第18章 矩形、菱形与正方形【章末复习】课件 2025-2026学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月3日 章末复习 第18章 矩形、菱形与正方形 18.3 正方形 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础应用题（每题20分，共60分） 1. 已知正方形ABCD的边长为7cm，利用正方形的性质，求该正方形的周长、面积以及对角线的长度。 解析：正方形是特殊的平行四边形，兼具矩形和菱形的所有核心性质：四条边都相等、四个角均为直角、对角线相等且互相垂直平分。∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD=7cm。① 周长：正方形周长=4×边长=4×7=28cm；② 面积：正方形面积=边长×边长=7×7=49cm²；③ 对角线：由勾股定理得，对角线长度=√(7²+7²)=7√2 cm。答：周长为28cm，面积为49cm²，对角线长为7√2 cm。 2. 已知正方形ABCD中，对角线AC=12cm，求正方形的边长和面积。 解析：正方形的对角线相等且互相垂直平分，对角线将正方形分成两个全等的等腰直角三角形。设正方形边长为a，根据勾股定理，正方形对角线长度=√(a²+a²)=a√2。已知AC=12cm，即a√2=12，解得a=6√2 cm（边长为正数）。面积=边长×边长=(6√2)²=72cm²。答：边长为6√2 cm，面积为72cm²。 3. 已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，求OA、OB的关系，并说明理由。 解析：OA=OB且OA⊥OB。理由：正方形的对角线相等且互相垂直平分，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=BD，且AC与BD互相平分、互相垂直，∴OA=½AC，OB=½BD，因此OA=OB；又∵AC⊥BD，∴OA⊥OB。答：OA与OB相等且垂直，即OA=OB，OA⊥OB。 二、提升应用题（40分） 4. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是OB上一点，AE⊥CE，求证：AE=CE。 解析：∵四边形ABCD是正方形，∴对角线AC与BD互相垂直平分且相等，∴OA=OC，∠AOB=∠COB=90°。在△AOE和△COE中，OA=OC，∠AOE=∠COE=90°，OE=OE（公共边），∴△AOE≌△COE（SAS）。由全等三角形对应边相等，可得AE=CE。 注意：解答本课时题目时，需牢记正方形的核心性质：①四条边都相等；②四个角都是直角；③对角线相等且互相垂直平分（兼具矩形和菱形的对角线性质）。解题时需灵活运用这些性质，结合勾股定理、全等三角形等知识，明确正方形与矩形、菱形的区别与联系，避免混淆三者性质，确保计算准确、证明逻辑严谨。 知识结构 四 边 形 平行四 边 形 矩形 菱形 正方形 一组邻边相等且有一个角是直角 一个角是直角 对角线相等 一组邻边相等 一个角是直角 两组对边分别平行 一组邻边相等 对角线互相垂直 三个角是直角 四条边都相等 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正 方 形 四边形及特殊四边形的关系： 矩形的性质 1. 矩形的四个角都是直角． 2. 矩形的两条对角线相等． 矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. A B D C O 1. 将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若∠CAB ＝ 30°， 则∠ACB 的度数是 (　　) A. 45° B. 55° C. 65° D. 75° D 2. 如图，点 O 为矩形 ABCD 的对角线的交点，点 E 在 BC 上，点 P 为 DE 的中点. 若 AD ＝18，AB ＝ 5， OP ＝ 3，则 CP 的长为_______. 6.5 菱形的性质 1.菱形的四条边都相等． 2.菱形的对角都相等． 菱形的判定 3.菱形的两条对角线互相垂直平分． 1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边都相等的四边形是菱形. A B C D O 正方形的性质 1.正方形的四个角都是直角． 2.正方形的四条边都相等． 正方形的判定 3.正方形的对角线相等，并且互相垂直平分. 4.正方形是轴对称图形，它有四条对称轴. 1.有一组邻边相等的矩形是正方形 2.有一个角为直角的菱形是正方形. A B C D O 返回 1．矩形OABC在平面直角坐标系中如图所示，点A(3，0)，C(0，1)，将矩形OABC绕点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点的坐标为(　　) A．(－1，3) B．(3，1) C．(1，－3) D．(－1，0) A 中考考法 9 2．[河北中考]如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是(　　) A．∠1＝45°－α B．∠1＝α C．∠2＝90°－α D．∠2＝2α 中考考法 10 中考考法 11 返回 由折叠的性质可得∠C′ED＝∠CED，∴∠2＝180°－2∠CED＝180°－2(90°－α)＝2α，故C不正确，D选项正确．故选D. 【答案】D 中考考法 12 3．如图，在平行四边形ABCD中，连结BD，E为线段AD的中点，BE的延长线与CD的延长线交于点F，连结AF，∠BDF＝90°． 中考考法 13 (1)求证：四边形ABDF是矩形； 中考考法 14 又∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形． 又∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形． 中考考法 15 返回 (2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S． 中考考法 16 返回 4．如图，一个木制的活动衣帽架由3个全等的菱形构成. 已知菱形的边长为13 cm，当挂钩B，D间的距离是30 cm时，挂钩A，C间的距离是________． 24 cm 中考考法 17 5．[2025遂宁]如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E，F在对角线BD上，BE＝EF＝FD，且AF⊥AB，CE⊥CD. 中考考法 18 (1)求证：△ABF≌△CDE； 【证明】∵AF⊥AB，CE⊥CD， ∴∠BAF＝∠DCE＝90°. ∵AB∥CD，∴∠ABF＝∠CDE. ∵BE＝EF＝FD，∴BF＝DE.∴△ABF≌△CDE. 中考考法 19 (2)连结AE，CF，若∠ABD＝30°，请判断四边形AECF的形状，并说明理由． 中考考法 20 返回 中考考法 21 【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠C＝90°.∴∠ADB＝∠1，∠DEC＝90°－α.由折叠的性质可得∠ADB＝∠A′DB，∴∠1＝∠A′DB.∴∠DEC＝∠1＋∠A′DB＝ 2∠1.∴2∠1＝90°－α，∴∠1＝45°－α，故A不正确． 易知∠BDE≠∠CDE，∴∠1≠α，故B不正确． 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BA∥CD. ∴∠BAE＝∠FDE. ∵E是AD的中点，∴AE＝DE. 在△BEA和△FED中， ∴△BEA≌△FED. ∴EF＝EB. 【解】由(1)得四边形ABDF是矩形，∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD.∴在Rt△ADF中，AF＝＝＝4.∴S矩形ABDF＝DF·AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4.∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝3. ∴S△BCD＝BD·CD＝×4×3＝6.∴四边形ABCF的面积 S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝12＋6＝18. 【解】四边形AECF是菱形．理由如下： ∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，∠AFB＝∠CED. ∴AF∥CE.∴四边形AECF是平行四边形． ∵∠ABD＝30°，∠BAF＝90°，∴AF＝BF. ∵∠DCE＝90°，EF＝DF，∴CF＝DE. ∵BF＝DE，∴AF＝CF.∴四边形AECF是菱形． $