期中专题1第三单元《图形的平移与旋转》培优专项练习+单元知识点剖析-2025～2026学年北师大版八年级数学下册

期中专题1第三单元《图形的平移与旋转》培优专项练习-2025~2026北师大版八年级数学下册解析版 一．选择题（共10小题）校对： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B C C B C B C 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）解析： 1．（2分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线） C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线） 【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【解答】解：A．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 2．（2分）下列四边形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．矩形 【考点】中心对称图形；轴对称图形．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【解答】解：A．平行四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形故不符合题意； B．等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．直角梯形不是中心对称图形，故不符合题意； D．矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，故符合题意． 故选：D． 【点评】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，做题的关键是掌握中心对称图形与轴对称图形的概念． 3．（2分）下列现象中属于平移的是（　　） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【考点】生活中的平移现象．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】B 【分析】根据平移的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：A．温度计中液柱的变化，不是平移变化，因此选项A不符合题意； B．升降电梯从一楼升到五楼，是平移变化，因此选项B符合题意； C．树叶从树上随风飘落，不是平移变化，因此选项C不符合题意； D．纸张沿着它的中线对折，是轴对称，不是平移变化，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的定义和性质是正确解答的关键． 4．（2分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠CAD＝15°，则∠DAE＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．35° 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】确定旋转角即可推出结果． 【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE， ∴∠CAE＝60°， 又∵∠CAD＝15°， ∴∠DAE＝60°﹣15°＝45°， 故选：B． 【点评】本题考查了旋转的性质，熟记旋转的性质是解题的关键． 5．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转42°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的大小为（　　） A．74° B．71° C．69° D．48° 【考点】旋转的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称． 【答案】C 【分析】由旋转的性质可得AD＝AB，∠ADE＝∠B，∠BAD＝42°，再由等边对等角和三角形内角和定理求出∠B的度数即可得到答案． 【解答】解：由旋转的性质可得AD＝AB，∠ADE＝∠B，∠BAD＝42°， ∴， ∴∠ADE＝69°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角和三角形内角和定理，熟练掌握它们的基本性质是解题的关键． 6．（2分）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对角线AC与BD相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①AB＝CD；②OA＝OC＝OB＝OD；③△AOD和△COB关于点O成中心对称；④将△ABC绕点O旋转180°能与△CDA重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】中心对称图形．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义判断即可． 【解答】解：①AB＝CD，正确； ②OA＝OC，OB＝OD，故错误； ③△AOD和△COB关于点O成中心对称，正确； ④将△ABC绕点O旋转180°能与△CDA重合，正确； 所以正确有3个． 故选：C． 【点评】此题考查了中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的定义和性质是解题的关键． 7．（2分）如图，在一块长为11m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是（　　） A．66m2 B．60m2 C．55m2 D．50m2 【考点】生活中的平移现象．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得，这块草地可看作是一个长为（11﹣1）m，宽为8m的矩形，然后进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得，这块草地青草覆盖的面积是（11﹣1）×6＝60（m2）． 故选：B． 【点评】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 8．（2分）下列关于旋转和平移的说法正确的是（　　） A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小 【考点】旋转的性质；平移的性质．版权所有 【答案】C 【分析】根据旋转和平移的性质分别分析得出答案即可． 【解答】解：A、根据旋转的性质得出，旋转不改变图形的形状，故此选项错误； B、由旋转得到的图形不一定可以通过平移得到，故此选项错误； C、对应点到旋转中心距离相等，此选项正确； D、平移与旋转都可改变图形的位置但不改变图形的大小，故此选项错误． 故选：C． 【点评】本题考查了旋转和平移的性质，熟练掌握平移与旋转的性质是解题关键． 9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D．则DC′的最大值为（　　） A． B．5 C．3 D．4 【考点】旋转的性质；勾股定理．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】B 【分析】勾股定理求得AB＝5，则AB＝A'B'＝5，过A点作AE∥A'C′，交DC的延长线于点E，证明△AED≌△A'C′D（ASA），得出AD＝A'D，则D为AA'的中点，进而证明BD⊥AA'，取A'B中点M，连接C'M，连接DM，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，DC'≤C'M+DM＝5，即可求解． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3， ∴5， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A'BC'， ∴A'B＝AB＝5， 如图1，过A点作AE∥A'C'，交CD的延长线于点E， 设旋转角∠CBC'＝α， 则，， ∴， ∴AE＝AC＝A'C'， ∵AE∥A'C'， ∴∠E＝∠A'CD，∠EAD＝∠C'A'D， ∴△AED≌△A'C′D（ASA）， ∴AD＝A'D，即D为AA'的中点， 连接BD， ∵BA＝BA'， ∴BD⊥AA'， 取A'B中点M，连接C'M，连接DM， ∵A'B＝5， ∴， ∴DC′≤C'M+DM＝5．即DC′的最大值为5； 故选：B． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、中位线定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 10．（2分）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】C 【分析】连接BF，判定△ACE≌△BCF，即可得到∠CBF＝∠CAE＝30°，进而得出点F的运动轨迹为直线BF，依据当DF⊥BF时，DF最短，即可得到DF的最小值是2． 【解答】解：如图，连接BF， 由旋转可得，CE＝FC，∠ECF＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∴△ACE≌△BCF（SAS）， ∴∠CBF＝∠CAE， ∵边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点， ∴∠CAE＝30°，BD＝4， ∴∠CBF＝30°， 即点F的运动轨迹为直线BF， ∴当DF⊥BF时，DF最短， 此时，DFBD4＝2， ∴DF的最小值是2， 故选：C． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，等腰△ABC的顶角∠B＝28°，将△ABC绕点A逆时针旋转，BC的对应边B′C′恰好经过点C，则旋转角的度数为　28°　 ． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】28°． 【分析】由等腰△ABC的顶角∠B＝28°，可知∠BCA＝∠BAC，由旋转得∠C′＝∠BCA＝∠BAC，∠B′＝∠B＝28°，AC′＝AC，则∠C′＝∠ACC′，所以∠BAC＝∠ACC′，推导出AB∥B′C′，则∠BAB′＝∠B′＝28°，可知旋转角的度数为28°，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵等腰△ABC的顶角∠B＝28°， ∴∠BCA＝∠BAC， ∵将△ABC绕点A逆时针旋转，BC的对应边B′C′恰好经过点C， ∴∠C′＝∠BCA＝∠BAC，∠B′＝∠B＝28°，AC′＝AC， ∴∠C′＝∠ACC′， ∴∠BAC＝∠ACC′， ∴AB∥B′C′， ∴∠BAB′＝∠B′＝28°， ∴旋转角的度数为28°， 故答案为：28°． 【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、旋转的性质、平行线的判定与性质等知识，推导出∠BAC＝∠ACC′，进而证明AB∥B′C′是解题的关键． 12．（3分）△ABC沿竖直方向向下平移2cm，得到△DEF，若AB＝10cm，GH＝5cm，则阴影部分的面积为　15cm2 ． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；运算能力． 【答案】15cm2． 【分析】根据题意得到阴影部分的面积＝S梯形GHDE，即可得到答案． 【解答】解：根据题意得到阴影部分的面积＝S梯形GHDE， ∵S△ABC﹣S△FGH＝S△DEF﹣S△FGH， ∴阴影部分的面积． 故答案为：15cm2． 【点评】本题考查了平移的性质，熟练掌握该知识点是关键． 13．（3分）如图，△ABC沿AC边所在直线向上平移3个单位长度得到△DEF，四边形ABEF的周长为20，则△ABC的周长等于　14　 ． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；几何直观． 【答案】14． 【分析】先根据图形平移的性质得出CF＝BE＝3，EF＝BC，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC沿AC边所在直线向上平移3个单位长度得到△DEF， ∴CF＝BE＝3，EF＝BC， ∵四边形ABEF的周长为20， ∴△ABC的周长＝四边形ABEF的周长﹣BE﹣CF＝20﹣3﹣3＝14． 故答案为：14． 【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，且AC与DE相交于点G，连接AD．则阴影部分的两个三角形周长之和为　12　 cm． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】12． 【分析】先利用平移的性质得到AD＝BE，DE＝AB＝3cm，则BC＝5cm，然后计算阴影部分的周长即可求解． 【解答】解：∵AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF， ∴AD＝BE，DE＝AB＝3cm， ∵DG+GE＝DE＝AB＝3cm，AG+GC＝AC＝4cm， ∴阴影部分的两个三角形周长之和为AD+DG+AG+GE+GC+EC＝（AD+EC）+（DG+GE）+（AG+GC）＝5+3+4＝12（cm）． 故答案为：12． 【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键． 15．（3分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），将线段CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F为BE的中点，连接CF，在点D运动的过程中，线段CF的长的最小值是　1　 ． 【考点】旋转的性质；等边三角形的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】1 【分析】连接CE，取BC的中点N，连接NF，先由等腰三角形的性质得∠DCE＝30°，再由三角形中位线定理得NF∥CE，则∠CNF＝∠DCE＝30°，得点F的轨迹为直线NF，且∠CNF＝30°，当CF⊥NF时，CF最短，即可求解． 【解答】解：连接CE，取BC的中点N，连接NF，如图所示： ∵△CDE为等腰三角形，∠CDE＝120°， ∴∠DCE＝30°， ∵点N为BC的中点，点F为BE的中点， ∴NF是△BCE的中位线， ∴NF∥CE， ∴∠CNF＝∠DCE＝30°， ∴点F的轨迹为直线NF，且∠CNF＝30°， 当CF⊥NF时，CF最短， ∵AB＝BC＝4， ∴CN＝2， 在Rt△CNF中，∠CNF＝30°， ∴CFCN＝1， ∴线段CF长度的最小值为1； 故答案为：1． 【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，确定点F的轨迹是解题的关键． 三．解答题（共9小题，满分85分） 16．（8分）如图，将三角形ABC沿射线AB的方向平移2个单位长度到三角形DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）若AB＝4，求AE的长； （2）若∠ABC＝25°，求∠CFE的度数． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】（1）6； （2）155°． 【分析】（1）先根据图形平移的性质得出BE＝AD＝2，进而可得出结论； （2）由图形平移的性质得出∠E＝∠ABC＝25°，CF∥AB，进而可得出结论． 【解答】解：（1）∵将三角形ABC沿射线AB的方向平移2个单位长度到三角形DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F， ∴BE＝AD＝2， ∵AB＝4， ∴AE＝AB+BE＝4+2＝6； （2）∵将三角形ABC沿射线AB的方向平移2个单位长度到三角形DEF的位置，∠ABC＝25°， ∴∠E＝∠ABC＝25°，CF∥AB， ∴∠CFE＝180°﹣∠E＝180°﹣25°＝155°． 【点评】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 17．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，将△ABC向左平移3cm得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，DC＝4cm． （1）BB′＝　3　 cm； （2）AB与A′B′之间的关系是AB＝A′B′且AB∥A′B′　 ； （3）计算图中阴影部分的面积． 【考点】平移的性质．版权所有 【专题】多边形与平行四边形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力． 【答案】（1）3； （2）AB＝A′B′且AB∥A′B′； （3）15． 【分析】（1）根据平移的定义和性质进行解答即可； （2）根据平移的定义和性质进行解答即可； （3）根据平移的定义和性质得到四边形A′B′BA是平行四边形，AA′＝BB′＝CC′＝3cm，AA′∥BB′，AB∥A′B′，AC＝A′C′＝4cm，AD＝2cm，再根据S阴影部分＝S平行四边形﹣S△A′AD进行计算即可． 【解答】解：（1）由平移的性质可知，BB′的长就是平移的距离，所以BB′＝3cm， 故答案为：3； （2）由平移的性质可知，AB＝A′B′且AB∥A′B′， 故答案为：AB＝A′B′且AB∥A′B′； （3）如图，连接AA′，由平移的性质可知，AA′＝BB′＝CC′＝3cm，AA′∥BB′，AB∥A′B′，AC＝A′C′＝4cm， ∴四边形A′B′BA是平行四边形，AD＝AC﹣CD＝6﹣4＝2， ∴S阴影部分＝S平行四边形﹣S△A′AD ＝3×63×2 ＝15． 【点评】本题考查平移的性质，掌握平移的性质以及平行四边形的判定和性质是正确解答的关键． 18．（8分）利用图形运动有关的对称性可设计出美丽图案，现把一个四边形通过对称变换完成图案设计，如图，在方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸中有一个顶点都在格点上的四边形，完成下列问题： （1）图案设计：先画出四边形关于直线1成轴对称的图形，再将所得的图形和原四边形绕点O按顺时针旋转90°，所得的新图形与原图形组成了一个美丽的图案； （2）完成上述图案设计后，可知这个图案的面积等于 　20　 ． 【考点】利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．版权所有 【专题】作图题；几何直观． 【答案】（1）见解析；（2）20． 【分析】（1）由作出关于直线AB的轴对称图形，找出图形对应点连接即可； （2）原四边形，绕点O逆时针旋转90°得出对应点即可得出答案． 【解答】解：（1）图形如图所示； （2）整个图案的面积＝42×5＝20， 故答案为：20． 【点评】此题主要考查了利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案，图形的旋转以及对角线垂直的四边形面积求法，根据已知得出图形的对应点坐标是解题关键． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是△ABC内部一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°，得到线段AE，连接BD，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）连接DE，分别取线段BC，DE的中点F，G，连接FG，用等式表示线段FG与CE的数量关系，并证明． 【考点】旋转的性质；等腰三角形的性质．版权所有 【答案】（1）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转120°，得到线段AE． ∴AD＝AE，∠DAE＝120°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：线段FG与CE的数量关系为FGCE，证明如下： 如图，连接AG，AF， ∵AB＝AC，点F为线段BC的中点，∠BAC＝120°， ∴AF⊥BC，∠BAF∠BAC＝60°， ∵AD＝AE，点G为线段DE的中点，∠DAE＝120°． ∴AG⊥DE，∠DAG∠DAE＝60°， ∴∠BAF＝∠DAG， ∴∠BAF﹣∠DAF＝∠DAG﹣∠DAF，即∠BAD＝∠FAG， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠CAE＝∠BAD＝∠FAG， ∵AB＝AC，AF⊥BC，∠BAC＝120°． ∴∠ACF（180°﹣∠BAC）＝30°， 在Rt△ACF中，sin∠ACFsin30°， 同理可得，在Rt△AEG中，sin∠AEGsin30°， ∴， ∵∠FAG＝∠CAE， ∴△AFG∽△ACE， ， ∴FGCE． 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得AD＝AE，∠DAE＝120°，结合∠BAC＝120°证明∠BAD＝∠CAE，然后利用“SAS”证明△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质即可证明结论； （2）连接AG，AF，首先证明∠FAG＝∠CAE，再证明，进而可证明△AFG∽△ACE，根据相似三角形的性质，即可解答． 【解答】（1）证明：∵将线段AD绕点A逆时针旋转120°，得到线段AE． ∴AD＝AE，∠DAE＝120°， ∵∠BAC＝120°， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴BD＝CE； （2）解：线段FG与CE的数量关系为FGCE，证明如下： 如图，连接AG，AF， ∵AB＝AC，点F为线段BC的中点，∠BAC＝120°， ∴AF⊥BC，∠BAF∠BAC＝60°， ∵AD＝AE，点G为线段DE的中点，∠DAE＝120°． ∴AG⊥DE，∠DAG∠DAE＝60°， ∴∠BAF＝∠DAG， ∴∠BAF﹣∠DAF＝∠DAG﹣∠DAF，即∠BAD＝∠FAG， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠CAE＝∠BAD＝∠FAG， ∵AB＝AC，AF⊥BC，∠BAC＝120°． ∴∠ACF（180°﹣∠BAC）＝30°， 在Rt△ACF中，sin∠ACFsin30°， 同理可得，在Rt△AEG中，sin∠AEGsin30°， ∴， ∵∠FAG＝∠CAE， ∴△AFG∽△ACE， ， ∴FGCE． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，综合运用以上知识是解题关键． 20．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α（0°＜α＜45°），D是边BC延长线上一点（DC＜BC），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α，得到线段AE，过点E作BC的垂线，垂足为F． （1）用等式表示∠DAE与∠CAB的数量关系，并证明； （2）作线段EF的垂直平分线，垂足为G，交AB于点P，交AC于点Q，依题意补全图形．用等式表示线段PQ与DF的数量关系，并证明． 【考点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质．版权所有 【专题】平移、旋转与对称；推理能力． 【答案】（1）∠DAE＝2∠CAB．理由如下： ∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α， ∴∠DAE＝180°﹣2α， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝α， ∴∠CAB＝90°﹣α， ∴2∠CAB＝180°﹣2α， ∴∠DAE＝2∠CAB； （2）如图，PG即为所求作的线段EF的垂直平分线，DF＝2PQ．理由如下： 连接BE，将△AEB绕点A顺时针旋转180°﹣2a至△ADM，连接BM， 则∠BAM＝180°﹣2α，AB＝AM，BE＝DM， ∴， ∵∠ABC＝α， ∴点M，D，C，B共线， ∴∠ABE＝∠AMB＝α， ∴∠ABE＝∠ABC， 延长EP交BC于点N，作PK⊥BC于点K，PL⊥BE于点L，连接PF， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形PQCK是矩形， ∴PQ＝CK， ∵EF⊥BC，PG是EF的垂直平分线， ∴PG∥BC，EG＝FG， ∴， ∴EP＝NP， ∴， ∴NK＝KF， ∴， ∵PK⊥BC，PL⊥BE，∠ABE＝∠ABC， ∴PK＝PL， ∵PN＝PE， ∴△PNK≌△PEL（HL）， ∴∠PNK＝∠PEL， ∴△PNB≌△PEB（AAS）， ∴BE＝BN， ∴DM＝BN， ∵∠ACB＝90°，AB＝AM， ∴CM＝CB， ∴CM﹣DM＝CB﹣BN， ∴CD＝CN， ∴， ∴， ∴，即DF＝2PQ． 【分析】（1）由旋转的性质得∠DAE＝180°﹣2α，由直角三角形的性质得∠CAB＝90°﹣α，整理可得∠DAE＝2∠CAB； （2）根据作已知线段垂直平分线的方法作出线段EF的垂直平分线，连接BE，将△AEB绕点A顺时针旋转180°﹣2α至△ADM，连接BM，证明点M，D，C，B共线，求出∠ABE＝∠AMB＝α，延长EP交BC于点N，作PK⊥BC于点K，PL⊥BE于点L，连接PF，则四边形PQCK是矩形，可得PQ＝CK，由平行线分线段成比例定理得EP＝NP，从而可证，进而得出，证明△PNK≌△PEL（HL），△PNB≌△PEB（AAS），得出BE＝BN，从而DM＝BN．结合CM＝CB可证CD＝CN，从而，整理可得DF＝2PQ． 【解答】解：（1）∠DAE＝2∠CAB．理由如下： ∵将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α， ∴∠DAE＝180°﹣2α， ∵∠ACB＝90°，∠ABC＝α， ∴∠CAB＝90°﹣α， ∴2∠CAB＝180°﹣2α， ∴∠DAE＝2∠CAB； （2）如图，PG即为所求作的线段EF的垂直平分线，DF＝2PQ．理由如下： 连接BE，将△AEB绕点A顺时针旋转180°﹣2a至△ADM，连接BM， 则∠BAM＝180°﹣2α，AB＝AM，BE＝DM， ∴， ∵∠ABC＝α， ∴点M，D，C，B共线， ∴∠ABE＝∠AMB＝α， ∴∠ABE＝∠ABC， 延长EP交BC于点N，作PK⊥BC于点K，PL⊥BE于点L，连接PF， ∵∠ACB＝90°， ∴四边形PQCK是矩形， ∴PQ＝CK， ∵EF⊥BC，PG是EF的垂直平分线， ∴PG∥BC，EG＝FG， ∴， ∴EP＝NP， ∴， ∴NK＝KF， ∴， ∵PK⊥BC，PL⊥BE，∠ABE＝∠ABC， ∴PK＝PL， ∵PN＝PE， ∴△PNK≌△PEL（HL）， ∴∠PNK＝∠PEL， ∴△PNB≌△PEB（AAS）， ∴BE＝BN， ∴DM＝BN， ∵∠ACB＝90°，AB＝AM， ∴CM＝CB， ∴CM﹣DM＝CB﹣BN， ∴CD＝CN， ∴， ∴， ∴，即DF＝2PQ． 【点评】本题考查了旋转的性质，相似三角形的性质及判定等，掌握旋转的性质是解题的关键． 21．（10分）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　75°　 ； （2）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立； （3）如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PN重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 【考点】旋转的性质；平行线的判定与性质．版权所有 【专题】线段、角、相交线与平行线；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力． 【答案】（1）75°； （2）当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立； （3）当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是25秒． 【分析】（1）根据平角的定义即可得到结论； （2）如图1，根据平行线的性质得到∠CPN＝∠DBP＝90°，求得∠APN＝30°，于是得到结论；如图2，根据平行线的性质得到∠CPB＝∠DBP＝90°，根据三角形的内角和得到∠CPA＝60°，求得∠APM＝30°，于是得到结论； （3）设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°，根据周角的定义得到∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°，列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵∠BPD＝∠D＝45°，∠APC＝60°， ∴∠DPC＝180°﹣45°﹣60°＝75°， 故答案为：75°； （2）如图1，此时，BD∥PC成立， ∵PC∥BD，∠DBP＝90°， ∴∠CPN＝∠DBP＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CPA＝60°， ∴∠APN＝30°， ∵转速为10°/秒， ∴旋转时间为3秒； 如图2，PC∥BD， ∵PC∥BD，∠PBD＝90°， ∴∠CPB＝∠DBP＝90°， ∵∠C＝30°， ∴∠CPA＝60°， ∴∠APM＝30°， ∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°， ∵转速为10°/秒， ∴旋转时间为21秒， 综上所述，当旋转时间为3或21秒时，PC∥DB成立； （3）设旋转的时间为t秒，由题知，∠APN＝3t°，∠BPM＝2t°， ∴∠BPN＝180°﹣∠BPM＝180°﹣2t°， ∴∠CPD＝360°﹣∠BPD﹣∠BPN﹣∠APN﹣∠APC＝360°﹣45°﹣（180°﹣2t°）﹣（3t°）﹣60°＝75°﹣t°， 当∠CPD＝∠BPM，即2t°＝75°﹣t°， 解得：t＝25， ∴当∠CPD＝∠BPM，旋转的时间是25秒． 【点评】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和，识别图形是解题的关键． 22．（10分）将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC． （1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F． ①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　160　 度； ②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD． 【考点】旋转的性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）①根据旋转的性质可得∠ACA1＝20°，再根据直角的定义和角的和差求出∠BCD，然后根据∠BCB1＝∠BCD+∠A1CB1进行计算即可得解； ②根据直角三角形两锐角互余求出∠A1DE，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠ACA1，即为旋转角的度数； （2）根据两直线平行，同旁内角互补求出∠ADC＝90°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得CDAC，根据旋转的性质可得A1C＝AC，然后求出解即可． 【解答】解：（1）①由旋转的性质得，∠ACA1＝20°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACA1＝90°﹣20°＝70°， ∴∠BCB1＝∠BCD+∠A1CB1， ＝70°+90°， ＝160°； ②∵AB⊥A1B1， ∴∠A1DE＝90°﹣∠B1A1C＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ACA1＝∠A1DE﹣∠BAC＝60°﹣30°＝30°， ∴旋转角为30°； （2）∵AB∥CB1， ∴∠ADC＝180°﹣∠A1CB1＝180°﹣90°＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴CDAC， 又∵由旋转的性质得，A1C＝AC， ∴CDA1C， ∴A1D＝CD． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，平行线的性质，熟记各性质是解题的关键． 23．（11分）已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠DOB，当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小． （2）如图2．若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，当∠COB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小． 【考点】旋转的性质；角平分线的定义．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由角平分线的定义可知∠MOB∠AOB，∠BON∠BOD，然后依据∠MON＝∠MOB+∠BON求解即可； （2）由角平分线的定义可知∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD．，接下来依据∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC计算即可． 【解答】解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOD， ∴∠MOB∠AOB，∠BON∠BOD． ∴∠MON＝∠MOB+∠BON∠AOB∠BOD（∠AOB+∠BOD）160°＝80°． （2）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOD， ∴∠∠MOC∠AOC，∠BON∠BOD． ∴∠MON＝∠MOC+∠BON﹣∠BOC∠AOC∠BOD﹣∠BOC （∠AOC+∠BOD）﹣∠BOC 180°﹣20°＝70° 【点评】本题主要考查的是角平分线的定义、角的和差计算，掌握图形间相关角之间的关系是解题的关键． 24．（13分）如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°． （1）如图1，求∠EFB的度数； （2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转． ①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为　30　 °； ②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由． 【考点】旋转的性质；平行线的判定与性质．版权所有 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）①根据两直线平行，内错角相等可得∠ACD＝∠A，再根据同角的余角相等可得∠ECB＝∠ACD； ②分CE、DE、CD与AB平行分别作出图形，再根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠CDE＝45°， ∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∠E＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EFB＝∠ABC﹣∠E＝60°﹣45°＝15°； （2）①∵CD∥AB， ∴∠ACD＝∠A＝30°， ∵∠ACD+∠ACE＝∠DCE＝90°， ∠ECB+∠ACE＝∠ACB＝90°， ∴∠ECB＝∠ACD＝30°； ②如图1，CE∥AB，∠ACE＝∠A＝30°， ∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝90°+30°＝120°； 如图2，DE∥AB时，延长CD交AB于F， 则∠BFC＝∠D＝45°， 在△BCF中，∠BCF＝180°﹣∠B﹣∠BFC， ＝180°﹣60°﹣45°＝75°， ∴∠ECB＝∠BCF+∠ECF＝75°+90°＝165°； 如图3，CD∥AB时，∠BCD＝∠B＝60°， ∠ECB＝∠BCD+∠EDC＝60°+90°＝150°； 如图4，CE∥AB时，∠ECB＝∠B＝60°， 如图5，DE∥AB或DE与AB在同一条直线上时，∠ECB＝60°﹣45°＝15°． 【点评】本题考查了旋转的性质，三角板的知识，平行线的判定与性质，难点在于（2）根据旋转角的逐渐增大分别作出图形． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元考点卡片（重点知识、步骤剖析） 1．角平分线的定义 （1）角平分线的定义 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线． （2）性质：若OC是∠AOB的平分线 则∠AOC＝∠BOC∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC． （3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践． 2．平行线的判定与性质 （1）平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． （2）应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆． （3）平行线的判定与性质的联系与区别 区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行． 联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关． （4）辅助线规律，经常作出两平行线平行的直线或作出联系两直线的截线，构造出三类角． 3．线段垂直平分线的性质 （1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”． （2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　 　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　 　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 4．等腰三角形的性质 （1）等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形． （2）等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】 （3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论． 5．等边三角形的性质 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形． ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法； ②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的． （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°． 等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴． 6．勾股定理 （1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方． 如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）勾股定理公式a2+b2＝c2 的变形有：a，b及c． （4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 7．轴对称图形 （1）轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． （2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． （3）常见的轴对称图形： 等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等． 8．利用轴对称设计图案 利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案． 9．生活中的平移现象 1、平移的概念 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 10．平移的性质 （1）平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2）平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．　　 ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 11．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　 　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　 　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　 　　③旋转前、后的图形全等．　　 （2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 12．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 13．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中专题1第三单元《图形的平移与旋转》培优专项练习-2025~2026北师大版八年级数学下册原卷版 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线） C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线） 2．（2分）下列四边形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A．平行四边形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．矩形 3．（2分）下列现象中属于平移的是（　　） A．温度计中液柱的变化 B．升降电梯从一楼升到五楼 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 4．（2分）如图，△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，若∠CAD＝15°，则∠DAE＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．35° 5．（2分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转42°得到△ADE，点B的对应点D恰好落在边BC上，则∠ADE的大小为（　　） A．74° B．71° C．69° D．48° 6．（2分）如图，四边形ABCD是中心对称图形，对角线AC与BD相交于点O，下列说法正确的有（　　） ①AB＝CD；②OA＝OC＝OB＝OD；③△AOD和△COB关于点O成中心对称；④将△ABC绕点O旋转180°能与△CDA重合． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2分）如图，在一块长为11m，宽为6m的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m就是它的右边线，那么这块草地青草覆盖的面积是（　　） A．66m2 B．60m2 C．55m2 D．50m2 第4题图 第5题图 第6题图 第7题图 第9题图 第10题图 8．（2分）下列关于旋转和平移的说法正确的是（　　） A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得到 C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小 9．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△A′BC′，点A、C的对应点分别为点A′、C′，连接AA′、CC′，直线CC′交AA′于点D．则DC′的最大值为（　　） A． B．5 C．3 D．4 10．（2分）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）如图，等腰△ABC的顶角∠B＝28°，将△ABC绕点A逆时针旋转，BC的对应边B′C′恰好经过点C，则旋转角的度数为　 　 ． 12．（3分）△ABC沿竖直方向向下平移2cm，得到△DEF，若AB＝10cm，GH＝5cm，则阴影部分的面积为　 　 ． 13．（3分）如图，△ABC沿AC边所在直线向上平移3个单位长度得到△DEF，四边形ABEF的周长为20，则△ABC的周长等于　 　 ． 14．（3分）如图，在△ABC中，AB＝3cm，AC＝4cm，BC＝5cm，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，且AC与DE相交于点G，连接AD．则阴影部分的两个三角形周长之和为　 　 cm． 15．（3分）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），将线段CD绕点D顺时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F为BE的中点，连接CF，在点D运动的过程中，线段CF的长的最小值是　 　 ． 第11题图 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 三．解答题（共9小题，满分85分） 16．（8分）如图，将三角形ABC沿射线AB的方向平移2个单位长度到三角形DEF的位置，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F． （1）若AB＝4，求AE的长； （2）若∠ABC＝25°，求∠CFE的度数． 17．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，将△ABC向左平移3cm得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，DC＝4cm． （1）BB′＝　 　 cm； （2）AB与A′B′之间的关系是　 　 ； （3）计算图中阴影部分的面积． 18．（8分）利用图形运动有关的对称性可设计出美丽图案，现把一个四边形通过对称变换完成图案设计，如图，在方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸中有一个顶点都在格点上的四边形，完成下列问题： （1）图案设计：先画出四边形关于直线1成轴对称的图形，再将所得的图形和原四边形绕点O按顺时针旋转90°，所得的新图形与原图形组成了一个美丽的图案； （2）完成上述图案设计后，可知这个图案的面积等于 　 　 ． 19．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是△ABC内部一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转120°，得到线段AE，连接BD，CE． （1）求证：BD＝CE； （2）连接DE，分别取线段BC，DE的中点F，G，连接FG，用等式表示线段FG与CE的数量关系，并证明． 20．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α（0°＜α＜45°），D是边BC延长线上一点（DC＜BC），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转180°﹣2α，得到线段AE，过点E作BC的垂线，垂足为F． （1）用等式表示∠DAE与∠CAB的数量关系，并证明； （2）作线段EF的垂直平分线，垂足为G，交AB于点P，交AC于点Q，依题意补全图形．用等式表示线段PQ与DF的数量关系，并证明． 21．（10分）如图，有一副直角三角板如图1放置（其中∠D＝45°，∠C＝30°），PA，PB与直线MN重合，且三角板PAC，三角板PBD均可以绕点P逆时针旋转． （1）在图1中，∠DPC＝　 　 ； （2）如图2，若三角板PBD保持不动，三角板PAC绕点P逆时针旋转，转速为10°/秒，转动一周三角板PAC就停止转动，在旋转的过程中，当旋转时间为多少时，有PC∥DB成立； （3）如图3，在图1基础上，若三角板PAC的边PA从PN处开始绕点P逆时针旋转，转速为3°/秒，同时三角板PBD的边PB从PM处开始绕点P逆时针旋转，转速为2°/秒，当PC转到与PN重合时，两三角板都停止转动．在旋转过程中，当∠CPD＝∠BPM时，求旋转的时间是多少？ 22．（10分）将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠B1A1C＝30°，AB＝2BC． （1）固定三角板A1B1C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与A1C、A1B1分别交于点D、E，AC与A1B1交于点F． ①填空：当旋转角等于20°时，∠BCB1＝　 　 度； ②当旋转角等于多少度时，AB与A1B1垂直？请说明理由． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，使AB∥CB1，AB与A1C交于点D，试说明A1D＝CD． 23．（11分）已知：∠AOD＝160°，OB、OC、OM、ON是∠AOD内的射线． （1）如图1，若OM平分∠AOB，ON平分∠DOB，当OB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小． （2）如图2．若∠BOC＝20°，OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，当∠COB绕点O在∠AOD内旋转时，求∠MON的大小． 24．（13分）如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°． （1）如图1，求∠EFB的度数； （2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转． ①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为　 　 °； ②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $