精品解析：四川成都市温江区科创中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

成都温江科创中学高2024级2025-2026学年度下学期期中考试 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 5. 已知函数，满足当时，，若，则有（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不定 6. 已知函数在处取得最小值1，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ） A. 2022 B. 4044 C. 2023 D. 4046 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 10. 下列说法中，正确的是（     ） A. 若，则成等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若等比数列的前项和，则 D. 等差数列中，若，则 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 是的极值点 C. 若恰有2个正零点，则 D. 若关于x的不等式有解，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 13. 已知等比数列中，若，则=__________． 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，求. 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 17. 已知，． （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设，数列的前n项和为. ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 成都温江科创中学高2024级2025-2026学年度下学期期中考试 数学试题 考试时间120分钟，满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码区”. 2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列求导数运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】依题意，. 2. 已知数列为等差数列，且，则的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质即可得解. 【详解】因为数列为等差数列，又， 所以，则，所以. 故选：B. 3. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据导函数为正得出函数增区间. 【详解】因为，令，得，所以的单调递增区间是． 故选：C． 4. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 21 B. 18 C. 15 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出，得到答案. 【详解】因为为等比数列的前项和且， 所以成等比数列，即3，6，成等比数列， 所以，所以． 故选：A． 5. 已知函数，满足当时，，若，则有（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不定 【答案】B 【解析】 【分析】由当时，，构造上的单调函数，再利用单调性去比较大小。 【详解】设，则，所以在上单调递增. 又因为，所以，即 故选：B 6. 已知函数在处取得最小值1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“极值点处导数为0和函数值为1”联立方程组，求解参数后通过单调性验证极值类型，最后代入参数值即可求解. 【详解】因为函数在处取得最小值1， 所以在处取得极值，故. 又，所以， 解得. 将代入导数得， 令，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，，单调递增. 因此是的最小值点，也是极小值点，符合题意，所以. 7. 已知函数，，若存在，对任意，使得恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性与最值，将问题化为计算两个函数的最大值即可. 【详解】易知，令得，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以时，单调递增，即， 而时，， 由题意可知，所以，即. 故选：A 8. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ） A. 2022 B. 4044 C. 2023 D. 4046 【答案】D 【解析】 【分析】先得到，再用倒序相加法即可求解. 【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且， 所以， 又∵函数， ∴， 令，则， ∴， ∴. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图是导函数的图像，下列说法正确的是（ ） A. 为函数的单调递增区间 B. 为函数的单调递减区间 C. 函数在处取得极大值 D. 函数在处取得极小值 【答案】ABD 【解析】 【分析】由图像与性质关系可得答案. 【详解】对于A，由图可得时，，则在上单调递增，故A正确； 对于B，由图可得时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，由图可得，则不在时取得极大值，故C错误； 对于D，由图可得时，，则在上单调递减，在上单调递增，则在时取得极小值，故D正确． 故选：ABD 10. 下列说法中，正确的是（     ） A. 若，则成等比数列 B. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 C. 若等比数列的前项和，则 D. 等差数列中，若，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，当时，满足，但，，不成等比数列，故A错误; 对于B，数列为等差数列，设等差数列的公差为，则 ，且首项 数列是为首项，为公比的等比数列，故B正确; 对于C，， 当时，; 当时， 数列为等比数列，，即，解得，故C错误; 对于D，数列为等差数列，设等差数列的公差为， 又，，即 ，， ，故D正确. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若恒成立，则 B. 是的极值点 C. 若恰有2个正零点，则 D. 若关于x的不等式有解，则 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：可得恒成立，令，利用导数求其最值，即可得结果；对于B：举反例，取，结合定义域分析判断；对于C：令，可得，结合函数单调性可得，利用导数分析其单调性和最值即可求解；对于D：令，分和两种情况讨论，结合选项C的结论运算求解. 【详解】由题意可知：. 对于选项A：若恒成立，可得恒成立， 令，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 可得，即，故A正确； 对于选项B：若，令，解得， 此时的定义域为，不在定义域内，故B错误； 对于选项C：由题意可知：，令，解得， 令，可得， 构造，则， 因为在R上单调递增，则，即， 构造，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则 即，解得，所以，故C正确； 对于选项D：令， 若，可知的定义域为， 当趋近于时，趋近于，符合题意； 若，可知的定义域为， 令，可得， 由选项C可知：在定义域内单调递增， 因为，则，即， 可知有解，由选项C可得：，解得； 综上所述：，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】求出，代值计算可得的值. 【详解】因为，则， 因此，. 故答案为：. 13. 已知等比数列中，若，则=__________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式化简，解方程组得结果 【详解】因为等比数列中通项公式可知，，那么联立方程可知首项为128，公比为， 结合9. 故答案为：9. 14. 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______． 【答案】或0 【解析】 【详解】设，切点为， 可知，则切线方程为，化简得， 设，切点为， 可知，则切线方程为，化简得， 当两条切线为同一直线时， 由可得，代入上式得，化简得， 解得或，由，可知或0. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设为等差数列的前项和，已知，. （1）求数列的通项公式； （2）记，为数列的前项和，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项公式列出方程组解出等差数列的首项和公差即可； （2）先求出数列的通项公式，然后利用裂项相减法求和，可求出的值. 【小问1详解】 等差数列中，，， ，解得，， . 【小问2详解】 ，， . 16. 已知函数 （1）求函数的单调区间； （2）求函数在上的最大值和最小值． 【答案】（1）函数在、上单调递增，在上单调递减 （2）最大值为9，最小值为 【解析】 【分析】（1）求导后利用导数正负判断即可得； （2）结合（1）中所得，列出函数与在的变化情况即可得解. 【小问1详解】 ， 令，解得， 由得或，此时函数单调递增， 由得，此时函数单调递减， 所以函数在、上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 当时，函数与的变化如下表： 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当时，函数取得极大值，， 当时，函数取得极小值， ， 又， 可知函数的最大值为9，最小值为. 17. 已知，． （1）若在上单调递减，求的取值范围； （2）是否存在实数，使在区间的最小值是5，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在,. 【解析】 【分析】（1）利用导函数与函数的单调性的关系求解； （2）利用导函数与函数单调性的关系，讨论含参数的函数的单调性，并根据单调性与最值的关系求解. 【小问1详解】 , , 因为在上单调递减， 所以在恒成立， 即在恒成立， 因为函数在单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 【小问2详解】 ， 若，则在恒成立， 则函数在区间单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若，由解得， 由解得， （i）若，即， 则函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； （ii）若，即， 则函数在单调递减， 所以，解得，不满足题意； 综上，. 18. 已知数列的前n项和为，，. （1）求证：数列是等差数列. （2）设，数列的前n项和为. ①求； ②若对任意的正整数n，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）因为，可得，所以， 两边同除以，可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为，公差为1的等差数列. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由，根据，得到，两边同除以，得到，结合等差数列的定义，即可得证； （2）①由（1）求得，得到，利用乘公比错位相减法求和，即可求得；②由对任意的恒成立，转化为恒成立，令，求得数列是递减数列，得到的最大值，即可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）可得，所以，可得， 所以， 则. 两式相减，可得 ， 所以. ②因为对任意的恒成立，所以， 则对任意的恒成立. 令，可得， 所以数列是递减数列， 当时，取得最大值，所以，即实数的取值范围是. 19. 已知函数. （1）当时，求函数的最小值； （2）试讨论函数的单调性； （3）当时，不等式恒成立，求整数的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性和最值； （2）求出原函数的导函数，对进行分类讨论即可得出原函数的单调区间； （3）问题转化为恒成立，令新函数，利用导数求其最小值的范围，即可求得整数的最大值. 【小问1详解】 当时，则， 可知的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知的单调递减区间是，单调递增区间是； 所以函数的最小值为. 【小问2详解】 由题意可知的定义域为，且， 当时，恒成立， 所以的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，令解得， 令，解得；令，解得； 所以的单调递减区间是，单调递增区间是； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 即，整理可得， 原题意等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 所以在区间上单调递增， 因为，， 所以在区间内存在唯一零点， 即，所以， 当时，，即； 当时，，即； 可知在区间上单调递减，在区间上单调递增； 所以， 因为，则，即， 且为整数，则，所以整数的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $