2026年湖南省 怀化市鹤城区黄金坳中学等中考二模九年级数学试卷

姓名 准考证号 数 学 本试题卷共6页。时量120分钟。满分120分。 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、 准考证号和相关信息； 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹； 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效； 4.在草稿纸、试题卷上作答无效； 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁； 6.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.如图，数轴上表示3的点是 P M-1 0 1 N Q 第1题图 A.M B.N C.P D.Q 2.2026年2月3日，湖南省第十四届人民代表大会第四次会议在省人民会堂开幕.会议指出： 2026年是“十五五”规划开局之年，做好全年工作意义重大.今年主要预期目标包含多项，其中粮食产 量61500000000斤左右.将数据61500000000用科学记数法表示为 A.615×109 B.6.15×1010 C.0.615×10 D.6.15×10 3.如图，石鼓是中国古代文化的瑰宝.《说文解字》：“春分之音，万物郭皮甲而出，故谓之鼓.”所以石鼓 象征万物丰茂、财丰物足.下列选项中，石鼓的俯视图正确的是 第3题图 4.下列计算正确的是 A.m2+m3=a3 B.m3÷m4=m2 C.2m·3m=6m2 D.(-m2)3=m 5.在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(-2,1)，则点M关于y轴对称的点的坐标为 A.（-2,-1) B.（2,-1) C.（-2,1) D.(2,1) 6.如图，⊙0的内接四边形ABCD的对角线BD经过圆心O,若∠ABD=35°，则∠ACB的度数为 A.35° B.45° C.55o D.65° 第6题图 7.“湘”是湖南的简称.如图，将写有“三”“湘”“四”“水”的四张质地均匀、大小相同的卡片放入不透明 的袋中，从中随机抽取一张，抽取到的卡片上写有汉字“湘”的概率是 A 1 1 B. C.3 D. 湘 四 水 第7题图 第10题图1 第10题图2 8.若关于x的一元二次方程x2-6x+3k=0有两个相等的实数根，则实数的值为 A.3 B.3或-3 C.6 D:9 9.关于一次函数y=2x=4,下列说法正确的是· A.图象经过第二、四象限 B.函数值y随自变量x的增大而减小 C.当x=2时，函数值y=0 D.图象与y轴交于点(0,4) 10.中国结寓意团圆、美满.劳技课上小敏设计了一个菱形中国结饰件如图1，其示意图如图2，量得AB= 10cm,AC=12cm,则该菱形的面积为 A.192cm3 B.120cm2 C.108cm2 D.96 cm2 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.若二次根式√x-了有意义，则x的取值范围是 12.因式分解：3x2-12= 13.气温变化对人身体与生活影响显著，相对稳定的温度，有利于平衡代谢、降低心血管疾病.甲、乙两地 年平均气温基本相同，甲地年度气温的方差52=12.8，乙地年度气温的方差s2=3.6,从宜居的角度来 看，你认为 地更适合居住.（填“甲”或“乙”） 14.某款学生课桌实物如图1，侧面示意图如图2，其中AB∥CD,AE=BE.若LBDC=40°，则∠AEB的度数 为 第14题图1 第14题图2 第15题图 15.如图，在△ABC中，D为边AB的中点，以点D为圆心，以合适的长为半径作弧，交AB于点M,N;分别 以点M,N为圆心，以大于MW的长为半径作弧，在△ABC内交于点P;作直线DP交BC于点Q;连 接AQ.若AQ=3QC=6,则BC= a2+b2-c2 16.已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.规定：p= 2ab (1)若∠A=∠B=60°，则p= (2)下列结论正确的是 (写出所有正确的结论) ①若p=号，则a6+e(a+6- 1 2=4; ab ②若P=0,片=万，则△ABC是等腰直角三角形； ③诺a=之0，e=1,则-1<p<1 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(6分)计算：√4-（2026-π)°-tan45°+1-31， 18.（8分)先化简，再求值：(3x+2)2-4x(x-1)+(x+1)(x-1),其中3x2+8x+3=0. 19.(9分)如图，四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,延长CB至点E,连接DE.已知AB∥CD,OB =OD (1)求证：四边形ABCD是平行四边形； (2)下面是两位同学的对话，请你选择一位同学的说法，并进行解答 小星：若添加条件BE=2BC,△BDE的面积为 小红：若添加条件BE=2BC,△AB0的面积为2， 8,则可计算△AB0的面积 则可计算△BDE的面积 B 第19题图 20.（9分)《义务教育课程方案和课程标准(2022年版)》优化了课程设置，将劳动教育从综合实践活动 课程中独立出来.某校七、八、九年级开展“我劳动，我成长”活动，并对学生在某一周内家务劳动的时 间（用x表示，单位：h)进行了数据收集、整理与统计分析，整理出如下部分信息， 【收集、整理数据】 I.八年级A班50名学生该周家务劳动时间如下： 劳动时间(h) 0≤x<1.5 1.5≤x<3 3≤x<4.5 4.5≤x<6 学生人数（名） 10 15 20 5 Ⅱ.八年级B班50名学生该周家务劳动时间（分4组）的频数分布直方图如图1； Ⅲ.七、八、九年级的学生人数所占比例的扇形统计图如图2； V.全校七、八、九年级学生总数共计1800名. 频数 24 七年级 10 35%年级 3 八年级30% 01.534.56劳动时间h) m% 第20题图1 第20题图2 【问题解决】 根据整理的部分信息，解决问题： (1)①补全上面的频数分布直方图； ②该校八年级学生共 名； (2)各班将该周家务劳动时间按从高到低的顺序排在前50%（含）的学生授予“班级劳动之星”称号， 王芳与赵强为八年级A,B两班的学生，且两位同学该周家务劳动时间相同.若该周王芳被授予“班级 劳动之星”称号，赵强未被授予该称号，请你根据这一信息，判断两位同学分别属于A,B哪一个班？ 为什么？ (3)分析数据时陈华发现，八年级A班、B班在这周家务劳动时间不到1.5小时的人数都恰好占班级 人数的二，由此他得出结论：全校该周家务劳动时间不到1.5小时的学生人数约为360名.你支持他 的结论吗？请说明理由 21.(9分)“湘瓷”以其深厚的历史积淀和不断的工艺创新，当之无愧地成为与“湘绣”齐名的湖南省省级 名片.某外贸公司计划采购甲、乙两种湘瓷工艺品销往国外，其采购方案与金额如下： 甲种湘瓷件数 乙种湘瓷件数 金额/元 方案一 3 1 1100 方案二 2 4 1400 (1)求甲、乙两种湘瓷工艺品的单价； (2)该外贸公司计划采购这两种湘瓷工艺品共300件，总费用不超过80000元，问最多可购买甲种湘 瓷工艺品多少件？ 22.（9分)某校数学第二课堂学习小组组织了一次户外学习活动，对校外公园一个创意型多边形大门进 行了测量与计算.下表是他们的活动过程与测量结果的活动报告单 活动主题 测量公园多边形大门数据 活动成员 数学第二课堂学习小组组员 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 实拍图 几何示意图 D 实拍图 与几何 示意图 B 第22题图 ①门框垂直于地面，抽象出的几何图形是五边形ABCDE(各顶点在同一平面，AB在水平 绘测步骤 地面上).②门框外观是轴对称图形（点C对应点E). ①用皮尺测得：AB=BC=2m.②用测角仪测得：∠A=130°，∠C=95 测量数据 ③用计算器计算得：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77. (1)求门框的宽度CE; 问题解决 (2)求门框最高点D到水平地面AB的距离.（结果保留一位小数） 23.(11分)已知一次函数y=-2x+4的图象分别交x轴，y轴于点A,C,过A,C两点的二次函数y=ax2+2x +c(a≠0)的图象与x轴交于另一点B. (1)求a,c的值及点B的坐标； (2)如图1，P(x1,y1),Q(x2,y2)为AC上方抛物线上两动点，分别过点P,Q作x轴的垂线，与线段AC 交于点M,N.若x2=x,+1,探究线段PW与MQ能否互相垂直且平分？若能互相垂直且平分，求出符 合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由； (3)如图2，点G在y轴正半轴上，连接AG,当OG=1时，在二次函数图象上存在点H使得∠0GH+ ∠OAG=180°，求点H到y轴的距离. B 0 第23题图1 第23题图2 24.(11分)【动手操作】将两块大小相等的直角三角形纸片ABC与EDC按如图1叠放，B与D分别是直 角顶点，△DCE绕公共顶点C进行旋转时，保持△DCE在直线BC上方，连接BD,AE. 【初步探究](1)若sin LBAC=-了，则在旋转过程中，AE与BD总是保持怎样的数量关系？ 2 【尝试进阶】(2)如图2，∠BCD=90°，BD的延长线交AE于点F,若AC=4,求EF的长； 【问题解决】(3)如图3，线段DE与AC交于点G,AB∥CE,CG=2AG=2,求DG的长. D B B 第24题图1 第24题图2 第24题图3数 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 快速对答案：1~5 DBACD6~10 CBACD 1.D【解析】根据题图可知，数轴单位长度为1，.表 示3的点是Q 2.B【解析】61500000000=6.15×101 3.A 管新考法解读本题以中国古代文化瑰宝的“石 鼓”为背景，将试题与传统文化相结合，引导学生关 注中华民族优秀传统文化，增强文化自信，充分体 现了试题的育人作用.试题命制符合教育部发布的 《关于加强初中学业水平考试命题工作的意见》中 指出的：弘扬中华优秀传统文化 4.C【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A m2与m3不是同类项，不能合并 B m8÷m=m8-4=m4≠m2 × 2m·3m=6m D(-m2)3=-m6≠m 5.D【解析】点坐标关于y轴对称，纵坐标不变，横坐 标变为相反数，·点M关于y轴对称的点的坐标为 (2,1) 6.C【解析】BD为⊙0的直径，∠BAD=90, ·∠ABD=35°，..∠ADB=90°-∠ABD=55°，.∠ADB 与∠ACB所对的弧均为AB,.∠ACB=∠ADB=55 7.B 8.A【解析】根据题意，得b2-4ac=(-6)2-4×3k=0, 解得k=3. 9.C【解析】根据题意，得2>0，-4<0，图象经过第 一、三、四象限，函数值y随自变量x的增大而增 大，.A,B选项错误；当x=2时，y=2×2-4=0,.C 选项正确：当x=0时，y=-4,.图象与y轴交于点 (0,-4),∴.D选项错误 10.D【解析】如解图，连接BD交AC于点E,:四边 形ABCD为菱形，AC1BD,AB=2AC=6cm, .'BE=VAB2-AE=8 cm,..BD 2BE=16 cm, 1 .S菱形ABGD= 2AC.BD=96 cm2 第10题解图 学 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.x≥5【解析】要使二次根式x-5有意义，则 x-5≥0，∴.x≥5. 12.3(x+2)(x-2)【解析】原式=3(x2-4)=3(x+2)· (x-2). 13.乙【解析】：甲、乙两地年平均气温基本相同，方 差越小，气温波动越小，3.6<12.8，∴.乙地气温更 稳定，更适合居住 14.100°【解析】AB∥CD,∠ABD=∠BDC=40°， AE=BE,.∠EAB=∠EBA=40°，·∠AEB= 180°-∠EAB-∠EBA=100°. 15.8【解析】根据作图步骤可知，DQ⊥AB,D为边 AB的中点，.DQ垂直平分边AB,.AQ=BQ, AQ=3QC=6,∴QC=2,BQ=AQ=6,∴.BC=BQ+ QC=8. 16.(1)2;(2)②8 ®解题思路 (1):∠A=∠B=60°，△ABC为等边三角形， .a=b=c≠0，∴.p= a2+b2-c2_a2+a2-a21 2ab 2a2=2 (2)①：p=a2+62-c2-1 2ab=2+be ab, 、(a+6+c)(a+b-e）_(a+b)2-c2a2+62+2ab-e ab ab 利用乘法公式化简代裁式，通过整体代入化简求值 -3a =3,①错误；②：p=0,ab≠0，a2+b2-c ab 0,即a2+6=cdLC=90,5=2,L =45°，∴.△ABC是等腰直角三角形，②正确； ③a=b,c=1,e-a+62-e2_4051 1, 2ab624b21 通过参数之间的关系，化简代数式只会一个参戴 2 a+b>c,即3b>1,心b>3b-a<c,即b< 通过三角形的三边关系确定参数取值苑围 119 、22b<29<64,…424 51 41,即-1<<1，③正确 三、解答题：本题共8小题，共72分。 17.答题模板 解：原式=2-1-1+3 …(4分) =3.… (6分) 18.个答题模板 解：原式=9x2+12x+4-4x2+4x+x2-1 2 =6x2+16x+3,…(6分) 3x2+8x+3=0, .3x2+8x=-3 原式=2(3x2+8x)+3=2×(-3)+3=-6+3=-3. …(8分） 19.(1)证明：AB∥CD,.∠BAC=∠DCA, ∠BAO=∠DC0. 在△AB0和△CD0中，∠AOB=∠COD, OB=OD. .△ABO≌△CDO(AAS),.AB=CD 又.·AB∥CD .四边形ABCD是平行四边形；…(5分) (2)解：选择小星， 如解图，过点D作DF⊥BC于点F, SAme=BE·DF,Soem=BC① BE=2BC, Saem=2BE·DF=Sa6=8, :四边形ABCD是平行四边形， J:SAB0=1 SBABCD=2。 …(9分) 或选择小红， 如解图，过点D作DF⊥BC于点F, ~SAMB0=2,四边形ABCD是平行四边形， .SGABCD=4S△AB0=8, ySae=BC·DF,SAe=BE·DP,B=2BC, 2 .SAB0B=SOABCD=8.…(9分) (任选其一作答即可) 2 B F 第19题解图 ⑨新考法解读教育部发布的《关于加强初中学 业水平考试命题工作的意见》中明确指出：提高开 放性试题比例.近年的中考试题中开放性试题的 比例越来越高，这类试题主要的考查形式有：条件 开放、过程开放和结论开放，其中2025年山西、湖 北、武汉、广东等地均有考查.其中，条件开放主要 有：①添加/补充条件类试题：②选择条件：③组合 多选.结论开放主要有：①写出满足条件的值或表 达式：②提出合理化的建议、给出合理化的评价、 制定合理化的标准，均在统计题中考查 解：(1)①补全频数分布直方图如解图；… …(2分） 【解法提示】该周家务劳动时间在3≤x<4.5的学 生人数为50-10-24-3=13（人）. 24缬数 13 01.534.56劳动时间h) 第20题解图 ②630：… …（3分) 【解法提示】1800×(1-30%-35%)=630（人）， .该校八年级学生共630人 (2)王芳属于B班，赵强属于A班； 理由如下：观察表格可发现，八年级A班该周家务 劳动时间在3小时及以上的学生有25人，恰好为 全班同学的50%，而八年级B班该周家务劳动时 间在3小时及以上的学生只有13+3=16（人），低 于全班同学的50%，：两位同学该周家务劳动时 间相同，但授予称号情况不同，两位同学分属两 班，若王芳属于A班，赵强属于B班，根据A班该 周家务劳动时间信息，两位同学该周家务劳动时 间大于等于3小时，则B班赵强同学也能被授予 称号，不满足题意：若王芳属于B班，赵强属于A 班，两位同学该周家务劳动时间在1.5≤x<3范围 内，满足题意：…(6分) (3)不支持他的结论，…（7分) 理由如下：样本不具有代表性，不能反映出七年级 和九年级的情况。… (9分) 更多新考法试题见“考前预测大题”P20第2题 1.解：(1)设甲种湘瓷工艺品的单价为x元，乙种湘 瓷工艺品的单价为y元， 3x+y=1100. 根据题意，得 …(2分) 2x+4y=1400 x=300. 解得 …(4分) (y=200, 答：甲种湘瓷工艺品的单价为300元，乙种湘瓷工 艺品的单价为200元；…(5分) (2)设采购甲种湘瓷工艺品m件，则采购乙种湘 瓷工艺品(300-m)件 根据题意，得300m+200(300-m)≤80000，… …(7分)） 解得m≤200. (8分) ∴.m的最大值为200， 答：最多可采购200件甲种湘瓷工艺品.…(9分)》 【注】得出“m的最大值为200”给满分. 22.解：(1)如解图，过点C作CH⊥AB,交AB的延长 线于点H,过点D作DM⊥AB于点M,连接CE交 DM于点G, :五边形ABCDE是轴对称图形 M为AB的中点，∠A=∠ABC=130°， ∴.∠CBH=180°-130°=50°，则∠BCH=90°-50°= 40°，… …（1分)）》 在Rt△BCH中，∠H=90°， BH=BC·sin40°≈2×0.64=1.28(m),… …(2分） 易得四边形CHMG为矩形， BM= 2AB=1m,CE=2CG, .CG=MH=BM+BH=1+1.28=2.28(m), …(4分)》 .CE=2CG=4.56m≈4.6m, 答：门框的宽度CE约为4.6m;…·…(5分) D AMB H 第22题解图 (2):四边形CHMG为矩形， .GM=CH=BC·cos40°≈2x0.77=1.54(m), …(6分)》 .MHCG,∴.∠BCG=∠CBH=50°， .∠DCG=∠BCD-∠BCG=95°-50°=45°」 在Rt△CGD中，∠CGD=90°， DG=CG.tan45°=2.28×1=2.28(m),… ………（8分)》 .DM=DG+GM=2.28+1.54≈3.8(m), 答：门框最高点D到水平地面AB的距离约为3.8m …(9分) 23.解：(1)：一次函数y=-2x+4的图象与y轴交于 点C,点C的坐标为(0,4)， 当y=0时，-2x+4=0,解得x=2, 点A的坐标为(2,0)， 二次函数y=ax2+2x+c的图象过点A(2,0), C(0,4), .C=4,…（1分) 将A(2,0)代人y=ax2+2x+4中，得a×22+2×2+4=0, 解得a=-2,…(2分) :二次函数图象的对称轴为直线x=2 1 :A,B为二次函数图象与x轴的交点， 六点A与点B关于直线弓对称。 .点B的坐标为(-1,0)；…（3分) (2)PN与MQ不能互相垂直且平分.…(4分) 理由如下： 由(1)得，二次函数的表达式为y=-2x2+2x+4, ?PM,QN均与x轴垂直，x2=x1+1, ∴y1=-2x7+2x1+4,yM=-2x1+4,y2=-2x+2x2+4= -2(x1+1)2+2(x1+1)+4=-2x-2x1+4, yw=-2x2+4=-2(x1+1)+4=-2x1+2, ∴.PM=y1-yM=-2x2+4x1,QN=y2yw=-2x7+2, …(5分) PM//ON, .当线段PN与MQ互相垂直且平分时，四边形 PMNQ为菱形，则PM=QN, 1 即-2x+4红1=-2x+2,解得名=7，…（6分) 此时PM=QN:2点M的坐标为(2,3)，点N的 3 3 坐标为(21)， 3y2+3-12=5, MN=22 .PM≠MN, .四边形PMNQ不是菱形， 线段PW与MQ不能互相垂直且平分；… …(7分） (3)如解图，过点H作HE⊥y轴于点E,则∠0CH +∠HGE=180° 当∠0GH+∠OAG=180时，∠HGE=∠OAG, ∠HEG=LA0G=90°，.△A0G∽△GEH, 腮器 ……(8分) 设点H的坐标为(t,-22+2t+4),.E(0,-2x2+2+4), 则EG=-22+2t+4-1=-2t2+2t+3, 如解图1，当点H在y轴右侧时，EH=t, 12,00A=2=-223 2 解得1±6 :点H在y轴右侧，6= 2 ·点H到y轴的距离为 2…(9分) 如解图2，当点H在y轴左侧时，EH=-t, -t-2E2+2t+3 2 解得=2生v而 2 2-√/10 :点H在y轴左侧，.t= 2 ·点H到y轴的距离为12 21=10-2 …… 2 2 …(10分） 综上所述，当∠0GH+∠0AG=180时，点H到y轴 的距离为5或1而-2 2 (11分) B B 第23题解图1 第23题解图2 24.解：(1)根据题意，得∠DCE=∠BCA, ∴.∠ACE=∠BCD '△ABC≌△EDC, BC DC AC EC △BCD△ACE,…(2分) BC 2 .·sin∠BAC= C3 AE AC 3 六BD80229… (3分) 解题思路 (2)如解图1，过点A作AMBC交BF的延长线于 点M, ∠BCD=90°，∴.∠ACE=90° ,△BCD与△ACE均为等腰直角三角形， .'LDBC=45, LABM=45°， AM∥BC,.∠MAB=∠ABC=90°， △ABM为等腰直角三角形， AM=AB=DE,…(4分)》 由特殊角度及旋转的等线段可得线段间数量关系 AM∥BC∥DE,∴.∠M=LFDE, 「∠AFM=∠EFD, 在△AFM与△EFD中，{∠M=∠FDE, AM=ED. .△AFM≌△EFD(AAS),…(5分) .∴.AF=EF, 1 AC=22;…(6分) 2 E-M D 第24题解图1 第24题解图2 (3)如解图2，延长ED交AB于点N,连接CN, AB//EC. △AWC△CEG,…(7分) 平行线可得相似三角形 .AG NG AN 1 CG EG CE2' .CG=2AG=2,∴.AG=1, ∴.CE=AC=AG+CG=3, .AN=CE=2 3 2 …(8分) ∠EDC=90°，.∠NDC=90°， 在R△NBC和Rt△NDC中，BC=DC, (NC=NC. .Rt△NBC≌Rt△DC(HL), .NB=WD.…(9分) 3 设BN=x,则ND=x,DE=AB=AN+BN= .NE=DE+DN=- 1,2 G=38=2+号， 1 :.DG=NG-DN=23* 11 DC=BC,..GC2-DG2 =AC2-AB2, 2-(日2=-(，…（0分 通过设参，利用不同三角形中的等线段列等式求解 解得x=(负值已舍去)， ∴.DG= 111 23=4 … …(11分)》