2026年上海市高考数学模拟卷2

2026年上海市高考数学模拟卷二 一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分） 1.已知，，则 . 2.函数在区间上的最小值为 . 3.二项式展开中的系数为 . 4.已知为虚数单位，，若，则　　 . 5.设，且为奇函数，则　　 . 6.设随机变量服从正态分布，且，则　　 . 7.投掷一颗骰子，记事件，，则　 　. 8.设关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 . 9.直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，该双曲线上任意一点，满足，则的最小值为　 　. 10.在平面直角坐标系中，是曲线上的一个动点，则点到直线的距离的最小值为　　 . 11.已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为6，平面平面，则空间四边形外接球的表面积为　　 . 12.已知平面向量，其中为单位向量，且，，向量满足，则对于任意满足条件的向量，最小值是　 　. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.设，则“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 14.函数是（ ） A.奇函数 B.偶函数 C.奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数 15.设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16.设正数、、不全相等，，函数.关于说法①对任意、、，都为偶函数，②对任意、、，在上严格单调递增，以下判断正确的是（ ） A.①、②都错误 B.①正确、②错误 C.①错误、②正确 D.①、②都正确 三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分） 17.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图，四棱锥中，，，在底面中，，，且，，为的中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成的角的余弦值. 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）若有极大值，且极大值小于0，求的取值范围. 19.（本题满分14分，第1小题8分，第2小题8分）2024届起，上海实行高考改革新方案.新方案规定：语文、数学、英语是考生的必考科目，考生还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理门科目中选取门作为选考科目.某校为了解高一年级名学生选科方案的意向，按性别分层抽样，随机选取名学生进行了一次调查，统计选考科目人数如下表： 性别 人数 物理 化学 生物 政治 历史 地理 男生 女生 （1）估计该学校高一年级全体男生中，选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数； （2）从选取的名男生中随机选出名，求恰好有人选“物理、化学、生物”组合的概率；（结果用最简分数表示） （3）已知选取的名女生有且仅有“物理、化学、生物”、“生物、政治、历史”、“生物、历史、地理”种选科方案.若从选取的名女生中随机选出名，求人选科方案不同的概率（结果用最简分数表示）. 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知双曲线，左、右顶点分别为、，直线交双曲线于、两点. （1）求双曲线的离心率； （2）若过原点，为双曲线上异于、的一点，且直线、的斜率、均存在，求证：为定值； （3）若过点，、均在双曲线右支，直线、的斜率分别为、.试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由. 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知定义域均为的函数，，是的非空子集.若对任意，，当时，总有，则称是的一个“关联函数”. （1）求的所有关联函数； （2）若是其自身的一个关联函数，求实数的取值范围； （3）若函数是其自身的关联函数，证明：“是关联，且是关联”的充要条件是“是关联”. 参考答案 一、填空题 1.； 2.； 3.； 4.或； 5.； 6.； 7.； 8.； 9.； 10.； 11.； 12.. 二、选择题 13.B； 14.B； 15.C； 16.D. 三、解答题（本大题共5题，满分76分） 17.（1）取的中点，连接、， 在中，因为为的中点，为的中点， 所以，且， 由已知，，得，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）取的中点，连接、，则，且， 即四边形为平行四边形，所以， 所以（或其补角）即为异面直线与所成的角， 由，，得， 又，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理得， 即异面直线与所成的角的余弦值为. 18.（1）当时，，则，，所以， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，又， 当时，恒成立，在上严格增，无极值. 当时，令，得， 所以在上，，严格增， 在上，，严格减， 所以在处取得极大值，极大值为， 令，解得，所以的取值范围为. 19.（1）由题意得该学校高一年级男生有人. 因此估计该学校高一全体男生中， 选科方案为“物理、化学、历史”组合的人数为人. （2）用表示事件“恰好有人选“物理、化学、生物”组合”， 则. （3）由题意得选取的名女生中，有人选“物理、化学、生物”， 人选“生物、政治、历史”，人选“生物、历史、地理”. 用表示事件“人选科方案不同”， 则，进而有. 20.（1）；（2）； （3）设，，直线的方程为， 由得， 则，且， 由韦达定理得，即， 所以 ，即与的比为定值. （1）因为△的周长为6，所以， 又，所以，，故， 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，设，， 则，，， 所以，即， 得， 因为，，所以， 又，所以，为定值. （3）由（2）得，所以. 由题意得直线的方程为， 由，得，所以， 则. 因为，所以直线的方程为，即， 又，所以直线的方程为， 由，得， 则，， 所以 ， 故△的面积 ， 令，则，，当，即时取等号，因此△面积的最大值为. 21.（1）设是的关联函数， 对于，当时，， 因为，所以，设，则， 令，则，所以， 所以的关联函数为. （2）因为是其自身的一个关联函数. 对于，当时，. 设， 则， 整理得， 因为的导函数为， 又因为在上严格增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 设，则， 令，则，则， 所以在上严格减，在上严格增， 所以，所以. （3）充分性：若函数是关联，则对任意的，有， 函数是关联，则对任意的， 有为增函数； 设函数， 当时，， 当时，， 因为当确定时，是关于的增函数，所以， 所以有函数是关联. 必要性：若函数是关联， 设， 当时，则， 当时， 假设，有， 又，矛盾. 故只有，同理可得， 利用，得是关联， 依次可得，即当，有， 当在时，，，得也是关联. 学科网（北京）股份有限公司 $