精品解析：海南中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

海南中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：的共轭复数 ， 所以的虚部为. 2. 已知向量 ，若，则=（    ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，所以. 3. 已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. π D. 【答案】B 【解析】 【分析】圆锥的轴截面特征即可求. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为的等边三角形, 所以圆锥底面半径, 高为等边三角形的高为， 则圆锥的体积. 故选： 4. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知，. 所以. 因为，所以. 由投影向量公式可得在上的投影向量 所以在上的投影向量为. 5. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 6. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，， ，则（    ） A. -5 B. C. -4 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求的值，由题意得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求的值. 【详解】由平面向量数量积的定义可得， 由题意可知，， 所以 7. 已知O为锐角内一点满足，且，则为（    ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知O为三角形外心，根据数量积可得，进而可得结果. 【详解】因为，可得O为三角形外心， 又因为，即， 又角为锐角，可得， 所以，故为等边三角形. 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（    ） A. B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，，结合正弦定理得， 因，则，则， 若，则，与上式矛盾，故，则， 因，则， 因为AC边上的中线，则， 则 ， 则. 故选：C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据圆台，棱柱，正棱锥，棱台的定义判断. 【详解】对于A，以直角梯形的直角腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台，否则不是，A错； 对于B，下面的几何体有两个面平行，其余各面都是平行四边形，但它不是棱柱，B错； 对于C，底面是正多边形，顶点在底面上的射影是底面中心的棱锥才是正棱锥，C错； 对于D，棱台可以看作是用平行于棱锥的底面的平面截棱锥所得，因此它的各侧棱延长后必交于一点，D正确， 故选：ABC. 10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理逐项判断即可. 【详解】对于A，由正弦定理得，A正确； 对于B，由余弦定理得，B正确； 对于C，由及余弦定理得，则是锐角， 而之一可以是直角或钝角，C错误； 对于D，由，得， 又，则，可以为锐角，也可以为钝角，即有两个，D正确. 11. 正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A. 的最大值为 B. 当为内部的点，，， 则 C. 点在线段上时， D. 若，则点轨迹长度为 【答案】AB 【解析】 【分析】对于选项ACD利用平面向量的坐标表示可以简化问题，让问题快速解答；对于选项B要综合利用平面向量共线定理及平面向量基本定理，得到的关系，从而求解问题. 【详解】以为原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，那么 对于A选项，，设，，， 由得，， 所以，即，， 故当时，取得最大值，最大值为，故A选项正确； 对于B选项，设与相交于，则由， 设与相交于，则由可得， 因，，三点共线，故存在实数， 使， 因C，P，N三点共线，故存在实数n， 使得， 所以，解得， 由于， 所以，，所以，B选项正确. 对于C选项，点在线段上时，设，， ，故C选项错误； 对于D选项，由A选项知，，故，即， 所以点轨迹为直线在正方形内的部分，即线段， 其中中，令得，令得， 故，故使的点轨迹长度为， 所以，D选项错误. 故选：AB 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.   【答案】 【解析】 【分析】根据斜二测画法，与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度不变；与轴平行的线段在直观图中与轴平行，长度减半，分别求出，，的长度，即可求出原三角形的周长. 【详解】在中，， 根据直观图画出原图如下： 则，， 在中，， 所以原三角形的周长是. 13. 在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A，点B， 将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）. 【答案】 【解析】 【详解】已知点A，点B，可得. 将向量绕点A逆时针旋转得到向量， 则对应的复数为，所以三角形式为 . 14. 已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 【答案】 【解析】 【分析】画出圆台的轴截面图，由几何知识可确定球的半径，再计算对应圆台的侧面积，球的表面积，即可得答案. 【详解】设上底半径，下底半径 . 由圆台内切球的轴截面性质知，圆台母线长 ， 圆台的高（为球的半径） 由勾股定理得： ， 因此球半径 ， 所以圆台侧面积， 球的表面积， 所以=. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【小问1详解】 由是纯虚数，可得，解得， 故的值为1. 【小问2详解】 由 在复平面内对应的点在第四象限， 可得，解得，即的取值范围为. 16. 已知向量 （1）若=，求的取值； （2）若向量，夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】(1)由题意知，再结合向量模的运算公式解方程即可； (2)由题意知且，不共线，再结合向量共线的坐标关系，数量积运算的坐标表示求解即可。 【小问1详解】 解：因为向量， 所以， 所以=，即，解得：或. 【小问2详解】 解：因为向量，夹角为钝角， 所以且，不共线， 又因为，解得， 当，反向共线时，有，解得 ， 所以且，不共线时，的取值范围为： 综上，向量，夹角为钝角时，的取值范围为 17. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，，同时测得． （1）求A，M两点间的距离； （2）求山顶M，N之间的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦定理求解； （2）由题可得为等腰三角形，可求得，在中，利用余弦定理求解. 【小问1详解】 如图所示，在中，， 由正弦定理可得，，所以. 【小问2详解】 ∵，， ∴，易求得， 在中，，由余弦定理得，， 代入数据有，即. 所以M，N之间的距离为. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． （3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及两角和的正弦公式化简即可求解； （2）由正弦定理转化为三角函数，利用两角差的正弦公式化简，再由正弦型三角函数求值域即可； （3）由余弦定理及基本不等式求出范围，再由三角形面积公式得出，再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理可得：， 因为， 所以， 即， 由可得，即， 由，可得. 【小问2详解】 因为， 所以 ， 由三角形为锐角三角形可知，，解得， 所以，， 所以. 【小问3详解】 如图， 由余弦定理，， 即，当且仅当时，等号成立， 又， 化简可得，， 所以，当且仅当时等号成立. 故BD长度的最大值为. 19. 在中，周长为20，面积为，且. （1）求边的长度； （2）若动点是的内切圆上的一点，且. ①求的值； ②求的取值范围. 【答案】（1）BC=7；（2）①；②. 【解析】 【分析】（1）解方程组即得解； （2）①由题得，,解方程组即得解；②以点A为坐标原点建立直角坐标系，设，不妨设，求出，即得解. 【详解】（1）由得. 所以. 由题得 解方程组得或. 故BC=7. （2）①由题得内切圆的半径， 因为. 因为， 所以， 如果， 所以. 所以, 解之得 当时，. 故. ②以点A为坐标原点建立直角坐标系， 则圆的方程为， 设，不妨设， 所以 所以 ， 所以. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是第2问的②，关键是联想到建立直角坐标系，利用解析几何的方法解决最值问题，通过建立坐标系，建立函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 19小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A. B. 2 C. D. 2. 已知向量 ，若，则=（    ） A. B. C. D. 2 3. 已知圆锥的轴截面是边长为2 的等边三角形，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. π D. 4. 已知向量满足，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量.若向量，则有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.若在该坐标系中，， ，则（    ） A. -5 B. C. -4 D. 0 7. 已知O为锐角内一点满足，且，则为（    ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 8. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（    ） A. B. 3 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 以直角梯形的一条腰所在直线为旋转轴，其余边旋转一周形成的几何体是圆台 B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 C. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D. 棱台的各侧棱延长后必交于一点 10. 设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则为锐角三角形 D. 若，则符合条件的有两个 11. 正方形的边长为2，动点在正方形内部及边上运动，，则下列结论正确的有（   ） A. 的最大值为 B. 当为内部的点，，， 则 C. 点在线段上时， D. 若，则点轨迹长度为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是__________.   13. 在平面直角坐标系中，对于任意平面向量，定义如下变换：将绕其起点逆时针旋转得到向量，从复数角度看，平面向量与复数一一对应，上述旋转变换等价于该复数乘以虚数单位i. 已知点A，点B， 将向量绕点A逆时针旋转得到向量，则对应的复数为__________（写成复数的三角形式）. 14. 已知球内切于圆台（即球与圆台的上、下底面及侧面均相切），且圆台上、下底面半径之比为2：5. 设圆台的侧面积为，球的表面积为，则=__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，其中为虚数单位，． （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 已知向量 （1）若=，求的取值； （2）若向量，夹角为钝角，求的取值范围． 17. 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内．测得A到M，N的俯角和分别为，，B到M，N的俯角分别为，，同时测得． （1）求A，M两点间的距离； （2）求山顶M，N之间的距离． 18. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且． （1）求B； （2）若为锐角三角形，求的取值范围． （3）若角B的角平分线交AC于D点，求BD长度的最大值． 19. 在中，周长为20，面积为，且. （1）求边的长度； （2）若动点是的内切圆上的一点，且. ①求的值； ②求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $