7.2离散型随机变量及其分布列巩固练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2离散型随机变量及其分布列巩固练习 一、单选题 1．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 2．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 3．随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 4.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A. B. C. D 1 0 1 0 1 2 0 1 2 0 1 P P P P 5．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（   ） A． B． C． D． 6．已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．经检测，某箱10件产品中（分别标有不同的编号）有2件一等品，其余为二等品.从中抽取3件产品，下列说法正确的是（    ） A．取出的3件产品中恰有2件一等品，则不同的取法有7种 B．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 C．已知取出的3件产品中有一等品，则恰有2件一等品的概率为 D．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 8．一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法正确的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 10．已知某企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加夜间安全巡查.设该小组在一周内的两次抽取中共有ξ名不同的工人被抽中，则下列结论正确的是（   ） A．该小组中的工人甲一周内恰好两次都被选中的概率为 B． C． D． 11．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 则a＝________． 13．某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人，既学舞蹈又学声乐的有2人，从该兴趣小组中任选2人，设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若，则该兴趣小组的人数是________人． 14．袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________． 四、解答题 15．将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列. 16．高二一班成立了课外兴趣小组，分为两组讨论学习.甲组一共有人，其中男生人，女生人；乙组一共有人，其中男生人，女生人.现要从这两个兴趣小组的人中抽出人参加学校的环保知识竞赛. (1)设事件为“选出的这个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率； (2)用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列. 17．一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 18．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过。甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响。 (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 19．某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下，第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.2离散型随机变量及其分布列巩固练习 一、单选题 1．已知随机变量服从两点分布，且，则（   ） A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.1 【答案】C 【分析】根据两点分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且， 则. 故选：C 2．随机变量X的分布列为： X 1 2 3 P a 则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分布列的性质计算即可求解. 【详解】由题意可得， 解得，所以. 故选：B. 3．随机变量服从两点分布，且，令，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点分布的性质求出，则. 【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以， 由，所以. 故选：D 4.下列表中可以作为离散型随机变量的分布列的是（    ） A. B. C. D 1 0 1 0 1 2 0 1 2 0 1 P P P P 【答案】D 【分析】利用分布列的概念及性质，即的取值应互不相同且逐项判断即可. 【详解】对于A，的取值出现了重复性，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，的取值互不相同，且，故D正确. 故选：D. 5．袋中有6个红球、4个白球，从袋中任取4个球，则至少有2个白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，直接求出的概率，由加法公式求解；方法二：先求出至多有1个白球的概率，间接法求解. 【详解】方法一：设取出的白球个数为离散型随机变量，则的所有可能取值为0，1，2，3，4， 则． 故至少有2个白球的概率为． 方法二：设“至少有2个白球”，则“至多有1个白球”， 所以． 故选：A. 6．已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 故选： C . 7．经检测，某箱10件产品中（分别标有不同的编号）有2件一等品，其余为二等品.从中抽取3件产品，下列说法正确的是（    ） A．取出的3件产品中恰有2件一等品，则不同的取法有7种 B．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 C．已知取出的3件产品中有一等品，则恰有2件一等品的概率为 D．若表示取出的3件产品中一等品的数量，则 【答案】B 【分析】由古典概率模型计算公式和条件概率计算公式，结合组合数逐项判断即可. 【详解】从10件产品中，取出3件，不同的取法有种， 其中没有一等品的不同取法有种， 恰有1件一等品的不同取法有种， 恰有2件一等品的不同取法有种，A错; 则，B对; ，D错; 对于C:记事件“取出的3件产品中有一等品”为A，记事件“取出的3件产品中恰有2件一等品”为B. 则：, , .故C错. 故选： B . 8．一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解． 【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球， 此时， 则． 故选：A． 二、多选题 9．若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法正确的是（    ） 0 1 A．常数的值为或 B．常数的值为 C． D． 【答案】BD 【分析】根据分布列的性质求解. 【详解】由题意知，解得或， 当时，，所以舍去，故，A错误，B正确。 计算可得，C错误，D正确， 故选:BD． 10．已知某企业组装车间的某小组有6名工人，每次独立、随机的从中抽取3名工人参加夜间安全巡查.设该小组在一周内的两次抽取中共有ξ名不同的工人被抽中，则下列结论正确的是（   ） A．该小组中的工人甲一周内恰好两次都被选中的概率为 B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，根据组合数的计算，结合古典概型以及概率的乘法，可得其正误；对于BCD，根据离散型随机变量，由古典概型以及概率的乘法，可得其正误. 【详解】对于A，每次工人甲被抽到的概率，所以工人甲一周内被选中两个的概率为，故A正确； 对于B，的可能取值为，则，， ，，故B正确、CD错误. 故选：AB. 11．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出． 【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球，或第一次摸到红球，第二次摸到黑球， 或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球， 故，A错误； BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球;或前两次一次摸到红球，一次摸到白球,第三次摸到黑球;或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球; 故，B错误，C正确； D选项，的所有可能有，故，D正确． 故选：CD. 三、填空题 12．某位同学求得一个离散型随机变量的分布列为 X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 a 0.45 则a＝________． 【答案】 【分析】根据概率之和等于1列式计算即得. 【详解】由分布列性质，得，解得. 故答案为：. 13．某学校兴趣小组，该兴趣小组内学舞蹈且不学声乐的有3人，既学舞蹈又学声乐的有2人，从该兴趣小组中任选2人，设X为选出的人既学舞蹈又学声乐的人数，若，则该兴趣小组的人数是________人． 【答案】7 【分析】设该兴趣小组的人数是，再求出分布列计算即可. 【详解】由题意，可能的取值为0，1，2， 设该兴趣小组的人数是，，则 ，， 故，即，则， 故，即，因为为整数，故. 故答案为：7 14．袋中装有只红球和只黑球，从袋中任取只球，取到只红球得分，取到只黑球得分，设得分为随机变量，则的概率为__________． 【答案】 【分析】根据给定条件可得取出的4只球中至少有两个红球，有三种情况，分别求出各个情况的概率，再用互斥事件的加法公式计算作答. 【详解】依题意，的事件是，，的三个互斥事件的和， 的事件是取出2只红球、2只黑球的事件，， 的事件是取出3只红球、1只黑球的事件，， 的事件是取出4只红球的事件，， 因此，， 所以的概率为. 故答案为： 四、解答题 15．将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列. 【详解】（1）先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球， 再把 3 个红球全排放入剩下的 3 个空位，共 (种)，所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为36 . （2）由题意知 的所有可能取值为0，1，2，3， 则 ， ， 所以 的分布列为 0 1 2 3 16．高二一班成立了课外兴趣小组。，分为两组讨论学习.甲组一共有人，其中男生人，女生人；乙组一共有人，其中男生人，女生人.现要从这两个兴趣小组的人中抽出人参加学校的环保知识竞赛. (1)设事件为“选出的这个人中，要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率； (2)用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列. 【分析】（1）直接利用古典概型概率公式求即可 ； （2）先由题得可能取值为,再求概率及的分布列. 【详解】（1） （2） 可能取值为， 则;                 ; ;   ;    的分布列为 0 1 2 3 17．一个不透明的袋子中有8个大小和形状完全一致的小球，其中标记数字1，2的小球各有3个，标记数字3的小球有2个.小松一次性从袋子中随机摸出3个小球. (1)求摸出的小球中，有标记数字为3的小球的概率； (2)记摸出的小球上标记的最大数字为，求的分布列. 【分析】（1）（法1）先求对立事件“摸出的3个小球中没有标记数字3的小球”的概率，再利用对立事件概率公式计算目标概率；（法2）按照摸出的小球中标记数字为3的小球的个数分类，计算概率，然后再利用和事件的概率公式计算即可； （2）首先确定的所有可能取值，然后分别计算取每个值时的概率，计算时的概率时，（法1）利用分布列概率和等于1计算；（法2）按照摸出小球的情况分类计算即可；最后根据计算结果列出分布列. 【详解】（1）（法1）在8个小球中，有6个标记数字不为3的小球. 则摸出的小球中有标记数字为3的小球的概率为. （法2）摸出的小球中只有1个标记数字为3的小球的概率为. 摸出的小球中有2个标记数字为3的小球的概率为. 则摸出的小球中有标记数字有3的小球的概率为. （2）由（1）得. 若，则必须摸出3个标记数字为1的小球，则. （法1）则. （法2）若，则摸出小球的情况有3种. ① 摸出3个标记数字为2的小球，此时. ② 摸出2个标记数字为2的小球与1个标记数字为1的小球，此时. ③ 摸出1个标记数字为2的小球与2个标记数字为1的小球，此时. 则. 综上，的分布列见下表. X 1 2 3 P 18．甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试所有题目难度相当，每位面试者最多有两次答题机会，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，若答对第一次抽到的题目，则面试通过，结束答题；否则继续第2次答题，答对则面试通过，未答对则面试不通过，甲、乙两人对抽到的不同题目能否答对是独立的，且两人答题互不影响． (1)求甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率； (2)设面试过程中甲、乙两人答题的次数之和为，求的分布列． 【分析】（1）根据相互独立事件概率公式直接计算可得结果； （2）判断随机变量的可能取值为2，3，4，分别计算出对应概率可得分布列. 【详解】（1）设事件为“甲通过面试”，事件为“乙通过面试”， ，， 所以甲、乙两人有且只有一人通过面试的概率：. （2）随机变量的可能取值为2，3，4. ， ， . 所以的分布列为： 2 3 4 19．某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类．每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测． (1)求在第一次检测出合格零件的条件下，第二次检测出不合格零件的概率； (2)设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列． 【分析】(1)由条件事件的概率进行求解； (2) 依题意，可取，计算出对应的概率，即可列出分布列． 【详解】（1）设事件A为“第一次检测出合格零件”，事件B为“第二次检测出不合格零件”， 则． （2）依题意，可取， 得表示前5次检测出的均为合格零件，表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格， 则， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $