为90°可知∠ACB=90°，根据同角的余角相等可知 ∠DAC=∠B,然后由等腰三角形的性质可知∠B=∠OCB,由对顶角的性质可知∠DCE-∠OCB,故此可知∠DAC= ∠DCE; (2)题意可知AO=1,OD=3,DC=2,由勾股定理可知AD=2√2，由∠DAC=∠DCE,∠D=∠D可知△DEC~△DCA, 故此可得到DC2=DEAD,故此可求得DE=√2，于是可求得AE=√2. 【详解】解：(1)：AD是圆O的切线， .∠DAB=90°. :AB是圆O的直径， ∠ACB=90°. :∠DAC+∠CAB=90°，∠CAB+∠ABC-90°， .∠DAC=∠B. OC=OB, .∠B=∠OCB. 又：∠DCE=∠OCB, .∠DAC=∠DCE (2)AB=2, .AO=1. m∠D号 .OD=3,DC=2. 在Rt△DAO中，由勾股定理得AD=VOD2-0A2=2√2. :∠DAC∠DCE,∠D=∠D,.△DEC~△DCA, DC DE 2 ED ADDC,即 2-2 解得：DE=√2， .AE=AD-DE=√2. 16.(1)见解析 (2)5v2 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥CD,根据平行四边形的性质可得AB∥CD,则OC1AB,进而 根据半径相等可得0B=OC,即可得证； (2)连接AM,则LBAM=LBCM,根据sin ZBAM=sin∠BCM,求得AB=10,则OB=5,进而利用勾股定理， 即可求解. 【详解】(1)证明：如图，连接0C, M :CD是O0的切线， :OC L CD, :四边形ABCD是平行四边形， :AB∥CD 0C⊥AB, :0B=0C, .△OBC是等腰直角三角形， :∠0BC=45°，即∠ABC=45°. (2)解：连接AM,则∠BAM=∠BCM, :AB是OO的直径， ∠AMB=90°， B5,即8、4 sin∠BAM=sin∠BCM=BM_4, AB 5 :AB=10, .0B=0C=5 在Rt△OBC中，BC=√2OB=5V√2. 17.(1)证明见解析 (2)CE=18 5 cm 【分析】(1)连接OD,根据切线的性质得出∠ODE=90°，根据等腰三角形的性质得出∠A=∠ABC, LABC=∠BDO,即可得出∠A=∠BDO,OD∥AC,根据平行线的性质即可得结论： (2)连接CD,根据BC为⊙O的直径得出BC=10,∠BDC=90°，根据等腰三角形三线合一”的性质得出 BD=AD=8cm,利用勾股定理求出CD=6,根据直角三角形两锐角互余的性质得出∠A=∠CDE,即可证明 △ADC∽△DEC,根据相似三角形的性质即可得出CE的长. 【详解】(1)解：如图，连接0D, D :DE为⊙O的切线， .0D⊥DE,∠0DE=90°， .AC=BC, :ZA=ZABC, :0B=0D, .∠ABC=∠BD0, .∠A=∠BD0, .OD∥AC, .∠CED=180°-∠0DE=180°-90°=90°， .AC⊥DE. (2)解：如图(1)中图，连接CD, D :⊙0的半径为5cm,BC为00的直径， .BC=10,∠BDC=90°， AC =BC, .BD AD =8cm, ∴CD=VBC2-BD2=V102-82=6, :∠A+∠ACD=90°，∠CDE+∠ACD=90°， .∠A=∠CDE, :∠ADC=∠CED=90°， .△ADC∽△DEC, 器兴号品 6101 解得：CE=1cm. Γ5 18.(1)证明见解析 @号 【分析】(1)先根据平行线的性质得LBEC=∠ABE,结合题意得∠P+2LBEC=90°，再根据圆周角定理得 ∠B0C=2LBEC,进而得∠P+∠POC=90°，然后得出∠PC0=90°，则此题可证； 2)作0G1CE,根据垂径定理得CG=EG=CE,再说明：CEFn608F,可得C5-CF,然后根据CE-求 OB OF OF 2 40p求出0P=20 出CB号，即可得CG2,接下来说明LC0GeZP,根据sin☑Psin∠CoG3OC ，最后 根据BP=OP-OB得出答案. 【详解】(1)证明：：CE∥AB, :ZBEC ZABE. :∠P+2∠ABE=90°， .∠P+2∠BEC=90°. :∠BOC=2LBEC, LP+∠P0C=90°， .∠PC0=90°，即PC⊥C0, .PC是⊙0的切线； (2)解：过点O作OG⊥CE,交CE于点G, .CG-EG-CE. CE l AB,OB=OC=10, .△CEF∽△0BF,∠B0G=∠0GC=90°， CE CF ·OBOF .30F=2CF, CF 3 0F21 CE3 OB2’ 即CE、3 102’ 解得CE=15, CG=ICE=15 2 2 :∠C0G+∠B0C=∠B0C+∠P=90°， .LC0G=∠p. 15 在RIACG0中，sin∠coG-CG=2=3, 0C104 3 OC .sin∠P=sin∠COG=3= 40P' .OP= 40 3 .BP=OP-OB= 4 -10=10 3 3 B 力 D 19.(1)证明过程见详解 ②00的半径 3 【分析】(1)根据垂直，切线的性质得到AB‖GF,可得△DFG是等腰直角三角形，由此即可求解： (2)根据垂径定理得到AE=BE=6,ADE是等腰直角三角形，由(1)得到FD=10,则EF=4,如图所示，连 接OA,设OE=x,则0F=OE+EF=x+4=0A,由此勾股定理即可求解. 【详解】(1)解：：DF⊥AB,GF是⊙O的切线，即DF⊥GF, AB‖GF, .LBAC=LG=45°， ∴.∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形， .FD=FG; (2)解：：DF⊥AB, AE-BE-24B-6. :∠BAC=45°， ∠ADE=90°-45°=45°，即ADE是等腰直角三角形， ∴.EA=ED=6, 由(1)得FD=FG=10, .EF=DF-DE=10-6=4, 如图所示，连接OA,设OE=x,则OF=OE+EF=x+4=OA, D 在R1aA0E中，OA=AE2+OE2, （x+4)2=62+x2, 解得，x= :0A=x+4=3+4=13 2 2’ ⊙0的半径，3· 【点晴】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等 知识，数形结合分析是关键 20.(1)证明见解析 (②)cE=8vi3 5 【分析】本题考查了圆的基本性质，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键， (1)连接CO,根据DE⊥AB以及CF为O0的切线，可得LDEB=∠0CF=90°，从而得到LEDB+LOBC=90°， ∠DCF+∠OCB=90°，通过C0=OB,得到∠0CB=∠OBC,最后运用等量代换以及“对顶角相等”证得 ∠DCF=LCDF; (2)连接CE,过点E作EK⊥CB于点K,先证LCDF=∠EAC,从而求出BC,由D为BC中点，求得BD的长， 解RtAEDB,求出EB,再解Rt△EKB,求出EK,KB,最后在Rt△CEK中，运用勾股定理求出CE的长。 【详解】(1)证明：如图，连接CO, C :⊙O是ABC的外接圆， .C0=0B, .Z0CB=Z0BC DE⊥AB, .∠DEB=90°， .LEDB+L0BC=90°， :CF为⊙0的切线， .∠0CF=90°， 即∠DCF+∠0CB=90°， :∠OCB=∠0BC,∠EDB+∠0BC=90°， .∠DCF=∠EDB, ZCDF ZEDB :ZDCF =ZCDF (2)解：连接CE,过点E作EK⊥CB于点K, ○ :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， :DE⊥AB, .LAED=90°， 在四边形AEDC中， :∠ACB+∠CDE+∠DEA+∠EAC=360°， 又：∠ACB=90°，∠AED=90°， ∠CDE+∠EAC=180°， ∠CDE+∠CDF=180°， .∠CDF=∠EAC, :sin∠CDF=5' 4 sin ZEAC=s 在Rt△ACB中， 4 :∠ACB=90°，sin∠EAC=,O0的直径为10， 5 BC=sinZ∠EAC×AB=x10=8 :D为BC的中点，BC=8, .CD=DB=CB=4. 2 .ZCDF ZEDB, ·sin∠EDB=sin∠CDF=4 :DE⊥AB, ∠DEB=90°， 在RtaEDB中， :∠DEB=90°，sin∠EDB= 5’DB=4, 4 .EB=sin∠EDBx DB= 4 5 12 16 ·sinB= DB 45 DB 45 :EK⊥CB, LEKB=90°， 在RtaEKB中， 、、w。00o,snB=5,0sb-5,EB=16 :EK=sinB×EB=3x16-48 5525,KB=cosB×E6=4x1664 5525 :BC=8, :CK=BC-KB=8-4-136 2525’ EK⊥CB, .∠EKC=90°， :CK=6,EK=8 25 25 1362,482813 CE=CK+KE-25) + 25 5 ·CE=8fg 21.(1)见解析 24v6 3 【分析】(1)连接OC,根据切线的性质即圆周角定理求出∠OCA=∠ECB,根据等边对等角得到∠CAB=∠OCA, 根据平行线的性质得到LECB=∠E,即可证明LCAB=∠E; ②》根拼平行线的性质行到1E=DC,证同△4C△CBD,得到S记，根器幻股定连求出BC=4,可 知AC=V2CD,根据勾股定理得到16=AC+4C, 即可求出AC的长 2 【详解】(1)证明：如图，连接0C. :BC为⊙0的切线，AD为O0的直径， D B ∴∠OCE+∠ECB=∠0CD+∠0CA=90°， :ZOCA=ZECB OA=OC,AE∥BC, ∠CAB=LOCA,LECB=LE, :ZCAB=ZE (2)解：AE‖BC, .∠E=∠DCB. 由(1)可知∠CAB=∠E, .LCAB=∠DCB, △ABCACBD, AC AB CD BC 0A=OD,AD BD=4, ∴.AB=8,OB=6,OC=2, BC=V0B2-0C2=V62-22=4V2, AC 8 “CD4V2' 则AC=√2CD. 在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2, 即16=AC?+AC2 2, :AC-46(负值舍去) 3