2026年重庆市中考数学自编模拟卷9

**基本信息** 以石墨烯材料、张雪机车夺冠等科技与社会热点为情境，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计适配中考模拟需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|相反数、中心对称图形、圆的性质|第5题以石墨烯晶格考规律探究，体现抽象能力| |填空题|6/24|概率、平行线性质、新定义“腾跃数”|第16题定义新运算，考察推理意识| |解答题|9/86|方程应用、抛物线综合、几何变换|21题结合机车订单考方程，24题抛物线动态问题，25题几何翻折综合，体现数据意识与应用能力|

2026届重庆市中考数学模拟预测卷9 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：的相反数是． 2．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义逐项判断即可，将一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合，这样的图形叫做轴对称图形；将一个图形绕某一点旋转，能与本身重合，这样的图形叫做中心对称图形． 【详解】解：因为图A不是轴对称图形，是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图B既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，所以不符合题意； 因为图C是轴对称图形，也是中心对称图形，所以符合题意； 因为图D是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以不符合题意． 3．下列调查中，适合采用全面调查的是（  ） A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某班级学生的身高情况 D．了解一批某品牌电视机的使用寿命 【答案】C 【分析】本题考查全面调查的适用场景，根据定义，全面调查适用于调查范围小、无破坏性、要求结果准确的调查，具有破坏性或范围较大的调查适合抽样调查，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵A调查柑橘甜度，B调查汽车抗撞击能力，D调查电视机使用寿命，这三项调查都具有破坏性，且调查对象数量多，适合抽样调查； C调查某班级学生身高，调查范围小，对象数量少，适合全面调查． 4．如图，点，，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 5．石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶格结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有14个碳原子，第②个图中有18个碳原子，第③个图中有22个碳原子，…，按照此规律，第⑥个图中碳原子的个数是（   ）      A．30 B．34 C．38 D．42 【答案】B 【分析】根据前三个图形可得第n个图形中，碳原子的个数为个，再进一步求解即可． 【详解】解：第1个图形中有个碳原子， 第2个图形中有个碳原子， 第3个图形中有个碳原子， 按这样的规律，第n个图形中，碳原子的个数为个， 当时，． 6．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据轴，可得与的面积相等，可推出，解得：，再根据反比例函数的图象在第二象限，可得，从而得到答案． 【详解】解：连接， 轴， 与的面积相等． 即． ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ． 7．下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法和有理数大小比较，首先将用科学记数法表示的四个数还原成原数，再比较大小． 【详解】解：∵，，，，， ∴值最大的是， 故选：A． 8．中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵每次降价的百分率为 ∴第一次降价后的售价为 元 ∴第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再降，售价为元 又∵现在每台售价为 元 ∴可列方程为 ． 9．如图，在正方形中，点是中点，、交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点作交的延长线于点，过作于点，易证可得，设正方形的边长为，则，易证四边形为正方形可得进而得到，再证明，根据相似三角形的性质列比例式可得，最后代入求值即可． 【详解】解：如图：过点作交的延长线于点，过作于点， ，   ， ， ， 由题意可知： ， ， ， ， ， 设正方形的边长为，则， ， 点是的中点 ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，   ， ． 故选：B． 10．已知整式（，，均为整数，，，，），且，设；下列说法中： ①若，则的值可能为； ②的最小值为； ③（，，，）均为正整数，则最大值为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据整式加法合并同类项，得到系数和的关系，再逐一分析三个说法即可． 【详解】解：∵整式（，，均为整数，，，，）， 又∵ ∴，，， ①取，，，，满足， ∴， 即的值可能为，故说法①正确； ②设，则， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴的最小值为，故说法②正确； ③设（为定值，、为正数）， 则， ∴当时，取得最大值， 此时， 即两个正数的和一定时，当它们相等时，这两个数的积最大； 按同样的方法可知：几个正数的和一定时，当它们相等时，这几个数的积最大； ∵，，，均为正整数，且， 当时，， ∴最大值为，故说法③正确； 综上所述，三个说法都正确，正确个数是． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．某社区为庆祝马年新春，开展围绕马年讲成语故事活动．小明从“龙马精神”“马到成功”“一马当先”“万马奔腾”四个成语中，随机抽取一个成语讲故事，抽到“龙马精神”的概率是______． 【答案】 【详解】解：由题意可知，随机抽取成语时，所有等可能的结果共有种，抽到“龙马精神”的结果有种， 则抽到“龙马精神”的概率． 12．如图，直线、被直线所截，且．若，则的大小为______． 【答案】/度 【详解】解：， ， ∵ ， ． 13．若为正整数，且满足，则_____． 【答案】10 【分析】先化简给定的二次根式表达式，再估算无理数的大小，确定表达式介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解： 即 ∴ 即 为正整数，且满足 14．若实数，同时满足，，则的值___________． 【答案】 【分析】根据得出，当时，得出，与，不符合题意；当时，得出，解方程组求出、的值，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 当时，，与矛盾，此种情况不存在， 当时，， ∴， 解得：， ∴． 15．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 【答案】 【分析】先利用等腰三角形三线合一与勾股定理，求出外接圆半径与相关线段长度；再根据角平分线性质与圆周角定理，推导出弧相等，得到；最后利用三角形中位线定理求出，进而计算，再通过勾股定理求． 【详解】解：如图，设与交于点，连接交于，连接、， ∵，为的直径， ∴，．， 在中， ， 设的半径为，则，． 在中，即 解， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴，且为中点， ， ∵为中点，为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中， ． 16．对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 【答案】 9894 7893 【分析】根据“腾跃数”定义得数位关系：千位，十位，其中为个位数字，为百位数字，所有数位均为整数，可得，，即最大为，最大为，可得最大的“腾跃数”，分别化简与，可得为5的整数倍，为19的整数倍，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，其中，，，所有数位均为整数， ∴，， ∴，，即最大为，最大为， 此时，， ∴最大的“腾跃数”为：； 根据题意得：与均为整数， ∵，，， ∴ ， ∵为整数， ∴为整数，即为5的整数倍， 为整数，即为19的整数倍， ∴当，时，满足条件，此时，， ∴符合条件的为． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组的所有整数解． 【答案】所有整数解为0，1，2，3 【详解】解：解不等式①，得． 解不等式②，得． 所以，原不等式组的解集为． 因此，满足原不等式组的所有整数解为0，1，2，3． 18．如图，在中，D、E是的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，②，③，④ 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作图； （2）根据三角形的中位线得出线段之间的数量关系和位置关系，判定四边形是平行四边形，然后根据邻边相等即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：组不满意组比较满意组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 93 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表：_____，_____；_____； (2)通过以上数据分析，你认为甲，乙款聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对聊天机器人非常满意的共有多少人？ 【答案】(1)40，， (2)乙款聊天机器人的使用满意度更好； (3)800人 【分析】（1）根据中位数，众数的定义，扇形中某项目所占百分数等于频数除以样本容量，解答即可； （2）利用中位数，众数决策求解即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得对乙款聊天机器人的评分数据C组占比为：， D组占比为：， 故， 根据题意，得A等级：（人），B等级：（人） C等级：80，82， 83，87，88， 89有6人， 故中位数是， 由对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 故众数． （2）解：乙款聊天机器人的使用满意度更好，乙的中位数，众数都高于甲的，平均数相等，故喜欢乙款． （3）解：根据题意，得甲款聊天机器人非常满意的人数为 8，占比为：； 乙款聊天机器人非常满意的占比为 ； 此次测验中对聊天机器人非常满意的共有（人）， 答：对聊天机器人非常满意的共有800人． 20．先化简，再求值：，其中 【答案】， 【详解】解： ． ． 原式 ． ， 原式 ． 21．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 【答案】(1)3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. (2)乙组每天检查B型号摩托车50台. 【分析】本题考查二元一次方程组和分式方程的实际应用. （1）设出3月A、B两种型号的订单量，根据题干给出的3月总订单量和4月总订单量的条件列出二元一次方程组，求解即可得到结果. （2）先根据第一问结果算出4月两种型号的订单量，再设乙组每天检查的数量，根据甲乙完成任务的时间差列出分式方程，求解检验后即可得到结果. 【详解】（1）解 ：设3月A型号摩托车订单量为x台，B型号摩托车订单量为y台. 根据题意可得 ，整理第二个方程得， 解得 ， 答：3月A型号摩托车订单量为1800台，B型号摩托车订单量为2000台. （2）解：由（1）可得，4月A型号订单量为（台）， 4月B型号订单量为（台）. 设乙组每天检查B型号摩托车m台，则甲组每天检查A型号摩托车台. 根据题意可得， 解得，经检验是分式方程的解， 故乙组每天检查B型号摩托车50台. 22．重庆万州三峡科技馆于2026年元旦正式对外开放，其造型独特的“双鱼”设计吸引了大批市民打卡参观，并且它是重庆首座“近零能耗”公共建筑．周末，小明和小华相约去三峡科技馆参观．如图：、、、、四个参观点在同一平面内，点在点的正北方向米处，点在点的东北方向，点在点的正东方向，点在点的正南方向，且在点的北偏东方向米处，点在点南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、两参观点之间的距离（结果保留根号）； (2)小明沿的路线进行参观，小华沿的路线进行参观．两人同时出发，已知小明与小华的速度比是．求小明离出发地多少米时，两人之间的直线距离第一次达到米．（结果保留小数点后一位）？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）过点A作于R，延长，交于点N，解直角三角形求得,根据，即可求解； （2）设小明到达上M处、小华到达上N处时，即，作于H，设，，在中，勾股定理建立一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作于R，延长，交于点N， 在中，， ， 根据题意得：， 在中，， ， 在中， 由 米 答：B，C两参观点之间的距离是米． （2）设小明到达上M处、小华到达上N处时，即， 作于H， 设，，则： 在中，，， 在中， 解得：（舍）， 答：小明离出发地米时两人之间的直线距离第一次达到米． 23．如图，在平行四边形中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动．点、、三点同时出发，当点到达点时，点，和均停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． 　　 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 【答案】(1)； (2)图象见解析；在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大（答案不唯一） (3)或 【分析】（1）过点P作于点N，根据题意可得，，则，结合30度直角三角形的性质表示出，然后利用三角形面积公式即可表示出；分点M在上和在上时，分别表示出即可； （2）根据（1）中所求表达式，利用描点法作图即可； （3）根据图象找出的图象在的图象下方时，x的取值范围即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点N， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， 根据题意可得，，，则， ∵中，， ∴， ∴； 当点M在上时，即时，， 当点M在上时，即时，； ∴； （2）解：描点如下： 1 2 3 4 5 6 7 3.5 6 7.5 8 7.5 6 3.5 6 4 2 0 2 4 6 图象如图所示： 函数的性质：在时，y随x的增大而减小；在时，y随x的增大而增大； （3）解：由函数图象，时，的取值范围是或． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作轴交BC于点M，作轴交抛物线于点N，点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，连接AE，PF，EF，当取得最大值时，求P点坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移后经过点得到抛物线，点G为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求解点G坐标其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）把点，代入，求解即可； （2）求出对称轴为直线，直线的解析式为，设，，得，得，得当有最大值时，作点P关于y轴的对称点Q，连接，得，，得，得当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时，，取得最小值； （3）由，求出，得，由平移求出,作关于直线的对称，作交于点，交y轴于点E，过点H作轴于点I，过点C作于点J，可得，符合题意．证明，得，设(),则，由四边形是矩形,得，∴，求出，得,设直线解析式为，求出，直线的解析式为，联立，解得，得,由，求出,设点E关于x轴的对称点为，求出直线的解析式为，联立得，解得得． 【详解】（1）解：把点，代入， 得， 解得 抛物线的解析式为 （2）解： ∴对称轴为直线， ∵， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， 作点P关于y轴的对称点Q，连接， 则， ∵点A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点E在抛物线对称轴上，点F在y轴上时，， 取得最小值． （3）解：对， 令，则， 解得或， ∴， ∵，， ∴， ∵抛物线沿射线方向平移后经过点得到抛物线， ∴设抛物线向左平移d个单位长度再向上平移d个单位长度经过点得到抛物线， ∴， 把代入， 得， 解得， 取， ∴， ∵， ∴作关于直线的对称，作交于点，交y轴于点E，过点H作轴于点I，过点C作于点J， 则， ∴， ∵， ∴，符合题意． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设()， 则， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 解得或（舍去）， ∴； 对， 令，则， ∴， 设点E关于x轴的对称点为，直线的解析式为， 则， ∴， ∴， 联立得， 解得或（舍去）， ∴． 综上，，． 【点睛】第（2）作轴对称图形，构建最短路径模型；第（3）小题，作轴对称图形，构建相似三角形． 25．如图，已知在中，，点E在直线上，连接，过点C作于点D，交于点F． (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段，和的数量关系并证明． (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 【答案】(1)4； (2)，证明见详解； (3) 【分析】（1）利用同角的余角相等得到，利用角平分线的定义和三角形的外角的性质得到，从而得到，从而得解； （2）根据题意可知是等腰三角形，，，再利用三角形的外角的性质证明，过点E作交的延长线于点H，从而证明，，得到，继而得证； （3）设，继而求得，，和，结合翻折的性质得到，过点P作交于点O，则点O为的中点，且，那么，点E在直线上运动过程中，始终有，则点的运动轨迹为以点A为圆心为半径的圆上运动，那么点P的运动轨迹为以点O为圆心为半径的圆上运动．当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，求得此时，和，连接，则，进一步求得，求得即可． 【详解】（1）解：∵，， ∵ ， 又∵ 平分，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：，证明如下： 由（1）得：， ∵ ，， ∴，， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴， 过点E作交的延长线于点H，如图， 则 ， ， 在 与 中， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， 即； （3）解：设， ∵ ,， ∴， 解得 ， ∴ ， ∵， 解得， ∴ ， ∵ 将沿翻折至所在平面得到， ∴ ， 过点P作交于点O，如图： ∴， ∵点P为的中点， ∴， ∴，， ∵点E在直线上运动过程中，始终有， ∴点的运动轨迹为以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，为半径的圆上运动， 当取最大值时，则点P、点O和点D共线时，如图， 此时，，，， 连接，则， ∵ ， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届重庆市中考数学模拟预测卷9 （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成： 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的相反数是（   ） A． B． C． D． 2．下列图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列调查中，适合采用全面调查的是（  ） A．调查某种柑橘的甜度情况 B．调查某批次汽车的抗撞击能力 C．调查某班级学生的身高情况 D．了解一批某品牌电视机的使用寿命 4．如图，点，，在上，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．石墨烯是突破硅基芯片极限的关键材料．二维石墨烯的晶格结构如下图所示（黑色圆点表示碳原子）：第①个图中有14个碳原子，第②个图中有18个碳原子，第③个图中有22个碳原子，…，按照此规律，第⑥个图中碳原子的个数是（   ）      A．30 B．34 C．38 D．42 6．反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为4，则k的值为（   ） A．8 B． C． D． 7．下列四个数中，值最大的是（   ） A． B． C． D． 8．中央经济工作会议正式定调：2026年国补“优化不退出”．某型号笔记本电脑发售时每台售价9860元，经补贴政策活动优惠后，这台笔记本电脑的售价下降两次，且每次降价百分率相同，现在每台售价为元，设每次降价的百分率为，则可以列出相关的方程（     ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点是中点，、交于点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．已知整式（，，均为整数，），且，设；下列说法中： ①若，则的值可能为； ②的最小值为； ③（，，，）均为正整数，则最大值为． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．某社区为庆祝马年新春，开展围绕马年讲成语故事活动．小明从“龙马精神”“马到成功”“一马当先”“万马奔腾”四个成语中，随机抽取一个成语讲故事，抽到“龙马精神”的概率是______． 12．如图，直线、被直线所截，且．若，则的大小为______． 13．若为正整数，且满足，则_____． 14．若实数，同时满足，，则的值___________． 15．如图，是等腰的外接圆，，．连接并延长交于点，的角平分线交于点，交于点，连接，则的长度为_____． 16．对于一个四位自然数，若它的千位数字是个位数字的2倍还多1，十位数字比百位数字多1，称为“腾跃数”．则最大的“腾跃数”为___________，若一个“腾跃数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，记，若与均为整数，则符合条件的的值为___________． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17．求不等式组的所有整数解． 18．如图，在中，D、E是的中点，连接． (1)在直线下方作，交边于点F，连接；（尺规作图，保留痕迹，不写作法） (2)在（1）问条件下，若，探索四边形是哪种特殊的平行四边形． 证明：∵D、E是的中点， ∴是的中位线， ∴且， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵E是中点， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形 ． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19．百度推出了“文心一言” 聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用表示，分为四个等级：组不满意组比较满意组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 93 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表：_____，_____；_____； (2)通过以上数据分析，你认为甲，乙款聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对聊天机器人非常满意的共有多少人？ 20． 先化简，再求值：，其中 21．2026年3月28日至29日进行的世界超级摩托锦标赛（WSBK）葡萄牙站SSP组别赛事中，来自中国的摩托车品牌“张雪机车”斩获两连冠，中国制造的摩托车在世界赛场强势出圈，也瞬间点燃了国内消费市场的热情．“张雪机车”3月A、B两种型号的摩托车订单量共3800台，两连冠后4月的订单暴增，A型号订单量增加200%，B型号订单量增加100%，4月两种型号的摩托车订单量共9400辆． (1)求3月A、B两种型号的摩托车订单量各是多少辆？ (2)4月的摩托车订单出厂前需要统一进行交付前检查“张雪机车”安排甲、乙两个质检组同时开始工作，甲组负责检查A型摩托车，乙组负责检查B型摩托车．已知甲组每天检查A型号的数量是乙组每天检查B型号数量的1.8倍，最终甲组比乙组提前20天完成检查任务．求乙组每天检查B型号摩托车多少台？ 22．重庆万州三峡科技馆于2026年元旦正式对外开放，其造型独特的“双鱼”设计吸引了大批市民打卡参观，并且它是重庆首座“近零能耗”公共建筑．周末，小明和小华相约去三峡科技馆参观．如图：、、、、四个参观点在同一平面内，点在点的正北方向米处，点在点的东北方向，点在点的正东方向，点在点的正南方向，且在点的北偏东方向米处，点在点南偏东方向．（参考数据：，，） (1)求、两参观点之间的距离（结果保留根号）； (2)小明沿的路线进行参观，小华沿的路线进行参观．两人同时出发，已知小明与小华的速度比是．求小明离出发地多少米时，两人之间的直线距离第一次达到米．（结果保留小数点后一位）？ 23．如图，在平行四边形中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动，动点以每秒2个单位长度的速度从点出发，沿方向运动．点、、三点同时出发，当点到达点时，点，和均停止运动，设动点运动的时间为秒，的面积为，点与点之间的距离为． 　　 (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出，的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过） 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线BC上方抛物线对称轴右侧上一动点，过点P作轴交BC于点M，作轴交抛物线于点N，点E是抛物线对称轴上一动点，点F是y轴上一动点，连接AE，PF，EF，当取得最大值时，求P点坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移后经过点得到抛物线，点G为抛物线上一动点，若，请直接写出所有符合条件的点G的坐标，并写出求解点G坐标其中一种情况的过程． 25．如图，已知在中，，点E在直线上，连接，过点C作于点D，交于点F． (1)如图1，若点E在线段上，平分，，，求的长度； (2)如图2，若点E在线段上，，延长至点G，连接，满足，请用等式表示线段，和的数量关系并证明． (3)如图3，若，将沿翻折至所在平面得到，连接，点P为的中点，连接，在E点运动过程中，当取最大值时，直接写出此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $