精品解析：海南省海口市琼山中学2024-2025学年高一下学期第二次段考数学试题

高一第二学期段考数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、智学网准考证号填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 下列各角中，与2025°角终边相同的是（ ） A 225° B. C. 45° D. 2. 在中，内角，，所对边分别为，，，且，，，则（ ） A B. C. D. 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若在三角形中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知 ， ，那么为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ） A B. C. D. 8. 三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（ ）（） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个正确答案选对一个得3分，三个正确答案选对一个得2分，有选错的得0分.） 9. 下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（ ） ；；的虚部是；对应的点在第四象限. A. B. C. D. 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. 向量、的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，且有两解，则的取值范围是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，的夹角为120°，且，，则________． 13. 已知，，则______. 14. 已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________． 四、解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线． （1）求； （2）求面积． 16. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. （1）求圆锥的侧面积； （2）求几何体的体积. 17. 如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）若为边上一点，且，求的长． 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值与最小值； （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，若函数的图象与直线没有公共点，求实数m的取值范围. 19. 已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一第二学期段考数学试卷 考试时间：120分钟 满分150分 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、智学网准考证号填写在答题卡指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 下列各角中，与2025°角终边相同的是（ ） A. 225° B. C. 45° D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据终边相同的角的判断方法逐一判断即得. 【详解】因，即与的终边相同. 对于A，由上分析可得，故A正确； 对于B，因不是整倍数，故B错误； 对于C，因不是的整倍数，故C错误； 对于D，因不是的整倍数，故D错误. 故选：A. 2. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求解. 【详解】解：因为在中，，，， 由正弦定理得，则， 因为，所以，则， 故选：A 3. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过点作，在直角中，求得，结合斜二测画法的规则，即可求得原平面图形的高，得到答案. 【详解】如图所示，过点作， 因为四边形为直角梯形，且，，可得， 在直角中，可得， 根据斜二测画法的规则，可得原平面图形的高为. 故选：C. 4. 若在三角形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由线性运算表示，，最后再表示即可. 【详解】因为，所以点是中点， 所以. 故选：B. 5. 已知角终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为角终边过点，由三角函数的定义可得， 由二倍角的余弦公式可得. 故选：A. 6. 已知 ， ，那么为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据利用两角差的正切公式即可得解. 【详解】因为 ， ， 所以. 故选：C. 7. 如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形及平行公理判断即可. 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 8. 三国（220年一280年）是上承东汉下启西晋的一段历史时期，分为曹魏、蜀汉、东吴三个政权，元末明初的小说家罗贯中依据这段历史编写《三国演义》全名为《三国志通俗演义》，小说中记载孙刘联盟共同打击曹魏，蜀吴两国为了达成合作经常派使臣来往，古代出行以骑马为主，假如一匹马每个时辰（2小时）能走30公里，一天走10个小时，十天能到达.吴国都城位于蜀国都城正东，魏国的都城在蜀国都城的北偏东30°，相距约1000公里，若吴国一叛徒要向魏国告密大约需要几天能到达魏国都城（ ）（） A. 七 B. 八 C. 九 D. 十 【答案】C 【解析】 【分析】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、，可得出公里，公里，，利用余弦定理求出，再除以可得结果. 【详解】将魏、蜀、吴三国的都城分别记为、、， 由题意可知，公里，公里，， 由余弦定理可得 公里， （天），故谋臣大约需要天才能到达目的地. 故选：C. 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个正确答案选对一个得3分，三个正确答案选对一个得2分，有选错的得0分.） 9. 下面是关于复数的四个命题，其中的真命题为（ ） ；；的虚部是；对应的点在第四象限. A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简复数，结合复数模，共轭复数定义，以及复数的概念和复数的几何意义，逐个判定，即可求解. 【详解】由复数， 所以，，复数的虚部为， 且复数在复平面内对应的点位于第四象限，所以，，正确，不正确. 故选：ABD. 10. 已知向量，，，则（ ） A. B. 向量、的夹角为 C. D. 在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面向量垂直的坐标表示可求出的值，可判断A选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断BC选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，因向量，，则， 因为，则，解得，则，A错； 对于B选项，因为， 因为，故，即向量、的夹角为，B对； 对于C选项，，故，C对； 对于D选项，在上的投影向量为，D对. 故选：BCD. 11. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则是钝角三角形 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用余弦定理判断A；利用余弦定理将角化边，即可判断B；由正弦定理将边化角，结合诱导公式及二倍角公式判断C；由正弦定理判断D. 【详解】对于A：由余弦定理，所以为钝角，则是钝角三角形，故A正确； 对于B：因为，由余弦定理可得， 所以 整理得，所以或， 故为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以， 即， 又，则，所以，所以，则， 所以，故C正确； 对于D：如图，因为，若有两解，则， 即，所以，则的取值范围是，故D正确． 故选：ACD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，的夹角为120°，且，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量数量积的概念，列出式子即可求出结果. 【详解】由得 ． 故答案为：1. 13. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦差公式将已知条件展开，结合，求得，再利用正弦二倍角公式，将展开，代入即可求解. 【详解】因为，而， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知正四棱台的上底面边长为2，侧棱长为，高为1，则该正四棱台的下底面边长为___________，该正四棱台的体积为___________． 【答案】 ①. 4 ②. ## 【解析】 【分析】利用勾股定理求出下底面的边长，利用棱台的体积公式计算可得体积. 【详解】设该正四棱台下底面的边长为，则， 解得， 故该正四棱台的体积为． 故答案为：①4；②. 四、解答题：（本小题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，向量，向量，且与共线． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量共线的坐标表示可得出关于的等式，结合可求出的值； （2）求出角的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 因为向量，向量，且与共线， 则，整理可得，因为，解得. 【小问2详解】 因为，，则， 所以，的面积为. 16. 亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且. （1）求圆锥的侧面积； （2）求几何体的体积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出圆锥底面半径，然后由侧面积公式求解即可； （2）分别求出圆锥，圆柱的体积，然后求和即可求出几何体的体积. 【小问1详解】 因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm， 所以圆锥底面半径为cm， 所以圆锥的侧面积为 【小问2详解】 由（1）可知，圆锥的体积为： ， 圆柱的体积为：， 所以几何体的体积为：. 17. 如图，在中，内角所对的边分别为，已知，，． （1）求的值； （2）若为边上一点，且，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求解，由正弦定理即可求解. （2）作辅助线根据解直角三角形知识分别求出和即可. 【小问1详解】 由余弦定理得： ∴ , 由正弦定理：得. 【小问2详解】 如图所示： 过作于，在中， ，， ∴，，在中，. ∴ ∴ ∴ 18. 已知函数（，，）的部分图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值与最小值； （3）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位后得到的图象，若函数的图象与直线没有公共点，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据图象求，利用周期公式可得，代点的坐标可求； （2）求出的范围，结合正弦函数性质可解； （3）根据图象变化求出，利用的值域即可得解. 【小问1详解】 由图可知，，所以，故， 又的图象过点，所以， 即，得， 因为，所以，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以当，即时，取得最小值； 当，即时，取得最大值. 【小问3详解】 由题可知，， 易知函数的值域为， 因为函数的图象与直线没有公共点， 所以实数m的取值范围为. 19. 已知函数. （Ⅰ）求函数的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）在锐角中，设角、、所对的边分别是、、，若且，求的取值范围. 【答案】（Ⅰ）最小正周期为，，；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解； （Ⅱ）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由题意，函数， 所以函数的最小正周期为， 令，解得， 所以函数的单调递增区间是，. （Ⅱ）由（1）可得，因，可得， 由正弦定理可知，所以，， 由及为锐角三角形，解得， 则 . 因为，可得，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$